【文档说明】黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.308 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年黑龙江省鹤岗一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z满足（1+i）z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（

）A．B．C．D．3．近年来，我国继续大力发展公办幼儿园，积极扶持普惠性民办幼儿园，使得普惠性学前教育资源迅速增加．如图为国家统计局发布的2010～2019年幼儿园数量及学前教育毛入园率统计图．根据该统计图，下列说法不一定正确的是（）

注：毛入园率＝．A．2019年，全国共有幼儿园28.1万所B．2019年的幼儿园数量比上一年大约增长了5.2%C．2010～2019年我国适合入读幼儿园的人数在持续增加D．2010～2019年我国幼儿园数量及学前教育毛入园率都在持续增

加4．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．25．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（）A．这100个数据中一定有75个小于或等于9.3B．把这100

个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数6．已知平面α⊥平面β

为直线，α∩β＝l，P∈l，下列命题中正确的个数是（）①过P与l垂直的直线必在α内；②过P与β垂直的直线在α内；③过P与l垂直的直线必与β垂直；④过P与β垂直的平面必与l垂直．A．1B．2C．3D．47．在△ABC

中，若A＝60°，b＝1，△ABC的面积，则＝（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别为CD，DD1，AD的中点，则异面直线A1M与EF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知P是边长为2的正三

角形ABC边BC上的动点，则的值（）A．是定值6B．最大值为8C．最小值为2D．与P点位置有关10．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，则棱锥O﹣ABCD的体积为（）A．B．C．D．1211．

△ABC中，BD是AC边上的高，A＝，cosB＝﹣，则＝（）A．B．C．D．12．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是

指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、B、C，满足S﹣ABC为正三棱锥，M是SC的中点，且AM⊥SB，侧棱SA＝2，则该蹴鞠的表面

积为（）A．6πB．12πC．32πD．36π二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．已知点A（﹣1，2），B（2，y），向量，若，则实数y的值为．14．已知z是纯虚数，是实数，那么z的共轭复数等于．15．甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60

kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差300，又已知甲、乙的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的方差为．16．已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A'MN，在四棱锥A'﹣MNCB中，下列说法正确的序号是．①直线MN∥

平面A′BC；②当四棱锥A'﹣MNCB体积最大时，二面角A'﹣MN﹣B为直二面角；③在折起过程中存在某位置使BN⊥平面A′NC；④当四棱A'﹣MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为39π．三、解答题（本题共有6个小题，共70分，解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤）17．正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1．求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）棱锥的表面积与体积．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosAcosB＝sin（B+C）sinB+．（Ⅰ

）求cosC的值；（Ⅱ）若3sinA＝2sinB，且△ABC的面积为3，求c的值．19．已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF＝1，M是线段EF的中点．（1）求证：AM∥平面BDE；（2）求证：AM⊥平面BDF．20．某快递公司招聘快递骑

手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），

[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择并说

明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（Ⅲ）假设公司中所有骑手都选择了你在（Ⅱ）中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少

单？21．已知锐角△ABC的外接圆半径为1，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S且a2＝4S+）．（1）求C；（2）求的取值范围．22．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，CE＝DE，

EF∥DB，DB＝2EF，平面CDE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面BCF⊥平面ABCD；（Ⅱ）若平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为，求直线BE与平面ABCD成角的正弦值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z满足（1+i）z＝1+i，则复平面内与复数

z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由（1+i）z＝1+i，得z＝，∴复平面内与复数z对应的点的坐标为（），在第四象限角．故选：D．2．半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，设圆锥的

底面半径为r，则2πr＝πR，即r＝，∴圆锥的高h＝＝，∴圆锥的体积V＝＝，故选：C．3．近年来，我国继续大力发展公办幼儿园，积极扶持普惠性民办幼儿园，使得普惠性学前教育资源迅速增加．如图为国家统计局发布的2010～2019年幼儿园数量及学前教育毛入园率统计图．根据

该统计图，下列说法不一定正确的是（）注：毛入园率＝．A．2019年，全国共有幼儿园28.1万所B．2019年的幼儿园数量比上一年大约增长了5.2%C．2010～2019年我国适合入读幼儿园的人数在持续增加

D．2010～2019年我国幼儿园数量及学前教育毛入园率都在持续增加解：根据统计图表，A、D选项说法正确．B选项，2019年幼儿园数量为28.1万所，2018年幼儿园数量为26.7万所，2019年增加，所以说法正确；C选项，根据图表，学前教育毛入

园率在增加，但是适合入读幼儿园的人数的变化不一定增加．故选：C．4．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．5．已知100个数据的第75百

分位数是9.3，则下列说法正确的是（）A．这100个数据中一定有75个小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.

