【文档说明】考点17 平行四边形的性质与判定-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)（解析版）.docx，共(47)页，1.671 MB，由管理员店铺上传

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考点17平行四边形的性质与判定【命题趋势】平行四边形的性质与判定在浙江中考中占比较大，而且难度从基础题到中档题，再到综合压轴题都有。一般的基础题常以选择题、填空题出现，直接考察平行四边形的性质与判定；中档题则有填空题或者解答题，常和三角形的性质结合考察全

等或者求长度等；综合压轴题则基本会在平行四边形的基础上，考察相似的判定与性质，再结合动点类型的分类讨论等，难度较大。【中考考查重点】一、多边形二、平行四边形的性质三、平行四边形的判定四、平行四边形的存

在性考向一：多边形多边形与正多边形正多边形定义各边都相等，各角都相等的多边形为正多边形多边形与正多边形的性质n边形的内角和为()()31802−nn任意多边形的外角和为360°任意多边形的内角中，最多有3个锐角n边形共有()

23−nn条对角线正多边形都是轴对称图形，变数为偶数的正多边形还是中心对称图形【同步练习】1．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（）A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．

【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选：C．2．将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（）A．180°B．180°或360°C．360°或540°D．180°或360°或540°【分析】分为三种情况，画出图形，根据多边形的内角和公式求出内角和即可

．【解答】解：如图①，剩余的部分是三角形，其内角和为180°，如图②，剩余的部分是四边形，其内角和为360°，如图③，剩余的部分是五边形，其内角和为540°．综上所述，剩下图形的内角和为180°或360°或540°．故选：D．3．若一个正多边形的一个外角是60°，

则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可．【解答】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．故选：D．4．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（）A．36°B．72°C．10

8°D．144°【分析】由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五边形的性质，得∠MBC＝72°，从而解决此题．【解答】解：如图，AB的

延长线交l2于点M，∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形ABCDE的每个外角相等．∴∠MBC＝＝72°．∵l1∥l2，∴∠2＝∠BMD，∵∠1＝∠BMD+∠MBC，∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC，∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．故选：B．考向二：平行四边

形的性质1.平行四边形的性质定理∶（1）平行四边形的对边平行且相等.（2）平行四边形的对角相等，邻角互补.（3）平行四边形的对角线互相平分.2.利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可

以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.3.平行四边形的问题经常转化为三角形全等的判定与性质类问题应用。【同步练习】1．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BEA＝30°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120°D．100°【分析】由平行四边形的性质得出∠

AEB＝∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝25°，再由三角形内角和定理即可得出∠A的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝30°，∴∠A

＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．故选：C．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE＝3，AD＝8，则▱ABCD的周长为（）A．11B．14C．28D．33【分析】证明OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出AB＝2OE＝6，即可

得出▱ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵E是BC边上的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AB＝2OE＝6，∵AD＝8，∴▱ABCD的周长＝2×（6+8）＝28，故选：C．3．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥C

D交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（）A．△ECDB．△EBFC．△EBCD．△EFC【分析】过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，证明△ADN≌△CBM得DN＝BM，由三角形的面积公式

可得△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积，便可得出答案．【解答】解：过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△ADN和△CBM中，，

∴△ADN≌△CBM（AAS），∴DN＝BM，∵S△BCF＝CF•BM，S△CDF＝CF•DN，∴S△BCF＝S△CDF，∵EF∥CD，∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，故选：A．4．如图，平行四边形ABCD的对

角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（）A．+1B．C．D．【分析】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO＝1，BO＝2，利用三角形的面积公式计算△ABO的面积，结合平行四边形的性质可得DO＝

BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，即可得到OE+2EF的值．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO

＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．考向三：平行四边形的判定1.平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边

形。(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。2.将平行四边形问题化为三角形问题来解决，这是问题化为三角形问题来解决，这是解决平行四边形问题的常用方法。4.在解决平行四边形的判定问题时，要结合题判定问题时，要结合题目条件

选择恰当的方法进行证明。证明过程中的推理步骤要严谨，几何证明过程中的推理步骤要严谨，几何语言书写要规范。【同步练习】1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．OB＝OD，OA＝OCB．AD∥BC，AB＝CDC．AB∥CD，AD∥B

CD．AB∥CD，AB＝CD【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．【解答】解：A、∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵AD∥BC，AB＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

C、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．2．在四边形ABCD中，分别给出四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；

④AB＝CD．以其中的两个条件能判定四边形ABCD为平行四边形的有种不同的选择．【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．【解答】解：①③组合能根据平行线的性质得到∠B＝∠D，从而利用两组对角分别相

等的四边形是平行四边形判定平行四边形；①④组合能利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；②④组合能利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定，故答案为：3．3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法：①四边形ABCD是平行四

边形；②AB＝BC；③AC⊥BD④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥

CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；∵AD＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确，∵AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×8＝24，故⑤正确；正确的个数有5个，故选：D．4．如图，在Rt△

ABC中，∠C＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．（1）证明：DE∥CB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形，并说明理由．【分析】（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE＝AB＝AE，再根据等

