【文档说明】浙江省宁波市九校2021-2022学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.070 MB，由小赞的店铺上传

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2022年6月宁波九校高二下学期数学期末试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,4U=，集合1,3,1,2AB==，则()UAB

=ð（）A.2,4B.1,2,4C.1,2,3D.1,3,4【答案】B【解析】【分析】先求集合A的补集，再根据并集运算求出结果.【详解】因为1,2,3,4U=，1,3A=，所以2,4UA=ð；因为1,2B=，所以()1,2,4U

AB=ð.故选：B.2.若(i)i1iab+=+（,abR，i为虚数单位），则ab+=（）A.2B.0C.2−D.1【答案】B【解析】【分析】利用复数乘法及复数相等可得1,1ab==−，即可得答案.【详解】由(i)ii1iabab+=−

=+，即1,1ab==−，所以0ab+=.故选：B3.已知,mn是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列选项中正确的是（）A.若,,mnmn⊥⊥∥，则⊥B.若,,mn⊥⊥⊥，则mn⊥C

.若,,mnmn==∥，则∥D.若,,,mn∥∥，则mn∥【答案】B【解析】【分析】利用线面、面面平行与垂直的判定定理及性质定理逐个判断即可得出结论.【详解】对于A,若,,mnmn⊥⊥∥，则

,相交、平行均有可能，故A错误；对于B,若,⊥⊥m，则m在内或者//m，又,n⊥则mn⊥正确，故B正确；对于C,若,,mnmn==∥，则,相交、平行均有可能,故C错误；对于D,

若,,,mn∥∥，则,mn可能异面或平行，故D错误；故选：B.4.若213253,,,abcabc+=+=+R，则（）A.ln5ln2ln3cabB.ln2ln5ln3acbC.ln3ln5ln2bcaDln2ln3ln5abc【答案】D【解

析】【分析】令2132533abct=+=+=+可得ln2ln(1)at=−，ln3ln(2)bt=−，ln5ln(3)ct=−，根据对数函数的单调性判断大小关系.【详解】令2132533abct=+=+=+，则2l

og(1)at=−，3log(2)bt=−，5log(3)ct=−，所以ln2ln(1)at=−，ln3ln(2)bt=−，ln5ln(3)ct=−，而123ttt−−−，故ln2ln3ln5abc.故选：D5.已知函数()21,0,1,0,4xxfxxxx−=

+若函数()()gxfxk=−有2个零点，则实数k的取值范围是（）A.()0,+B.()0,1+−C.)0,+D.()1,−+【答案】A【解析】【分析】根据()fx的性质画出函数图像，将问题化为()fx与yk=有2个交点，数形结合求k的范围..【详解】由题意，()f

x与yk=有2个交点，当0x时，()fx递增且值域为(1,)−+；当0x时，()fx在(,2)−−上递减，(2,0]−上递增且值域为[1,)−+；所以()fx的图像如下：由图知：0k时，()()gxfxk=−有2个零点.故选：A6.已知函数()2xfxe−=，使不等式()

()212ftft++成立的一个必要不充分条件是（）A.1t−B.1t或0tC.1t或13tD.13t或23t【答案】D【解析】【分析】由函数解析式可知函数的单调性和对称性，利用单调和对称性可得t

的范围，再由必要不充分条件的定义可得选项.【详解】因为函数()2xfxe−==()424xfxe−−−=，所以函数()2xfxe−=的图象关于2x=对称，当2x时，()2xfxe−=单调递增，根据对称性可知，当2x时，()2xfxe−=单调递减，若不等式()()

212ftft++成立，则21222tt+−+−，即21tt−，可得()()3110tt−−，解得13t或1t，结合选项可知使不等式()()212ftft++成立的一个必要不充分条件是13t或23t，故选：D7.已知正四棱锥SABCD−的底面边长为4，侧棱长为13，其内

切球O与两侧面SAB，SAD分别切于点,PQ，则PQ的长度为（）A.223B.529C.439D.729【答案】A【解析】【分析】设正四棱锥内切球的球心为O，半径为R，P为内切球与侧面PAB的切点，1O为侧面上切点

所在小圆的圆心，半径为r，E为AB中点，2O底面正方形ABCD中心，利用等体积法求得内切球的半径，再利用等面积法求得点P到2SO的距离求解.【详解】解：如图所示：设正四棱锥内切球的球心为O，半径为R，P为内切球与侧面PAB的切点，1O为侧面上切点所在小圆的

