【文档说明】福建省莆田市2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.427 MB，由小赞的店铺上传

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莆田市2022-2023学年下学期期末质量监测高一数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数2iiz−=（i为虚数单位）的共轭复数是（）A12i−B.12i+C.12i−+D.12i−−【答案】C【解析】【分

析】利用复数的除法法则计算出12iz=−−，从而求出共轭复数.【详解】()22ii2i2i112iii1z−−+====−−−，所以共轭复数是12iz=−+.故选：C.2.已知向量()()()1,,2,3,2,2akbc===−，

且()//cab−，则k=（）A4B.-4C.2D.-2【答案】A【解析】【分析】由向量减法的坐标运算和向量共线的坐标表示，列方程求解.【详解】向量()()()1,,2,3,2,2akbc===−，则有()1,3a

bk−=−−，由()//cab−，得()()2321k−−=−，解得4k=.故选：A.3.某区政府为了加强民兵预备役建设，每年都按期开展民兵预备役军事训练，训练后期对每位民兵进行射击考核．民兵甲在考核中射击了8发，所得环数分别为6,8,,8,7,9,10,8a，若

民兵甲的平均得环数为8，则这组数据的第75百分位数为（）A.8B.8.5C.9D.9.5【答案】B【解析】【分析】由平均数求出a的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解...【详解】由

题意可得：6887910888a+++++++=，解得：8a=，将这组数据从小到大的顺序排列为6,7,8,8,8,8,9,10，因为875%6=为整数，所以这组数据的75百分位数为898.52+=，故选：B.4.已知复数z满足48izzz+=（i是虚数单位

），则复数z=（）A.22i−−B.22i−+C.22i−D.22i+【答案】B【解析】【分析】复数izab=+，利用共轭复数的概念，复数的乘法，复数的相等，解方程即可.【详解】复数izab=+，则izab=−，由22444i8izzabzba+=+++=，得224048abab++

==，解得22ab=−=，所以22iz=−+.故选：B5.已知,mn是两条不同的直线，,是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若//,//mnn，则//mB.若,⊥⊥mnn，则//mC.若,mm⊥⊥，则//

D.若//,m⊥，则m⊥【答案】C【解析】【分析】若,mnn∥∥，有可能m，可判断选项A；线面平行可判断选项B由线面垂直可以得出面面平行可以判断C选项，根据线面平行及面面垂直可判断选项D.【详解】对于选项A，有可能m，故选项A假命题

；对于选项B，有可能m，故选项B为假命题；对于选项C，,mm⊥⊥，可得两平面法向量共线,,是两个不重合的平面，进而可得∥，故选项C为真命题.为对于选项D，若m∥，⊥，有可能m，故选项D

为假命题；故选：C.6.如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为A.102mB.20mC.

203mD.40m【答案】D【解析】【分析】设mABx=，在BCD△中，利用余弦定理列出关于x的方程，即可求解，得到答案．【详解】由题意，设mABx=，则m3mBCxBDx==，，在BCD△中，由余弦定理，得222=2cos120+BD

BCCDBCCD−．化简得220800=0xx--，解得=40mx．即AB=40m．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答解三角形实际问题时需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边角之间的关系，合理使用正、余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题

的能力，属于基础题．7.在ABC中，π,2,3BACADDBP==uuuruuur为CD上一点，且满足13APACAB=+．若||2,||3ACAB==，则AP的值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】根据三点共线的结论结合平面向量基本定理可得12=，再利用数量

积的定义与运算律求解.【详解】由题意可得：1cos3232ABACABACBAC===uuuruuuruuuruuur，因为,,CPD三点共线，则APxACyAD=+uuuruuuruuur，且1xy+=，又因为11313322APACABACADACAD==++

=+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，则1,2xy==，可得112+=，解得12=，可得1123APACAB=+uuuruuuruuur，所以2221111113934394394APACABACAB=+=+++=uuuruuuruuuruuuruuu

r，即3AP=uuur.故选：C.8.几何中常用L表示L的测度，当L为曲线､平面图形和空间几何体时，L分别表示其长度､面积和体积．ABC是边长为4的正三角形，P为ABC内部的动点（含边界），在空间中，到点P

