【文档说明】《九年级全册数学举一反三系列(人教版)》专题2.8 锐角三角函数章末达标检测卷（人教版）（解析版）.docx，共(18)页，180.570 KB，由管理员店铺上传

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1第28章锐角三角函数章末达标检测卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2020•文登区模拟）如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【分析】先利用正

弦的定义得到sinA＝0.2，然后利用计算器求锐角∠A．【解答】解：sinA=1050=0.2，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数及计算器的应用，掌握科学计算

器的应用是解决本题的关键．2．（2020•天河区校级模拟）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则sinC＝（）A．√52B．12C．2√55D．√55【分析】解直角三角形即可得到结论．【解答】解：∵BC＝2AB，2∴设AB＝a，BC＝2a，∴AC=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=

√5a，∴sinC=𝐴𝐵𝐴𝐶=𝑎√5𝑎=√55，故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2019秋•昌平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（）A．sinA＝sinBB．cosA＝cosBC．t

anA＝tanBD．sinA＝cosB【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sinA＝cosB．故选：D．【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟记同角（或余角）的三角函数关系式是解题的关键

．4．（2020•泰顺县二模）某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB在水平位置，屋顶坡面长度PQ＝QD＝4.8米，则屋顶水平跨度PD的长为（）米A．245cosαB．485cosαC．245sinαD．485sinα

【分析】直接利用等腰三角形的性质得出PO＝OD，再利用锐角三角函数关系得出PO的长求出答案．【解答】解：由题意可得：AB∥PD，则∠ABC＝∠QPD＝α，可得QO⊥PD，则PO＝DO，cosα=𝑃𝑂𝑃𝑄=

𝑃𝑂4.8，故PO=245cosα，则PD＝2PO=485cosα．3故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PO的长是解题关键．5．（2020•天台县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（

）A．45B．35C．34D．43【分析】直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB的长，再利用勾股定理得出BC的长，进而利用直角三角形边角关系得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，∴AB

＝2CD＝10，∵AC＝8，AB＝10，∴BC=√102−82=6，∴tanA=𝐵𝐶𝐴𝐶=68=34．故选：C．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理直角三角形边角关系，正确掌握边角关系是解题关键．6．（2019春•西湖区校级月考）已知12＜cosα＜s

in80°，则锐角α的取值范围是（）A．30°＜α＜80°B．10°＜α＜80°C．60°＜α＜80°D．10°＜α＜60°【分析】由cos60°=12，sin80°＝cos10°，锐角α的余弦值随着α的变大而减小，可

得出α的范围，从而可得答案．【解答】解：∵cos60°=12，12＜cosα＜sin80°锐角α的余弦值随着α的变大而减小，故α＜60°∵sin80°＝cos10°∴10°＜α＜60°4故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减变化，明确锐

角三角函数的增减变化以及特殊角的三角函数值，是解题的关键．7．（2020•宿迁模拟）如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（）A．12B．√55C．2D．2√55【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出tanA=𝐵𝐷𝐴𝐷，进而得出答案．【解答】解：如图所示：连接

BD，BD=√12+12=√2，AD=√22+22=2√2，AB=√12+32=√10，∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，∴△ADB为直角三角形，∴∠ADB＝90°，则tanA=𝐵𝐷𝐴𝐷=√22√2=12．故选：A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三

角形是解题关键．8．（2020秋•嵊州市期末）下列不等式不成立的是（）A．sin20°＜sin40°＜sin70°B．cos20°＜cos40°＜cos70°C．tan20°＜tan40°＜tan70°D．sin30°＜co

s45°＜tan60°【分析】根据锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大，可得答案．5【解答】解：A、随角的增大而增大，故A不符合题意；B、余弦随角的增大而减小，故B符合题意；C、正切随角的增大而增大，故D不符合题意；D、sin30°＜cos4

5°＜tan60°，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大．9．（2020春•罗湖区校级月考）如图，一块

矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（）A．asinx+bsinxB．acosx+bcosxC．asinx+bcosxD．acosx+bsinx【分析】如图，过点D作DE⊥O

C于点E，则点D到OB的距离等于OE的长．根据矩形性质及解直角三角形可得OC＝BC•cosx＝bcosx，CE＝CD•sinx＝asinx，进而可得点D到OB的距离．【解答】解：如图，过点D作DE⊥OC于点E，则点D到OB的距离等于OE的长．∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∴∠CDE＝∠BCO＝x，∴OC＝BC•cosx＝bcosx，CE＝CD•sinx＝asinx，∴OE＝OC+CE＝bcosx+asinx．6则点D到OB的距离

等于bcosx+asinx．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形．10．（2020•衡水模拟）已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM的长为10√2km，一艘货轮从B

港口沿如图所示的BC方向航行4√7km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）km．A．8√3B．9√3C．6√3D．7√3【分析】根据∠MAB＝45°，BM＝10√2和勾股定理求出AB的长，再根据tan∠BAD=𝐵𝐷�

�𝐷，求出BD的长，即可得出AD以及CD的长，进而得出答案．【解答】解：∵∠MAB＝45°，BM＝10√2，∴AB=√𝐵𝑀2+𝑀𝐴2=√(10√2)2+(10√2)2=20km，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，在Rt△ADB中，∠BAD＝∠MAC﹣∠MAB＝75

°﹣45°＝30°，tan∠BAD=𝐵𝐷𝐴𝐷=√33，∴AD=√3BD，BD2+AD2＝AB2，即BD2+（√3BD）2＝202，∴BD＝10，∴AD＝10√3，在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，BC＝4√7，∴CD＝2√3，∴AC＝AD﹣CD＝10√3

−2√3=8√3km，答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8√3km．故选：A．7【点睛】此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，求出BD的长是解题关键．二．填空题（共6小题）11．（2020•广陵区校级

三模）△ABC中，若（sinA−12）2+|√32−cosB|＝0，则∠C＝120°．【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出sinA=12，cosB=√32，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵（sinA−12）2+|√32−

cosB|＝0，∴sinA−12=0，√32−cosB＝0，∴sinA=12，cosB=√32，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故答案为：120°．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据

是解题关键．12．（2020•晋江市模拟）某斜坡坡角α的正弦值sinα=12，则该斜坡的坡比为1：√3．【分析】根据正弦的定义、勾股定理用x表示出AC，根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解；如图，设BC＝x，在Rt△ABC中，sinA=𝐵𝐶𝐴𝐵=12，则AB＝2x，由勾股定理得，AC

=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=√3x，∴斜坡的坡比=𝐵𝐶𝐴𝐶=𝑥√3𝑥=1：√3，故答案为：1：√3．8【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．

（2019秋•余姚市期末）比较sin80°与tan46°的大小，其中值较大的是tan46°．【分析】由sin80°＜sin90°＝1及tan46°＞tan45°＝1求解可得．【解答】解：∵sinα随α的增大而增大，且sin80°＜si

n90°，∴sin80°＜1，∵tanα随α的增大而增大，且tan46°＞tan45°，∴tan46°＞1，则tan46°＞sin80°，故答案为：tan46°．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握正弦函

数和正切函数的增减性．14．（2019秋•宁阳县期末）如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=√32，AB＝3，则AC的长为√213．【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形A

CD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sinB=13，AB＝3，∴AD＝AB•sinB＝1，在Rt△ACD中，tanC=√32，∴

𝐴𝐷𝐶𝐷=√32，即CD=2√33，根据勾股定理得：AC=√𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=√12+(2√33)2=√213，9故答案为√213．【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题

的关键．15．（2020春•新泰市期中）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来，在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（15﹣5√3）米．【分析】过点B作BH⊥

AE于点H，BF⊥CE于点F，根据题意可得∠BAH＝30°，BH＝5，AH＝5√3，四边形BHEF是矩形，再根据三角函数即可求得标识牌CD的高度．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点