圆心，半径为r，E为AB中点，2O底面正方形ABCD中心，因为正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，侧棱长为13，所以正四棱锥侧面三角形的高为223SESAAE=−=，正四棱锥的高为22225SOSAAO=−=，正四棱锥的表面积为134416402S=+=，正四棱锥

的体积为116544533V==，由等体积法得：11654033R=，解得255R=，因为2122535,,,55OPOOSOOPSEOPSO===⊥⊥，所以22121,3SPOPSPSOOPOPSO=−===，由正四棱锥的定

义知：内切圆与四个侧面相切，四个切点构成正方形，所以223PQ=，故选：A8.已知正实数a、b和实数t满足22424atabb++=，若2ab+存在最大值，则t的取值范围是（）A.(,2−B.()2,−+C.(2,2−D.)2,+【答案】C【解析】【

分析】由已知可出()()222442242abatabtabb=++−+=+，分2t=、2t、2t三种情况讨论，利用基本不等式求出2ab+的最大值，即可得出实数t的取值范围.【详解】因为正实数a、b和实数t满足()()222442242abatabtabb=++−+=+，当

2t=时，则22ab+=，此时2ab+的最大值为2；当240t−时，即当2t时，()()()()()()222222422222244abtabtababtab++=++−++−=+，可得()21622abt++，

即422abt++，不合乎题意；当240t−时，即当2t时，()()()()()()222222422222244abtabtababtab++=++−++−=+，若2ab+存在最小值，则20t+，可得2t−，即22t−

时，则()21622abt++，422abt++，此时2ab+存在最大值.综上所述，若2ab+存在最大值，则t的取值范围是(2,2−.故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错

的得0分，部分选对的得2分.9.已知函数()e2xfxx=+−，若存在实数,()abab，有()()0fafb，则下列选项一定正确的是（）A.0aB.0bC.()fx在(,)ab内有两个零点D.若02abf

+，则()fx在区间,2abb+内有零点【答案】BD【解析】【分析】由单调性与零点存在性定理对选项逐一判断【详解】易知()e2xfxx=+−在R上单调递增，而ab，若()()0fafb，则()0,()0fafb，而(0)121f

=−=−，故a符号不确定，0b，故A错误，B正确，由零点存在性定理知()fx在(,)ab内有一个零点，故C错误，若02abf+，则()fx在区间,2abb+内有零点，故D正确，故选：BD10.若6565432123456(1)(1)axxxaxaxaxaxaxa+−

−=++++++，则下列选项正确的是（）A.1a=B.56a=C.1234562aaaaa++++=D.1234529aaaaa−+−+=−【答案】AD【解析】【分析】A选项，根据等式右边6x的系数为1求出1a=；B选项，求出6(1)x+中x的系数为56C6=，5(1)x−中x的系数为()44

5C15−=，求出5651a=−=；CD选项，赋值法求解各项系数和与62a=，从而判断CD选项【详解】因为等式右边6x的系数为1，所以1a=，A正确；6(1)x+中x的系数为56C6=，5(1)x−中x的系数为()445C15−=，所以5651a=−=，B错

误；6565432123456(1)(1)xxxaxaxaxaxaxa+−−=++++++中，令1x=得：6123456(11)1aaaaaa+=++++++，所以12345663aaaaaa+++++=，令0x=得：656(

01)(01)112a=+−−=+=，所以1234563261aaaaa++++=−=，C错误；6565432123456(1)(1)xxxaxaxaxaxaxa+−−=++++++中，令1x=−得：65123456(11)(11)1

aaaaaa−+−−−=−+−+−+，即12345631aaaaaa−+−+−+=，而62a=，所以1234529aaaaa−+−+−=，1234529aaaaa−+−+=−，D正确.故选：AD11.下列说法正确的是（）A.以模型e

kxyc=去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy=，将其变换后得到线性方程0.51zx=+，则,ck的值分别是e,0.5B.从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为13

514415CCCC.若随机变量19,3XB，则()218DX+=D.在回归分析中，对一组给定的样本数据()()()1122,,,,,,nnxyxyxy而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好【答案】AC【解析】【分析】对于A：根据代换的过程，直接求解；对于B：直接求

出其中至少有一名女生的概率，即可判断；对于C：利用二项分布求出方差，再求()21DX+；对于D：按照残差的意义直接判断.【详解】对于A：因为ekxyc=，所以lnln()lnkxcekxyc==+.又=lnzy，0.

