【文档说明】江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学（文）试题 含解析.docx，共(23)页，1.360 MB，由小赞的店铺上传

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樟树中学、丰城九中、宜春一中、万载中学高安二中、宜丰中学、奉新一中、宜春九中2023届高三第二次联考文科数学试卷命题：万载中学命题人：张金荣审题人：杜雅琴考试时间：120分钟分值：150分一、单选题（60分）1.已知

集合3AxNx=，21Bxx=−，则AB=（）A.0,2B.1,0,1−C.0,1,2D.0,1【答案】D【解析】【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合3AxNx=，21Bxx=−，所以AB=0,1，故选

：D2.已知复数z在复平面上对应的点为()2,1-，则（）A.z的虚部为i−B.5z=C.2iz=−−D.2z−是纯虚数【答案】D【解析】【分析】根据题意得2iz=−，根据虚部的概念、模的求法、共轭复数的概念、纯虚数的概念依次判断选项，即可求解.【详解】A：因为复数z在复平面上对应

的点为()2,1-，则2iz=−，所以复数z的虚部为-1，故A错误；B：()22215z=+−=，故B错误；C：2iz=+，故C错误；D：22i2iz−=−−=−，为纯虚数，故D正确．故选：D．3.若非零向量a，b满足3ab=，()23abb+⊥，则a与

b的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C【解析】【分析】由向量垂直转化为向量数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.【详解】因为()23abb+⊥，所以()230abb+=，即2230abb+=，即22cos30ab

b+=，又3ab=，结合已知条件可知1cos,θ0,π2=−，故2π3=.故选：C.4.福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行

第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为（）第1行:2976341328414241第2行:8303982258882410第3行:5556852661668231A.10B.22C.24D.26【答案】C【解

析】【分析】根据随机数表的读取规则读出所取球号码，即可判断.【详解】被选中的红色球号码依次为28，03，22，24，10，26，所以第四个被选中的红色球号码为24.故选：C.5.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后

，就沿与原来的飞行方向AB成12角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（）（sin120.21，sin180.31）的A.10kmB.20kmC30kmD

.40km【答案】B【解析】【分析】由题得150C=，再由正弦定理求出310,210ACkmBCkm==，即得解.【详解】在ABC中，由12,18AB==，得150C=，由正弦定理得500sin150sin12sin18BCAC==，所以50010.210.312BCAC==，所以310,

210ACkmBCkm==，所以20ACBCABkm+−=，故选：B.6.已知函数()1fx−为偶函数，且函数()fx在)1,−+上单调递增，则关于x的不等式()()127xff−−的解集为（）A.(),3−B.()3,+C.

(),2−D.()2,+【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.【详解】因为()1fx−为偶函数，所以()1fx−的图像关于y轴对称，则()fx的图像关于直线=1x−对称．因为()fx在)1,−

+上单调递增，所以()fx在(,1−−上单调递减．因为()()127(5)xfff−−=，所以7125x−−，解得3x．.故选：A.7.若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线.已知直线l：3

40xym−+=为圆C：()()22149xy−++=的2距离可相邻直线，则m的取值范围是（）A.24,14−B.(),2414,−−+C.44,6−D.(),446,−−+【答案】C【解析】【分析】直线l上存在到圆C上一

点的距离为2的点，则圆心C到直线l的距离5d，解不等式即可.【详解】因为圆C的半径为3，直线l上存在到圆C上一点的距离为2的点，所以由题意可得圆心()1,4C−到直线l的距离5d，即()34455m−−+≤，解得44,6m−.故选：C.8.已知函数()()()2sin20πf

xx=+满足()01f=，且()fx在π0,4上单调，则()fx在π0,2上的值域为（）A.1,1−B.2,1−C.1,2−D.3,2−【答案】B【解析】【分析】先通过

()01f=，且()fx在π0,4上单调，确定的值，再通过三角函数值域的求法求解()fx在π0,2上的值域即可.【详解】由()01f=得1sin2=，π6=或5π6，当π6=时()fx在π0,4上不单调，当5π6=时()

fx在π0,4上单调，所以()5π2sin26xxf+=.当π0,2x时，5π5π11π2,666x+，所以5π1sin21,62x+−

，所以()fx在π0,2上的值域为2,1−.故选：B.9.抛物线的光学性质是：从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与抛物线对称轴平行，已知F、()3,2A分别为抛物线()220ypxp=的焦点和内侧一点，抛物线上存在点P使得5PFPA+=，则实数p的取值

