【文档说明】湖北省随州市曾都区第一高级中学2025届高三上学期12月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，995.981 KB，由管理员店铺上传

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湖北随州曾都一中2025届高三上学期12月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合1,2MxyxNxx==−=Z∣∣，则MN=（）A.{

0,1}B.{1,1}−C.{1,0,1}−D.{1,0,1,2}−【答案】C【解析】【分析】将集合M化简，再由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为{1||}{1,0,1}Mxyx==−=−Z∣，所以{1,0,1}MN=−.故选：C.2.记nS为等差数列na的前n项

和，若4524aa+=，648S=，则17S=（）A.510B.408C.62D.16【答案】A【解析】【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前n项和公式求基本量，然后求出9a，再结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质求解即可.【详解】设等差数列

na的公差为d，则45161272461548aaadSad+=+==+=，解得124ad=−=，所以91824830aad=+=−+=，所以()11717917175102aaSa+===.故选：A.3.若，是两个不同的平面，直线m⊥，则

“m∥”是“⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由面面垂直的判定定理得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案.【详解

】m⊥，m∥，由面面垂直的判定定理可知，⊥，充分性成立，m⊥，⊥，则m∥或m，必要性不成立，则“m∥”是“⊥”的充分不必要条件.故选：A4.已知向量a，b满足1a=，3b=，()1,3ab+=，则

ab−=rr（）A.2B.13C.4D.16【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积运算律列式计算即得.【详解】由(1,3)ab+=，得||2ab+=，而222222||||2()2(13)20ababab++−=+=+=，因此24||20ab+−=，所

以||4ab−=.故选：C5.若ππsin1cos44−=++，则sin2=（）A.12−B.12C.22D.22−【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换得到2sincos2−=，两边平方求出1sin22=.

【详解】ππsin1cos44−=++，即ππππsincoscossin1coscossinsin4444−=+−，2sincos2−=，两边平方得221sincos2sincos2+−=，即11sin22−=，解得1sin22=

.故选：B的6.已知aR，函数()()e,0,ln1,0xaxfxxax−=−+−在𝑅上没有零点，则实数a的取值范围（）A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.)1,0+D.()1,0+【答案】D【解析】

【分析】分0x、0x讨论，根据()fx没有零点求出a的范围可得答案.【详解】0x时，0<e1x，若exa=无解，则0a或1a；0x时，()ln10x+，若()ln1xa+=−无解，则0a，则()1,0a+.故选：D．7.若正数,xy

满足20xyxy−−=，则2yx+的最小值是（）A.2B.22C.4D.42【答案】C【解析】【分析】由20xyxy−−=得21xyx=−，代入2yx+后利用基本不等式即可求解.【详解】因为正数,xy满足20xyx

y−−=，所以201xyx=−，则10x−，所以()11111221242111yxxxxxxx+=++=−++−+=−−−，当且仅当111xx−=−，即2x=时，等号成立.故选：C.8.在ABCV中，已知222sinsincossinsin1ACBCA++=+，且满足3

ABACABAC+=，则ABCV的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理和余弦定理得π3B=，再根据向量数量积得1cos,2ABAC=，则得到π3A=，

即可判断三角形形状.【详解】由题意得222sinsinsinsin1cosACCAB+=+−，即222sinsinsinsinsinACCAB+=+，由正弦定理得222acacb+=+，即222acbac+

−=，则2221cos222acbacBacac+−===，因为()0,πB，所以π3B=，又3ABACABAC+=，所以22232ABACABABACACABACABABACAC+==++22cos,ABAC=+故1cos,2AB

AC=，因为(),0,πABAC，所以π3A=．综上可知三角形为等边三角形．故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得

0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X服从二项分布()~20,XBp，且()8EX=，则()4.8DX=C.X和Y是分类变量，若()()()()()22

nadbcabcdacbd−=++++值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大D.若随机变量X服从正态分布()2~2,XN，且()50.2PX=，则()150.6PX−=【答案】BD【解析】,【分析】根据极差和众数的概念即可判断

A；根据二项分布的性质即可判断B；根据独立性检验的思想即可判断C；根据正态曲线的性质即可判断D.【详解】A：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A错误；B：由(20,),()8XBpEX=，得()2

