【文档说明】2023年高考数学必刷压轴题（新高考版）专题02 函数概念与基本初等函数（选填压轴题） Word版含解析.docx，共(61)页，3.857 MB，由小赞的店铺上传

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专题02函数概念与基本初等函数（选填压轴题）一、函数及其表示①抽象函数定义域②复合函数定义域③根式型、分式型求值域④抽象函数的值域⑤复合函数的值域⑥根据值域求参数二、函数的基本性质①单调性（复合函数的单调性）②函数的值域（复合函数的值域）③恒成立（能成立

）问题④奇偶性⑤周期性⑥对称性⑦函数奇偶性+单调性+对称性联袂三、分段函数①分段函数求值域或最值②根据分段函数的单调性求参数四、函数的图象①特殊值②奇偶性③单调性④零点⑤极限联袂五、二次函数①二次函数的单调性②二次函数的

值域（最值）六、指对幂函数①单调性②值域③图象④复合型七、函数与方程①函数的零点（方程的根）的个数②已知函数的零点（方程的根）的个数，求参数③分段函数的零点（根）的问题④二分法八、新定义题①高斯函数②狄利克雷函数③劳威尔不动点④黎曼函数⑤纳皮

尔对数表⑥同族函数⑦康托尔三分集⑧太极图一、函数及其表示1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数(2)xyf=的定义域是1,1−，则函数3(log)fx的定义域是（）A．1,1−B．1,33C．1,3D．[3,9]【答案】D由1,1x−，得1,

222x，所以31log,22x，所以3,9x．故选：D.2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数()fxx=，()2gxaxx=−，其中0a，若11,3x，

21,3x，使得()()()()1212fxfxgxgx=成立，则=a（）A．32B．43C．23D．12【答案】B∵()fxx=，[1,3]x，∴()0fx，又()()()()1212fxfxgxgx=，∴()0gx，∴由()()()()1212fxfxgxgx=得，1212

()()()()fxgxgxfx=，设()()g()fxhxx=11ax=−，()()()gxmxfx=1ax=−，则11,3x，21,3x，12()()hxmx=，∴()hx的值域是()

mx值域的子集．∵0a，[1,3]x时，()[1,31]mxaa−−，显然0[1,31]aa−−，（否则0属于()hx的值域，但()0hx）．∴11()[,]311hxaa−−，∴11311311aaa

a−−−−(*)．由上讨论知1,31aa−−同号，1a时，(*)式可化为(1)(31)1(1)(31)1aaaa−−−−，∴(1)(31)1aa−−=，43a=，当103a时，(*)式可化为(1)(31)1(1)(31)1aaaa−−

−−，∴(1)(31)1aa−−=，无解．综上：43a=．故选：B．3．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()fx的定义域为0,2，则函数()()lggxfx=的定义域为______．【答案】1，100()fx的定义域为02，lg0，2x

1，100x即()(lg)gxfx=的定义域为1，100故答案为：1，1004．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22211xxyfxx+−=+−的定义域是)1,+

，则函数()yfx=的定义域是_______．【答案】(1,2令()()222111xxgxxxx+−=+−，则()()222111111111xxxxgxxxxxxxx+−+==+=++−+−−

+，1yxx=−在)1,+上单调递增，10xx−，10111xx−+，()12gx，()fx的定义域为(1,2.故答案为：(1,2.5．（2022·全国·高三专题练习）设2()lg2xfxx+=−，则2()()2xffx+的定义域为_______.【答案】(

4,1)(1,4)−−由202xx+−得22x−，故222x−且222x−，22442−−xx,2221−−xx或1x解得：(4,1)(1,4)−−x.故答案为：(4,1)(1,4)−−6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数()212fxxx

=−+−的值域为______．【答案】632,22由己知得，()212fxxx=−+−，1,22x，构造函数141(),,2222hxxxx=−−−+，则()hx在1,22上单调递

增，即可得3()3,2hx−因为229()()2fxhx+=，所以22939()(),222fxhx=−，所以632(),22fx故答案为：632,227

．（2022·上海·高三专题练习）函数24331xxyx−+−+=+的值域为_____.【答案】[34，9178+]∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0⇒1≤x≤3.令x﹣2=cosθ且θ∈[0，π]∴24331xxyx−+−+=+=sin3cos3

++，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，()22cossin10,π+=，故点()cos,sin在单位圆的上半部分.如图，斜率最小为303314−−=−−，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率

，()()sin3sin1cos3cos−−=−−−，化简得1sincos3+=−，由221sincos3sincos11cos00sin1+=−+=−，解得171171sin,cos66−−−==，故切线的斜率为()()1

713sin36cos317136−+−−=−−−−+9178+=.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为3917,48+.故答案为：3917,48+8．（2022·上海·模拟预测）若函数()yfx=的值域是1[,3]2，则函数1

()(21)(21)Fxfxfx=+++的值域是________.【答案】10[2,]3因函数()yfx=的值域是1[,3]2，从而得函数(21)tfx=+值域为1[,3]2，函数()Fx变为1ytt=+，1[,3]2t，由对勾函数的性

质知1ytt=+在1[,1]2上递减，在[1,3]上递增，1t=时，min2y=，而12t=时，52y=，3t=时，103y=，即max103y=，所以原函数值域是10[2,]3.故答案为：10[2,]39．（2022·全国·高一）函数2

24yxx=−−+的值域是________________．【答案】0,2．224(2)44xxx−+=−−+，且240xx−+，2044xx−+，2042xx−+，2240xx−−−+，20242xx−−+，故函数224yxx=−−

+的值域是0,2．故答案为：0,210．（2021·全国·高一专题练习）已知函数22yxx=+在闭区间[,]ab上的值域为[1,3]−，则ab的最大值为________.【答案】3画出函数()22fxxx=+的图像可知,要使其在闭区间[,]ab上的值域为[1,3]−,由于有

且仅有()11f−=−,所以1[,]1abab−−,而()()313ff−==,所以有[,]3,1ab−,3a=−或1b=,又∵0a,ab的最大值为正值时,0b,∴1,3ba=−,所以3abb=−,当b取最小值时,,a

b有最大值.又∵1b−,∴ab的最大值为()()313−−=；故答案为：3.二、函数的基本性质1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数()()2ln122xxfxx−=−++，则使不等式()()12fxfx+成立的x的取值范围

是A．()(),11,−−+UB．()2,1−−C．()1,1,3−−+D．()(),21,−−+【答案】D已知函数()()2ln122xxfxx−=−++,令210x−,解得1x−或1x,所以函数()fx的定义域为(,1)(1,)−−+,则其定义域关于原

点对称,又()()()()22ln()122ln122xxxxfxxxfx−−−=−−++=−++=,所以函数()fx为偶函数,当1x时,()()2ln122xxfxx−=−++,又()2ln1yx=−及22xxy−=+在1x时都是增函数,所以

()fx在1x时也是增函数,故解不等式()()12fxfx+,即121121xxxx++,解得113021122xxxxxx−−−或或或即2x−或1x,综上不等式()

()12fxfx+成立的x的取值范围为()(),21,−−+.故选:D2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()fx的定义域是()0+，，且满足()()()fxyfxfy=+，112f=，如果对于0xy，都有()()fxfy，不等式()()32fxf

x−+−−的解集为（）A．)(1034−，，B．112−−，C．)43−−，D．)10−，【答案】D由于()()()fxyfxfy=+，令1xy==则()()121ff=，即10f=

（），则()()11122022ffff==+=，由于112f=，则()21f=−，即有()()4222ff==−，由于对于0xy，都有()()fxfy，则()fx在()0+，上

递减，不等式()()32fxfx−+−−即为()()34fxxf−−．则原不等式即为()03034xxxx−−−−，即有0314xxx−，即有10x−，即解集为)10−，．故选：D．3．（20

22·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()22ln1fxxxx=−+−，若实数a满足()()121fafa−−，则实数a的取值范围是（）A．40,3B．(),0−C．41,3

D．()40,11,3【答案】D∵函数()22ln1fxxxx=−+−，定义域为()(),11,x−+，又()()()()222222ln212ln1fxxxxxxxfx−=−−−+−−=−+−=，所以函数()22ln1fxxxx=−+−关于1x=对称，当()

1,x+时，22,ln1yxxyx=−=−单调递增，故函数()22ln1fxxxx=−+−单调递增，∴函数()22ln1fxxxx=−+−在()1,+上单调递增，在(),1−上单调递减，由()()12

1fafa−−可得，1121111211aaaa−−−−−−，解得403a，且1a.故选：D.4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()fx的定义域为R，当[2x，4]时，224,23()2,34xxxfxxx

x−+=+剟„，()1gxax=+，若对1[2x，4]，2[2x−，1]，使得21()()gxfx…，则正实数a的取值范围为（）A．(0，2]B．(0，7]2C．[2，)+D．7[2，)+【答案】D解：对1[2x，4]，2

