【文档说明】河北省辛集市高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含答案.docx，共(9)页，886.392 KB，由小赞的店铺上传

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1河北辛集市高中2020级高一下学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分．）1．若()12zii+=，则z=（）A．1i−−B．1i−+C．1i−D．1i+2．已知向量()1,2a

=−，(),4bx=−，若ab∥，则x=（）A．2−B．2C．6−D．63．ABC中，若2b=，120A=，2c=，求三角形的面积为（）A．3B．23C．2D．44．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等

腰梯形，则该平面图形的面积等于（）A．12+B．22+C．1222+D．212+5．如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（）A．B．C．D．6．函数()sincosfxxx=−的最大值为（）A．1B．2

C．3D．27．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()coscosaABc+=，则ABC的形状一定为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形28．ABC中，2A

B=，3AC=，60A=，ADBC⊥于D，ADABAC=+，则=（）A．6B．32C．3D．239．已知三棱锥SABC−的四个顶点都在球O的表面上，且SAAC⊥，SAAB⊥，若已知2AB=，4BC=，60ABC

=，6SA=，则球O的体积是（）A．1003B．2003C．52133D．52310．棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是棱11CD和11CB的中点，则经过点B，E，F的平面截正方体所得的封闭图形

的面积为（）A．92B．310C．32D．1011．如图，在平面四边形ABCD中，ABBC⊥，ADCD⊥，120BAD=，1ABAD==，若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为（）A．2116B．32C．2516D．312．点M，N分别是棱长为2的正方体1111ABCD

ABCD−中棱BC，1CC的中点，动点P在正方形11BCCB（包括边界）内运动.若1PA∥面AMN，则1PA的长度范围是（）3A．2,5B．32,52C．32,32D．2,3二、多选题（本题共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）13．已知()2,4A，()4,1B，()9,5C，()7,8D，如下四个结论正确的是（）A．ABAC⊥；B．四边形ABCD为平行四边形；C

．AC与BD夹角的余弦值为729145D．85ABAC+=14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为22RB．圆锥的侧面积为22RC．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆锥的表面积最

小15．对于ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若sin2sin2AB=，则ABC为等腰三角形B．若AB，则sinsinABC．若8a=，10c=，60B=，则符合条件的ABC有两个D．若

222sinsinsinABC+，则ABC是钝角三角形16．如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且ABCD⊥，若平面SAD平面SBCl=，以下四个结论中正确的是（）A．AD∥平面SBC4B．lAD∥C．若E是底

面圆周上的动点，则SAE的最大面积等于SAB的面积D．l与平面SCD所成的角为45三、填空题（本题共4小题，每小题5分．）17．已知ABC是边长为6的正三角形，求ABBC=____________.18．

正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为___________.19．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果3a=，2b=，22c=，那么ABC的最大内角的余弦值为________.20．将边

长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕1OO旋转一周形成圆柱，如图，120AOC=，11160AOB=，其中1B与C在平面11AAOO的同侧，则异面直线1BC与1AA所成角的大小是_________．四、解答题（本题共4个大题，共50分．）

21．（12分）在ABC中，7a=，8b=，1cos7B=−．（1）求A；（2）求AC边上的高．22．（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsin2ACabA+=．（1）求B；（2）若ABC

为锐角三角形，且1c=，求ABC面积的取值范围．23．（12分）如图.在四棱锥PABCD−中，ADBC∥，90BAD=，PA⊥平面ABCD，且1BC=，3APAB==，60ADC=，M、N分别为棱PC，PB的中点.5（1）求证：PB⊥平面ADMN；（2）求直线BD与平面A

DMN所成角的正弦值.24．（14分）如图，四边形ABCD为矩形，且2AD=，1AB=，PA⊥，平面ABCD，1PA=，E为BC的中点.（1）求证：PEDE⊥；（2）求三棱锥CPDE−的体积；（3）探究在PA

上是否存在点G，使得EG∥平面PCD，并说明理由.参考答案1-5．DAABD6-10．BDACA11-12．AB11．连接BD，取AD中点为O，可知ABD为等腰三角形，而ABBC⊥，ADCD⊥，所以BCD为等边三角形，3BD=。设

()01DEtDCt=≤≤()()2223()2AEBEADDEBDDEADBDDEADBDDEBDDEDEt=++=+++=++=()330122tt−+≤≤所以当34t=时，上式取最小值2116，选A.12．取1BC，1BB中点E，F，连接1AE、1AF.则

1AEAM∥，EFMN∥.又因为1AEEFE=.所以平面1AEF∥平面AMN.又因为动点P在正方形11BCCB（包括边界）内运动，所以点P的轨迹为线段EF.6又因为正方体1111ABCDABCD−−的棱长为2，所以115AEAF==，2EF=.所以1AEF为等腰三角形.故当点P在点E或者P