F，根据题意可知：∠BAH＝30°，AB＝AE＝10，∴BH＝5，AH＝5√3，∵CE⊥AE，10∴四边形BHEF是矩形，∴EF＝BH＝5，BF＝HE＝AH+AE＝5√3+10，∵∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝10√3，∴DF＝DE﹣EF＝10√3−5，

∵∠CBF＝45°，∴CF＝BF＝5√3+10，∴CD＝CF﹣DF＝5√3+10﹣（10√3−5）＝15﹣5√3（米）．所以标识牌CD的高度是（15﹣5√3）米．故答案为：（15﹣5√3）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握特殊角三角

函数值．16．（2020•兴文县模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为2．【分析】连接格点MN、DM，可得MN∥EC，由平行线的性质得出∠DNM＝∠CPN，证出∠DMN＝9

0°，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：连接格点MN、DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM=√2AD＝2√2，MN=√2BM=

√2，∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM=𝐷𝑀𝑀𝑁=2√2√2=2，故答案为2．11【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角

三角形的性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．三．解答题（共6小题）17．（2020秋•运城期末）计算：（1）（﹣1）2•cos30°﹣（12）2•tan60°；（2）4sin60°﹣3tan30°+2cos4

5°•sin45°．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：（1）原式=√32−14×√3=√32−√34=√34．（2）原式=4×√32−3×√33+2×√22×

√22=√3+1．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（2020秋•丰泽区校级月考）当0°＜α＜45°时，有√2sin（α+45°）＝sinα+cosα．（1）计算sin75°；（2）如图，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB

＝α，请利用这个图形证明上述结论．【分析】（1）根据题意，将α＝30°，代入题目中的等式，即可计算出sin75°的值；12（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可证明结论成立．【解答】解：（1）∵当0°＜α＜45°时，有√2sin（α+45°）＝sin

α+cosα，∴当α＝30°时，√2sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，∴√2sin75°=12+√32，解得，sin75°=√2+√64；（2）作AD⊥CB交CB的延长线于点D，∵AB＝1，∠ACB＝45

°，∠CAB＝α，∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABD=𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐷1=AD，∴sin（45°+α）＝AD，又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，∴sinC=𝐴𝐷𝐴𝐶，即AD＝AC•sinC＝AC×√

22=√22AC，∴AC=√2AD=√2sin（α+45°），作BE⊥AC于点E，∵∠CAB＝α，AB＝1，∴sinα=𝐵𝐸𝐴𝐵=BE，cosα=𝐴𝐸𝐴𝐵=AE，∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，∴∠C＝∠CBE＝45°，∴BE＝CE，∴AC＝AE+CE＝AE

+BE，∴√2sin（α+45°）＝sinα+cosα．【点睛】本题考查直角三角形、实数的运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．1319．（2019秋•建湖县期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA=13

．（1）求AD的长；（2）求sin∠DBC的值．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝DH，根据正切的定义、勾股定理求出AD；（2）根据勾股定理求出BD，根据正弦的定义计算即可．【解答】解：（1）过点D作

DH⊥AB于点H，∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，∴AH＝DH，设AH＝x，则DH＝x∵tan∠DBA=13，∴BH＝3x，∴AB＝4x，由勾股定理可知：AB=√𝐴𝐶2+𝐵

𝐶2=√82+82=8√2，∴x＝2√2，由勾股定理可得，AD=√𝐴𝐻2+𝐷𝐻2=4；（2）∵AD＝4，∴DC＝AC﹣AD＝4，由勾股定理得，DB=√𝐶𝐷2+𝐵𝐶2=√42+82=4√5，

∴sin∠DBC=𝐶𝐷𝐵𝐷=44√5=√55．14【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．20．（2020•陕西模拟）如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定

性和其他保密性原则，使得边沿AD的长度是边沿BC长度的三倍，且它们所在的直线互相平行，检测员王刚参与了前期零件的基础设计，知道∠ABC＝45°，边沿CD所在直线与边沿BC所在直线相交后所成的锐角为30°（即P在BC的延长线上，∠DCP＝30°），