08EXnpp===，解得25p=，所以23()(1)204.855DXnpp=−==，故B正确；C：2值越大，X和Y有关系的可能性就越大，则“X与Y独立”的把握越小，故C错误；D：由2(2,),(5)0.2XNPX=，得(1)(5)0.2PXPX−=

=，所以(15)1(1)(5)0.6PXPXPX−=−−−=，故D正确.故选：BD10.已知数列na的前n项和为nS，满足13a=，且()()*1310nnnanan++−=N，则下列结论中正确的是（）A.nna为等比数列B.nan

为等比数列C.3nnan=D.()1213344nnnS+−=+【答案】BCD【解析】【分析】由题设得{}nan是首项、公比为3的等比数列，即可判断A、B、C；应用错位相减法、等比数列前n项和判断D.【详解】由题设11

3nnaann+=+，且131a=，故{}nan是首项、公比为3的等比数列，所以3nnan=，则3nnan=，故nna不是等比数列，A错，B、C对；由1213233nnSn=+++，则23131323(1)33nnnS

nn+=+++−+，所以112113(13)(12)33233333132nnnnnnnSnn+++−−−−=+++−=−=−，所以1(21)334nnnS+−+=，D对.故选：BCD11.如图，函数π()sin()(0,0,||)2fxAxA

=+的部分图象，则（）A.π()2sin(2)3fxx=+B.将()fx图象向右平移2π3后得到函数2sin2yx=的图象C.()fx在区间7π13π[,]1212上单调递增D.()fx在区间

π[,]3tt+上的最大值与最小值之差的取值范围为[1,23]【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出()fx，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断.【详解】对于A，观察图象，2A=，()fx的最小正周期π2πππ4()312T=−==，解得2=，由π()21

2f=，得ππ22π,Z122kk+=+，而π||2，则π0,3k==，所以π()2sin(2)3fxx=+，A正确；对于B，将()fx图象向右平移2π3后得到函数2π2ππ2sin[2]2sin2()333()fxxx−=−+=−，B错误；对于C，

当7π13π[,]1212x时，3π5π[,]232π2x+，而正弦函数sinyx=在3π5π[,]22上单调递增，因此()fx在区间7π13π[,]1212上单调递增，C正确.对于D，函数()fx的图象对称轴为ππ,Z122kxk=+

，当t与π3t+关于直线ππ,Z122kxk=+对称时，()fx的最大值与最小值的差最小，此时ππ122kt=−+，πππ,Z342tkk+=+，当k为偶数时，π()()13ftft=+=，而ππ()2122kf+=

，当k为奇数时，π()()13ftft=+=−，而ππ()2122kf+=−，最大值与最小值的差为1；当ππ7π[,][π,π]31212ttkk+++或π7π13π[,][π,π](Z)31212ttkkk+++时，函数()fx

在π[,]3tt+上单调，最大值与最小值的差最大，ππππ|()()||2sin(2)2sin[2()]||3sin23cos2|3333ftfttttt−+=+−++=+π23|sin(2)|236t=+，当π12t=或7π12t=时均可取到等号，所以最

大值与最小值之差的取值范围为[1,23]，D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：给定sin0,0()()()fAxxA=＋的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求

.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1z，2z的模长为1，且21111zz+=，则12zz+=________.【答案】1【解析】【分析】设成复数一般形式，再用待定系数方法，结合复数相等得

解.【详解】设()1i,zabab=+R，()2i,zcdcd=+R，因为21111zz+=，所以2122111zzzzzz+=.因为111zz=，221zz=，所以121zz+=，所以()()iii1abcdacbd−+−=+−+=，所以1ac+=，0bd+=，所以(

)()12i1zzacbd+=+++=.故答案为：1.13.已知212nxx−展开式的二项式系数之和为64，则展开式中3x项的系数为______.（用数字作答）【答案】160−【解析】【分析】根据二项式

系数之和可得6n=，结合展开式通项运算求解即可.【详解】由题意可知：264n=，解得6n=，则6212xx−的展开式的通项为()()612316662CC,0,12121,,6rrrrrrrrTxrxx−−

−+−=−==，令1233r−=，解得3r=，的所以展开式中3x项的系数为()3336C21601=−−.故答案为：160−.14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个

球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______

.【答案】512【解析】【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果.【详解】标有数字的4只球排序共有44A24=种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①