51zx=+，所以0.5,ln1kc==，所以ec=.故A正确.对于B：从10名男生，5名女生中随机选取4人，有415C种，至少有一名女生的选法，有441510CC−，所以其中至少有一名女生的概率为441510415CCC−.故B错误.对于C：随机

变量19,3XB，所以()129233DX==，所以()()2824212DXDX+===.故C正确；对于D：按照残差的意义，在回归分析中，若残差平方和越小，则模型的拟合效果越好.故D错误

.故选：AC12.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以12,AA分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以12,BB分别

表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（）A.事件1A与事件2A互斥B.事件1B与事件2A相互独立C.()1257PBA=D.()2914PB=【答案】AD【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断A、B，根据古典概型的概率公式判断C，根

据全概率公式判断D；【详解】解：对于A，每次取出1球，事件1A与事件2A是互斥事件且是对立事件，故A正确；对于B，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱黑球变为5个，则取出白球概率发生变化，事件1B与事件2A不相互独

立，故B错误；对于C，若从甲箱取出1个黑球放入乙箱，这时乙箱黑球变为5个，白球还是2个，则()1227PBA=，故C错误；对于D：因为121()()2PAPA==，214(|)7PBA=，22(75|)PBA=，所以()22122211222()()(|)()(|)()PBPBAPBAPB

APAPBAPA=+=+14159272714=+=，故D正确．故选：AD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设随机变量()0,1XN，若()00.7PXx=，则()0PXx=___

________.【答案】0.4##25【解析】【分析】直接根据正态分布的性质即可得结果.【详解】因为()0,1XN，()00.7PXx=，所以正态分布曲线的对称轴为0x=，()00.3PXx=，所以()()00120.4PXxPXx=−=，故答案为：0.4.14.已知平面向量,,abe

满足1,1,2eaebe===，则ab+的最小值为___________.【答案】3【解析】【分析】把向量数量积运算和模长转化为坐标运算，然后可求结果.【详解】不妨设()()(),,,,1,0axybmne===，则1,2aexbem====；(),abxmyn+=

++所以()()()22293abxmynyn+=+++=++.当且仅当0yn+=时，取到最小值3故答案为：315.编号为1,2,3,4,5的5个小球，放入编号为1,2,3的3个盒子，每个盒子至少一个球，编号为1的小球必须放入1号盒子，那么不同的放法有___________种.

（填写数字）【答案】50【解析】.【分析】从1号盒的放球个数来分类，逐类求解可得答案.【详解】若1号盒子只放一个球，则2号盒和3号盒共放4个球，有122424CAC14+=种；若1号盒子放两个球，则有11243224CCA=种；若1号盒子放三个球，则有22

42CA12=种；所以共有14241250++=种.故答案为：50.16.已知三棱锥PABC−的棱长均为1,BC平面,E为PB中点，l⊥.记l和直线AE所成角为，则该三棱锥绕BC旋转的过程中，si

n的最小值是___________.【答案】36【解析】【分析】把l和直线AE所成角转化为AE与平面所成角，结合线面角的性质可求答案.【详解】设AE与平面所成角为1，因为l⊥，l和直线AE所成角为

，所以1sincos=；取CD的中点F，连接,EFAF，因为,EF分别为中点，所以//EFBC，AEF或其补角是AE与BC所成角；在AEF中，31,22AEAFEF===，所以3cos6AEF=且AEF为锐角.三棱锥绕BC旋转的过程中，由线面角的

性质可知，1AEF，所以13coscos6AEF=，即sin的最小值为36.故答案为：36.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()()sin2(0),,04fxx=+

是该函数图象的对称中心（1）求函数()fx的解析式；（2）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若()1,23fCC=−，1c=，求2+ab的取值范围.【答案】（1）()cos2fxx=（2）()1,2【解析】【分析】（1）由题

意得2,Z4kk+=，则可求出2=，从而可求出函数()fx的解析式；（2）由()12fC=−可求出23C=，由正弦定理得22sin,sin33aAbB==，从而可表示出2+ab，化简后利用三角函数的性质可求得结果【小问1详解】由题知2,Z4kk+=

，因为0，所以2=，所以函数()sin22fxx=+，即为()cos2fxx=.【小问2详解】由题知()12fC=−，即1cos22C=−，因为3C，所以2223C，所以423C=，即21,33CAB=+=.所以由正弦定

理得2sinsinsin3abcABC===，所以22sin,sin33aAbB==,242sinsin33abAB+=+()2sin2sin3AB=+2sin2sin33BB=−+2sinc

oscossin2sin333BBB=−+233cossin223BB=+2sin6B=+因为10,3B所以662B+，所以1sin126B+，所以12sin26B+

