【文档说明】广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2022-2023学年高一下学期2月月考 数学 答案.docx，共(17)页，1.433 MB，由小赞的店铺上传

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东华高级中学东华松山湖高级中学2022—2023学年第二学期高一2月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“Nm，21Nm+”的否定是（）A.Nm，21Nm+B.Nm，2

1Nm+C.Nm，21Nm+D.Nm，21Nm+【答案】D【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】解：命题“Nm，21Nm+”为存在量词命题，其否定为：Nm，21Nm+.故选：D2.设,abR,则“2()0aba−

”是“ab”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由2()0aba−一定可得出ab；但反过来，由ab不一定得出2()0aba−，如0a=，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性

质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.3.函数()12log1fxxx=−+的零点所在的区间为（）A.114，B.11,43C.11,32D.1,12【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再通过求解对应

点的值，判断11032ff，结合零点判断定理，得出结论即可．【详解】因为()12log1fxxx=−+，可知()fx在定义域()0,+为单调递增；又因为1211131log04

444f=+−=−，1433112222211141161logloglog2log3log03333327f=+−=−=−=，1211111log02222f=+−=，()120f=．所以11032ff

，故函数()121logfxxx=+−的零点所在的区间为11,32．故选：C．4.若3a=，3b=r，向量a与向量b的夹角为150°，则向量a在向量b上的投影向量为（）A.32bB.32b−C.32bD.32b−【答案】D【解析】

【分析】利用投影向量的定义直接求解.【详解】因为3a=，1b=，向量a与向量b的夹角为150°，所以向量a在向量b上的投影向量为33cos3,322abbabbb==−−.故选：D5.设3l

og0.4a=，2log3b=，则（）A.0ab且0ab+B.0ab且0ab+C.0ab且0ab+D.0ab且0ab+【答案】B【解析】【分析】容易得出31log0.40−，2log31，即得出10a−，1b，从而得出0ab，0ab+．详解】10.413，31

log0.40−.又2log31，即10a−，1b，0ab，0ab+．故选B.【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函

数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于0．6.要得到函数()3sincosfxxx=+的图象，只需将函数()π2sin6gxx=−的图象进行如下变换得到（）A.向右平移π3个单位B.向左平移π3个单位C.向右平移π6个单位D.向左平移

π6个单位【答案】B【解析】【分析】先利用辅助角公式将()fx化简，再根据三角函数的变换规则判断即可.【详解】解：因为()31π3sincos2sincos2sin226fxxxxxx=+=+=+

，()π2sin6gxx=−，所以将()π2sin6gxx=−向左平移π3个单位得到πππ2sin2sin366yxx=+−=+

.故选：B7.已知tan，tan是方程23340xx++=的两根，且ππ22−，ππ22−，则【+的值为（）A.π3B.2π3−C.π3或2π3−D.π3−或2π3【答案】B【解析】【分析】由韦达定理得tantan33,tantan4

+=−=，即tan0,tan0，得π0−+，再根据两角和的正切公式解决即可.【详解】由题知，tan，tan是方程23340xx++=的两根，所以tantan33,tantan4+

=−=，即tan0,tan0，因为ππ22−，ππ22−，所以π02−，π02−，所以π0−+，因为tantan33tan()301tantan3+−+===−−，所以2π3+=−，故选：B8.若定义2023,2023−上的函数()

fx满足：对任意12,2023,2023xx−有()()()12122022fxxfxfx+=+−若()fx的最大值和最小值分别为,MN，则MN+的值为（）A.2022B.2018C.4036D.4044

【答案】D【解析】【分析】由赋值法可得()()4044fxfx+−=，构造()()2022gxfx=−，说明()gx为奇函数，由()()minmax0gxgx+=可得结果.【详解】对任意12,2023,2023

xx−有()()()12122022fxxfxfx+=+−，则令()()()()1202022020,20002xxffff====+−，令()()()()()()()12,202240442,0022202xfxxxxxxfffxfxffx==+−−+−=−−=−−=−，令()(

)2022gxfx=−，则()()gxgx=−−，故()gx为2023,2023−上的奇函数，故()()()()()()minmaxminmaxminmax02022202204044gxgxfxfxMNfxfx+=?+-=?=+=

.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在ABC中，D为BC中点，且2AEED=，则（）A.2136CECACB=+B.1133CECACB=+C.()CECA

CB⊥+D.()//CECACB+【答案】BD【解析】【分析】由已知条件可得点E为ABC的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可.【详解】因为2AEED=，则,,AED三点共线，且2AEED=，又因为AD为中线，所以点E为A