3是第75个数据和第74个数据的平均数解：∵100×75%＝75为整数，∴把100个数据从小到大排列后，第75个数和第76个数的平均数为第75百分位数，故选：AC．6．已知平面α⊥平面β为直线，α∩β＝l，P∈l，下列命题中正确的个数是（）①过P

与l垂直的直线必在α内；②过P与β垂直的直线在α内；③过P与l垂直的直线必与β垂直；④过P与β垂直的平面必与l垂直．A．1B．2C．3D．4解：①直线AP垂直l，但不在平面α内，故过P与l垂直的直线必在α内错误；故

①正确，②过P与β垂直的直线PB与平面β的夹角为90°，则PB在α内，准确，故②正确，③直线AP垂直l，则过P与l垂直的直线必与β垂直错误；故③错误，④过P与β垂直的平面PAB必与l垂直．正确，故④正确，故正确是是2个，故选：B．7．在△ABC中，若A＝60°，b＝1

，△ABC的面积，则＝（）A．B．C．D．解：因为A＝60°，b＝1，△ABC的面积＝bcsinA＝，解得：c＝4，由余弦定理可得a＝＝＝，所以＝＝．故选：A．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E

，F，M分别为CD，DD1，AD的中点，则异面直线A1M与EF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：如图，以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2a则A（0，0，0），D（2a，0，0），B（0，2a，0），A1（0，0，2a）

，M（a，0，0），E（2a，a，0），C（2a，2a，0），D1（2a，0，2a），F（2a，0，a），则＝（a，0，﹣2a），＝（0，﹣a，a），所以cos＜＞＝＝＝﹣∴异面直线A1G与EF所成角的余弦值为．故选：B．9．已知P是边长为2的正三角形ABC边B

C上的动点，则的值（）A．是定值6B．最大值为8C．最小值为2D．与P点位置有关解：设＝＝＝t则＝﹣＝﹣，2＝4＝2•＝2×2×cos60°＝2＝+＝+t（﹣）＝（1﹣t）+t+＝+•（+）＝（（1﹣t）+t）•（+）＝（1﹣t）2+[（1﹣t）+t

]+t2＝（1﹣t）×4+2+t×4＝6故选：A．10．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，则棱锥O﹣ABCD的体积为（）A．B．C．D．12解：∵矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，∴矩形的对角线的长为：＝4，∴球心到矩形的距

离为：＝2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：VO﹣ABCD＝＝8．故选：A．11．△ABC中，BD是AC边上的高，A＝，cosB＝﹣，则＝（）A．B．C．D．解：△ABC中，BD是AC边上的高，A＝，在等腰直角三角形ABD中，设

BD＝h，可得AD＝h，在直角三角形BDC中，cos∠DBC＝cos（∠ABC﹣45°）＝cos∠ABCcos45°+sin∠ABCsin45°＝（﹣+）＝，即有sin∠DBC＝＝，则tan∠DBC＝＝3，可得CD＝BDtan∠DBC＝3h，即AC＝AD+CD＝

4h，则＝．故选：A．12．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化

遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、B、C，满足S﹣ABC为正三棱锥，M是SC的中点，且AM⊥SB，侧棱SA＝2，则该蹴鞠的表面积为（）A．6πB．12πC．32πD．36π解：如图，取AC的中点N，连接BN，

SN，∵N为AC的中点，SA＝SC，∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，∵SN∩BN＝N，∴AC⊥平面SNB，则AC⊥SB，又AM⊥SB，且AM∩AC＝A，AM、AC⊂平面SAC，∴SB⊥平面SAC，则正三

棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直．把该三棱锥放置在正方体SF中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，外接球的半径等于正方体的对角线长的一半为．∴该蹴鞠的表面积为．故选：B．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．已知点A（﹣1，2），B（2，y），向量，若，则实

数y的值为8．解：∵，且，∴6﹣（y﹣2）＝0，解得y＝8．故答案为：8．14．已知z是纯虚数，是实数，那么z的共轭复数等于i．解：∵由z是纯虚数，可设z＝ai，（a∈R，a≠0），∴＝，∵是实数，∴1+a＝0，即a＝﹣1，∴z＝﹣i，∴．故答案为：i．15．甲、乙两支

田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差300，又已知甲、乙的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的方差为296．解：由题意可得，甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为

，∵甲，乙两队全部队员体重的平均数为，∴甲，乙两队全部队员的方差为s2＝＝296．故答案为：296．16．已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A'MN，在四棱锥A'﹣

MNCB中，下列说法正确的序号是①②④．①直线MN∥平面A′BC；②当四棱锥A'﹣MNCB体积最大时，二面角A'﹣MN﹣B为直二面角；③在折起过程中存在某位置使BN⊥平面A′NC；④当四棱A'﹣MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为39π．解：对于A，因为MN∥BC，M

N⊄平面A'BC，BC⊂平面A'BC，所以MN∥平面A'BC，故选项①正确；对于B，因为四棱锥A'﹣MNCB的底面面积是定值，所以当点A'到平面MNCB的距离最大时，体积最大，故当二面角A'﹣MN﹣B为直二面角时，点A'到平面MNCB的距离最大，所以四棱锥A′﹣MNCB体积

最大时，二面角A′﹣MN﹣B为直二面角，故选项②正确；对于C，如图所示，若BN⊥平面A'NC，又AA'⊂平面A'NC，则BN⊥AA'，又A'D⊥MN，则AD⊥MN，又A'D∩AD＝A，A'D，AD⊂平面A'AD，故MN