范围是（）A.2,3−B.()4,+C.2,43D.2,43【答案】D【解析】【分析】根据抛物线定义可知32pPFPAPMPA+=++，由此可知352p+，结合A在抛物线内侧可求得p的范围.【

详解】由抛物线方程知：,02pF，准线:2plx=−；过P作PMl⊥，垂足为M，由抛物线定义知：PFPM=，PFPAPMPA+=+，则当,,APM三点共线时，PMPA+取得最小值，即图中的AM，32pAM=+，352p+，

解得：4p；又()3,2A在抛物线内侧，2223p，解得：23p，实数p的取值范围为2,43.故选：D.10.在三棱锥ABCD−中，4ABACBDCDBC=====，平面经过AC的中点E，并

且与BC垂直，则截此三棱锥所得的截面面积的最大值为（）A.34B.34C.32D.32【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，通过找线线垂直，利用图中两个等边三角形和AC的中点E即可确定截面，从而求截面的面积，转化成求三角形EFG的面积，再利用三

角形面积公式，即可求出结果．【详解】取BC靠近C的四等分点F，CD的中点G，连接EF，EG，FG．由ABAC=，可知EFBC⊥，同理可知GFBC⊥，又EFFGF=，,EFGF面EFG，所以BC⊥平面EFG，所以平面即为平面EFG，又因为4ABACBDCDBC=====，所

以3EFFG==，所以截此三棱锥所得的截面面积为1si23sin2nEFGEFGSEFFGEFG==，当90EFG=时，EFGS取得最大值，为32，故选：D．11.算盘是中国传统的计算工具．东

汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用.如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的

概率是（）A.29B.25C.12D.23【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：从个位、十位、百位这三组中随机拨动2粒珠，有2，6，20，60，200，600，11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550共18个

，其中能被3整除的有：6，60，600，15，51，105，501，150，510共9个，所以这个数能够被3整除的概率是91182p==，故选：C12.若函数()()21lnfxxax=−+有两个极值点1

x，2x，且12xx，则()2fx的取值范围为（）A.12ln2,04−B.1ln2,04−C.1,02−D.1,04−【答案】A【解析】【分析】求导()222xxafxx−+=，根据函数()()21lnfx

xax=−+有两个极值点1x，2x，由222txxa=−+在()0,+上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据12xx，121xx=+得到2x的范围，再由222220xxa−+=，得到()()()2222222122lnf

xxxxx=−+−+，利用导数法求解.【详解】因为()()21lnfxxax=−+，所以()()22221axxafxxxx−+=−+=，令()222txxxa=−+，因函数()()21lnfxxax=

−+有两个极值点1x，2x，所以函数()tx在()0,+上有两个不等实根，则()00Δ480taa==−，解得102a，因为12xx，且121xx=+，()10ta=，所以2112x，且222220xxa−+=，所以()()()()2222222222

1ln122lnfxxaxxxxx=−+=−+−+，2112x．令函数()()()22122lngxxxxx=−+−+，112x，则()()24ln0gxxx=−在1,12上恒成立，故()gx在1,12

上单调递增，则()12ln2,04gx−，即()2fx的取值范围为12ln2,04−．故选：A【点睛】关键点睛：本题关键是根据题意，由()222txxxa=−+在()0,

+上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据12xx，121xx=+得到2x的范围而得解.二、填空题（20分）13.若,xy满足约束条件1022010xyxyx−++−−，则2zxy=−的最大值为_____

____.【答案】32【解析】【分析】由约束条件可作出可行域，将问题转化为2yxz=−在y轴截距最小问题的求解，采用数形结合可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，为当2zxy=−取得最大值时，2y

xz=−在y轴截距最小，如图所示，将2yx=平移，当其过点A时，2yxz=−在y轴截距最小，由22010xyx+−=−=得：112xy==，即11,2A，max13222z=−=.故答案为：32.14.在三角形ABC

中，π3B=，BAC的平分线AD交BC于D，且32AD，BD==，则cosC=_________．【答案】2616−【解析】【分析】在三角形ABC中，由正弦定理可得sinBAD，利用同角三角函数的基本关系可得cosBAD，

利用二倍角公式可求sincosBACBAC，的值，根据三角形的内角和定理可求cosC的值.【详解】在三角形ABC中，由正弦定理可得:sinsinBDADBADB=,所以36sincos33BADBAD==，，362261sin2cos23