边三角形的性质可得AD＝CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE＝∠CDE＝30°，再有∠DCB＝150°，证明DE∥CB；（2）当AC＝AB时，证出DC∥BE，由平行四边形的判定可得出结论．【解答】（1）证明：连接CE．∵

点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，∴CE＝AB＝AE．∵△ACD是等边三角形，∴AD＝CD．∴DE∥BC．在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE＝∠CDE＝30°．∵∠DCB＝150°，∴∠EDC+∠DCB

＝180°．∴DE∥CB．（2）解：当AC＝AB时，四边形DCBE是平行四边形．理由：∵AC＝AB，∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∵∠DCB＝150°，∴∠DCB+∠B＝180°，∴DC∥BE，又∵DE

∥BC，∴四边形DCBE是平行四边形．5．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，，求AB的长．【分析】（1）根据平行

线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B＝30°．解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵A

B∥CE，∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．∵F是AC中点，∴AF＝CF．在△AFD与△CFE中，．∴△AFD≌△CFE（AAS），∴DF＝EF，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．在△ACG中，∠AGC＝90°，AC＝，∠CAG＝45°，∴由勾股定理

得CG＝AG＝1．在△BCG中，∠BGC＝90°，∠B＝30°，CG＝1，∴BC＝2，∴BG＝＝，∴AB＝AG+BG＝．考向四：平行四边形的存在性问题1.知识储备：①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段

，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式：2.方法策略：（1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平

面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；)2,2),(),,(21212211yyxxPyxByxA++坐标为（，则其中点若（2）有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。【同步练习】1．如图，四边形ABC

D中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、

F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）A．B．3C．3或D．或【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四

边形，则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，综上所述，t＝或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．故选：D．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝1

2cm，点E为BC上一点，EC＝7，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．当运动时间为t秒时，以A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则t的值是．如，当A、B已知，点C在直线

y=x上，点D在抛物线上，则设C（a,a）；分类还分别分①以AB为对角线，②以AC为对角线，③以BC为对角线；依其性质分别表示出D点坐标；将点D坐标再分别带入抛物线解析式，即可求出a的值，C、D坐标就都能求出来

了。【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．【解答】解：①当点Q在线段CE上，AP＝QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝7﹣2t，解得t＝，②当Q在线段BE上，AP＝QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝2t﹣7，解得t＝7＞6（不合题意

舍去），综上所述，t＝时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．故答案为：．3．在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m+1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为．【分析】需要以已知线段AB为

边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是对角线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点D坐标．【解答】解：设D（n，0），∵A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m+1），∴以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平

行四边形可得：①若四边形ABCD为平行四边形，对角线中点坐标为：（，）或（，），∴，解得：，∴D（﹣，0），∵D，A，B三点共线，∴此种情况不满足；②若四边形ADBC为平行四边形，对角线中点坐标为：（，）或（，），∴，解得：，∴D（﹣，0），③若四边形ABD

C为平行四边形，对角线中点坐标为：（，）或（，），∴，解得：，∴D（﹣，0），故答案为：（﹣，0）或（，0）．4．如图，△OAB的顶点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），下列点M中，O、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是（）A．（1，﹣1）B．（

2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（4，1）【分析】分三种情况，①AB为对角线时；②OB为对角线时；③OA为对角线时；分别求出点M的坐标，即可求解．【解答】解：分三种情况：①AB为对角线时，∵BM∥OA，点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），∴M的坐标为（3+1

，1），即M（4，1）；②OB为对角线时，∵BM'∥OA，点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），∴M'的坐标为（1﹣3，1），即M（﹣2，1）；③OA为对角线时，点M''与M'关于原

点O对称，∴M''的坐标为（2，﹣1），即M（4，1）；综上所述，点M的坐标为（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），故选：A．5．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，3），C（0，4）．（1）判断△ABC的形状

，并说明理由；（2）点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出所有满足条件的点D的坐标．【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出答案；（2）由平行四边形的性质可得出答案．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵AC2＝42+2

2＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝42+32＝25，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ACB是直角三角形；（2）如图，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，∴D1（0，﹣1），D2（﹣4，1

），D3（4，7）．即D点坐标为（0，﹣1）或（﹣4，1）或（4，7）．6．如图，△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2），△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点

为P（x1﹣6，y1+4）．（1）请写出三角形ABC平移的过程；（2）分别写出点A′，B′，C′的坐标；（3）求△ABC的面积；（4）以A、B、C、D为顶点构成平行四边形，直接写出D的坐标．【分析】（1）根据其横纵坐标的变化情况即可写出答案；（

2）根据题意将A、B、C的坐标依次代入即可；（3）可利用矩形的面积减去3个直角三角形，或梯形的面积减去2个直角三角形，或证明其为等腰直角三角形计算；（4）分AB、BC、AC分别为对角线三种情况进行讨论．【解答】解：

（1）∵△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1﹣6，y1+4），∴平移后对应点的横坐标减6，纵坐标加4，∴△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位得到△A′B′C′或△ABC先向上平移4个单位，再向左平