的距离为1的点的轨迹为L，则L等于（）A.83B.22π33+C.6π83+D.22π833+【答案】D【解析】【分析】首先确定到动点P距离为1的点的轨迹所构成的空间体的形状，然后由空间几何体的体积公式求解即可．【详解】到动点P距

离为1的点的轨迹所构成的空间体在垂直于平面ABC的视角下看，如图所示：其中BCMN，ACJK，ABYQ区域内的几何体为半圆柱，CMJ，BYN，KAQ区域内的几何体为被平面截的部分球，球心分别为A，B，C，ABC区域内的几何体为棱柱，

其高为2．由BCMN，ACJK，ABYQ为矩形，所以90MCB=，90ACJ=，ABC是正三角形，60ACB=，则有360120MCJMCBACJACB−−−==，同理120NBY=，120KAQ=，则=360KAQNBYMCT++，所以CMJ，BYN，

KAQ这三个区域的几何体合成一个完整的半径为1的球，体积为34π4π133=；BCMN，ACJK，ABYQ这三个区域内的半圆柱体积为21π1436π2=（其中21π12表示半圆底面）；ABC区域内的棱柱

体积为144sin602832=.所以几何体L的体积等于22π833+．故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查了空间中动点轨迹的求解，空间几何体的体积公式，解题的关键是确定动点的轨迹是何种空间几何体，

考查了空间想象能力与逻辑推理能力.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.234iiii0+++=B.若zz=，则zRC.若复数z为纯虚数，则

22||zz=D.若()1i1iz−=+，则1z=【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据复数的乘方运算法则计算出答案；B选项，设izab=+，则izab=−，从而根据zz=求出0b=，B正确；C选项，设izb=，分别求出2222||,zbzb==−；D选项，化简得到

1ii1iz+==−，从而求出模长.【详解】A选项，()()234iiiii1i10+++=+−+−+=，A正确；B选项，设izab=+，,Rab，则izab=−，若zz=，则iiabab=+−，即2i0b=，解得0b=，则za=，zR，B正确；C选项，复数z为

纯虚数，设izb=，0b，则()2222222|i,i|bzbzbb====−，故22||zz，C错误；D选项，若()1i1iz−=+，则()()()21i1i2ii1i1i1i2z++====−−−，故1z=，D正确.故选：ABD10.某景区为

了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：千人次）的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，则下列结论正确的是（）A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加C.每年月接待游客的增长量最多是8月D.每年1月至6月的月接待游客量相对同年7月至12月的月接待游客量，波动性更小【答案】BD【解析】【分析】根据折线图提供的数据逐一判断各选项．【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游

客量的折线图得：在A中，很明显有些月份游客量在下降，故A选项错误；在B中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故B选项正确；在C中，每年月接待游客的增长量最多是7月，故C选项错误；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比

较平稳，故D选项正确．故选：BD．11.如图，,,ABACAD两两互相垂直，三棱锥EBCD−是正四面体，则下列结论正确的是（）A.二面角DBCA−−的大小为π4B.BCDE⊥C.若BCD△的中心为O，则,,AOE三点共线D.三棱锥EBCD−的外接球过点A【答案

】BCD【解析】【分析】由已知可得ABACAD==，取BC的中点F，可得AFBC⊥，DFBC⊥，所以AFD为二面角DBCA−−的平面角，设2ABa=，求出AF、DF，在ADF△中由余弦定理可判断A；连接EF，利用线面垂直的判定定理和性质定理

可判断B；根据三棱锥ABCD−是正三棱锥得AO⊥平面BCD，三棱锥EBCD−是正三棱锥得EO⊥平面BCD可判断C；几何体ABCDE−与棱长为2a正方体−ABNCDHEG有相同的外接球可判断D.【详解】对于A，由已知可得222ABACBC+=，222ABADBD+=，222ADACCD