3333BACBAC===2，-1=，2π11322261coscos323236CBAC−=−=−+=.故答案为：2616−.15.已知数列na满足11a=，22a

=，2(1)2nnnaa+−=−+，则数列na的前30项和为_______.【答案】465【解析】【分析】根据递推公式得出奇数项数列和偶数项数列各为等差数列，分组求和即可得出前30项和.【详解】当n为奇数时，21nnaa+−=，

21na−是首项为1，公差为1的等差数列；当n为偶数时，23nnaa+−=，2na是首项为2，公差为3的等差数列；()()3013292430Saaaaaa=+++++++()()115152441546522++=+=故答案：46516.设1F，2F同时为椭圆()22122

:10xyCabab+=与双曲线()222112211:10,0xyCabab−=的左、右焦点，设椭圆1C与双曲线2C在第一象限内交于点M，椭圆1C与双曲线2C的离心率分别为1e，2e，O为坐标原点，若1224FFMF=，则12ee的取值范围是______．【答案】2,23

【解析】【分析】根据椭圆及双曲线的定义求出12,MFMF，再根据1224FFMF=，可得12,ee的关系，再将1e用2e表示结合函数的单调性即可得出答案.【详解】解：设1MFm=，2MFn=，焦距为2c，由椭圆定义可得2mna+=，由双曲线定义可得12mna−=，解得1maa=+，1na

a=−，当1224FFMF=时，可得12nc=，即112aac−=，可得121112ee−=，则2122211122eeee+=+=，所以21222eee=+，由101e，可得111e，可得2112e，即212e，22212222222

2eeeeeee==++，为可设()2234ett+=，则()22222224242tetett−==+−+，令()()44,3,4ftttt=+−，则()()2224410,3,4tf

tttt−=−=，所以函数()ft在()3,4上单调递增，可得()1,13ft，所以122,23ee．故答案为：2,23.三、解答题17.设nS是等比数列na的前n项和，公比1q，且2343

9aaa++=，36a+是2a与4a的等差中项.（1）求nS；（2）是否存在常数，使得数列nS+为等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）31(N)2nnSn−=；（2）存

在，12=.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，列出方程组求出3a，进而求出公比q，再利用等比数列前n项和公式求解作答.（2）由（1）的结论，利用特值法求出，再利用等比数列定义判断作答.【小问1详解】依题意，()

2343243926aaaaaa++=+=+，解得39a=，有2430aa+=，即3130aqq+=，解得：3q=或13，因为1q，因此3q=，3121aaq==，所以1(31)31(N)312nnnSn−−

==−.【小问2详解】由（1）知312nnS−=，假设存在常数，使得数列nS+为等比数列，则()()()2213SSS+=++，即()()()24113+=++，解得：12=，此时

1322nnS+=，1111322311322nnnnSS+++==+，即数列12nS+是等比数列，所以存在12=，使得数列nS+为等比数列.18.一所中学组织学生对某线下某实体店2022年部分月

份的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：月份x24681012净利润y（万元）0.92.04.23.95.25.1lnx=0.71.41.82.12.32.5x=1.42.02.42.83.23.5根据散点图，准备用①ln

yaxb=+或②ycxd=+建立y关于x的回归方程.（1）用线性相关系数说明上面的两种模型哪种适宜作为y关于x的回归方程?（2）由参考数据，根据（1）的判断结果，求y关于x的回归方程（精确到0.1）.附：对于一组数据(),iiuv（1i=，2，3，⋯，n），其回归直线vu=+的

斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniiiniiuuvvuu==−−=−，ˆˆˆvu=−.相关系数()()()()12211niiinniiiiuuvvruuvv===−−=−−.参考数据：7x=，3.55y=，1.8

0=，2.55=，()6212.20ii=−=，()6212.89ii=−=，()()615.55iiiyy=−−=，()()616.32iiiyy=−−=，()()6622115.76iiiiyy==−−=，()()6622116.61iiiiyy==−

−=.【答案】（1）模型①（2）2.5ln1.0yx=−【解析】【分析】(1)计算相关系数比较大小即可确定更适宜的模型；(2)利用最小二乘法相关公式即可求解.【小问1详解】由题意yab=+的线性相关系数的相关系

