【文档说明】四川省凉山州2021-2022学年高一下学期期末数学(文)试题 含解析.docx,共(15)页,926.505 KB,由管理员店铺上传
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凉山州2021—2022学年度下期期末检测试卷高一数学(文科)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式301xx−+的解集是()A.()(),13,−−+B.()1,3−C.()(),31
,−−+D.()3,1−【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法法则即可求解.【详解】由301xx−+,得()()310xx−+,解得13x-<<,所以不等式301xx−+的解集为()1,3−.故选:B.2.已知()1,2a=r,
()2,bm=r,若ab⊥,则m=()A.1−B.1C.2−D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程,化简求得m的值.【详解】由于ab⊥,所以1220,1mm+==−.故选:A3.骑行是一种健康自然的运动旅游方式,能充分享受旅行过程之美.一辆单车,一个背包即可出行,简
单又环保.在不断而来的困难当中体验挑战,在旅途的终点体验成功.一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成,它们的齿数成等差数列,其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28,求后齿轮所有齿数之和()A.134B.133C.114D.113【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的前n
项和公式计算.【详解】由题意7个齿轮的齿轮数构成等差数列,首末两项分别为10和28,所以所有齿数之和为77(1028)1332S+==.故选:B.4.在ABC中,π4A=,2a=,22b=,则BÐ为()A.π6B.5π6C.6或5π6D.π2【答案】D
【解析】【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】由正弦定理得222,,sin1sinsinsin22abBABB===,由于0πB,所以π2B=.故选:D5.非零实数a,b满足ab,则下列结论正确的是()A.11abB.2baab+C.22acbcD.e1ab−【答案】D【解析】【
分析】对于选项A、B、C,举反例可判断,对于选项D,根据不等式的性质和指数函数的单调性可判断.【详解】解:对于A,当2,1ab==−,满足:非零实数a,b且ab,而111>12ab=−=,故A不正确;对于B,当2,1ab==−,满足:非零实数a,b且ab,而
152222baab+=−−=−,故B不正确;对于C,当0c=时,22acbc=,故C不正确;对于D,因为非零实数a,b满足ab,所以0ab−,所以e1ab−,故D正确,故选:D.6.设实数x,y满足条件222240xyxyxy+−
−+,则xy−的最小值为()A.23B.23−C.2−D.43【答案】C【解析】【分析】作出可行域,作出目标函数对应的直线,平移该直线可得最优解.【详解】作出可行域,如图ABC内部(含边界),作直线:0lxy−=,在直线
zxy=−中,z−表示直线的纵截距,直线向上平移时,纵截距增大,z减小,由2240xyxy+=−+=得02xy==,即(0,2)C,平移直线l,当它过(0,2)C时,2zxy=−=−为最小值.故选:C.7.已知等比数列na的前3项积为8,426aa−=,
则6a=()A.8B.12C.16D.32【答案】D【解析】【分析】根据已知列方程求出48a=,24q=,进而得解.【详解】由题知312328aaaa==,所以22a=,又因为426aa−=,所以48a=,所以2424aqa==
,所以26432==aqa.故选:D.8.在ABC中,点D在边AB的延长线上,2ABBD=,13CBCAtCD=+,则t=()A.23−B.23C.13D.43【答案】B【解析】【分析】依题意可得32ADAB=,再根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】解:因为点D在边AB的延长线上
且2ABBD=,所以32ADAB=,即()32CDCACBCA−=−,所以1233CBCACD=+,所以23t=.故选:B9.如图所示是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.2332m+B.2332m−C.22332m−D.23+232
m【答案】A【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图,再根据棱锥的表面积公式计算可得.【详解】解:由三视图可得如下直观图:则212SACABCSABSSSm===,2SCSBBCm===,所以()2221133sin6022222SBCSSCmm===,所以几何