+=，而222==BCBDCD，所以ABACAD==，取BC的中点F，连接AF、DF，可得AFBC⊥，DFBC⊥，所以AFD为二面角DBCA−−的平面角，设2ABADa==，则22BCa=，2AFa=，3DFa=，在ADF△中，由余弦定理可得2222222

2346cos212223+−+−===AFDFADaaaAFDAFDFa，故A错误；对于B，由A选项连接EF，因为EBEC=，所以EFBC⊥，因为EFDFF=I，、EFDF平面EFD，所以BC⊥平面EFD，D

E平面EFD，所以BCDE⊥，故B正确；对于C，由选项A可知三棱锥ABCD−是正三棱锥，且AO⊥平面BCD，三棱锥EBCD−也是正三棱锥，EO⊥平面BCD，则,,AOE三点共线，故C正确；对于D，由A选项EBCD−是棱长为22a正四面体，三棱锥

ABCD−是侧棱长为2a，底面边长为22a的正三棱锥，所以几何体ABCDE−与棱长为2a正方体−ABNCDHEG有相同的外接球，故D正确.故选：BCD.12.已知ABC的三个角,,ABC的对边分别为,,,6,8abcbc==，且coscos10,bC

cBP+=是AB边上的动点，则()PAPBPC+的值可能为（）A.64−B.12−C.8−D.0【答案】CD【解析】【分析】根据余弦定理的边角互化求出a，设PAx=，根据向量的数量积的定义将待求表达式用关于x的二次函数来表达即可解决.【详解】由余弦定理，222222222222coscos102

22abcacbabcacbbCcBbcaabaca+−+−+−++−+==+==，则222bca+=，可得π2A=.设PAx=，则8PBx=−（08x），()22()(8)cosπ28PAPBPCPAPBPAPAACxxxxx=+++=−+=−，设2()28(0

8)fxxxx=−，由2()2(2)8fxx=−−，2[0,8]，()fx是开口向上的二次函数，故min()(2)8fxf==−，又(0)0,(8)64ff==，故[0,8]x时，()()[8,64]PfAxPBPC+−=.故选：CD三､

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校为了提升学生的中华文化素养，开设书法､对联､灯谜三个校本课程班，每位学生只报一个校本课程班，学校对高一､高二年级报名的学生人数进行统计，结果如下表．已知张华对上述三个校本课程班，采用样本量比例分配的分层随机抽样

的方法，抽取一个总样本量为30的样本，其中对联班的学生抽取10名，则x=__________．课程年级书法对联灯谜高一15x30高二453010【答案】20【解析】【分析】根据分层抽样的特点列出方程，求出答案.【详解】一共有学生人数为1545303010130xx++

+++=+，其中对联班学生人数为30x+，则根据分层抽样的特点，得到130303010xx++=，解得20x=.故答案为：2014.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥平面,1,

2ABCDABAD==，则二面角PBCD−−的大小是__________．【答案】π3【解析】【分析】由定义作出二面角PBCD−−的平面角，然后解三角形即可.【详解】过P作PMAD⊥，垂足为M，过M作MNBC⊥，垂足为N，连接PN.平面PAD⊥平面ABCD，平面P

AD平面ABCDAD=，又PMAD⊥，PM平面PAD，根据面面垂直的性质定理可得，PM⊥平面ABCD，又BC平面ABCD，故PMBC⊥，又BCMN⊥，MNPMM=，,MNPM平面PMN，故BC⊥平面PMN，由PN平面PMN，故BCPN⊥，于是二面角PBCD−−的平面角

为PNM，根据题目数据，在RtPMN△中，3,1PMMN==，π2PMN=，则tan3PMPMNMN==，则π3PNM=.故答案为：π315.在正三角形ABC中，D为BC上的点，2,CDDBDEAB=⊥，垂足为,EDFAB∥，且交AC于点F，若DADEDF=+，则+的