数()()()()6116622115.550.9635.76iiiiiiiyyryy===−−==−−.ycxd=+的相关系数()()()()6126622116.320.9566.61iiiiiiiyyryy

===−−==−−.所以1210rr，因此模型①拟合效果更好.【小问2详解】根据（1）的判断结果，计算a与b由参考数据()()()616215.552.522.20iiiiiyya==−−==−，2.5a=所以2.52

1.0by=−−.于是y关于x的回归方程①为2.5ln1.0yx=−.19.如图（1），已知边长为2的菱形ABCD中，60DAB=，沿对角线BD将其翻折，使90ABC=，设此时AC的中点为O，如图（2）．（1

）求证：DO⊥平面ABC；（2）求点A到平面BCD的距离．【答案】（1）证明见解析（2）263【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可证得DOAC⊥；根据长度关系，可利用勾股定理证得DOBO⊥，由线面垂直的判定可证得结论；（2）利用等体积转化，即ABCDDABCVV−−=，结合棱锥体积公

式可构造方程求得结果.【小问1详解】连接,BODO，四边形ABCD为菱形，ADCD=，又O为AC中点，DOAC⊥；在菱形ABCD中，60DAB=，2BDAB==，2ABBC==，90ABC=，22AC=，122BOAC==，又222DOADAO=−=，22

2DOBOBD+=，DOBO⊥；ACBOO=，,ACBO平面ABC，DO⊥平面ABC.【小问2详解】由（1）知：DO⊥平面ABC，1122222363DABCABCVSDO−===；设点A到平面BCD的距离为d

，122sin6032BCDS==，1322333ABCDDABCBCDVVSdd−−====，解得：263d=，即点A到平面BCD的距离为263.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点13,2，其右焦点为()3,0F.（1）求椭圆C的标

准方程；（2）椭圆C的右顶点为A，若点,PQ在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为120，求APQ△面积的最大值.【答案】（1）2214xy+=（2）53【解析】【分析】（1）根据椭圆过的点和右焦点，列

方程组求出,,abc，则椭圆方程可求；（2）设()()1122:,,,,PQykxmPxyQxy=+，与椭圆方程联立，消去y，利用韦达定理计算120APAQkk=，可得,km的关系，利用,km的关系表示出APQS，利用二次函

数的性质求出最值.【小问1详解】依题可得222223,311,4,cababc=+==+解得2,1,3,abc===所以椭圆C的方程为2214xy+=；【小问2详解】易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴

，故可设()()1122:,,,,PQykxmPxyQxy=+，由221,4xyykxm+==+可得，()222148440kxmkxm+++−=，所以()222121222844,,Δ164101414mkmxxxxkmkk−−+==

=+−++，即2241km+，而120APAQkk=，即121212220yyxx=−−，化简可得()()()()12122022kxmkxmxx++=−−，()()221212121220202024kxxkmxxmxxxx+++=−+

+，222222224484482020202414141414mmkmmkkkmmkkkk−−−−++=−+++++化简得2260kmkm+−=，所以2mk=−或3mk=，所以直线():2PQykx=−或()3ykx=+，因为直线PQ不经过点A，所以直线PQ经过定点()3,0−.所

以直线PQ的方程为()3ykx=+，易知0k，设定点()1212153,0,22APQABPABQBSSSAByykxx−=−=−=−()21212542kxxxx=+−22225844421414kmmkkk−−=−++()(

)22222216411015521414kmkkkkk+−−==++，因为Δ0，且3mk=，所以2150k−，所以2105k，设29411,5tk=+，所以2225514951745922993APQttStt−+−==−−

+，当且仅当97t=，即2114k=时取等号，即APQ△面积的最大值为53.【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中涉及到三角形面积的求解时，常常有三种求解三角形面积的方法：（1）常规面积公式：12S=底高；（2）正弦面积公式：1sin2Sab

C=；（3）铅锤水平面面积公式：过x轴上的定点：1212Sayy=−（a为x轴上定长）过y轴上的定点1212Saxx=−（a为y轴上定长）21.已知函数()()()22e21ln21xfxaxx=−++．（1）当2a=时，研究函数()fx的单调性；（2）当π0,2x时，()(

)22cos22fxxax−−恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）()fx在定义域内单调递增（2）3a【解析】【分析】（1）求函数()fx的导函数可得()()24eln211xfxx=−+−，根据导