⊥平面A'AD，又A'A⊂平面A'AD，则A'A⊥MN，又MN∩BN＝N，MN，BN⊂平面MNCB，所以AA'⊥MNCB，这与题意矛盾，故假设不成立，所以在折起过程中不存在某位置使BN⊥平面A′NC，故选项③错误；对于D，当四棱锥A'﹣MN

CB体积最大时，二面角A′﹣MN﹣B为直二面角，如图所示，由∠MBC＝，取BC的中点E，则E为等腰梯形MNCB外接圆的圆心，F为△AMN的外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面A'MN，则O为四棱锥A'﹣MNCB的外接球

的球心，且OF＝DE＝，AF＝，设四棱锥A'﹣MNCB的外接球半径为R，则R²＝AF²+OF²＝，所以球的表面积为4πR²＝4π×＝39π，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本题共有6个小题，共70

分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1．求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）棱锥的表面积与体积．解：（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1，作OM⊥BC，则M为BC中点，连结OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM

，BC＝4，BM＝2，则，在Rt△SOD中，，在Rt△SOM中，，∴棱锥的侧棱长为3，侧面的高为．（2）棱锥的表面积：S＝S正方形ABCD+4S△SBC＝几何体的体积为：18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosAcosB＝sin（

B+C）sinB+．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若3sinA＝2sinB，且△ABC的面积为3，求c的值．解：（Ⅰ）因为cosAcosB＝sin（B+C）sinB+＝sinAsinB+，可得cosAcosB﹣sinAsinB＝，所以cosC＝﹣cos（

A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝﹣．（Ⅱ）因为3sinA＝2sinB，所以由正弦定理可得3a＝2b，又cosC＝﹣，可得sinC＝＝，所以△ABC的面积为3＝absinC＝×b×，

解得b＝6，a＝4，所以由余弦定理可得c＝＝＝8．19．已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF＝1，M是线段EF的中点．（1）求证：AM∥平面BDE；（2）求证：AM⊥平面BDF．解：建立

如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：O（0，0，0），A（0，1，0），B（﹣1，0，0），C（0，﹣1，0，），D（1，0，0，），E（0，﹣1，1），F（0，1，1），M（0，0，1）．（1）∵∴，即AM∥OE，又∵AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE

；（2）∵，∴，∴AM⊥BD，AM⊥DF，∴AM⊥平面BDF．20．某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，

从第45单开始，每完成一单提成5元，该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ

）求直方图中a的值；（Ⅱ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（Ⅲ）假设公司中所有骑手都选择了你在（

Ⅱ）中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少单？解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（0.005+0.005+a+0.03+a+0.015+0.005）×10＝1，解得a＝

0.02．（Ⅱ）快递公司人均每日完成快递数量的平均数是：30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05＝62．方案（1）日工资为：50+62×3＝236，方案（2）日工资为：150+（62﹣44）×5＝240＞236．∴骑手应选择方案

（2）．（Ⅲ）该骑手要使自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，则平均业务量应超过75%的骑手，前5个小组的频率分别为0.05，0.05，0.2，0.3，0.2，前4个小组的频率之和为：0.05+0.05+0.2+0.3＝0.6，前5个小组的频率之和为0.05+0.05+0.2+

0.3+0.2＝0.8，故该骑手的平均业务量应在[65，75）内，设他的平均业务量为x，则0.6+（x﹣65）×0.02≥0.75，解得x≥72.5，又x∈N*，∴x的最小值为73．∴他每天的平均业务量至少应达73单．21．已知锐角△ABC的外接

圆半径为1，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S且a2＝4S+）．（1）求C；（2）求的取值范围．解：（1）∵，∴，∴，化简得，∴cosC≠0，，又∵C∈（0，π）∴，（2）∵△ABC的外接圆半径为1，∴，又∵正弦定

理，∴a＝2sinA，b＝2sinB，∴＝＝＝＝，又因为△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，，，∴．22．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，CE＝DE，EF∥DB，DB＝2EF，平面CDE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面BCF⊥平

面ABCD；（Ⅱ）若平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为，求直线BE与平面ABCD成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：设点G，H分别是CD，CB的中点，连接EG，FH，GH，则GH∥DB，且DB＝2GH，∴EF∥GH，且EF＝GH，∴四边形EFHG是平行四边形，∴FH∥EG，∵

CE＝DE，G是CD中点，∴EG⊥CD，∵平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD＝CD，∴EG⊥平面ABCD，∵FH∥EG，∴FH⊥平面ABCD，∵FH⊂平面BCF，∴平面BCF⊥平面ABCD．（Ⅱ）连接BG，由（Ⅰ）得EG⊥平面ABC

D，∵四边形ABCD是边长为2的等边三角形，∴BG⊥CD，BG＝，以G为坐标原点，向量，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得G（0，0，0），A（2，，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），设E（0，0，t），（t＞0），则F（﹣，t），设

＝（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，则，取y＝1，得＝（，），设＝（a，b，c）是平面BCF的一个法向量，则，取b＝﹣1，得＝（，﹣1，0），∴|cos＜＞|＝＝＝，解得t＝3，∴GE＝3，∴直线BE与平面ABCD成角的正弦值为．