【文档说明】四川省蓬溪中学校2022-2023学年高二下学期月考（文科）数学试题 含解析.docx，共(16)页，990.992 KB，由小赞的店铺上传

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四川省蓬溪中学校高2021级第四学期月考（文科）数学试题一、单选题1.已知Ra，则()()021aa+−是01a成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，再由充分必要

条件的定义判断即可.【详解】由()()021aa+−可得：1a2−，因为1a2−推不出01a，而01a能推出1a2−，所以()()021aa+−是01a成立的必要不充分条件故选：B.2.通过椭圆22143xy+=的焦点且垂直于x轴的直线l

被椭圆截得的弦长等于（）A.23B.3C.3D.6【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.【详解】由题设，不妨设过焦点(1,0)且垂直于x轴的直线:1lx=，

代入椭圆方程得21143y+=，可得32y=，故被椭圆截得的弦长等于3.故选：B3.设复数z满足(1i)1iz+=−（i是虚数单位），则||z=（）A.1B.2C.2D.5【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z，再根据模长公式可得结果

.【详解】由(1i)1iz+=−，得()()()21i1ii1i1i1iz−−===−++−，故||1z=.故选：A．4.已知点P的直角坐标为()1,3−则它的极坐标是（）A.2π2,3B.π2,3−C.4π2,3D.π2,3

【答案】B【解析】【分析】根据点的直角坐标系求出，再由cossinxy==，即可求出，从而得到点P的极坐标.【详解】由于点P的直角坐标为(1,3)−，则221(3)2=+−=，再由1cos3sin=−=

，结合选项可得：π=3−，所以点P的极坐标为π2,3−.故选：B.5.在一次数学竞赛中，某班甲、乙、丙三名同学中的一人获奖.甲说：“我没有获奖”；乙说：“我获奖了”；丙说：“乙没有获奖”.如果三人中恰有二人的说法是错误的，则最终获

奖的是（）A.甲B.乙C.丙D.不确定【答案】A【解析】【分析】先假设说法正确，通过推理分析即可得出结论.【详解】假设甲说法是正确的，则乙、丙二人的说法是错误的，则乙没获奖，所以丙的说法是正确的，两者矛盾，所以甲的说法是错误的；假设乙的说法是正确的，即获奖的是乙，则甲、丙二人的说法是错误的，所

以甲获奖了，与三名同学中的一人获奖矛盾，所以乙的说法是错误的；因为三人中恰有二人的说法是错误的，所以丙的说法是正确的，所以最终获奖的是甲.故选：A.6.用反证法证明命题“设,,Rabc，若2220abc++，则,,abc中至多有．．．两个为0”．要做的假设是（）A.,,abc中至多有一个为0

B.,,abc中至少有一个为0的C.,,abc中至少有两个为0D.,,abc全为0【答案】D【解析】【分析】写出命题结论的否定，即可判断选项.【详解】否定结论“,,abc中至多有．．．两个为0”，即假设“,,abc全为0”.故选：D7.已知函数()fx的导函数为()fx，若(

)()21lnfxxfx+=，则()1f=（）A.1−B.1C.2−D.2【答案】A【解析】【分析】求得()()121fxfx=+，令1x=，即可求解.【详解】由函数()()21lnfxxfx+=，可得()()121fxfx=+，令1x=，可得()()

1211ff=+，解得()11f=−.故选：A.8.在极坐标系中，过点()1,0且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）A.1=B.sin1=C.cos1=D.π2=【答案】C【解析】【分析】设点(,)Pxy是所求直线上的任意一点

，AOP=．利用直角三角形的边角关系可得cosOAOP=，即可得出．【详解】如图所示，设(,)Pxy是所求直线上的任意一点，AOP=，1OA=，则cosOAOP=，cos1=．故选：C．9.元朝著名数学家朱

世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景设计了如图所示的程序框图，若输入2x=，输出33x=，则判断框中可以填（）A.4kB.5kC.6kD.7k【答案】B【解析】【分析】根据框图计算可得33x=时，则6k=，此时跳出循环输出结果．【详解

】根据框图可得：开始循环1循环2循环3循环4循环5x23591733k123456输出33x=，则6k=，此时跳出循环故选：B．10.设函数()fx的导函数为()fx，对任意xR都有()()fxfx成立，则（）A.()()2023ln202

22022ln2023ffB.()()2023ln20222022ln2023ffC.()()2023202220222023ffD.()()2023202220222023ff【答案】A【解析】【分析】由题意构造辅助函数，求导，根据

导数与函数单调性的关系，即可求得答案．【详解】由()()fxfx，则()()0fxfx−，设()()exfxgx=2()ee()()()()0eexxxxfxfxfxfxgx−−==，则()gx在R上单调递减.则(

ln2022)(ln2023)gg，即()()ln2022ln202320222023ff，即()()2023ln20222022ln2023ff.故选：A.11.已知函数()elnxfxax=−在区间()1,2上单调递增，则a的最小值为（）．A.2eB.eC.1e−D.2e−【答案】C【