值是__________．【答案】94##2.25【解析】【分析】根据题意分析可得54AEDF=，结合平面向量的线性运算可得54DADEDF=+uuuuuurruuur，进而可得结果.【详解】由题意可知：12,33BDBCCDBC==，因为DEAB⊥，且=60B，可

得111266BEBDBCAB===，又因为DFAB，则32ABDF=，所以5564AEABDF==.因为54DADEEADEDF=+=+uuuruuruuuruuuruuur，则51,4==，所以59144+=+=.故答案

为：94.16.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，四边形ABCD是边长为2的正方形，14,,AAMN=分别是棱,BCAD的中点，,EF分别是棱1111,ABCD上动点．当直线NE与底面1111DCBA所成角最小时线段NE的长度是__

________，四面体MNEF的体积是__________．【答案】①.21②.83【解析】【分析】根据题意可得直线NE与底面1111DCBA所成角即为直线NE与底面ABCD所成角，结合线面夹角分析可得点E为点1B时

，ENH取到最小.空1：利用勾股定理求NE的长；空2：利用转换顶点法求体积.【详解】因为平面ABCD∥平面1111DCBA，则直线NE与底面1111DCBA所成角即为直线NE与底面ABCD所成角，过点E作EH∥1AA交AB于点H，连接NH，因为1AA⊥平面ABCD，则EH⊥平面

ABCD，所以直线NE与底面ABCD所成角为ENH，设0,2AHa=，可知：21,4NHaEH=+=，则24tan1EHENHNEa==+，当2a=，即点E为点1B时，tanENH取到最小，即ENH取到最小.空1：因为2

a=，则21215BH=+=，可得()2215421NEBE==+=；空2：因为,MN分别是棱,BCAD的中点，则MN∥CD，又因为CD∥11CD，则MN∥11CD，且MN平面1BMN，11CD平面1BMN，可得11CD∥平

面1BMN，所以11CD上任一点到平面1BMN的距离相等，不妨令点F为点1C，则11111118224323FBMNCBMNNMBCVVV−−−====.故答案为：21；83.【点睛】关键点睛：转化思想应用：（1）根据面面平行，将直线NE与底面1111D

CBA所成角转化为直线NE与底面ABCD所成角；（2）根据线面平行，取点F为点1C，利用转换顶点法求三棱锥的体积.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知向量1,32a=，1,02b=−

.（1）求向量a与b的夹角的余弦值；（2）若向量()1,3c=−，求向量c在向量ab−上的投影向量（用坐标表示）.【答案】（1）1313−；（2）13,22.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示

公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【小问1详解】132a=，12b=，14ab=−，则13cos13=−；【小问2详解】(

)1,3c=−，()1,3ab−=，与ab−同向的单位向量13,22abeab−==−.的∴c在ab−上的投影向量cosdcc=，()13,22cababeeab−−==−.18.已知向量()()2cos,1,cos,3sin2mxn

xx==，函数()fxmn=．（1）若()()2,0,πf=，求的值；（2）已知ABC的三个角,,ABC的对边分别为(),,,2,1,abcfAbABC==的面积为32，求sinsinsinabcABC++++的值．【答案】（1）π3=（2）2【解析】【分析】（1）利用数量积

的坐标运算结合三角函数恒等变换公式求出()π2sin216fxx=++，再由()()2,0,πf=化简可求出的值；（2）由()()2,0,πfAA=结合（1）可得π3A=，再由三角形的面积可求出2c=，然后利用余弦定理可得3a=，再利用正弦定理可求得结果.【小问1详解】因

为()()2cos,1,cos,3sin2mxnxx==所以()22cos3sin2fxmnxx==+cos213sin2xx=++π2sin216x=++因为()()π2sin212,0,π6

f=++=，所以π1ππ13πsin2,2,62666+=+．所以π5π266+=，即π3=．【小问2详解】因为()()2,0,πfAA=，由（1）得π3A=．因为13sin22ABCSbcA==，所以1331222c=，即2c