[2x−，1]，使得21()()gxfx…，21()()maxmaxgxfx…，①当[2x，3]时，22()4((2)4fxxxx=−+=−−+，()4maxfx=，②当(3x，4]时，222()xfxxxx+==+，22()10fxx=−，()fx在(3，

4]上单调递增，()maxfxf=（4）92=，由①②得9()2maxfx=，又0a，()1gxax=+在[2x−，1]上为增函数，()1maxgxa=+，912a+…，72a…，a的取值范围为7[2，)+．故选：D．5．（2022·全国·高三专题练习）

已知函数2()21xxmfx+=+（01x），函数()(1)gxmx=−（12x）.若任意的10,1x，存在21,2x，使得()()12fxgx=，则实数m的取值范围为（）A．51,

3B．2,3C．52,2D．55,32【答案】D对任意的10,1x，存在21,2x，使得()()12fxgx=，即()fx在0,1上的值域是()gx在1,2上的值域的子集，22111()121

2121xxxxxmmmfx+++−−===++++，当1m时，10m−，()fx在0,1上单调递增，()fx的值域为12,23mm++，又()(1)gxmx=−在1,2上单调递减，()

gx的值域为：22,1mm−−，12,22,123mmmm++−−，1222213mmmm+−+−，方程无解当1m>时，10m−，()fx在0,1上单调递减，()fx的值域为21,32mm++(

)gx的值域为：1,22mm−−，21,1,2232mmmm++−−1222213mmmm+−+−，解得5532m当1m=时，()1,()0fxgx==，显然不满足题意.综上，实数m的取值范围为55,32故选：D.6

．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R上的函数()fx满足()()22fxfx+=，且当2,4x时，()224,232,34xxxfxxxx−+=+，()1gxax=+，若任给12,0x=−，存在22,1x−，使得()()21gxfx=，则实数a

的取值可以为（）A．12−B．14−C．18−D．18【答案】ABD当2,4x时，()224,232,34xxxfxxxx−+=+可知()fx在2,3上单调递减，在(3,4上单调递增，所以()fx在

2,3上的值域为3,4，在(3,4上的值域为119,32，所以()fx在2,4上的值域为93,2，因为()()22fxfx+=，所以()()144fxfx=+，所以()fx在2,0−上的

值域为39,48，当0a时，()gx为增函数，()1gxax=+在2,1−上的值域为21,1aa−++，所以3214918aa−++，解得：18a；当0a时，()gx为减函数，()1

gxax=+在2,1−上的值域为1,21aa+−+，所以3149218aa+−+，解得：14a−≤；当0a=时，()gx为常数函数，值域为1，不符合题意；综上：a的取值范围是11,,48−−+.则ABD满足题意.故选：ABD7．（2022

·河北·高三阶段练习）函数()212xaxbfx−+=的最大值为2，且在1,2−上单调递增，则a的范围是______，4ba+的最小值为______.【答案】)1,+2注意到12ty=是减函数，∴2yxaxb=−+在1,2−

上单调递减，而2yxaxb=−+的递减区间是,2a−，∴122a，1a.∵()212xaxbfx−+=的最大值为2，∴22224aayxaxbxb=−+=−+−的最小值为1−

，即214ab−=−，24414abaa+=+−，令()2414ahaa=+−，()32802ahaa−==，2a=，∴()ha在2a=处取得最小值2.故答案为：)1,+，28．（2022·全国·模拟预测）已知函数()fx的定义域(

)(),00,D=−+，对任意的1x，2xD，都有()()()12123fxxfxfx=+−，若()fx在()0,+上单调递减，且对任意的)9,t+，()9fmtt−−恒成立，则m的取值范围是______．【答案】()()1,00,1−解法一

：令()999gttttt=−−=+−，易知()gt在)9,+上单调递减，所以()()93gtg=，所以()3fm．在()()()12123fxxfxfx=+−中，令121xx==，得()13f=，令121xx==−，得()13f−=，令1xx=，21x

=−，得()()fxfx−=，又()fx的定义域()(),00,D=−+，所以()fx是偶函数．因为()fx在()0,+上单调递减，且()13f=，所以由()3fm，得()()1fmf，得01m，解得10m−或01m，故m的取值范围是()()1,00,1−．解法二

：令()999gttttt=−−=+−，易知()gt在)9,+上单调递减，所以()()93gtg=，所以()3fm．根据()fx的定义域()(),00,D=−+，对任意的1x，2xD，都有()()()12123fxxfxfx=+−

，且()fx在()0,+上单调递减，可设()0.5log3fxx=+，则由()3fm，得0.5log0m，得01m，解得10m−或01m，故答案为：()()1,00,1−．9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数()()20.5lo

g23fxxx=−−，则()fx的单调递增区间为_________．【答案】(),1−−记()223uxxx=−−，因为0.5logyu=为减函数，所以当()yfx=单调递增时，()yux=单调递减，由()

2230uxxx=−−得3x或–1x，又当1x−时，()yux=单调递减.故–1x．故答案为：()–,1−.10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数2231()2−−=axxy在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围

是_________．【答案】11,2−由函数22312axxy−−=在区间1,2−（）上单调递增，得函数223yaxx=−−在区间1,2−（）上单调递减，当0a=时，23yx=−−在区间1

,2−（）上单调递减，符合题意．当0a时，由223yaxx=−−在区间1,2−（）上单调递减，得11a−，解得：-10a．当0a时，由223yaxx=−−在区间1,2−（）上单调递减，得12a，解得：102

a．综上所述，a的取值范围是11,2a−．11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数2()43fxxx=−+，()52gxmxm=+−，若对任意的11,4x，总存在21,4x，使12()()fxgx=成立，则实数m的取值范围是___

_____.【答案】(,3][6,)−−+因为()22()4321fxxxx=−+=−−，所以函数()fx的对称轴为2x=，对任意的11,4x，记()1,3fx−.记1,3A=−.由题意知，当0m=时不成立，当0m时，()52gxmxm=+−在1,

4上是增函数，所以()5,25gxmm−+，记5,25Bmm=−+由题意知，BAÊ所以mm−−+15253，解得6m.当0m时，()52gxmxm=+−在1,4上是减函数，所以()25,5gxmm+−，记25,5Cmm=+−，由题意知，CA所以251

{53mm+−−，解得3m−.综上所述，实数m的取值范围是(,3][6,)−−+.故答案为:(,3][6,)−−+12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数0a，函数()yfx=、()ygx=

的表达式分别为()21xfxax=+、()3agxx=−．若对任意1,xaa−，总存在2,xaa−，使得()()21fxgx，则a的最大值为______．【答案】342依题意，函数()3agxx=−在,aa−上单调递增，则当xa=时，max2()()3gxgaa==，因对任

意1,xaa−，总存在2,xaa−，使得()()21fxgx，则存在,xaa−，2()3fxa成立，则当,xaa−时，max2()3fxa成立，而函数()21xfxax=+是奇函数，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，

因此，()fx在,aa−上的最大值只能在(0,]a上取得而当0x时，1()1fxaxx=+，()fx在1(0,]a上单调递增，在1[,)a+上单调递减，当1aa，即01a时，()fx在(0,]a上单调递增，max3()()1afxfaa=

=+，由3213aaa+解得3102a，于是得3102a，当1aa，即1a时，()fx在1(0,]a上单调递增，在1[,]aa上单调递减，max111()()22fxfaa==，而2233a，此时不存在(0,]xa使得max2()3fxa成

立，综上得3102a，即3402a，所以a的最大值为342.故答案为：34213．（2022·全国·高三专题练习）设函数()123fxaxbx=−−，若对任意的正实数a和实数b，总存在01,4x，使得()0fxm，则实数

m的取值范围是______.【答案】3,8−由题意得：()maxfxm在1,4x恒成立，设()max()fxMa=，令1()23uxaxbx=−−，因为21'()20uxax=−−在1,4x恒成立，所以(

)ux在1,4单调递减，所以183()1234abuxab−−−−，（1）当155(83)(123)04243aababb−−+−−==−，3()38Maa=+；（2）当155(83)(123)04243aababb−−+−−−，3()12338Maaba=−−

+；（3）当155(83)(123)04243aababb−−+−−−，13()83348Maaba=+−+；所以当0a时，3()8Ma，所以38m.故答案为3,8−.14

．（2022·上海·高三专题练习）已知t为常数，函数22yxxt=−−在区间[0，3]上的最大值为2，则t=_____________【答案】1显然函数22yxxt=−−的最大值只能在1x=或3x=时取到，若在1x=时取到，则|12|2t−−=，得1

t=或3t=−1t=，31x=或时，max2y=；3t=−，3x=时，6y=（舍去）；若在3x=时取到，则|96|2t−−=，得1t=或5t=1t=，31x=或时，max2y=；5t=，1x=时，6y=（舍去）所以1t=15．（