体的表面积2332Sm+=.故选:A10.m,n表示直线,,,表示平面,给出下列结论:①若m⊥,n⊥,mn⊥,则⊥,②若⊥,m⊥,n⊥,则mn⊥,③若m=,n,nm⊥,则n⊥,④若⊥,m=,n=,则nm⊥,其中正确的结论个数为()A.0B.1
C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据线面关系和面面关系的性质判断即可.【详解】对①,若m⊥,n⊥,mn⊥,则⊥,故①正确;对②,若⊥,m⊥,n⊥,则mn⊥,故②正确;对③,若m=,n,nm⊥,如正方体中,平
面ABCD平面11ABCDBC=,ABÌ平面ABCD,ABBC⊥,但AB与平面11ABCD不垂直,故③错误;对④,若⊥,m=,n=,如正方体中,平面ABCD⊥平面11ADDA,平面ABCD平面11ABCDBC=,平面11ADDA平面1111
ABCDAD=,但11//BCAD,故④错误.所以正确的结论个数为2个.故选:C.11.已知P,A,B,C是球O面上的四个点,PA⊥面ABC,BCPAa==,0ABAC=,则该球体的体积为()A333aB.323aC.324aD.3233a【答案】B【解析】【分析】依题意可得ABAC⊥
,即可得到BAC外接圆的直径即为BCa=,设三棱锥PABC−外接球的半径为R,再由PA⊥平面ABC,即可得到()2222RBCPA=+,从而求出外接球的半径R,最后根据球的体积公式计算可得.【详解】解:因为0ABAC=,所以ABAC⊥,即90BAC=,所以BAC外接圆的直径即为BCa=,又P
A⊥平面ABC,设三棱锥PABC−外接球的半径为R,则()2222RBCPA=+,即()2222Ra=,所以22Ra=,.所以外接球的体积33344223323aVRa===.故选:B12.已知M是ABC内的一点,且
2ABAC=,4BAC=,12MBCABCSS=△△,则11MABMACSS+△△的最小值是()A.8B.4C.2D.1【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积公式及三角形面积公式可得ABC的面积,结合已知可得12MABMACSS+=,再
根据基本不等式即可求解.【详解】∵2ABAC=,4BAC=,∴cos222ABACABACBACABAC===,∴1sin4512ABCSABAC==,因为ABCMBCMABMACSSSS=++,12MBCABCSS=△△,所以1122MABMACABCSSS+==,
所以()22221122442MACMACMABMABMABMACMABMACMABMACMABMACSSSSSSSSSSSS++=+++,448=+=,当且仅当22MACMABMABMACSS
SS=,即14MACMABSS==时取等.故选:A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13已知()1,2a=−,()2,bm=,若ab∥,则m=______.【答案】4−【解析】【分析】由向量平行的坐标公式求解即
可.【详解】ab,.122−=m,解得4m=−故答案为:4−.14.若1x,则111xx+−−的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】运用基本不等式可得答案.【详解】因为1x,所以10x−
,因为111(1)211+−=−+−−xxxx,当且仅当111xx−=−时,即2x=等号成立,所以11xx+−的最小值为2.故答案为:2.15.正项等比数列na中11a=,34a=,则数列na的前n项和nS=______.【答案】21##12nn−−+【解析】分析】先求出通项公式
,然后直接利用求和公式求解即可.【详解】设正项等比数列na的公比为(0)qq,依题意231aaq=,即24q=,解得2q=,于是1112nnnaaq−−==,故根据求和公式,1(1)1221112nnnnaqSq
−−===−−−.故答案为:21n−16.已知ABC中,点D在边AC上,2CDBDAD==,则BCBA的取值范围为______.【答案】()0,4【解析】【分析】设ADa=,ADB=,则由余弦定理表示出,BABC,可得29441cosBABC=−
++,利用三角函数的性质可求出.【【详解】设ADa=,0a,则2CDBDa==,设ADB=,则CDB=−,在ABD△中,由余弦定理得22(2)22cos54cosBAaaaaa=+−
=−,在CBD中,由余弦定理得()()()2222222cos221cosBCaaaaa=+−−=+,所以54cos254cos2(4cos4)941cos41cos221cosBAaBCa−−−−+===+++29441cos=−++,因为(0,)
,cos(1,1)−,所以1cos(0,2)+,则914,1cos2−+++,所以1,4BABC+,则(0,4)BCBA.故答案为:(0,4).三、解答题(共6小题,共70