BC的重心，连接CE并延长交AB于F，则F为AB的中点，所以22111()33233CECFCACBCACB==+=+，所以CE∥()CACB+故选：BD．10.已知函数()πsin223sincos6fxxxx=+−，则（）A.()fx的最大值为1B.直线π3x=是()fx

图象的一条对称轴C.()fx在区间ππ,63−上单调递减D.()fx的图象关于点π,06对称【答案】ABC【解析】【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()πcos2

3fxx=+，根据余弦型函数最值可知A正确；利用代入检验法，结合余弦函数性质，依次验证BCD正误即可.【详解】()ππ13πsin2coscos2sin3sin2cos2sin2cos266223fxxxxxxx=+−=−

=+；对于A，()max1fx=，A正确；对于B，当π3x=时，π2π3x+=，π3x=是()fx的一条对称轴，B正确；对于C，当ππ,63x−时，()π20,π3x+，此时()fx单调递减，C正确；对于D，π2π1cos632f==−，π,

06不是()fx的对称中心，D错误.故选：ABC.11.若1122ab，则下列关系式中一定成立的是（）A33abB.abee（2.718e）C.()()sincossincosab++（是第一象限角）D.()()22ln1l

n1ab++【答案】BC【解析】【分析】.由已知得ab，根据各选项对应函数的单调性判断大小即可.【详解】由1122ab知：ab，∴33ab，abee，即A错误，B正确；sincos2sin()4+=+且3444

+，即1sincos2+，则有()()sincossincosab++，故C正确；()()22ln1,ln1ab++的大小不确定，故D错误.故选：BC【点睛】思路点睛：注意各选项函数的形式，根据对应函数的单调性比较大小.1、如：13,xxe单调

增函数；2、对于sincos+，根据所在象限确定其范围即可应用xa的单调性判断大小；3、由于ab无法确定221,1ab++的大小，()()22ln1,ln1ab++的大小也无法确定.12.已知函数()22l

og2,02815,2xxfxxxx+=−+，若方程()fxk=有四个不同的根1234,,,xxxx，且1234xxxx，则下列结论正确的是（）A.12k−B.12222xx+C.()12348xxxx+=D.1223xx+【答案】BCD【解析】【分析】根据函数解析

式作出()fx与yk=的图像，对于选项A：根据图像结合已知可以直接判断；对于选项B：根据图像得出结合已知得出12xx、的范围，即可代入列式得出121xx=，在将选项中的未知数转化为一个，即可根据基本不等式得出答案；对于选项C：根

据二次函数性质得出34xx+，即可结合选项B中得出的12xx，进行判断；对于选项D：将选项中转化，令()()21212gxxxx=+，根据单调性定义或对钩函数的性质得出其在()1,2上的单调性，即可根据单调性得出最值进行判断.【详解】()22log2,

02815,2xxfxxxx+=−+，则()222log2,01log2,12815,2xxfxxxxxx−+=+−+，在同一坐标系内作出()fx与yk=的图像，如下图所述：对于选项

A：根据图像可得，若方程()fxk=有四个不同的根，只需23k，故A错误；对于选项B：根据图像可得12012xx，由题意可得：()()12fxfx=，即2122log2log2xx−+=+，则121xx=，则122222222222xxxx

xx+=+=，当且仅当()222212xxx=，即22x=时，等号成立，故B正确；对于选项C;根据图像可得点()3,xk与()4,xk关于直线4x=对称，则348xx+=，根据选项B中证明12

1=xx，则()12348xxxx+=，故C正确；对于选项D：()1222212122xxxxx=++，令()()21212gxxxx=+，任取()1,2mn、，且mn，则()()()()21mnmngmgnmn−−

−=，12mn，则0mn−，1mn，则()()0gmgn−，即()()gmgn，即函数()gx在()1,2上单调递增，则()()2221213gxxgx=+=，即1223xx+，故D正确；故选：BCD.三、填空

题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a，b满足3a=，2b=，211ab−=，则ab=______．【答案】2【解析】【分析】对211ab−=左右两边同时平方，化简代入数值即可求得ab

.【详解】因为22224419411abaabbab−=−+=−=，所以2ab=.故答案为：2.14.请写出一个函数()fx，使它同时满足下列条件：（1）()fx的最小正周期是4；（2）()fx的最大值为2．()fx=____