2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数2()(1)ln1fxaxax=+++（1a−）如果对任意12,(0,)xx+，1212()()4|fxfxxx−−，则a的取值范围为_____________.【答案】(,2]−−∵函数2()(1)l

n1fxaxax=+++(1a−),∴函数f(x)的定义域为()0,+，1()20afxaxx+=+，∴函数()fx在()0,+上单调递减，又对任意12,(0,)xx+，1212()()4

|fxfxxx−−，不妨假设120xx，则12()()fxfx，所以1212()()4fxfxxx−−等价于2112()()44fxfxxx−−，即12124)(4()ffxxxx++，令()()4gxfxx=+，则

函数()()4gxfxx=+单调递减，又1()2agxaxx+=++4＝2241axxax+++，于是()gx≤0在()0,+上恒成立，即22410axxa+++，又1a−，10xa=−，∴()21Δ44210aaa−=−+，解得2a−.所以a的取值范围为(,2]−

−.故答案为：(,2]−−.16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知()()()e1ln21xafxxa−=−+−，若()0fx对()12,xa−+恒成立，则实数=a___________.【答案】23当0211xa+−，即

1222axa−−时，()ln210xa+−，又()0fx，故e10xa−−，则xa恒成立，所以22aa−，解得23a；当211xa+−，即22xa−时，()ln210xa+−，故e10xa−−，即xa≥恒成立，∴22aa−，解得23a；综上，实数=

a23.故答案为：23.17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()fxx=，()21gxax=−，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有1212()()()()f

xfxgxgx−−＜，则实数a的取值范围是___________.【答案】[0，1]##|01aa对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有1212()()()()fxfxgxgx−−＜，即1122()()()()fxgxfxgx−−＜，令2()()()21Fx

fxgxxax=−=−−，即12()()FxFx＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x=时，()1Fx=，函数图象恒过()1,1；当1x＞时，2()22Fxxaxa=−+；当1x＜时，2()22Fxxaxa

=+−；要使()Fx在区间[0，2]上单调递增，则当2x1＜时，2()22Fxxaxa=−+的对称轴1xa=，即1a；当1x0＜时，2()22Fxxaxa=+−的对称轴0xa=−，即0a；且12121212aaaa+−−+,综上01a故答案为：[0，1].18．（20

22·上海·高三专题练习）已知函数()800xxfxxxax−=−，若对任意的)12,x+，都存在22,1x−−，使得()()12fxfxa，则实数a的取值范围为___________.【答案】(4]7,−1222,),21[,,()0xxxf+−−

，2128()||xxaax−−，即对任意的)12,x+，都存在22,1x−−，使122||8axaxx−−恒成立，有1min22min87aaxaxx−=−，当0a时，显然不等式

恒成立；当02a时，27aa−，解得704a；当2a时，1||0,)[xa−+，此时不成立.综上，74a.故答案为：7]4−（，19．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()fxxax

b=++，对于任意的实数a，b，总存在0[0,4]x，使得()fxt成立，则实数t的取值范围是________.【答案】2t因为存在0[0,4]x，使得()fxt成立，所以max()tfx，因为对于任意的实数a，b，max()tfx,所以mi

n][()maxtfx恒成立，设()fx的最大值为M（b），令2()uxxaxb=++，二次函数的对称轴为2ax=−，当2a−0，即a>0时，()ux单调递增，此时()16+4+buxab剟，当28ba−−时，M

（b）16+4+ab=，当28ba−−时，M（b）b=−，从而当0a时，28ba=−−时M（b）取最小值，M（b）2+8>8mina=，当40a-<?时，()ux在[0，)2a−上单调递减，在[2a−，4]上单调递减，2()1644abuxab−+++，所以当212

88baa=−−时，2min1()2888Mbaa=−++.当84a−−时，()ux在[0，)2a−上单调递减，在[2a−，4]上单调递减，2()4abuxb−+，所以当218ba=时，2min1()28Mba=.当a＜-8时，()ux单调递减，16+4a+()bu

xb，当28ba−−时，M（b）164ab=−−−，当28ba−−时，M（b）b=，从而当a＜-8时，28ba=−−时M（b）取最小值，M（b）28>8mina=−−.综合得min()2Mb=.所以2t.故答案为：2t

三、分段函数1．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0xxfxxx=−，若∀x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（）A．（－1，＋∞）B．1,4−+C．（0，＋∞）D．1,12−

【答案】B0m时，()()()22220fxmmfxxmmx++=++，符合题意；0m时，()()20fxmmfx++，即()()()2fxmmfxfmx+−=−显然()fx在R上递增，则2x

mmx+−对1x恒成立()120mxm−−+对1x恒成立则：10104120mmmm−−−−−+；综上，1,4m−+，故选：B．2．（2022·河南·二模（理））已知函数1,01()ln,1xxfx

xx−=，若()()fafb=，且ab¹，则()()bfaafb+的最大值为（）A．0B．(3ln2)ln2−C．1D．e【答案】D作出函数()fx的图像如下图：因为()()fafb=，且ab¹，结合图像，不妨设01,1ab，设()()tfaf

b==，则01t，且()1faat=−=，即1at=−，()lnfbbt==，即etb=，所以2()()e(1)ettbfaafbtttttt+=+−=−+，设2()e(01)thttttt=−+

，则()ee21tthttt=+−+，因为01t，所以e1,e0,022tttt，所以e120tt+−，所以()ee210tthttt=+−+，所以()ht在(0,1单调递增，()(1)ehth=，即()ht的最大

值为e，所以()()bfaafb+的最大值为e.故选：D.3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知()242,01,0xxmxfxxxx+−+=+的最小值为2，则m的取值范围为（）A．(,3−B．(,5−C．

)3,+D．)5,+【答案】D当0x时，11()22fxxxxx=+=，又因为()242,01,0xxmxfxxxx+−+=+的最小值为2，，所以需要当0x时，()2fx恒成立，所以2422xxm+−+在(,0x−恒成立，所以242

2+xxm+−+在(,0x−恒成立，即()2+4222xxm−+在(,0x−恒成立，令2xt=，则01t，原式转化为2+42mtt−+在(0,1t恒成立，2()2+4gttt=−+是二次函数，开口向下，对称轴为直线2t=，所以在(

0,1t上()gt最大值为(1)5g=，所以5m，故选：D.4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,xxafxxxxa−=−无最小值，则a的取值范围是（）A．(,1]−−B．(,1)−−C．[1,

)+D．(1,)+【答案】D对于函数33yxx=−，可得()()233311yxxx=−=+−，由0y，得1x−或1x，由0y，得11x−，∴函数33yxx=−在(),1−−上单调递增，在()1,1−上单调递减，在()1,+上单调递

增，∴函数33yxx=−在1x=−时有极大值2，在1x=时有极小值2−，作出函数33yxx=−与直线2yx=−的图象，由图可知，当1a时，函数()fx有最小值()12f=-，当1a时，函数()fx没有最小值.故选：D.5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数()()222,

1e,1xxaxaxfxaRaxx−+=−，若关于x的不等式()0fx恒成立，则实数a的取值范围为（）A．0,1B．0,2C．1,eD．0,e【答案】D当1x时，由2220xaxa−+恒成立，二

次函数的对称轴为xa=，（1）当1a时，()fx在(,1]−上单调递减，则min()(1)10fxf==恒成立，（2）当1a时，min()()(2)0fxfaaa==−，所以01a综上可知，当0a

时，2220xaxa−+在(,1]−上恒成立；当1x时，e0xax−恒成立，即exax在(1,)+上恒成立，令e()=xgxx，则2e(1)()−=xxgxx，当1x时，()0gx，函数单增，又(1)eg=，所以ea；综上可知，a的

取值范围是0,e，故选：D6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()22,,14,,xxafxxxxxa=+−+则当5a=时，函数()fx有______个零点；记函数()fx的最大值为()ga，则()ga的值域为__

____.【答案】11,42当5a=时，()22,514,5xxfxxxxx=+−+,当5x时，()201xfxx==+，得0x=；当5x≥时，()240fxxx=−+=无解，所以5a=时，函数

()fx有1个零点；由题意得函数21xyx=+是定义域为R的奇函数，且当0x时，211111212xxxxxx==++，当且仅当1x=时，函数21xyx=+取得最大值12，函数224(2)44yxxx=−+=−−+，当2x=时，函数

24yxx=−+取得最大值4，由函数图象知函数()fx的最大值()1[,4]2ga，所以()ga的值域是1[,4]2.7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()2ln,021,0xxfxkxxx=+−，给出下列命题：（1）无论k取何值，()fx恒有两个零点；（2）存

在实数k，使得()fx的值域是R；（3）存在实数k使得()fx的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当1k=时，若()fx的图象与直线1yax=−有且只有三个公共点，则实数a的取值范围是()0,2.其中，所有正确命题的序号是___________.【答案】（3）（4）（1）显