标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有33A6=种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有222A4=种情况.故所求概率为6452412+=.故答案为：512.四、解答题：本题共5小题，共77分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cossin0aCaCbc+−−=.（1）求角A；（2）若4a=，ABCV的面积为152，求sinsinBC的值.【答案】（1）π2A=（2）1

5sinsin16BC=【解析】【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解；（2）由面积公式和正弦定理即可求解.【小问1详解】由条件得cossinaCaCbc+=+，从而()cossincoscoscoscosaCaCbcaCcAcaCcAc+=+=++=++.所以

sincosaCcAc=+，由正弦定理得sinsinsincossinACCAC=+，故sincos1AA=+.从而()222211sincossincos2sincos12sincosAAAAAAAA==−=+−=−，得sincos0AA=，故cos0A=.所以π2A=.

【小问2详解】设ABC的面积为S，则22sinsinsin1sin215sinsin?16161616BCAbcbcASBCbcbcbcbcaa=======.16.已知函数()ln=fxaxx，曲线()yfx=在1x=处的切线方程

为1yx=−.（1）求函数()fx的极值；（2）若(0,1x，()()21fxmx−，求实数m的取值范围.【答案】（1）极小值1e−，无极大值（2）12m【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()11f=，即可求出a的值，从而得到函数解析式，再利用

导数求出函数的极值；（2）依题意可得(0,1x，()2ln1xxmx−恒成立，分析可得0m，从而得到1lnxmxx−对(0,1x恒成立，令()(()1ln0,1hxxmxxx=−−，利用导数说

明函数的单调性，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】因()lnfxaxx=，所以()()1+lnfxax=，依题意()11f=，即1a=，所以()lnfxxx=，定义域为(0,+∞)，则()1+lnfxx=，为所以当1ex时𝑓′(𝑥)>0，当10ex

时𝑓′(𝑥)<0，所以()fx在1,e+上单调递增，在10,e上单调递减，所以()fx在1ex=处取得极小值1e−，无极大值；【小问2详解】因为(0,1x，()2ln1xxmx−恒成立，因为当01x时ln0xx，210x−，所以0m，所以1lnxm

xx−对(0,1x恒成立()0m，令()(()1ln0,1hxxmxxx=−−，则当(0,1x时，()0hx恒成立，因为()222111mxxmhxmxxx−+−

=−+=，设()()20gxmxxmm=−+−，当2Δ1400mm=−，即12m时()0gx，所以()0hx，即ℎ(𝑥)在(0,1上单调递减，所以()()10hxh=，符合题意；当2Δ1400mm=

−，即102m，()1120gm=−，()00gm=−，所以()()010gg，由零点存在性定理可知存在()00,1x使得𝑔(𝑥0)=0，又二次函数()()20gxmxxmm=−+−

开口向下，对称轴为11xm=，则当()0,1xx时𝑔(𝑥)>0，即ℎ′(𝑥)>0，所以ℎ(𝑥)在()0,1x上单调递增，即存在()00,1x，使得()()010hxh=，这与当(0,1x

时，()0hx恒成立矛盾，故舍去；综上可得12m．17.如图，三棱锥PABC−中，CPCACB==，平面PAC⊥平面ABC，平面PBC⊥平面ABC.（1）证明：PC⊥平面ABC；（2）若ACB为钝角

，且二面角BPAC−−的大小为45，求cosACB.【答案】（1）证明见解析（2）1cos3ACB=−【解析】【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得OM⊥平面PAC，利用线面垂直的性质可得OMPC⊥、ONPC⊥，结合线面垂直的

判定定理即可证明；（2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得BH⊥平面PAC，得45BQH=，设2PCACBC===，ACB=，则22cos2sin,2BHQH−==，根据BHQH=

建立方程，解之即可求解.法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解.【小问1详解】如图，在平面ABC内取点O，过O作OMAC⊥于M，过O作ONBC⊥于N，平面PA

C⊥平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，OM平面ABC，OM⊥平面PAC，又PC平面PAC，OMPC⊥，同理可证ONPC⊥，又ONOMO=，ONOM、平面ABC，PC⊥平面ABC；【小问2详解】法一：如图，过点B作B