，所以2+ab取值范围为()1,2.18.已知函数()()2lnaxfxax+=R.（1）求函数()fx的定义域；（2）若关于x方程()()ln233fxaxa=−+−有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）4

3a，且52a，且2a【解析】【分析】（1）将不等式20axx+看作()20axx+，即可得出定义域；（2）应用对数函数的单调性，转化方程为一元二次方程（含参数）求解即可.小问1详解】由于20axx+与()20axx+同解，若0a，则定义域是2xxa−∣

或0x；若0a=，则定义域{0}xx∣；若0a，则定义域是20xxa−∣.【小问2详解】由于对数函数是单调的，原方程等价于()2233axaxax+=−+−，化简得：()()2120

axx−+−=，解得12x=，或212xa=−，因为方程有两个不相等的根，并且12,xx都必须在定义域内，所以()220222012220aaaaa+−+−−，解得43a，且52a，且2a；综上

，43a，且52a，且2a.19.为了检测新冠疫苗的效果，需要进行动物试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按))))0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，每组分别有10只，20只，4

0只，100只，30只.试验发现小白鼠体内没有产生抗体的共有40只，其中该项指标值小于60的有20只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）完成如图所示列联表，并根据列联表及0.05=的独立性检验，判

断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体【是合计（2）用频率估计概率，以动物试验中小白鼠注射疫苗后产生抗体的频率p作为注射疫苗后产生抗体的概率.记n只小白鼠注

射疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当且仅当80X=时，()PX取最大值，求参加接种试验的小白鼠数量n.参考公式：()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++（其中nabcd=+++

为样本容量）参考数据：()20Pk0.500.400.250.150.1000.0500.0250k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表答案见解析，能认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关（2）参加接种

试验的小白鼠数量100n=【解析】【分析】（1）先根据题中数据完成列联表，计算2的数值，分析即可得出结果；（2）不同小老鼠之间的实验显然无关，于是可近似看成二项分布，由题意可知(80)(79),(80)(81)PXPXPXPX==

==，解出n的范围即可.【小问1详解】零假设为0H：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.列联表如下：（单位：只）抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200根据列联表中数据，得22005200(50

2020110)4504.9453.841160407013091x−===根据0.05=的独立性检验，推断0H不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.【小问2详解】记

产生抗体的概率为p，则1600.8200p==.不同小老鼠之间的实验显然无关，于是可近似看成二项分布，故(),0.8XBn由题知：()()()()80798081PXPXPXPX====，即8080807979798080808

18181C0.80.2C0.80.2C0.80.2C0.80.2nnnnnnnn−−−−，()()()()!!0.80.280!80!79!79!!!0.20.880!80!8!!81!nnnnnn

nn−−−−41807999100.25,148081nnn−−所以100n=20.某数学教师任教,AB两个班级，在一次数学测试中，经统计：A班学生人数50，平均成绩是81，方差为5；B班学

生人数40，平均成绩90，方差为5.在任教班级中按照分层随机抽样抽取9人，再从中随机抽取6人.（1）若随机抽取的6人成绩分别为88，87，86，85，84，83，求这6人成绩的第50百分位数；（2）随机抽取的6人中，记来自A班的学生数为X，请写出X的分布列，

求数学期望()EX；（3）求该教师所任教的所有学生在这次考试中数学成绩的均值与方差.【答案】（1）这6人成绩的第50百分位数是85.5；（2）分布列见解析，数学期望：103；（3）均值为85，方差为2

5.【解析】【分析】（1）百分位求法求第50百分位数；（2）由题意随机变量X的取值为2,3,4,5并求出对应概率值，即可得分布列，进而求期望；（3）根据已知各班级平均成绩及方差求所有学生的成绩均值和方差.【小问1详解】由6人成绩从大到小为88，87，86，85

，84，83，的这6人成绩的第50百分位数是868585.52+=.【小问2详解】按分层抽样，9人中有5人来自A班，4人来自B班.随机变量X的取值为2,3,4,5.()()()()243342515454545466669999CCCCCCCC

5101512,3,4,5C42C21C42C21PXPXPXPX============，分布列如下：X2345P54210211542121()510151102345422142213EX=+++=.【小问3详解】平均分：815040908590+

=.又50211(81)550iix=−=，40211(90)540iiy=−=，即5021(81)250iix=−=，4021(90)200iiy=−=，方差：504050402222111111[(85)(85)][(814)(905)]9090iiiiii

iixyxy====−+−=−−+−+505040402211111[(81)8(81)800(90)10(90)1000]90iiiiiiiixxyy=====−−−++−+−+5040111(2508