然ln0x=则1x=,若()fx恒有两个零点，则22(1),0kxfxxx+−=有且只有一个零点，当0k=时，1(0)2,xxfx−=无零点，不符合题意，∴（1）不成立；（2）显然ln0x，若()fx的值域是R，则22(1),0

kxfxxx+−=的值域包含()0−，，则0k,但0k时，2(1)2kxfxx+=−的对称轴10xk=->，即()fx在(),0−内递增，()(0)1fxf=−，∴（2）不成立；（3）()fx的图像上关于原点对称的点有两对，则可得：221lnkxxx−++=有两解，当k＝１时

，221yxx=−++的对称轴1x=，开口向下，221yxx=−++与lnyx=有两个交点，∴（3）成立；（4）如图，直线1yax=−过定点()0,1−,数学结合可知：0a,又∵()02f=,则2a,综上所诉：02a，∴（4）成立．故答案为：（3）（4）．8．

（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数1,0()lg,0xxfxxx+=，()gx²222xx=−+−，若关于x的方程(())fgx=（R）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.【答案】203解：令()gxt=，则方程转化为()ft

=，画出()yfx=的图象，如图可知()ft=可能有1,2,3个不同解，二次函数()gxt=可能有0,1,2个不同解，因为(())fgx=恰好有6个不同的实数根，所以()gxt=有2个不同的实数根，()ft=有3个不同的实数根，则01，因为|1|

0,tt+=，解得121,1tt=−+=−−，()lg0tt=，解得310t=，所以22221xx−+−=−+，22221xx−+−=−−，222210xx−+−=每个方程有且仅有两个不相等的实数解，所以由22221xx

−+−=−+，可得2210xx−+−=，即144(1)0=−−，解得02；由22221xx−+−=−−，可得22310xx−+−=，即244(31)0=−−，解得203；由222210xx−+−

=，可得2222100xx−+−−=，即()34422100=−−−，而10320+−在20,3上恒成立，综上，实数λ的取值范围为203.故答案为：203.9．（202

2·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知(),01e,1xxxfxx=，若存在210xx，使得()()21efxfx=，则()12xfx的取值范围为___________.【答案】21(0,)[e,)e+①当1201xx<<<时，则11()fxx

=，22()fxx=，又由()()21efxfx=，得21e(0,1)xx=，所以11(0,)ex，则()2121211e(0,)exfxxxx==；②当1201xx时，因为()()11ee0,efxx=，22()eexfx=，所以不存在1201xx

，使得()()21efxfx=；③当121xx时，则11()exfx=，22()exfx=，又由()()21efxfx=，得2111eeeexxx+==，则211xx=+，()11121exxfxx+=

，令1()exgxx+=，则()gx在[1,)+上单调递增，所以2()(1)egxg=，则()212exfx；综上所述，()12xfx的取值范围为21(0,)[e,)e+.故答案为：21(0,)[e,)e+.四

、函数的图象1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2sin62()41xxxfx+=−，则()fx的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D化简原函数()()2sin62cos6cos62()414212xxxxxxxxxfx−

+==−−=−则函数为奇函数，排除选项A，当0,xy+→→+，排除选项B，当,0xy→+→选项C错误.故选：D.2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数()fx的图像如图，则该函数的解析式可能是（）A．lnxexB．lnxxeC．lnxxe+D．

lnxex−【答案】A解：由图象得：当(),xfx→+→+，当(),0xfx→−→，图象有两个零点，对于A：()()()()ln>0lnln,0xxxexxfxexexx==−，，满足图象要求，故A正确；对于B：当(),0lnxxfx

xe→+=→，当()l,nxxxefx→−=→+，故B不正确；对于C：当()ln,xxfxex→−+=→+，不合题意，故C不正确；对于D：当x→−时，()fx→−，不满足题意，故D不正确，故选：A.3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()()2coslg1xfx

xx=++，则其图像可能是（）A．B．C．D．【答案】A()fx的定义域为0x,22222cos()coscos()()1lg(1)lg(1)lg()1+xxxfxfxxxxxxxxx−−===−=−+−+−+−+所以()fx为奇函数，则CD、排除若0x,且0x

→，则2cos1,lg(1)0,()xxxfx→++→→+若0x,且0x→，则2cos1,lg(1),()xxxfx→++→−→−cos1(1)=0lg(21)f+，cos1(1)=0lg(21)f−−，0211−，lg(21)0−.故选：A

4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,Raxbfxabcxc+=+的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】ABD当0,0ab=时，22()()()axaxfxfxxcxc−−==−=−−++；当0,0ac时，()fx

定义域为R且为奇函数，在(0,)+上()0fx，在(0,)c上递增，在(,)c+上递减，A可能；当0,0ac时，()fx定义域为{|}xxc−且为奇函数，在(0,)c−上()0fx且递增，在(,)c−+上()0fx且递增，B可能；当0,0,0abc=

时，22()()()bbfxfxxcxc−===−++且定义域为{|}xxc−，此时()fx为偶函数，若0b时，在(,)cc−−−上()0fx(注意(0)0f)，在(,),(,)cc−−−−+上()0fx，则C不

可能；若0b时，在(,)cc−−−上()0fx，在(,),(,)cc−−−−+上()0fx，则D可能；故选：ABD5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()xfxxa=+的大致图象可

能是（）A．B．C．D．【答案】AC因为2||()xfxxa=+为定义域上的偶函数，图象关于y轴对称，所以D不可能.由于()fx为定义域上的偶函数，只需考虑,()0x+的情况即可.①当0a=时，函数2||11()||xfxxxx===，所

以A可能；②当0a时，2()xfxxa=+，()222()axfxxa−=+，所以()fx在[0,)a单调递增，在(,)a+单调递减，所以C可能；③当0a时，2()xfxxa=+，()222()0axfxxa−=

+，所以()fx在[0,)a−单调递减，在(,)a−+单调递减，所以B不可能；故选:AC.6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xfxxa=−的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】ABC若a＝0，则f(x)＝1x，图像为C；若a＞0，则f(

x)定义域为{x|x≠±a}，f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，x∈(－∞，－a)时，f(x)＜0，x∈(－a，0)时，f(x)＞0，x∈(0，a)，f(x)＜0，x∈(a，＋∞)时，f(x)＞0，又x≠0时，f(x)＝1axx−，函数y＝x－ax在

(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f(x)在(－∞，－a)，(－a，0)，(0，a)，(a，＋∞)均单调递减，综上f(x)图像如A选项所示；若a＜0，则f(x)定义域为R，f(x)为奇函数，f(0)

＝0，当x＞0时，f(x)＞0，当x＜0时，f(x)＜0，当x≠0时，f(x)＝1axx−+，函数y＝x＋ax−时双勾函数，x∈()()0,,,0aa−−−时，y均单调递减，x∈()(),,,aa−+−−−时，y均单调递增，∴f(x)

在()()0,,,0aa−−−单调递增，在()(),,,aa−+−−−单调递减，结合以上性质，可知B图像符合.故选：ABC.五、二次函数1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数()2fxaxbxc=++（其中0ac）存在零点，且经过点()1,3和()1,3−

．记M为三个数a，b，c的最大值，则M的最小值为（）A．32B．43C．54D．65【答案】A二次函数()2fxaxbxc=++（其中0ac）经过点()1,3和()1,3−()()1313fabcfabc=++=−=−+=，两式相减得：0,0bb==()

2fxaxc=+，3,3acca+==−()23fxaxa=+−，又()fx存在零点230axa+−=有解，又0a，23axa−=有解，30aa−解得：3a或0amax,,max,3,0Mabcaa=

=−当3aa−时，3,2aMa=当3aa−时，3,32aMa=−3,233,2aaMaa=−当32a时，Ma=，min32M=当32a时，3Ma=−，min32Mmin3

2M=故选：A.2．（2022·浙江·高三专题练习）设IM表示函数()242fxxx=−+在闭区间I上的最大值．若正实数．．．a满足0,,22aaaMM，则正实数a的取值范围是（）A．123,2−B．23,1−C．2,23+D

．23,4+【答案】A函数()fx的图像如下：()fx的对称轴为x=2，()22f=，()()042ff==；分类讨论如下：①当4a时，()()0,,,22MafaMaafa==，依题意，()(

)2fafa，而函数在22x+时是增函数，2aa，()()2fafa，故不可能；②当4a时，0,2Ma=，依题意，2,2Maa，即,21Maa，令()1fx=，解得：123x=−

，21x=，323x=+，43x=，如图；则有：23a−并且21a，解得：1232a−；或者3a并且223a+，无解；故选：A.3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数()()212fxxmxx=++R，且()yfx=在0,2x上的最大值为12，若函数(

)()2gxfxax=−有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．1,02−B．()0,1C．1,14−D．51,4【答案】B数()212fxxmx=++在0,2上单调递增，所以()212fxxmx=++的最小值为12，不合题意，则0m