在点F处时，此时1PA最大，最大值为5.当点P为EF中点时，1PA最小，最小值为()22232522−=.故选：B.13．BD14．CD15．BD16．ABD16.解：已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分

别为AB和CD，且ABCD⊥，若平面SAD平面SBCl=，所以ABCD是正方形．所以ADBC∥，BC平面SBC，所以AD∥平面SBC；A正确；l，AD平面SAD，l，BC平面SBC，AD∥平面SBC，所以lAD∥，B正确；若E是底面圆周上的动点，当90AS

B≤时，则SAE的最大面积等于SAB的面积；当90ASB时，SAE的最大面积等于两条母线的夹角为90的截面三角形的面积，所以C不正确；因为lAD∥，l与平面SCD所成的角就是AD与平面所成角，就是45ADB=．所以D正确；故选：ABD．17．18−18．

81419．1820．4520．设点1B在下底面圆周的射影为B，连结1BB，则11BBAA∥，∴1BBC为直线1BC与1AA所成角（或补角），111BBAA==，连结BC，BO，1113AOB=，23AOC=，∴3BOC=，∴BOC

为正三角形，∴1BCBO==，1tan1BBC=，则直线1BC与1AA所成角大小为45.721．解：（1）在ABC中，∵1cos7B=−，∴,2B，∴243sin1cos7BB=−=．由正弦定理得8743sinsinsin7a

bABA==，∴3sin2A=．∵,2B，∴0,2A，∴3A=．（2）ABC中，∵()3114333sinsinsincossincos272714CABABBA=+=+=−+=．如图所示，在ABC中，∵sinhCBC=，∴3333si

n7142hBCC===，∴AC边上的高为332．22．（1）根据题意sinsin2ACabA+=，由正弦定理得sinsinsinsin2ACABA+=，因为0A，故sin0A，消去sinA得sinsin2ACB+

=．0B，02AC+因为故2ACB+=或者2ACB++=，而根据题意ABC++=，故2ACB++=不成立，所以2ACB+=，又因为ABC++=，代入得3B=，所以3B=.（2）因为ABC是锐角三角形，由（1）知

3B=，ABC++=得到23AC+=，故022032CC−，解得62C.8又应用正弦定理sinsinacAC=，1c=，由三角形面积公式有：222sin111sin33sinsinsin222sin4sinABCCaASacBcBcBcCC−

====22sincoscossin3321231333sincos4sin43tan38tan8CCCCC−==−=+.又因62C，3tan3C，故3313388tan82

C+，故3382ABCS.故ABCS的取值范围是33,8223．解：（1）证明因为M，N分别为PC，PB的中点，所以MNBC∥；又因为ADBC∥，所以MNAD∥.从而A，D，M，N四

点共面；因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD.所以PAAD⊥，又因为ADAB⊥，ABPAA=，所以AD⊥平面PAB，从而ADPB⊥，因为APAB=，且N为PB的中点，所以PBAN⊥；又因为ANADA=，所以PB⊥平面ADMN；（2）如图，连结DN；由（1）

知PB⊥平面ADMN，所以，DN为直线BD在平面ADMN内的射影，且DNBN⊥，所以，BDN即为直线BD与平面ADMN所成的角；在直角梯形ABCD内，过C作CHAD⊥于H，则四边形ABCH为矩形；3CHAB==，1AHBC==，在RtCDH中，31tan3CHDHADC===

；所以2ADAHDH=+=，227BDADAB=+=，9在RtBDN中，90BND=，1622BNPB==，7BD=，所以642sin1427BNBDNBD===.24．（1）连结AE，∵E为BC的中点，1ECCD==，∴DCE为等腰直

角三角形，则45DEC=，同理可得45AEB=，∴90AED=，∴DEAE⊥，又PA⊥平面ABCD，且DE平面ABCD，∴PADE⊥，又∵AEPAA=，∴DE⊥平面PAE，又PE平面PAE，∴DEPE⊥.（2）由（1）知DCE为腰长为1的等腰直角三角形，∴111122DCES

==，而PA是三棱锥PDCE−的高，∴111113326CPDEPDCEDCEVVSPA−−====.（3）在PA上存在中点G，使得EG∥平面PCD.理由如下：取PA，PD的中点G，H，连结EG，GH，CH.

∵G，H是PA，PD的中点，∴GHAD∥，且12GHAD=，又因为E为BC的中点，且四边形ABCD为矩形，所以ECAD∥，且12ECAD=，所以ECGH∥，且ECGH=，所以四边形EGHC是平行四边形，所以EGCH

∥，又EG平面PCD，CH平面PCD，所以EG∥平面PCD.