HAC⊥于点H，过H作HQPA⊥于点Q，连接BQ，PC⊥平面ABC，BH平面ABC，PCBH⊥，又ACPCC=，、ACPC平面PAC，BH⊥平面PAC，则BQH为二面角BPAC−−平面角，即45BQH=设2PCACBC===，A

CB=，则sin2sinBHBC==，cos(π)2cosCHCB=−=−，所以22cosAHACCH=+=−，又PCAC=，所以45PAC=，所以22cos22AHQH−==，由BHQH=得22cos2sin2−=

，整理得2sincos1+=，又22sincos1+=，解得1cos3=−或cos1=（舍去），综上1cos3=−.法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设2PCACBC===，ACB=，则()0,0,0C，()2,0,0

A，()2cos,2sin,0B，()002P,,，易知平面PAC的法向量为()0,1,0m=，设面PAB的法向量为(),,nxyz=r，则()()()()()2,0,2,,2202cos2,2sin,0,,2cos22sin0PA

nxyzxzACnxyzxy=−=−==−=−+=，22cos1,,12sinn−=，的则222cos22sincos,222cos22sinmnmnmn−===−+，整理

得222sin4cos4cos0−+=，由22sin1cos=−，得23cos2cos10−−=，解得1cos3=−或cos1=（舍），综上，1cos3=−.18.已知*nN，数列na前n项和为nS，且满足21nnSa=

−；数列nb满足12b=，112nnbb+=−．（1）求数列na的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列1nb−是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式2nnnba成立的n的最大值

．【答案】（1）12nna−=（2）存在，1=（3）4【解析】【分析】（1）根据11nnnSSa++−=作差得到12nnaa+=，结合等比数列的定义计算可得；（2）假设存在实数，使得数列1nb−是等差数列，根据等差数列的定义作差得

到()121221==−−+，即可求出；（3）结合（2）可得nb的通项公式，即可得到2112nn−+，令212nnnc−+=，利用作差法说明单调性，即可求出n的最大值.【小问1详解】因为21nnSa

=−①，1121nnSa++=−②，②-①得1122nnnaaa++=−，∴12nnaa+=，而1121aa=−，∴110a=，∴na成首项为1，公比为2的等比数列，∴12nna−=．【小问2详

解】假设存在实数，使得数列1nb−是等差数列，∴()1111111212nnnnnnnbbbbbbb+−=−=−−−−−−−−−()()()()()2221212121nnnnnnnnnbbbbbbbbb−−−+−+==−−

−−−−为常数，∴()121221==−−+，解得1=，∴存在1=使11nb−成等差数列，且公差为1．【小问3详解】由（2）知()11111nnnb=+−=−，∴11nbn=+

，∴不等式2nnnba，即122112121212nnnnnnn−−−+++，令212nnnc−+=，则1121210222nnnnnnnncc+−−−++−−=−=，∴nc在*nN上单调递减，注意到4514c=，

5618c=，∴5n时，51ncc，∴max4n=．19.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为：()22116xy++=，定点()10F,，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交

于点T.（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知点()2,0A−，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线3x=交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1

）根据题意，结合椭圆的定义可知点T的轨迹为椭圆，然后求得,ac，即可得到标准方程；（2）根据题意，设直线:1PQxmy=+，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到,MN的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明.【小问1详解】由题意：点T在线段BF

的垂直平分线上，则TBTF=，可得42TCTFTCTBCBCF+=+===.由椭圆定义可得，点T的轨迹是以()1,0C−，𝐹(1,0)为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为24a=，焦距为22c=，2413b=−=，所以点T的轨迹W的

方程为22143xy+=【小问2详解】由（1）知𝐴(−2,0)，𝐹(1,0)，设直线:1PQxmy=+，𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，联立221143xmyxy=++=消去x，整理得()2234690mymy++−=，则122634myym+=−+，1229

34yym=−+根据题意可设()3,MMy，()3,NNy，则由11322Myyx=++，可得11115523Myyyxmy==++，同理可得2253Nyymy=+，所以直线FM与直线FN的斜率之积，()()()12122121212002525113131433439NMFMFNyy

yyyykkmymymyymyy−−===−−+++++22222229251125925925349644918273643616393434mmmmmmmmm−−+===−=−−−++−+−+++.所以直

线FM与直线FN的斜率之积为定值2516−.