，要使函数()212fxxmx=++在0,2x上的最大值为12．如果22m−，即4m−，则()912222fm=+，解得522m−−，不合题意；若22m−，即40m−，则2912,2211,242mm+

−解得52,22,mm−−−即2m=−，则()2122fxxx=−+．如图所示，若()()2gxfxax=−有4个零点，则函数()yfx=与2yax=有4个交点，只有函数2yax=的图象开口向上，即0a．当2yax=与(2yx=−122x−+）有一个交点

时，方程221202axxx+−+=有一个根，0=得1a=，此时函数()()2gxfxax=−有二个不同的零点，要使函数()gx=()2fxax−有四个不同的零点，2yax=与2122yxx=−−+

有两个交点，则抛物线2yax=的图象开口要比2yx=的图象开口大，可得1a，所以01a，即实数a的取值范围为()0,1．故选：B4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()fxx=，()21gxax=−，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0

，2]，且x1＜x2，都有1212()()()()fxfxgxgx−−＜，则实数a的取值范围是___________.【答案】[0，1]##|01aa对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有1212()()()()fxfxgxgx−−＜，即1122()()(

)()fxgxfxgx−−＜，令2()()()21Fxfxgxxax=−=−−，即12()()FxFx＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x=时，()1Fx=，函数图象恒过()1,1；当1x＞时，2()22Fxxaxa=−+；当1x＜时，2()22Fxxaxa=+−；要使()F

x在区间[0，2]上单调递增，则当2x1＜时，2()22Fxxaxa=−+的对称轴1xa=，即1a；当1x0＜时，2()22Fxxaxa=+−的对称轴0xa=−，即0a；且12121212aaaa+−−+,综上01a故答案为：[0，1].5．（2022·浙江·高三

专题练习）对于函数()()yfxygx==，，若存在0x，使()()00fxgx=−，则称()()()()0000MxfxNxgx−−，，，是函数()fx与()gx图象的一对“雷点”．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x

时，恒有()()1fxfx+=，且当10x−时，()fxx=．若()()()2120gxxax=++−，函数()fx与()gx的图象恰好存在一对“雷点”，则实数a的取值范围为____________________．【答案】11014−

，，()gx与()()21gxxa−=−+的图象关于y轴对称，所以题目等价于函数()()yfxygx==−，在()02，上有且仅有一个交点．利用()fx的奇偶性与周期性，可得()))01112xxf

xxx=−，，，，，在同一坐标系中作出()()yfxygx==−，的图象．()gx−的图象为()21yx=−进行上下平移，如图，由图知，()gx−过点(1,1)时，1a=；()gx−与())()11,2fxxx=−只有一个交点时，方程())211,1,2xaxx−+=−

有一个解，此时解得14a=;()gx−过点(1,0)时，0a=；()gx−过点(0,0)时，1a=−.结合图象得，当()fx与()gx的图像恰好存在一对“雷点”时，a的取值范围为得11014−

，，.故答案为：11014−，，.6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数21()43fxaxax=++的定义域为(,)−+，则实数a的取值范围是___________.【答案】30,4因为函数21()43f

xaxax=++的定义域为R，所以2430axax++的解为R，即函数243yaxax=++的图象与x轴没有交点，（1）当0a=时，函数3y=与x轴没有交点，故0a=成立；（2）当0a时，要使函数243yaxax=++的图象与x轴没有交点，则

()24120aa=−，解得304a.综上：实数a的取值范围是30,4.故答案为：30,47．（2022·湖北·一模）若函数()fx的定义域为R，对任意的12,xx，当12xxD−时，都有()()12fxfxD−，则称函数f（x）是

关于D关联的.已知函数()fx是关于{4}关联的，且当)4,0x−时，()26fxxx=+.则：①当)0,4x时，函数()fx的值域为___________；②不等式()03fx的解集为___________.【答案】[5,4)−(51,221)(6,7)++依

题意已知函数()fx是关于{4}关联，即对任意的12,xx，当124xx−=时，都有()()124fxfx−=，即对任意的12,xx，当124xx=+时，都有()()124fxfx=+，()()2244fxfx+=+

即对任意Rx，都有()()44fxfx+=+.当40x−时，()()2660fxxxxx=+=+，所以当4x−时，()()440fxfx=+−，当04x时，440x−−，()()()()()()22244444644

2415fxfxfxxxxxx=−+=−+=−+−+=−−=−−，()()04,15ff=−=−，()24154−−=，所以()fx在区间)0,4上的值域为)5,4−.①得结论.当48x时，044x−，()()()()

()224444415451fxfxfxxx=−+=−+=−−−+=−−，当812x时，448x−，()()()()()2244444514933fxfxfxxx=−+=−+=−−−+=−+，当12x≥时

，()()()44443fxfxfx=−+=−+.由上述分析可知，满足()03fx的x的取值范围需满足04x，或48x，当04x时，()20153x−−，20243xx−−，22

24024304xxxxx−−−−，解得51221x++.当48x时，()220513,010243xxx−−−+，22102401024348xxxxx−+−+，解得67x.所以不等式()03fx的解集为(51

,221)(6,7)++.②得结论.故答案为：[5,4)−；(51,221)(6,7)++六、指对幂函数1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,abc满足422,33,log4ababc

c−+=+=+=，则实数,,abc之间的大小关系为（）A．bacB．abcC．acdD．bca【答案】A22aa−+=，即220aa−+−=，即22aa−=−，2xy−=与2yx=−的图象在()

0,+只有一个交点，则220xx−+−=在()0,+只有一个根a，令()22xfxx−=+−，()21222204f−=+−=，()11112202f−=+−=−，()()120ff，则12a；33bb+=，即330bb+−=，即33bb=−，由3xy=与3yx=−的图象

在()0,+只有一个交点，则330xx+−=在()0,+只有一个根b，令()33xgxx=+−，()113310g=+−=，121153330222g=+−=−，()1102gg，故112b；4log4cc+=，即4

log4cc=−，即4log40cc+−=，由4logyx=与4yx=−的图象在()0,+只有一个交点，则4log40xx+−=在()0,+只有一个根c，令()4log4hxxx=+−，()444log4410h=+−=，()4433log3

4log310h=+−=−，()()340hh，则34c；bac故选：A.2．（2022·山东·模拟预测）若282log323log+=+abab，则（）A．12babB．2+babC．23babD．1

132bab【答案】B由题设：2822log323log32log+=+=+abbabb且,0ab，所以2log322=−baab，由于,0ab，所以题中四个选项都除以b，得四个选项化为A.112abB.211+abbC.23abD.1132ab故从ab入手：当01a

b时，20,log0aabb，所以3220,322−baba，则223,log31−−abab，所以ab，与ab矛盾；所以选项A､D错误；当1ab=时，2,log0==aabb，所以3220,322−==baba，则22

3,log31−=−=abab，显然与ab=矛盾；所以1ab时，20,log0aabb，所以23220,23,log32−−−baabab，即2+bab，故选项B符合要求；此时令5,4ab==，则选项C错误.

故选：B.3．（2022·广东·模拟预测）已知()222022logfxxx=+，且()60.20.2log11,lg,4102022afbfcf−===，则,,ab

c之间的大小关系是__________.（用“”连接）【答案】cab解：函数()fx的定义域为()(),00,−+U，因为()()222022logfxxxfx−=+=，所以函数()fx为偶函数，因为函数2

22022,logyxyx==在()0,+上递增，所以函数()222022logfxxx=+在()0,+上递增，则()()0.20.21110,lglg2022102022affbff−====，因为0.2log60，所以60.2log

104，()0.20.2511033lg2022=，所以60.20log.210lg20224，所以()()()60.2log0.2410lg2022fff，即cab.故答案为：cab

.4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于x的不等式()14log321xx+对任意的)0,x+恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】3[,)4−+关于

x的不等式()14log321xx+对任意的)0,x+恒成立，则3214xx+对任意的)0,x+恒成立，即1()4223xx−对任意的)0,x+恒成立，令213()()42

xxgx=−，)0,x+，由于421xy=是递减函数，3()2xy=−递减，故213()()42xxgx=−，)0,x+是递减函数，故3()(0)4gxg=−，故34−，故答案为：3[,)4−+5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数()

21949192120212049xfxxxx=−−+，1949,2022，对,2049m，()()ff都成立，则m的取值范围（用区间表示）是_______【答案】(1949,2049二次函数21921202

1yxx=−在区间2021+21921，上递增，反比例函数1949yx=−在()0+，上增函数，指数函数2049xy=在R上递增，综上函数()fx在)1949,+上递增，又原问题等价于：()()()()minmin1949,2022,2049fxxfxxm

，所以()()()min1949,2049ffxxm，因为函数()fx在)1949,+上递增，所以1949x，故1949m，所以19492049m．所以，m的取值范围是(1949,2049．故答案为：(1949,20496．（2022·江西宜春·模拟预测（文）