经测量BC的长度为7米，求零件的边沿CD的长．（结果保留根号）【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，用DN表示CN，MA，再根据矩形的性质，求出DN的长，进而求出答案．【解答】解：如图，过点B作BM⊥AD，交DA的延长线于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的

延长线于点N，∵BC∥AD，∴∠ABC＝∠MAB＝45°，又∵∠MBA＝90°﹣∠ABC＝45°，∴MA＝MB＝DN，又∵AD＝3BC，BC＝7，∴AD＝21，在Rt△CDN中，∠DCN＝30°，∴CD＝2DN，CN=√3DN，由MD＝BN得，DN+21＝7+√3DN，解得，

DN＝7√3+7，∴CD＝2DN＝14√3+14（米）15【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，利用方程求解是解决问题的基本方法．21．（2019•包头二模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA=45，BC

＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求cos∠ABE的值；（2）连接AE，求四边形AEBC的面积．【分析】（1）根据∠ACB＝90°，sinA=45，BC＝8，D是AB中点，求出CD、AC、BD的长，然后根据三角形面积求出BE的长，进而

求得cos∠ABE的值；（2）根据三角形中线分出的两个三角形面积相等求出三角形BAE的面积，进而可以求出四边形AEBC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐵𝐶𝐴𝐵=45∵BC＝8，∴AB＝10，∵D是AB中点，∴𝐶𝐷=12𝐴

𝐵=5；在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，16∴𝐴𝐶=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=6，∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BCD＝S△ADC=12S△ABC即12𝐶𝐷⋅𝐵𝐸=12⋅12𝐴𝐶⋅𝐵𝐶

，∴𝐵𝐸=6×82×5=245在Rt△BDE中，𝑐𝑜𝑠∠𝐷𝐵𝐸=𝐵𝐸𝐵𝐷=2455=2425，答：cos∠ABE的值为2425；（2）如图，连接AE，在Rt△BDE中，∵𝐵𝐸=245，𝐵𝐷=5，∴𝐷𝐸=√𝐵𝐷2−𝐵𝐸2=75，∴𝑆△𝐵𝐷�

�=12𝐵𝐸⋅𝐷𝐸=12×245×75=8425，∵D是AB中点，∴𝑆△𝐵𝐷𝐸𝑆△𝐵𝐴𝐸=𝐵𝐷𝐴𝐵=12，∴𝑆△𝐵𝐴𝐸=2𝑆△𝐵𝐷𝐸=16825，∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐶

⋅𝐵𝐶=12×6×8=24，∴𝑆四边形𝐴𝐸𝐵𝐶=𝑆△𝐵𝐴𝐸+𝑆△𝐴𝐵𝐶=16825+24=76825．答：四边形AEBC的面积为76825．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的

面积、直角三角形斜边上的中线，解决本题的17关键是综合运用以上知识．22．（2020•鼓楼区二模）如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠PAN＝x°，∠PBN＝y°，记＜x，y＞为P的双角坐

标．例如，若△PAB是等边三角形，则点P的双角坐标为＜60，120＞．（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△PAB的面积；（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）（2）在图3中用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，

其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）【分析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，根据锐角三角函数即可求解；（2）如图3，用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．可得x＝30°，y＝6

0°即可．【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，∵tan58°=𝑃𝐶𝐵𝐶，∴BC=𝑃𝐶𝑡𝑎𝑛58°，在Rt△PAC中，∠PAC＝26.6°，∵tan26.6°=𝑃𝐶𝐴𝐶，∴AC=𝑃𝐶𝑡𝑎𝑛26.6

°，∵AB＝AC﹣BC，∴𝑃𝐶𝑡𝑎𝑛26.6°−𝑃𝐶𝑡𝑎𝑛58°=22，解得PC≈16（cm），∴S△PAB=12×22×16＝176cm2；（2）如图3，点P即为所求．18【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质

、尺规作图，解决本题的关键是掌握解直角三角形．