数结构考虑构造函数()e1xFxx=−−，利用导数证明e1xx+，取对数证明()ln1xx+，由此证明()0fx，由此可得函数()fx的单调性；（2）设2tx=，0,πt，由已知可得()()()2e1ln1cos210tatttat−++−+−−恒成立，构造函数()()()

()2e1ln1cos21thtatttat=−++−+−−，讨论a，利用导数求其最小值，可得a的取值范围．【小问1详解】因为2a=，所以()()()22e221ln21xfxxx=−++，所以函数()fx

的定义域为1,2−+，且()()24eln211xfxx=−+−，构造函数()e1xFxx=−−，则()e1xFx=−，令()0Fx=，得0x=，∴当0x时，()0Fx，()Fx在()0,+上单调递增；当0x时，(

)0Fx，()Fx在(),0−上单调递减．∴()()00FxF=，∴e1xx+，∴当1x−时，()ln1xx+，所以当12x−时，2e21xx+，当且仅当0x=时等号成立，所以当12x−时，()2ln21xx+，当且仅当0x=时等号成立，∴()()2eln2112ln

210xxxx−+−−+，当且仅当0x=时等号成立，∴()0fx，当且仅当0x=时等号成立，∴()fx在1,2−+上单调递增．【小问2详解】∵()()22cos22fxxax−−，π0,2x，等价于()()()()22e2

1ln21cos22210xaxxxax−++−+−−，令2tx=，0,πt，构造函数()()()()2e1ln1cos21thtatttat=−++−+−−，∴()00h=，()()2eln1sin2thtatt=−++−，(

)00h=．令()()2eln1sin2xgxaxx=−++−，()2ecos1xagxxx=−++，0,πx，注意到()03ga=−．当3a时，()00g，∴00x，当00,xx时，()0gx，即当00,tx时，()0ht，所以()ht

在00,x上单调递减，所以()00hx，不符合题意．当03a时，令()2ecos1xamxxx=−++，0,πx，()()()222esin2sin011xaamxxxxx=+−+−++，∴()mx单

调递增，则()()030mxma=−，当0a时，则()2ecos2cos011xaamxxxxx=−++−++，()0gx，()gx单调递增，()()00gxg=．∴()0ht，()ht单调递增，()()00hth=，符合题意．综上所述3a．【点睛】方法点睛：

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值

(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l与曲线C的极坐标方程分别为cos2=，4sin=，点P的极坐标为π4,4．（1）求直线1l以

及曲线C的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线2π:02l=与1l，C的公共点分别为A，B，且1683OAOB=+，求POB的面积．【答案】（1）2x=，2240xyy+−=（2）62+【解析】【分析

】（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的转化关系即可；（2）利用极坐标方程的几何意义和三角形的面积公式即可.【小问1详解】因为cos2=，所以2x=，即直线1l的直角坐标方程为2x=．由4sin=，得24sin=，的代入公式cos,sin,xy=

=得224xyy+=，所以曲线C的直角坐标方程为2240xyy+−=．【小问2详解】设点A，B的极坐标分别为()1,，()2,，由题意可得12cos=，24sin=．则128tan1683OAOB===+，可得tan23=+．因为π02，

所以62sin4+=，62cos4−=，πππ1sinsincoscossin4442−=−=，则24sin62==+．因为点P的极坐标为π4,4，故()1π462sin6224POBS=+−=+△23.已知函数()

|2||1|fxxx=++−．（1）求不等式()4fx的解集；（2）函数()fx最小值为321,(0,0,0)kkabcabc++=，求32abc++的最小值．【答案】（1）53,22−（2）12【解析】【分析】（1）对x的值分类讨论开绝对值可得()()()21,13,

(21)21,2xxfxxxx+=−−−−，作出函数()fx的图形，结合图形即可求解；（2）由图可知3k=，进而3213abc++=，根据柯西不等式计算即可求解.【小问1详解】1x时，()2

1fxx=+，当2<<1x−时，()3fx=，当2x−时，()21fxx=−−，()()()21,13,(21)21,2xxfxxxx+=−−−−，由图可知：当()4fx=时，52x=−或32x=，所以()4fx的解集为53,2

2−；【小问2详解】由图可知min()3fxk==，∴3213abc++=，由柯西不等式得2321321(32)3236abcabcabcabc++++++=，∴3212abc++，当且仅当2abc===时取等号，∴32a

bc++的最小值为12.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com