）若1,22x，不等式2122log0xxxax−+恒成立，则实数a的取值范围为___________.【答案】(),5−−因为1,22x，不等式2122log0xxxax−+恒成立，所以12log2axx−对1,22x

恒成立.记()12log2fxxx=−，1,22x，只需()minafx.因为12logyx=在1,22x上单调递减，2yx=−在1,22x上单调递减，所以()12log2fxxx=−在1,22x上单调递减，所以()()min2

5fxf==−，所以5a−.故答案为：(),5−−7．（2022·天津·二模）已知()42log41logxyxy+=+，则2xy+的最小值为__________.【答案】322+解：因为()42log41logxyxy+=+，所以()()444log41loglog4xyxyxy+=+=

，所以44xyxy+=，故1114xy+=，且0,0xy，所以()11323232222424242yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=+，当且仅当24yxxy=，即2221,24xy++

==时，取等号，所以2xy+的最小值为322+.故答案为：322+.8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数124xxya=++在(,1x−时恒大于0，则实数a的取值范围是______.【答案】3,4−+因为函数12

4xxya=++在(,1x−时恒大于0，所以124xxa+−在(,1x−时恒成立.令()124xxfx+=−，则()221412111142222xxxxxfx+=−=−−=−++.因为(,1x−，所以11,22x

+.令21111,(),,2242xtgttt==−+++.因为()gt在1,2+上为减函数，所以21111()()()222443gtg=−++=−，即3(),4gt−−

因为()agt恒成立,所以3,4a−+.故答案为：3,4−+七、函数与方程1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()2221,12810,1xxxfxxxx++=−+，若函数()()1gxfxxa=+−−恰有两个零点

则实数a的取值范围是()A．()723,4,48+B．23,48C．23,8+D．7,4+【答案】A()()()0101gxfxxafxxa=+−−=+−=，令()()1hxf

xx=+−，则()2222211,12,128101,1279,1xxxxxxxhxxxxxxxx++−+++==−++−−+，作出h(x)的图象：如图y=h(x)与y=a的图象有两个交点时，()723,4,48a+，故选：A．2．（

2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知1120xx+=，222log0xx+=，3233log0xx−−=，则（）A．123xxxB．213xxxC．132xxxD．231xxx【答案】A设函数()2xfxx=+，易知()fx在R上递增，()11

2f−=−，()01f=，即()()100ff−，由零点存在定理可知．110x−；设函数()2loggxxx=+，易知()gx在()0,+上递增，1122g=−，()11g=，即()1102gg，由零点存在定理可知，2112x；设函数()21log3x

hxx=−，易知()hx在()0,+上递减，()113h=，()30hx=，因为()()31hhx，由函数单调性可知，31x，即123101xxx−.故选:A．3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文

））若函数2()(1)1xfxmxx=−−+在区间(1,1)−上有2个零点()1212,xxxx，则21exx+的取值范围是（）A．(1,e1)−B．(2,e1)+C．(1,)+D．(e1,)−+【答案】A函数2()(1)1x

fxmxx=−−+在区间(1,1)−上有2个零点12,xx即方程221xmx=−在区间(1,1)−上有2个实数根12,xx设()221xgxx=−，则()gx为偶函数.且()222221111111xxgxxxx−+===+−−−当0x=时，()00g=，当01x

时，21yx=−在()0,1上单调递增，且210x−所以()gx在()0,1上单调递减，则在()1,0−上单调递增，又1x→时，()gx→−；1x→−时，()gx→−，则()gx的大致图像如图.所以方程221xmx=−在区间(1,1)−上有2个实数根12,xx满足12

2,01xxx=−则2212eexxxx=−+，设()exhxx=−，则()e10xhx=−在()0,1上恒成立所以()2212ee1,e1xxxx=−−+故选：A4．（2022·山西·太原五中高三

阶段练习（理））正实数,,abc满足422,33,log4ababcc−+=+=+=，则实数,,abc之间的大小关系为（）A．bacB．abcC．acdD．bca【答案】A22aa−+=，即220aa

−+−=，即22aa−=−，2xy−=与2yx=−的图象在()0,+只有一个交点，则220xx−+−=在()0,+只有一个根a，令()22xfxx−=+−，()21222204f−=+−=，()11112202f−=+−=−，()()120ff，则12a；33

bb+=，即330bb+−=，即33bb=−，由3xy=与3yx=−的图象在()0,+只有一个交点，则330xx+−=在()0,+只有一个根b，令()33xgxx=+−，()113310g=+−=，121153330222g=

+−=−，()1102gg，故112b；4log4cc+=，即4log4cc=−，即4log40cc+−=，由4logyx=与4yx=−的图象在()0,+只有一个交点，则4log40xx+−=在()

0,+只有一个根c，令()4log4hxxx=+−，()444log4410h=+−=，()4433log34log310h=+−=−，()()340hh，则34c；bac故选：A.5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()22,22cosπ,24xxfxxx−

=，实数123,,xxx，4x是函数()yfxm=−的零点，若1234xxx，则132314242222xxxxxxxx+++++++的取值范围为（）A．)16,20B．()12220，

C．)64,80D．()48280，【答案】D由题意，作出直线ym=和函数()fx的大致图象如图所示，易得12345712422xxxx，且346xx+=，（易错：注意3x，4x的范围不是3

4234xx）由()()12fxfx=，即122222xx−=−，得122222xx−=−，则12224xx+=，所以()()()1323331424124422222222422xxxxxxxxxxxxxx+++++++=++=+

，令32xt=，则442t，3466422xxt−==，所以()34644224xxtt+=+.因为644ytt=+在()4,42上单调递减函数，所以()644482,80ytt=+.即()()34644224482,80xxtt+=+

.故选：D6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数()2222xxfx−−=+，对任意的实数a，b，c，关于x的方程()()20afxbfxc++=的解集不可能是（）A．1,3B．1,2,3C．

0,2,4D．1,2,3,4【答案】D令()tfx=，则方程()()20afxbfxc++=化为20atbtc++=，设它有解为12,tt，则求方程()()20afxbfxc++=化为求方程1122122xxt−−=+及2222222xxt−

−=+.根据基本不等式，()2222xxfx−−=+2，当且仅当2x=时，等号成立，()fx关于2x=对称，所以，若方程1122122xxt−−=+及2222222xxt−−=+有解，则解2x=，或有成对的解且两解关于2x=对称，

所以D选项不符合条件.故选：D7．（2022·陕西·模拟预测（理））已知1x是方程32xx=的根，2x是方程3log2xx=的根，则12xx的值为（）A．2B．3C．6D．10【答案】A方程32xx=可变

形为方程23xx=，方程3log2xx=可变形为方程3log2xx=，1x是方程32xx=的根，2x是方程3log2xx=的根，1x是函数3xy=与函数2yx=的交点横坐标，2x是函数3logyx==与函数2yx=的交点横坐标，函数3xy=与函数3logyx

=互为反函数，函数3logyx=与函数2yx=的交点横坐标2x等于函数3xy=与函数2yx=的交点纵坐标,即12(,)xx在数2yx=图象上，又2yx=图象上点的横纵坐标之积为2，122xx=，故选：A．8．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e9e4

2xaaxfxxx−−=++−−有零点，则实数=a___________.【答案】2ln3−由e0xa−可得99e9ee2e6eexaaxxaxaxaxa−−−−−−+=+=，当且仅当9eexaxa−−=时取等，又()2242266xxx−−=−

−−，当且仅当2x=时取等，故()2e9e426(6)0xaaxfxxx−−=++−−+−=，当且仅当9eexaxa−−=，2x=时取等.要使函数有零点，则9eexaxa−−=且2x=，化简得2e3a−=，解

得2ln3a=−.故答案为：2ln3−.9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若2log3xx=，23yy=，ln3zz=，则x、y、z由小到大的顺序是___________.【答案】yxz

依题意，0,0,0xyz，223log3logxxxx==，3232yyyy==，ln3zz=3lnzz=，因此，2log3xx=成立的x值是函数12logyx=与43yx=的图象交点的横坐标1t，23yy=成立的y值是函数22xy=与43yx=的图象交点的横坐标2t

，ln3zz=成立的z值是函数3lnyx=与43yx=的图象交点的横坐标3t，在同一坐标系内作出函数1223log,2,lnxyxyyx===，43yx=的图象，如图，观察图象得：213ttt，即yxz，所以x、y、z由小到大的顺序是yxz.故答案为：yxz八、新定义题1．（2

022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设xR，用[x]表示不超过x的最大整数，则[]yx=称为高斯函数．例如：3,5.1=−6=−．已知函数()221xfxx=+，则函数()]yfx=的值域为（）A．{0，1−}B．{1−，1}C