解析】【分析】根据()1e0xfxax=−在()1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，()1e0xfxax=−在()1,2上恒成立，显然0a，所以1exxa，设()()e,1,2xgxxx=，所以()()1e0xg

xx=+，所以()gx在()1,2上单调递增，()()1egxg=，故1ea，即11eea−=，即a的最小值为1e−．故选：C．12.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右顶

点为A，左､右焦点分别为1F，2F，以12FF为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，且13MFMA=，则该双曲线的离心率为（）A.87B.97C.167D.187【答案】B【解析】【分析】先利用渐近线斜率求得cosMOA，再利用余弦定理求得MAb=，进而求得122

FAb=，从而得到关于,ac的齐次方程，解之即可得解.【详解】设双曲线C的半焦距为c，如图，由题意可得，直线OM的方程为byxa=，有tanbMOAa=，即有sincosbMOAMOAa=，又22sincos1MOAMOA+=，解得22cosaaMOAcab==+，在MOA中，,

OMcOAa==，由余弦定理，得22222cos2aMAOMOAOMOAMOAcacabc=+−=+−=，因此222MAOAOM+=，即有90OAM=，又13MFMA=，则13MFb=，122FAb=，又1FAac=

+，于是22acb+=，所以()228acb+=，即2222288aaccca++=−，则227290caca−−=，两边同时除以2a，得27290ee−−=，即()()1790ee+−=，解得1e=−（舍去）或97e=，所以该双曲线离心率97

e=，故选：B.二、填空题13.已知i为虚数单位，则复数1i−的虚部是______．的的【答案】1−【解析】【分析】根据复数虚部的定义即可求解.【详解】根据复数虚部的定义可知，复数1i−的虚部是1−.故答案为：1−14.

已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计，如下：月份12345广告投入（x万元）9.59.39.18.99.7利润（y万元）9289898793由此所得回归方程为7.5yxa=+，若6月份广告投入10万元，估计所获得利润为___________．【答案】95.25万元【解析】【分析】

先算出样本中心，从而可求a，故可利用回归方程估计所获得利润.【详解】9.59.39.18.99.746.59.355x++++===，92898987934509055y++++===因为回归方程为7.5yxa=+，909.37.5a=+，故20.25a=，当10x

=时，7.51020.2595.25y=+=（万元）故答案为：95.25万元15.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【解析】【分

析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2xmy=，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.的【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2xmy=，将()2,2A−代入2xmy=，得2m=−，所以22xy=

−．设()03,By，代入092y=−，得04.5y=−．所以拱桥到水面的距离为4.5m．故答案为：4.5.16.已知()()()21ln1,2xfmxxgx=+=-，若对120,31,2xx

，，使得()()12fxgx，则实数m的取值范围是________________.【答案】12m【解析】【分析】利用单调性可得到()()min0fxf=，()()max1gxg=，结合题意可得()()minmaxfxgx，即可求解【详解】当0,3x时，21yx=+单

调递增，根据复合函数的单调性可得()()2ln1fxx=+此时也单调递增，所以()()min00fxf==；当1,2x时，()12xmgx=-单调递减，所以()()max112mgxg==-.因为对120,31,2xx，，

使得()()12fxgx，所以()()minmaxfxgx，即102m-，解得12m.故答案为：12m三、解答题17.设()()():300pxaxaa−−，2:11180qxx−+．（1）若1a=，p且()q为真，求

实数x的范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的范围．【答案】（1）()12，（2）2,3【解析】【分析】（1）由1a=，分别化简命题p，q结合逻辑连接词且含义可得答案；（2）由p是q的充分不必要条件，可得由,pq命题对应不等式

解集间关系，即可得答案.【小问1详解】若1a=，则p：13x，∵211180xx−+，∴:q92x∴:2qx或9x.∵p且()q为真，∴1329xxx或，∴12x.∴实数x的范围为()1,2；【小问2详解】由（1），():,3paa，():2,9

q，因p是q的充分不必要条件，则()329,,aa，则239aa，且等号不同时成立，解得23a，即a的范围为2,3．18.已知函数()321fxxxx=−−+．（1）求函数()f

x在区间(2,2−上的最值；（2）过点()1,0P−作曲线()yfx=的切线，求切线方程．【答案】（1）max()3fx=，无最小值（2）0y=或()41yx=+【解析】【分析】（1）利用导数判断单调性，根据

单调性求出最值即可；（2）讨论P是否为切点，根据导数的几何意义可求出切线方程.【小问1详解】()2321fxxx=−−，令()()()12101310,13fxxxxx=−+==−=．当x在区间(2,2−上变化时，()(),fxfx变化如下表：x2−12,3−−13−

1,13−1()1,22()fx+0−0+()fx9−322703由上表知：()max()23fxf==，无最小值，【小问2详解】∵()1,0P−在曲线上，若()1,0P−为切点，则切线的斜率()14kf=−=，∴