________．【答案】2sin2x（答案不唯一）【解析】【分析】由题意知函数振幅为2，2π2ππ42T===，符合题意即可.【详解】∵()fx的最小正周期是4，∴2π2ππ42T===；∴()fx的最大值为2，∴2A=，故可取(

)2sin2fxx=,故答案为：()2sin2fxx=(答案不唯一)15.若()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()122xfxxm=−+(m为常数)，则当0x时，()fx=_________.【答案】221xx−−+【解析】【分析】根据()00f=得到1m=−

，再取0x时，0x−，根据函数奇偶性得到表达式.【详解】()fx是定义在R上的奇函数，则()011020fmm=+=+=，故1m=−，0x时，0x−，则()()1212212xxfxfxxx−=−−=−−=−+−+.故

答案为：221xx−−+.16.木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统木雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气．如图是一扇环形木雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知0.6mOA=，1.4mAD=，100AOB=，则该扇环形木雕的面积为________2m．【答案】9190

【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可．【详解】环形面积22100(0.61.4)100069136036090CODAOBSS+=−=−=扇扇.故答案为：9190．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合24

1|1,|212xAxBxaxax−==+−.（1）求集合RAð；（2）若ABB=，求实数a的取值范围.【答案】（1）|1xx或3x（2）(1,2](4,)+【解析】【分析】（1）解分式不等式求得集合A，进而求

得RAð.（2）根据B是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得a的取值范围.【小问1详解】242431,10111xxxxxx−−−−=−−−，所以()()31010xxx−−−，解得13x，所以{|13}Axx=，RA=ð

|1xx或3x.【小问2详解】由题意，若ABB=，则BA，①B=时，满足BA，此时122aa+，解得4a；②B时，12211232aaaa++，解得12a；综上，a的取值范围为(1

,2](4,)a+.18.在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角的终边OA与单位圆的交点坐标为()1,02Amm−，射线OA绕点O按逆时针方向旋转弧度．．后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为()y

f=.（1）求函数()yf=解析式，并求π3f−的值；的（2）若()34f=，()0,π，求4πtan3−的值.【答案】（1）()7πsin6f=+，12（2）393−【解析】【分析】（1）根

据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【小问1详解】因为1sin2=−，且0m，所以7π6=，由此得()7πsin6f=+ππ7π5π1sinsin33

662f−=−+==.【小问2详解】由()34f=知7ππ3sinsin664+=−+=，即π3sin64+=−由于()0,π，得ππ7π,666+，与此同时πsin06+

，所以πcos06+由平方关系解得：π13cos64+=−，ππsincos4π3936tantanππ333cossin36−−−+−=−===−−+

.19.函数()sin2sinfxxx=+.（1）请用五点作图法画出函数()fx在0,2π上的图象；（先列表，再画图）（2）设()()2mFxfx=−，0,2πx，当0m时，试研究函数()Fx的零点的情况.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】

【分析】（1）将()fx表示为分段函数的形式，然后利用列表法画出()fx的图象.（2）由()()20mFxfx=−=转化为()yfx=与2my=的公共点个数，对m进行分类讨论，由此求得()Fx零点的情况.【小问1详解】3sin,0π()si

n,π2πxxfxxx=−，按五个关键点列表：x0π2π3π22πsinx0101−0()sin2sinfxxx=+03010描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：【小问2详解】因为()()2mFxfx=−，所以()Fx的零点个

数等价于()yfx=与2my=图象交点的个数，设2mt=，0m，则1t当20log3m，即13t时，()Fx有2个零点；当2log3m=，即3t=时，()Fx有1个零点；当2log3m，即3t时，()Fx有0个零点.20.2

020年我国面对前所未知，突如其来，来势汹汹的新冠肺炎疫情，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔

t（单位：分钟）满足：520t，tN，平均每趟快递车辆的载件个数()Rt(单位：个)与发车时间间隔t近似地满足()()2161810,5141618,1420ttRtt−−=，其中tN．（1）若平均每趟快递车辆的载

件个数不超过1600个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益5()7770()100RtStt−=+(单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益(结果取整数)．【答案】（1）5t=（2）发车时间间隔为6分钟

时，净收益最大为140（元）【解析】【分析】（1）根据()()2161810,5141618,1420ttRtt−−=，分段讨论求解；（2）建立净收益函数得()1805200,514320100,1420tttSttt−++=

+，求其最大值即可.【小问1详解】解：当1420t时，16181600，不满足题意，舍去．当514t时，21618(10)1600t−−，即220820tt−+．解得1032t+（舍）或1032t