=．在ABC中，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−1142123,3.2a=+−==即由32sinsinsin32bcaBCA====，得2sin,2sin,2sinbBcCaA===，所以2sin2sin2sin2sinsinsinsinsinsinab

cABCABCABC++++==++++．19.在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面,//,2,ABCDBCADBCADADCD=⊥，点,,EFM分别为,,PBBCPD的中点．（1）求证：BC⊥平面AEF；（2）过点,,AE

M的平面交PC于点N，求PNNC的值．【答案】（1）证明见解析（2）13PNNC=【解析】【分析】（1）通过证明BCEF⊥和BCAF⊥，证明BC⊥平面AEF（2）通过证明所以//AEMN，得N是PG中点，可求PNNC的值.【小问1详解】证

明：因为F是BC中点，1//,2ADBCADBC=，则有//,ADFCADFC=，所以四边形ADCF是平行四边形，有//AFCD．因为ADCD⊥，所以BCAF⊥，因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPD⊥．因

为BCCD⊥，,PDCD平面PCD，PDCDD=，所以BC⊥平面PCD．因为PC平面PCD，所以BCPC⊥．因为E是PB中点，所以//EFPC，所以BCEF⊥．因为,EFAF平面AEF，EFAFF=，所以BC⊥平面AEF．【小问2详解】取PC中点G，连接,DGEG，如图所示，

因为E是PB中点，所以//EGBC，12EGBC=．因为1//,2ADBCADBC=，所以,//ADEGADEG=．所以四边形ADGE是平行四边形，所以//AEDG．因为DG平面PCD，AE平面PCD，所以//AE平面PCD．因为平面AENM平面PCDMN=，AE平面AENM，所以//,//

AEMNMNDG．因为M是PD中点，所以N是PG中点，所以13PNNC=．20.某校共有高中生3000人，其中男女生比例约为3:2，学校要对该校全体高中生的身高信息进行统计．（1）采用简单随机抽样的方法，从该校全体高中生中抽取一个容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图（如下）．身高

（单位：cm）频数)145,155a)155,165b)165,175c)175,18536185,19524根据图表信息，求,,,nabc的值，并把频率分布直方图补充完整．（2）按男生､女生在全体学生中所占的比例，采用分

层随机抽样的方法，共抽取总样本量为200的样本，并知道男生样本数据的平均数为172，方差为16，女生样本数据的平均数为160，方差为20，估计该校高中生身高的总体平均数及方差．【答案】（1）300n=，24a=，120b=，96c=；直方图见解析；（2）总

样本平均数为167.2，方差为52.16【解析】【分析】（1）由区间185,195上的频率和频数，计算出n，再由直方图中的频率计算,ab和c，结合频数分布表算出所缺区间的频率补充完整频率分布直方图.（2）由分层抽样得男

女生人数，利用已知数据和总体平均数和方差公式计算结果.【小问1详解】因为身高在区间185,195上的频率为0.008100.08=，身高在区间185,195上的频数24，所以243000.0

8n==所以0.0081030024a==，0.0410300120b==，30024120362496c=−−−−=．所以身高在区间)165,175上频率为960.32300=，在区间)175,185上的频率为360.12300=．由此可补充完整频率分布直方图：【小问2详解

】由分层抽样可知，样本中男生120人，女生80人，把男生样本记为12120,,,xxx，其平均数记为x，方差记为2xs；把女生样本记为1280,,,yyy，其平均数记为y，方差记为2ys；把总样本数据的平均数记为z，方差记为2s．则总样本平均数1208012017

280160167.21208012080200zxy+=+==++．()()12080222111200ijijsxzyz===−+−的()()1208022111200ijijxxxzyyyz===−+−+−+−由()120120111200iiiix

xxx==−=−=，得()()120120112()2()0iiiixxxzxzxx==−−=−−=同理可得()8012()0jjyyyz=−−=．所以总样本方差()()12012080802222211111()()200iiiijjsxxxzyyyz=====−

+−+−+−22221120()80()200xysxzsyz=+−++−22112016(172167.2)8020(160167.2)200=+−++−()()22120164.880207.2200+++=()()12162

