【文档说明】江西省奉新县第一中学2021届高三上学期第五次月考数学（理）试题 含答案.doc，共(12)页，984.000 KB，由小赞的店铺上传

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奉新一中2021届高三上学期第五次月考数学（理）试卷2020.12.30一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知集合41|22xAx−=，集合2|3100Bxxx

=−−，求AB=（）A．B．[2,3]−C．[3,5]D．(3,5)2.复数z在复平面内对应点的点是(1,1)−，则复数1iz−（i是虚数单位）的虚部为（）A.25i−B.25−C.15−D.15i−3.函数22,0()4,02xxfxxx−=−，则22()fxdx−的值为

（）A.π6+B.π2−C.2πD.84.直线bxy+=与曲线21yx−=有且仅有一个公共点，则b的取值范围是()A．2=bB．11−b或2−=bC．11−bD．以上都不对5.在ABC中，,02,2=+=+D

EAEADACAB若ACyABxEB+=，则yx,满足()A．2yx=B．2yx=−C．2xy=D．2xy=−6.下列叙述不正确的是（）A.“1=a”是“1:10laxy++=与2:30laxy−+=垂直”的充分不必要条件B.函数)0(33)(++=xxxxf

的最小值332−C.若命题1,:+xeRxpx，则1,:000+xeRxpxD.命题p：0x，ln0x，则p是真命题7．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）

A．B．C．D．8.函数()()()sin0,0,0fxAxA=+的图象如图，则下列有关()fx性质的描述正确是（）A．2π3=B．2ππ,3xkk=+Z为函数()fx的对称轴C．()fx向左移π12后的函数为偶函数D．函数()fx的单调递减区间为ππ7ππ,,122122

kkk++Z9.已知函数122,0()log(||1),0xaxfxxax−=+−()aR在R上没有零点，则实数a的取值范围是A.(1,){0}+B.(0,)+C.(,0]−D.(,1]−10.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，

Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若4PFFQ=，则||QF=（）A．3B．52C．32D．32或5211.矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E为CD中点，沿AE把△ADE折起，点D到达点P，使得平面PAE⊥平面ABCE，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为

（）A．14B．12C．22D．3212．设函数()fx在R上存在导数()fx，对Rx，()()2cosfxfxx+−=，且在[0,)+上有()sinfxx−，则不等式()cossin2fxfxxx−−−的解集是（）A．,4

−B．,6+C．,6−D．,4+二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知离心率为2的双曲线221xymn+=()Rnm,的焦点与椭圆14522=+yx的焦点重合,则mn=__

__________.14.已知数列{}na的前n项和为nS，15a=，且满足122527nnaann+−=−−，若*,pqN，pq，则pqSS−的最小值为.15．已知x，y满足约束条件102200xyxyy

＋－≤，＋＋≥，≤，且z＝ax－by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则21ab＋的最小值为__________．16．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，cos∠BAC＝45，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接

球的表面积的比为。三、解答题（本题共6道小题,共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题10分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是3yx=，且双曲线过点()2,3.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F作倾斜角为4的

直线交双曲线于A、B两点，求AB.18．（本小题12分）在ABC△中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足22sincos212BCA++=，（1）求角A的大小；（2）若7a=，3BAAC=−，A的平分线交边BC于点T，求AT的长.19.（

本小题12分）在等差数列na中，13a=，其前n项和为nS，等比数列nb的各项均为正数，11b=，且2211bS+=，3329Sb=．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）令1(1)2nnnnacnb−

−=，设数列nc的前n项和为nT，求1nnTT−（*nN）的最大值与最小值．20.（本小题12分）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥面ABCD．2PAABAD===，四边形ABCD满足ABAD⊥，//BCAD，4BC=，点M为PC中点，点E为BC边上的动点（1）求证：//DM平面

PAB．（2）是否存在点E，使得二面角PDEB−−的余弦值为23？若存在，求出线段BE的长度；若不存在，说明理由．21.（本小题12分）已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右

焦点分别为12,FF，12||2FF=，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过12,FF的圆与直线2x=−相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于,MN两点．（ⅰ）若直线l的斜率等于1，求OMN面积的最大值；（ⅱ）若1OMON=−，点D在l上

，ODl⊥．证明：存在定点W，使得||DW为定值．22.（本小题12分）已知函数bxaxxxxf++−+=)1(23ln)(2.（1）当3=a时，求)(xf的单调区间；（2）e为自然对数的底数，若)13,13(+−eea时，0)(xf恒成立，证明

：062+−ab.奉新一中2021届高三上学期第五次月考数学（理）答案：一、选择题：CBABDBACABDD二、填空题：13、31−14、6−15、6411+16、4：29三、解答题：17．解：（1）设双曲线方程为：223xy

−=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程得3233=−=所以所求双曲线方程为2213yx−=；（2）易知双曲线右焦点的坐标为()2,0，设点()11,Axy、()22,Bxy，直线AB的方程为2yx=−，联立22

233yxxy=−−=，可得22470xx+−=，1642772=+=，由韦达定理可得122xx+=−，1272xx=−.因此，()()2221212127112422462ABxxxxxx=+−=+−=−−−=.18．解：（1）22sincos212BCA++=，