−．∵514t且tN，∴5t=．所以发车时间间隔为5分钟．小问2详解】由题意可得()1805200,514320100,1420tttSttt−++=+．当514t，6t=时，180()25200140Sttt−+=（元），当且仅当180

5tt=，即6t=时，等号成立，当1420t，14t=时，320()10012314St+（元）所以发车时间间隔为6分钟时，净收益最大为140（元）．21.已知函数()21axbfxx+=+是定义

域R上的奇函数，且满足()()91210ff+=.（1）判断函数()fx在区间()0,1上的单调性，并用定义证明；（2）已知1x、()20,x+，且12xx，若()()12fxfx=，证明：122xx+.【答案】（1）()fx()0,1上单调递增，证明见

解析【在（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义可求得b的值，利用()()91210ff+=可求得a的值，可得出函数()fx的解析式，判断出函数()fx在()0,1上单调递增，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）由()()12fxfx=结合作差法可得

出121=xx，再利用基本不等式可证得结论成立.【小问1详解】解：因为函数()21axbfxx+=+是定义域R上的奇函数，则()()fxfx−=−，即()2211axbaxbxx−++=−+−+，解得0b=，则()21axfxx=+，又()()129122510ffaa+=+=，得1

a=，所以()21xfxx=+.函数()21xfxx=+在()0,1上单调递增，理由如下：1x、()20,1x，且12xx，即1201xx<<<，所以，210xx−，1210xx−，2110x+，2210x+，则()()()()()()()()()()221

221211212122222221212121110111111xxxxxxxxxxfxfxxxxxxx+−+−−−=−==++++++，所以()()12fxfx，则()fx在()0,1上单调递增.【小问2详解】证

明：由题意，()()12fxfx=，则有()()()()()()21121222121011xxxxfxfxxx−−−==++，因为120xx，所以1210xx−=，即121=xx，所以121222xxxx+=，得证.

22.若函数()yfx=对定义域内的每一个值1x，在其定义域内都存在唯一的2x，使()()121fxfx=成立，则称函数()yfx=具有性质M．（1）判断函数()1fxx=是否具有性质M，并说明理由；（2）若函数()2144333fxxx=−+的定义域为,(,N*mnmn且

2)m且具有性质M，求mn的值；（3）已知2a，函数()()22xfxa=−的定义域为1,2且()fx具有性质M，若存在实数1,2x，使得对任意的Rt，不等式()24fxstst++都成立，求实数s的

取值范围．【答案】（1）()1fxx=具有性质M，理由见解析（2）15（3）482,0−【解析】【分析】（1）取211xx=，即可得到()()121fxfx=，再根据()1fxx=的性质即可判断；（2）首先将函数

配成顶点式，即可判断函数的单调性，依题意可得221(2)(2)19mn−−=，从而得到(2)(2)3mn−−=，再根据m、n的取值情况得到方程组，解得即可；（3）根据复合函数的单调性可得()fx在上[1,2]单调递增，即可得到()

()121ff=，从而求出a的值，依题意可得21220stst++−对任意的Rt恒成立，再分0s=和0s两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.【小问1详解】解：对于函数()1fxx=的定义域()(

),00,−+U内任意的1x，取211xx=，则()()121fxfx=，结合()1fxx=的图象可知对()(),00,−+U内任意的1x，211xx=是唯一存在的，所以函数()1fxx=具有性质M.【小问2详解】

解：因为()221441(2)3333fxxxx=−+=−，且m>2，所以()fx在,mn上是增函数，又函数()fx具有性质M，所以()()121fxfx=，即221(2)(2)19mn−−=，因为2nm，所以

()()223mn−−=且220nm−−，又*,Nmn，所以2123mn−=−=，解得35mn==，所以15mn=．【小问3详解】解：因为1,2x，所以22,4x，且2x

y=在定义域上单调递增，又因为2a，()2yxa=−在2,4上单调递增，所以()()22xfxa=−在上[1,2]单调递增，又因为()fx具有性质M，从而()()121ff=，即()()241aa−−=，所以2670aa−+=，解得32

a=−或32a=+（舍去），因为存在实数1,2x，使得对任意的Rt，不等式()24fxstst++都成立，所以2max()4fxstst++，因为()()22xfxa=−在上1,2单调递增，所以()222(12)4fstst=+++即212

20stst++−对任意的Rt恒成立．所以()20Δ41220sss=−−或0s=，解得4820s−或0s=，综上可得实数s的取值范围是482,0−．