切线方程为()41yx=+，若()1,0P−不为切点，设切点为()()000,1Pxyx−，则切线的斜率()2000321kfxxx−=−=，又()()232000000000111111xxyxxxkxxx+−−−+===+++，∴()()2002000113211x

xxxx+−=−−+()222000013211xxxx−=−−=01x=，切点为()01,0p且切线的斜率()10kf==，∴切线方程为0y=.综上述，切线方程为0y=或()41yx=+.19.已知直线l与抛物线C：24xy=交于A，B两点．

（1）若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；（2）若直线l经过点()0,2，求OAOB的值．【答案】（1）6（2）4−【解析】【分析】（1）设11(,)Axy，22(,)Bxy，根据中点坐标公式可得124yy+=，利用抛物线的定义求焦点弦即

可；（2）易知直线l斜率必存在，设为2ykx=+，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解.【小问1详解】设11(,)Axy，22(,)Bxy，线段AB中点设为0(,2)x，则124yy+=，由题意，

抛物线C的焦点为(0,1)，2p=，根据抛物线的定义得121242622ppAByyyyp=+++=++=+=；【小问2详解】当直线l斜率不存在时，:0lx=，与抛物线只有一个交点，不符合题意.所以直线l斜率必存在，设为2ykx=+，与抛物线联立得：242xyykx==+，2

480xkx−−=，得128xx=−，所以121212OAOBxxyyxx=+=+221264841616xx=−+=−.20.某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主

动参加班级工作合计学习积极性高18学习积极性一般19合计50附：参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．a0.100050.0100.0050.0

01ax2.7063.8416.6357.87910.828（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225，请完成上面的22列联表；（2）在（1）的条件下，试运用独立性检验的思想方法分析：在犯错误概率不超过0.1%的情况下判断

学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）有关，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知可求得积极参加班级工作的学生的人数为24，然后即可根据表中数据补充列联表；（2）计算求得20.00110.828x=，根据小概率值0.001的检验规则即可说明.

【小问1详解】由已知可得，积极参加班级工作的学生的人数为12502425=，补充得到表格如下：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650【小问2详解】2250(181967)15011.52525

242613−==，20.00110.828x=，基于小概率值0.001的检验规则可推断，学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系，该推断犯错误的概率不超过0.001．.21.已知函数()

exfxx=.（1）求出函数()fx的单调区间；（2）若()()2gxxfx=，求()gx的最小值.【答案】（1）单调递减区间为()(),0,0,1−，单调递增区间为()1,+（2）1e−【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，求导，再根据导

数的符号即可求得函数的单调区间；（2）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数的最小值.【小问1详解】函数()exfxx=的定义域为()(),00,−+U，()()1exxxfxx−=，令()0fx，则0x或01

x时，令()0fx¢>，则1x时，所以函数()fx的单调递减区间为()(),0,0,1−，单调递增区间为()1,+；【小问2详解】()()2e,(0)xgxxfxxx==，令()e,Rxhxxx=，则()()1exhxx=+，当1x−

时，()0hx，当1x−时，()0hx，所以函数()hx在(),1−−上单调递减，在()1,−+上单调递增，所以()()min11ehxh=−=−，所以()()min11egxg=−=−，22.如图，直线ykxb=+与椭圆2214xy+

=交于A、B两点，记AOB的面积为S.（1）若线段AB的中点为11,2M−，求此时直线AB的方程；（2）当2AB=，1S=时，求直线AB的方程.【答案】（1）220xy-+=（2）2622yx=+或2622yx=−或2622yx=−+或2622yx=−−【解析】【分析】（1）利用点差法

可求得直线AB的斜率，利用点斜式可得出直线AB的方程；（2）将直线AB的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式可得出k、b的方程组，解出这两个参数的值，即可得出直线AB的方程.【小问1详解】

解：设点()11,Axy、()22,Bxy，若直线AB与坐标轴垂直，则线段AB的中点在坐标轴上，不合乎题意，所以，122xx+=−，121yy+=，由221122221414xyxy+=+=，两个等式作差可得()222212120

4xxyy−+−=，即()()()()()()121212121212042xxxxxxyyyyyy+−−++−=−−=，所以，121212yykxx−==−，故直线AB的方程为()11122yx−=+，即22

0xy-+=.【小问2详解】解：设点()11,Axy、()22,Bxy，联立2244ykxbxy=++=可得()222418440kxkbxb+++−=，()()()222222641641116410kbkbkb=−+−=+−，可得

2241bk+，由韦达定理可得122841kbxxk+=−+，21224441bxxk−=+，所以，()()2222212122216181414141bkbABkxxxxkkk−=++−=+−−++()()22224141241kkbk++−==+，①原

点O到直线AB的距离为21bdk=+，由21121bSABdk===+，②联立①②可得2262kb==，因此，直线AB的方程为2622yx=+或2622yx=−或2622yx=−+或2622yx=−−

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