81508800200109040101000)90iiiixy===−++++−+1(2508002001000)90=+++25=.21.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABC

D，底面ABCD为梯形，其中,3,2,3ADBCADABBCCD====∥，点M在棱PD上，点N为BC中点.（1）记平面PBC平面PADl=，判断直线l和直线BC的位置关系，并证明；（2）若二面角PDCA−−的大小为45,M是

靠近P的三等分点，求NM与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）BCl∥，证明见解析；（2）14【解析】【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证得BC平行PAD，然后利用线面平行的性质定理证得结论；（2）利用面面垂直的性质定理证得CD⊥平面PAD，从而求得二

面角PDCA−−的平面角，利用等体积法求得点N到平面PDC的距离，过M作MHAD⊥于点H，求得MN的长，然后利用线面角概念求得结果.【小问1详解】BCl∥，证明如下：因为,ADBCAD∥平面,PADBC平面PAD，所以BC平面PAD.

因为BC平面,BPADC平面PBC，平面PBC平面PADl=.所以BCl∥.【小问2详解】在梯形ABCD中，由条件可得CDDA⊥，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面,ABCDADCD=平面ABCD，所以CD⊥平面

PAD，所以二面角PDCA−−的平面角为45PDA=，所以3PAAD==，因为PD平面PAD，所以CDPD⊥，由NPCDPNCDVV−−=，得点N到平面PDC的距离12h=，过M作MHAD⊥于点H，则MHPA，

所以113AHADBN===，于是//AHBN且=AHBN，所以四边形ABNH是平行四边形.于是2NHAB==又223MHPA==，所以228NMNHMH=+=，所以NM与平面PCD所成角正弦值为11248=.22.已知函数()2fxxa=−.（1）若4a=，记函

数()()fxhxx=.当0x时，写出()hx的增区间.（不需要证明）；（2）记函数()()43mxxfx=+−.若()mx在区间1,1−上最大值是2，求a的值；（3）记函数()()fxgxx=，对()0,1x

，有()()11gxgx−成立，求实数a取值范围.【答案】（1）()2,+（2）3−或1−或54或5（3）)1,1,4−−+【解析】【分析】（1）去绝对值符号，从而可求出函数的单调增区间；（2）令20,1xt=，则有221

5ttat−−−，故问题转化为：当0,1t时，函数yta=−在函数221,5ytyt=−=−图像之间，再分0a和0a两种情况讨论，从而可得出答案；（3）()()11gxgx−，即()()22(1)1xaxaxx−−−−，令()110,4xxn−=

，则22(1)12xxn+−=−，即()22210nannn+−+−，令()()2221hnnanaa=+−+−，再根据二次函数的性质即可得出答案.【小问1详解】解：()()4244,02xxfxxhxxxxxxx−

==−=−，，()hx的单调递增区间是()2,+；【小问2详解】解：424243215xxaxxax+−−−−−，令20,1xt=，2215ttat−−−，故问题转化为：当0,1t时，函数yta=−在函数221,5ytyt=

−=−图像之间，①那么当0a时，函数yta=−顶点坐标(),0a在x轴的负半轴上，当ytata=−=−过点()0,1或()1,4时，满足题意，故1,3aa=−=−，②那么当0a时，函数yta=−顶点坐标(),0a在

x轴的正半轴上，当ytaat=−=−过点()0,5或()1,4，或者与21yt=−相切时，满足题意，故55,4aa==，综上所述：a的值为3−或1−或54或5；【小问3详解】解：()()2fxxagxxx−==，()()()()()()2222(1)111(1)11xaxagxgxxaxaxx

xx−−−−−−−−−，不妨令2111113244424xaaa=−−或14a−≤，令()()222110,1[1](1)124xxnxxxxn−==+−+−=−，()()()2222222(1)1(1)(1)1

xaxaxxxxaxxaxx−−−−−−+−+−，换元可得：()22210nannn+−+−，令()()2221hnnanaa=+−+−，对称轴12na=−，①当31042ana=−，对称轴为负数，只需满足()001ha，②当11314244ana−

=−，只需满足104h即可，21110444ha=−−恒成立，故14a−≤成立，综上所述：实数a取值范围为)1,1,4−−+.【点睛】本题考查了函数的单调性

，考查了二次函数的最值问题，及不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想及转化思想，有一定的难度.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com