．{0，1}D．{1−，0，1}【答案】D①当0x=时，()00f=，②当0x时，()222111xfxxxx==++（当且仅当1x=时，等号成立），故()01fx③当0x时，()222111xfxxxx==−++（当且仅当1x=−时，等号成立），

故()10fx−，故函数()yfx=的值域为[1−，1]，故函数()yfx=的值域为{1−，0，1}，故选：D．2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，

用x表示不超过x的最大整数，则yx=称为高斯函数，例如：0.51−=−，1.51=，已知函数()()2134142fxxxx=−+，则函数()yfx=的值域为（）A．13,22B．1,0,1−

C．{}1,0,1,2-D．0,1,2【答案】B因为()()22111343222fxxxx=−+=−−，()1,4x，所以函数在()1,3上单调递减，在()3,4上单调递增，所以()()min132fxf

==−，又()312f=，()40f=，所以()13,22fx−，因为()yfx=，所以1,0,1y−；故选：B3．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为()0,1,xQfxxQ

=，关于狄利克雷函数()fx，下列说法不正确的是（）．A．对任意xR，()()1ffx=B．函数()fx是偶函数C．任意一个非零实数T都是()fx的周期D．存在三个点()()11,Axfx、()()22,Bxfx、()()33,Cxfx，使得ABC为正三角形【答案】C任意x

R，()0fx=或()1fx=，故()()1ffx=，故A正确.任意xR，因此x,x−同为有理数或同为无理数，故()()fxfx=−，即()fx是偶函数，故B正确.取2T=，则()()221,20ff−=−=，故()()222ff−−，故()fx不是周期函数，故C

错误.取123331,1,133xxx=−==+，则()()()1320,1fxfxfx===，则()331,0,1,1,1,033ABC−+，故233ABBCAC===，故AB

C为正三角形，故D正确.故选：C.4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数()1,0,xfxx=为有理数为无理数，称为狄

利克雷函数，则关于函数()fx，下列说法正确的是（）A．()fx的定义域为0,1B．()fx的值域为0,1C．xR，()()0ffx=D．任意一个非零有理数T，()()fxTfx+=对任意xR恒成立【答案】D解：因为()1,0,xfxx=

为有理数为无理数，所以函数的定义域为R，值域为0,1，故A、B错误；因为()0fx=或()1fx=且0与1均为有理数，所以()()()01ffxf==或()()()11ffxf==，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则xT

+也为有理数，则()()1fxTfx+==；若x为无理数，则xT+也为无理数，则()()0fxTfx+==；综上可得任意一个非零有理数T，()()fxTfx+=对任意xR恒成立，即D正确；故选：D5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国

数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在0,1上，其解析式为：()1,,,0,0,10,1qqxpqpppRxx===当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()fx是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有()(

)20fxfx++=，当0,1x时，()()fxRx=，则()2022ln20225ff−−=（）A．15B．25C．25−D．15−【答案】D由题意得()()2fxfx+=−，所以()()4fxfx+=，即函数的周期4T=，由于78e2022e,故7ln20228,08

ln20221−，所以()()()ln20228ln20228ln20220ffR−=−=−=，202222211014()55555fffR=+===，故()20221ln202255ff−−=−，故选：D6．（2022·吉林长春·

模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是()1T℃，空气的温

度是()0T℃，经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式10304logTTtTT−=−得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出3log20.6309=，则空气温度约是（）A．5℃B．10℃C．15℃D．20℃【答案】

B解：由题意可知0309054log30TT−=−，整理得03090log1.2530TT−=−，3log20.6309=，所以332log2log0.630921.26184===，0090430TT−−，解得010T．空气温度

是10C．故选：B．7．（2022·安徽·淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了

构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112…19202122232425…20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如5

121024，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log202112261314520x

=，则x落在区间（）A．()1516,B．()22,23C．()42,44D．()44,46【答案】B()()421log202112261314520log2021122613145202x==，设202112262

m=，13145202n=，由表格得知：2021048576=，2122097152=，24216777216=，25233554432=，所以2425m，2021n，所以()44,46mn+，()()2log20211226131452

044,46，则()()21log20211226131452022,232x=故选：B8．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算

筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T（℃），空气的温度是0T（℃），经过t分钟

后物体的温度T（℃）可由公式31004logTTtTT−=−得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出3log20.6309=，则空气温度是（）A．5℃B．10℃C．15℃D．20℃【答案】B：

依题意300902.52364log50TT−=−，即300900.6309log50TT−=−，又3log20.6309=，所以330090loglog250TT−=−，即0090250TT−=−，解得01

0T=；故选：B9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了

当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln20.6931，ln31.0986，设536N=，则N所在的区间为（e2.71828=是自然对数的底数）（）A．()1718,eeB．()1819,ee

C．()1920,eeD．()2122,ee【答案】A()55lnln4910ln210ln3100.6931101.098617.917N==++=，所以1751836ee．故选：A.10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17

世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e为底数的自然对数，其中e2.71828=称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数是简化大数运算的有效工具，依据下表数据，2331.91.31的计算结果约为（）x

1.31023.1903.7974.71557.397lnx0.27000.69311.16001.33421.5501.60942.001A．3.797B．4.715C．5D．7.397【答案】A231ln31.91.31(ln3.192ln1.31ln

2ln5)4.002531.33423=+++，∴根据表格对应关系知：结果约为3.797．故选：A.11．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集

.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间10,3和2,13；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二

段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：10,9，21,93，27,39，8,19；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历n步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n的最小值是（）A．7B．8C．9D．

10【答案】A解：第一次操作剩下：120,,,133；第二次操作剩下：1212780,,,,,,,1993399；第三次操作剩下：12

12781219207825260,,,,,,,,,,,,,,,12727992727332727992727；……；观察剩余区间的最后一个区间可以写为：11

,13n−即31,13nn−，要使20212022不属于剩下的闭区间，则只需31202132022nn−解得：32022n，又因为7321872022，所以n的最小值是7.12．（2022·全国·高三专题练习）

广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224xy+．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0xxxx

==−，则当224xy+时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A．()22(sgn())10xxyx+−−B．()22(sgn())10yxyy−+−C．()22(sgn())10xxyx+−−D．()22(sgn())10yxyy−+−【答案】C对于A选项

，当0x时，2222(sgn())1(1)10xyxxy+−−=+−−，即表示圆22(1)1yx+−=内部及边界，显然不满足，故A错误；对于C选项，当0x时，2222(sgn())1(1)10xyxxy+−−=+−−

，即表示圆22(1)1yx+−=外部及边界，满足；当0x时，2222(sgn())1(1)10xyxxy+−−=++−，即表示圆22(1)1xy++=的内部及边界，满足，故C正确；对于B选项，当0y时，2222(sgn())1(1)10xyyxy−+−=

−+−，即表示圆22(1)1xy−+=内部及边界，显然不满足，故B错误；对于D选项，当0y时，2222(sgn())1(1)10xyyxy−+−=−+−，即表示圆22(1)1xy−+=外部及边界，显

然不满足，故D错误.故选：C13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设xR，用x表示不超过x的最大整数，yx=也被称为“高斯函数”，例如：1.61,2

.13=−=−，设函数()1fxxx=+−，则下列关于函数()fx叙述正确的是（）A．()fx为奇函数B．()1fx=C．()fx在()01，上单调递增D．()fx有最大值无最小值【答案】BC由题意：2,211,10=

0,011,12xxxxx−−−−−−，所以()fx3,212,10=1,01,12xxxxxxxx+−−+−−+所以()fx的图象如下图，由图象分析：(0)1f=，所以A不正确；()1

fx=，所以B正确；()fx在()01，上单调递增，所以C正确；()fx有最小值无最大值，所以D不正确.故选：BC.14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷

在1829年给出了著名的狄利克雷函数：1,()0,xQfxxQ=（Q是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：,,(),,a

xQDxbxQ=（其中,abR，且ab¹）.以下对()Dx说法正确的有（）A．()Dx的定义域为RB．()Dx是非奇非偶函数C．()Dx在实数集的任何区间上都不具有单调性D．任意非零有理数均是()Dx的周期【答案】ACDA：由()axQDxbxQ=，，，所以有理数无理数=实

数，故A正确；B：当xQ时，xQ−，有()()DxaDxa=−=，，所以()()DxDx=−，当xQ时，xQ−，有()()DxbDxb=−=，，所以()()DxDx=−，所以()Dx为偶函数，故B错误；C：当xQ时，有()Dxa=，当xQ时，有()

Dxb=，所以()Dx的值域为{,}ab，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，故C正确；D：设T为非零有理数，当xQ时，xTQ+，所以()()DxTaDx+==，所以任意的非零有理数均是()Dx的周期，故D正确.故

选：ACD15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于

荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()fx，如果存在一个点0x，使得()00fxx=，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A．()sinfxxx=+B．()23fxxx=−