即为cos2cos()0ABC−+=，可得22coscos10AA+−=，解得1cos2A=或cos1A=−（舍去），由0A，可得3A=；（2）3BAAC=−，即为2cos33cb=−，可得6bc=，由22222cos()27abcbcA

bcbcbc=+−=+−−=，可得7365bc+=+=，由ABCABTACTSSS=+△△△得，111sin60sin30sin30222bcbATcAT=+36sin606321()sin30552bcATb

c===+−19.解：（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，则23311,2(3332)9,dqddq+++=++++=……………2分解得3d=，2q=，……………4分所以3

nan=，12nnb−=．……………6分（2）由（1）得13()2nnc=−−，故11()2nnT=−−，……………7分当n为奇数时，11()2nnT=+，nT随n的增大而减小，所以1312nTT=；…………8分当n为偶数时，11()2nnT=−，nT随n的增大而增大，所以

2314nTT=，…………9分令1()fxxx=−，0x，则21'()10fxx=+，故()fx在0x时是增函数．故当n为奇数时，1111506nnTTTT−−=；……………10分当n为偶数时，22117012nnTTTT−−=−，……………11分综上所述，1nnTT−的

最大值是56，最小值是712−．……………12分20解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PAAD⊥，PAAB⊥，又ABAD⊥，所以PA，AB，AD两两垂直．以A为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．则(0,0,2)P，(2,0,0)B，(0,2,0)

D，(2,4,0)C，点M为PC中点，(1,2,1)M，故(1,0,1)DM=uuuur，又(0,0,2)AP=uuur，(2,0,0)AB=uuur，所以1122DMAPAB=+uuuuruuuruuur所以DMuuuur，APuuur

，ABuuur为共面向量，所以//DM平面PAB．（Ⅱ）设(2,,0)Ea，04a依题意可知平面BDE的法向量为(0,0,2)AP=uuur，(0,2,2)DP=−uuur，(2,2,0)DEa=−uu

ur设平面PDE的法向量为(,,)nxyz=r，则2202(2)0nDPyznDExay=−+==+−=ruuurruuur，令31z=，则2,1,12an−=r．因为二面角PDEB−−的余弦

值为23，所以2cos,3APnAPnAPn==uuurruuurruuurr，即222322112a=−++，解得1a=或3a=．所以存在点E符合题意，当1BE=或3BE=时，二面角PDEB−−的余弦值为23．21.解：（1）由题意知：1(1,0)F−，2(1

,0)F，由椭圆定义知，所以12222aPFPF=+=设椭圆的半焦距为c，所以222bca+=，所以2,1,1abc===所以椭圆C的标准方程为：2212xy+=（2）（ⅰ）设直线l的方程为：ykxt=+，将ykxt=+带入2212xy+=得：222(12)42

20kxktxt+++−=所以2121222422,,,1212kttxxxxkk−+=−=++又因为1k=，得22212121243||2||1()43tABxxkxxxx−=−=++−=点O到直线l的距离2||||21ttdk==+所以222221||4322

32(3)()2333222AOBttttStt−+−==−=等号当仅当223tt=−时取，即当62t=时，OMN的面积取最大值为22（ⅱ）显然直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：ykxt=+，由（ⅰ）知：2121222422,,1212kttxxx

xkk−+=−=++所以2222212122121212)())((kkttxxktxxktkxtkxyy+−=+++=++=所以2212122322112tkOMONxxyyk−−=+==−+解得

213t=，33t=，直线过定点3(0,)3Z或3(0,)3−所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为)63,0(W或3(0,)6−，半径等于63所以存在定点)63,0(W或3(0,)6−，使得||DW为定值6322.（12分）解：（1）axxaxxxf−+=−−+

+=3ln131ln)('1分当3=a时，33ln)('−+=xxxf0)1('=f，且33ln)('−+=xxxf在),0(+上单调递增，2分∴当10x时，0)('xf，)(xf单调递减；当1x时，0)('xf，

)(xf单调递增.3分∴当3=a时，)(xf的递减区间为)1,0(，递增区间为),1(+.4分（2）axxxf−+=3ln)('在),0(+上单调递增，∵1313+−eae031)1('−+−=aeef，031)('−+=aeef，∴存在唯一的),1(0eex，使

0)('0=xf，即03ln00=−+axx，得003lnxxa+=.6分而且，当00xx时，0)('xf，)(xf单调递减；当0xx时，0)('xf，)(xf单调递增.∴)(xf的唯一极小

值即)(xf的最小值bxxxxxxbxaxxxxfxf+++−+=++−+==0002000020000min)13(ln23ln)1(23ln)()(bxx+−−=020237分∵0)(xf恒成立，∴023)(020min+−−=bxxxf，得

02023xxb+，8分∴6ln25236)3(ln22362002000020+−−=++−++−xxxxxxxab，设),1(6ln2523)(000200eexxxxxh+−−=9分0000020000)2)(13

(253253)('xxxxxxxxxh−+=−−=−−=10分当210xe时，0)('0xh，)(0xh单调递减；当ex02时，0)('0xh，)(0xh单调递增.∴)(0xh极小值0)2ln1(22ln2262ln210423)2(−=−=+−−

=h即062+−ab.12分