3.0482051.8420+++=52.16=所以估计该校高中生身高的总体平均数为167.2，方差为52.16．21.已知ABC的三个角,,ABC的对边分别为222,,,sinsinsinsinsinabcA

CBAC+=+．（1）求B；（2）若2,4bABAC==，求ABC的面积．【答案】（1）π3B=（2）233【解析】【分析】（1）已知条件由正弦定理角化边，再由余弦定理求出cosB，可得角B的值；（2）向量数量积结合余弦定理，求出,ac，面积公式求面积；或向量数量积结合正弦定理，利用两角差的正

弦公式和辅助角公式，求出,AC，面积公式求面积.【小问1详解】因为222sinsinsinsinsinACBAC+=+，由正弦定理可得222acbac+=+，即222acbac+−=，由余弦定理得222cos2acbBac+−=122acac==又()0,πB，所以π3B=．【小

问2详解】解法一：由平面向量数量积的定义可得cos4ABACcbA==，所以222224422bcacabcbc+−+−==，所以224ca−=①，因为222π,2,2cos3BbbacacB===+−，所以224acac+−=②，①-②得220aac−=，则2ca=，代入①得233a=，所以

433c=，所以1sin2ABCSacB=12343323.23323==解法二：由平面向量数量积的定义可得cos4ABACcbA==，因为2b=，所以cos2cA=，由243πsinsinsin3si

n3acbACB====，得43sin3cC=，43sin3aA=，所以3sincos2CA=．因为πABC++=，又由（1）知2π3AC+=，即2π3CA=−，所以2π3sincos32AA−=．所以2313cossincos222AAA+=，

即3cos2113sin22242AA++=．所以313cos2sin2222AA+=，即π3sin232A+=．因为2π03A，则ππ5π2333A+，则π2π233A+=，即π6A=，则2πππ362C=−=，所以ABC为直角三角形，则4

3π23sin363a==．所以11232322233ABCSab===．22.已知三棱锥,3,23,120PABCPAPBPCBCBAC−=====，点O是ABC的外心．（1）若60OBA=，求证：PABC⊥；（2）求点A到平面PBC距离的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）30

6【解析】【分析】（1）利用条件PAPBPC==，得到BCPO⊥，再利用几何关系得到BCOA⊥，从而得到BC⊥平面PAO，再利用线面垂直的性质即可证明结果；（2）根据条件，利用正弦和余弦定理得到4ABAC，从而得到ABC面

积的最大值，再利用等体积法，建立关系式ABCPBCSPOhS=，即可求出结果.【小问1详解】如图，作PH⊥平面ABC，垂足为点H，因为PAPBPC==，所以HAHBHC==，所以H是ABC的外心，因为O是ABC的外心，所以O与H重合，所以PO

⊥平面ABC，因为BC平面ABC，所以BCPO⊥，因为60,OBAOAOB==，所以OAB是等边三角形，所以,60ABOABAO==，因为120BAC=，所以60OAC=，因为OAOC=，所以OAC是等边三角

形，所以OAAC=，所以ABACOBOC===，即四边形OBAC为菱形，所以BCOA⊥，因为POOAO=，,POOA平面PAO，所以BC⊥平面PAO，因为PA平面PAO，所以PABC⊥．【小问2详解】3,23PBPCBC===，所以BC边的高为22223(3)62

BCPB−=−=．所以1236322PBCS==．在ABC中，120,23BACBC==，由正弦定理得2324sinsin120BCRBAC===（R为ABC外接圆的半径），所以2OAR==．因为3

PA=，所以2222325POPAOA=−=−=．因为2222cos120BCABACABAC=+−，所以22123ABACABACABAC=++，所以4ABAC，当且仅当ABAC=时，等

号成立．因为13sin12024ABCSABACABAC==，设点A到平面PBC距离为h，因为PABCAPBCVV−−=，即1133ABCPBCSPOSh=，所以33545304463232ABCPBCABACSPOhS===，当且仅当ABAC=时等号成立．获得更多资

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