分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知向量a,b是单位向量,()21aab−=.(1)求a与b的夹角;(2)求ab−.【答案】(1)2(2)2ab−=【解析】【分析】(1)根据数量积的运算求夹角(2)平方法计算得解.【详解】解:(1)由()·21aab−=得:221
aab−=,因为a是单位向量,所以0ab=,故:a与b的夹角为2(或90).(2)由22222abaabb−=−+=,得:2ab−=18.已知函数()223fxaxax=−−.(1)当1a=时
,解不等式()0fx;(2)若()0fx恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)32x或1x−(2)240a−【解析】【分析】1.根据一元二次不等式进行求解.2.根据函数不等式恒成立对参数进行分类讨论,即可求解.【小问1详解】解:当1a=
时,()223fxxx=−−,()0fx即2230xx−−,()()2310xx−+,所以:32x或1x−【小问2详解】①当0a=时,()30fx=−恒成立,②当0a时,()2230fxa
xax=−−恒成立,2240aa=+,即240a−,综上所述:a的取值范围为:240a−.19.已知等差数列na满足11a=,732aa=.(1)求数列na的通项公式;(2)求数列12nna+的前n项和nT.【答案】(1)12
nna+=,Nn(2)12nnTn+=【解析】【分析】(1)由等差数列的基本量法求得d后可得通项公式;(2)用错位相减法求和.【小问1详解】设na的公差为d,则:()1111622aadad=+=+,解得:12d=,所以na的通项公式为12nna+=,Nn;【小问2详解】
由(1)知12nna+=,nZ得:()1212nnnan+=+,所以()1231223242212nnnTnn−=++++++①,()23412223242212nnnTnn+=++++++②,由①-②得:()23414222212nnnTn+−=+++
+−+12nn+=−,所以12nnTn+=.20.已知直三棱柱ABCABC−中,AACC为正方形,P,O分别为AC,BC中点.(1)证明:PO∥平面ABBA;(2)若ABC是边长为2正三角形,求四面体BAOC−的体积.【答案】(1)证明见解析(2)33【解析】【分析】(1
)利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解;(2)利用BAOCCAOBVVⅱ--=可得答案.【小问1详解】连接AC,AB,则AC交AC于点P,因为,PO分别为AC,BC的中点,所以在ABC中,PO
AB∥,因为PO平面ABBA,AB平面ABBA,的所以PO∥平面ABBA.【小问2详解】连接、、AOBCOC,2==ABCC,113sin60222==ABOSABAC,所以四面体的体积为1133
23323ABOBAOCCAOBVVSCCVⅱ--¢==创=创=.21.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,满足条件2222abc+−=,1tan2C=.(1)求ABC的面积ABCS;(2)若2c=,求sin
sinAB的值.【答案】(1)14(2)540【解析】【分析】(1)由余弦定理结合题目条件可求出2cos2abC=,再由三角函数的商数关系和平方关系可求出5sin5C=,即可求出三角形的面积.(2)由正弦定理结合(1)可求出sinsinAB,即可求出答案.【小问1详解】由
2222abc+−=,结合余弦定理得:2cos2abC=,由tan2C=,知5sin5C=,25cos5C=,所以52ab=,所以11sin24SabC==.【小问2详解】由正弦定理sinsinsinabcABC==得:220sinsinsinabcABC==.所以5si
nsin40AB=.22.已知数列na前n项和nS,满足22nnSan=+.(1)证明2na−是等比数列;(2)数列()()2211log2log2nnnbaa+=−−,2n,求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析(2)1132nTn=
−+【解析】【分析】(1)由22nnSan=+得()1222nnaa−−=−,2n.从而得到2na−是等比数列.(2)将1242nna−−=−代入nb并化简得1112nbnn=−++,裂项相消即可.【小问1详解】由22nnSan=+得:11222nn
San−−=+−,2n,所以1222nnnaaa−=−+,即()1222nnaa−−=−,2n,当1n=时,12a=−,则124a−=−,所以2na−是以4−为首项,公比为2等比数列.【小问2详解】由(1)知1242nn
a−−=−,则()2log21nan−=+,故()()()()2211111log2log21212nnnbaannnn+===−−−++++,2n.所以111111341232nTnnn=−++
−=−+++.的