−C．()221,12,1xxfxxx−=−D．()1fxxx=−【答案】ABCD根据定义可知：若()fx有不动点，则()fxx=有解.A．令sinxxx+=，所以sin0x=，所以,xk

kZ=，故()fx是“不动点”函数；B．令23xxx−−=，所以3x=或1x=−，所以()fx是“不动点”函数；C．当1x时，令221xx−=，所以12x=−或1x=，所以()fx是“不动点”函数；D．令1xxx−=，所以22x=，所

以()fx是“不动点”函数.故选：ABCD.16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.B

rouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()fx，存在一个点0x，使得()00fxx=，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A．()2xfxx=+B．()23fxxx=−−C．()xfxx=−D．()ln1fxx=+【答案】BD根据定义可知

：若()fx为不动点函数，则()fxx=有解．A．令2xxx+=，得20x=，此时无解，故()fx不是“不动点”函数；B．令23xxx−−=，所以3x=或1x=−，所以()fx是“不动点”函数；C．当0x时

，()1fx=，()fxx=无解；当0x时，()1fx=−，()fxx=无解，所以()fx不是“不动点”函数；D．令ln1xx+=，不难看出1x=是该方程的根，所以()fx是“不动点”函数．故选：BD．17．（多选）（202

2·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O

的一个“太极函数”，则（）A．对于圆O，其“太极函数”有1个B．函数()()()2200xxxfxxxx−=−−是圆O的一个“太极函数”C．函数()33fxxx=−不是圆O的“太极函数”D．函数()()2ln1xfxx=++是圆O的一个“太极函数”【答案】BD解：对于A选项，

圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；对于B选项，由于函数()()()2200xxxfxxxx−=−−，当0x时，()()2fxxxfx−=−+=−，当0x时，()()2fxxxfx+−==−，故()()()2200xxxfxxxx−=−−

为奇函数，故根据对称性可知函数()()()2200xxxfxxxx−=−−为圆O的一个“太极函数”，故正确；对于C选项，函数定义域为R，()()33fxxxfx−=−+=−，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；对于D选项，函数定义域为R，()()()(

)2221ln1lnln11xxxxfxxxfx=+−==−+−=−++−，故为奇函数，故函数()()2ln1xfxx=++是圆O的一个“太极函数”，故正确.故选：BD18．（2022·山东·德州市教育科学研

究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33，记为第1次操作；再将剩下的两个区

间10,3，2,13分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区

间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n的最小值为____________．(lg20.30=，lg30.47=)【答案】27,927；9.第一次操作去掉了

区间长度的13，剩下的区间：10,3，2,13第二次去掉2个长度为19的区间，即长度和为29，剩下的区间：10,9，21,93，27,39，8,19第三次去掉4个长度为127的区间

，即长度和为427，剩下的区间：10,27，21,279，27,927，81,273，L.以此类推，第n次将去掉12n−个长度为13n的区间，即长度和为123

nn−，则na的前n项和可表示为112133122212393313nnnnnS−−=+++==−−L由题意知，2261327n−，21327n两边同时取对

数，即()lg2lg33lg3n−−，解得：8.13n9n=故答案为：27,927；9.19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantor）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，

其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个

区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)ab长度为ba−，则构造“康托三分集”的第n次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n次操作

去掉的各区间的长度之和小于1100，则n的最小值为______．（参考数据：lg20.3010=，lg30.4771=）【答案】123nn−10第1次操作，去掉1个长度为13的区间，第2次操作，去掉2个长度为213的区间，第3次操作，去掉22

个长度为313的区间，第n次操作，去掉12n−个长度为13n的区间，第n次操作去掉的各区间的长度之和为123nn−；1111112lg(2)lg(1)lg2lg329.64731003100nnnnnnn−−−−−，10minn=，故答案为：123nn

−；1020．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在0,1上，其定义为()1,,,0,0,10,1qqxpqpppRxx===当都是正整数是不可以再约分的真分数或

者上的无理数，则1R=________．【答案】0解：1为0,1上的无理数，故10R=，故答案为：0.21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在0

,1上，其解析式如下：()1,,,0,0,10,1.qqxpqpppRxx===都是正整数，是既约真分数或上的无理数若函数()fx是定义在R上的奇函数，且对任意x都有()()220fxfx++−=，当0,1x时，()()fxRx=，则()202220225ff

+−=___________.【答案】15−##－0.2∵()()220fxfx++−=，∴()()22fxfx+=−−．∵()fx是奇函数，∴()()22fxfx+=−，∴()()4fxfx+=，∴()fx的一个

周期为4．∵()()220fxfx++−=，∴令0x=，可得()20f=，∴()()202245052(2)0fff=+==．2022202222214101555555ffffR−=−=−+=−=−=−，∴()20221202

255ff+−=−．故答案为：15−﹒22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：()1,(,00,101qqxpqpppRxx===都是正整数，是

既约真分数），或（，）上的无理数，若函数()fx是定义在R上的奇函数，且对任意x都有()()20fxfx+=−，当[0,1]x时，()()fxRx=，则()18lg305ff+=________.【答案】15−##0.2−∵()fx是定义在R上的

奇函数，且()()20fxfx+=−，∴()2()2()fxfxfx=−−=−，∴函数()fx是以2为周期的周期函数，则181822214555555ffffR=−=−=−=−=−

，()()()(lg30lg3lg10lg31lg311lg31lg)()(0)3fffffR++−−====−−−==，∴()181lg3055ff+=−.故答案为：15−23．（2021·湖北·荆

门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数21yx=+，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．【答案】9由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数，函数解析式为21yx=+，值域为{1，2，4}

，当0x=时，1y=，当1x=时，2y=，当3x=时，4y=，则定义域可以为：0,1,3,0,1,3,0,1,3,0,1,3,0,1,1,3,−−−−−−0,1,1,3,0,1,3,3,0,1,3,3,0,1,1,3,3−−−−−−，因此“同族函数"

共有9个.故答案为：9.24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]

均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各

自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n的最小值为____．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)【答案】6设na为第

n次操作去掉的区间长度和，113a=，第1次操作后剩下两个长度为13的闭区间，则第2次操作去掉的区间长度和222122()33a==，第2次操作后剩下4个长度为213的闭区间，则第3次操作去掉的区间长度和3231144333a==，如此下去，第1(2,N)nnn−次

操作后剩下12n−个长度为113n−的闭区间，则第n次操作去掉的区间长度和1111122333nnnnna−−−==，显然，数列{}na是等比数列，首项113a=，公式23q=，其前n项和12[1()]2331()2313nnnS−==−−，由910nS得：21()310

n，115.6786lg3lg20.47710.3010n−−，而Nn，则min6n=，所以需要操作的次数n的最小值为6.故答案为：625．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑

白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆22:1Oxy+=，则下列说法中正确的序号是______

.①函数()3fxx=是圆O的一个太极函数；②圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数()sinfxx=是圆O的一个太极函数；④函数()fx的图象关于原点对称是()fx为圆O的太极函数的充要条件.【答案】①③①，()3fxx=是奇函数，图象关于原点对称，如图所示，所以()3fx

x=是“太极函数”.②④，设A是OE的中点，在OC上取一点B，使BCBA=，过C作CDAB⊥，交AB的延长线于D.由于BCBACDOAOBCBDABO===，所以BCDBAO，作出折线ABDC关于y轴对称

图象如下图虚线所示.虚线对应的函数是“太极函数”，也是偶函数，所以②④错误.③，函数()sinfxx=是奇函数，图象关于原点对称，如图所示，所以()sinfxx=是“太极函数”.故答案为：①③26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓

扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()fx，存在一个点0x，使得()00fxx=，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x为该函数的一个不动点．现新定义：若0x满足()0

0fxx=−，则称0x为()fx的次不动点．(1)判断函数()22fxx=-是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数()112gxx=+，若a是()gx的次不动点，求实数a的值：(3)若函数()()12

log42xxhxb=−在0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围．【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和1−；(2)23a=−；(3)0,1.(1)依题意，设0x为()fx的不动点，即(

)00fxx=，于是得2002xx−=，解得02x=或01x=−，所以()22fxx=-是“不动点”函数，不动点是2和1−.(2)因()112gxx=+是“次不动点”函数，依题意有()gaa=−，即112

aa+=−，显然0a，解得23a=−，所以实数a的值是23−.(3)设,mn分别是函数()()12log42xxhxb=−在[]0,1上的不动点和次不动点，且,mn唯一，由()hmm=得：()12log42mmbm−=，即142()2mmmb−=，整理得：124mmb=−

，令()124mmm=−，显然函数()m在[]0,1上单调递增，则()min(0)0m==，()max7(1)4m==，则704b，由()hnn=−得：()12log42nnbn−=−，即422nnnb−=，整理得：21nb=−，令()21nun=−，显然函数()un在[]0,

1上单调递增，min()(0)0unu==，max()(1)1unu==，则01b，综上得：01b，所以实数b的取值范围[]0,1.