移6个单位得到△A′B′C′；（只要说一种）（2）∵A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2），由（1）可知，A′（﹣4，3），B′（﹣2，7），C′（﹣5，6）；（3）＝5；（4）如图，D1（5，0），D2（﹣1，﹣2），D3（3，6）．

1．若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（）A．6B．5C．4D．3【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求

解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，则120°n＝（n﹣2）•180°，解得n＝6，故选：A．2．一个n边形从一个顶点出发最多引出7条对角线，则n的值为．【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线

与边的关系n﹣3，列方程求解．【解答】解：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，∴n﹣3＝7，解得n＝10．故答案为：10．3．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第1个图案用了4块灰色的瓷砖，第2个图案用了6块灰色的瓷砖，第3个图案用了8块灰色的瓷砖，…，第n个图案中灰色

瓷砖块数为．【分析】本题可分别写出n＝1，2，3，…，时的黑色瓷砖的块数，然后依此类推找出规律即可解决问题．【解答】解：n＝1时，黑瓷砖的块数为：4；n＝2时，黑瓷砖的块数为：6；n＝3时，黑瓷砖的块数为：8；…；当n＝n时，黑瓷砖的块数为：2n+2．故答案为2n+2．4．如图，在四边形ABCD

中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BCB．AB∥CD，AB＝CDC．OA＝OC，OB＝ODD．AB∥CD，AD＝BC【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判

断，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不合题意；∵AB∥CD，

AD＝BC，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，∴故选项D符合题意；故选：D．5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝3，AC＝8，则BD的长是（）A．8B．9C．10D．

12【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC＝AC＝4，由AC⊥AB，根据勾股定理求出OB，即可得出BD的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝4，∵AB⊥AC，∴由勾股定理得

：OB＝＝＝5，∴BD＝2OB＝10．故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），再找一点D，使它与点A，B，C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不

可能是（）A．（﹣3，2）B．（﹣4，2）C．（0，﹣4）D．（2，4）【分析】画出图形即可解决问题，满足条件的点D有三个．【解答】解：如图所示：观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（﹣4，2）或（0，﹣4），∴点D的坐标不可能是（

﹣3，2），故选：A．7．如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是（）A．4cm2B．3cm2C．2cm2D．1cm2【分析】由已知条件可证明四边形ABCD是平行四边形，则△ADC和△ABC的面积是平行四边形面积的一半，

又因为E是AB的中点，所以△AEC的面积是△ABC的一半，问题得解．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC＝S△ABC＝×8＝4，∵E是AB的中点，∴S△AE

C＝S△ABC＝×4＝2cm2，故选：C．8．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且BE∥DF，AC分别交BE、DF于点G、H．下列结论：①四边形BFDE是平行四边形；②△AGE≌△CHF；③BG＝DH；④S△AGE：S△CDH＝GE：DH，其中正确的个数是（）A．1个B．2

个C．3个D．4个【分析】利用两组对边平行的四边形是平行四边形判断①；利用ASA证明两三角形全等判断②；利用全等三角形的性质可判断③④．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC∵BE∥

DF，AD∥BC∴四边形BEDF是平行四边形，故①正确∵四边形BEDF是平行四边形，∴BF＝DE，DF＝BE∴AE＝FC，∵AD∥BC，BE∥DF∴∠DAC＝∠ACB，∠ADF＝∠DFC，∠AEB＝∠ADF∴∠AEB＝∠DFC，且∠DAC＝∠ACB，AE＝CF∴△AGE≌△CHF（A

SA）故②正确∵△AGE≌△CHF∴GE＝FH，且BE＝DF∴BG＝DH故③正确∵△AGE≌△CHF∴S△AGE＝S△CHF，∵S△CHF：S△CDH＝FH：DH，∴S△AGE：S△CDH＝GE：DH，故④正确故选：D

．9．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AF＝EF．（1）若∠D＝54°，则∠BFC＝；（2）若tan∠AEB＝，AB＝4，则S平行四边形ABCD＝．【分析】（1）根据角

平分线可得AB＝BE，进而可知BF⊥AE，即可求出∠BFC；（2）先证明△ADF≌△ECF，则▱ABCD的面积为△BEF面积的两倍，求出△BEF的面积即可．【解答】解：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC

，AB∥CD，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAE＝∠AFD，∴∠BAE＝∠AEB，∠AFD＝∠DAE，∴AB＝BE，∵AF＝EF，∠D＝54°，∴BF⊥AE，∠AFD＝（180°﹣∠D）＝63°，∴∠BFC＝180°﹣90°﹣

63°＝27°，故答案为：27°；（2）由题意得：tan∠AEB＝，设EF＝3x，BF＝4x，∴AB＝BE＝＝5x，∵AB＝4，∴x＝，∴EF＝，BF＝，＝，∵AD∥CE，∴∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠E，∵AF＝E

F，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴S平行四边形ABCD＝2S△BEF＝，故答案为：．10．如图，在▱ABCD中，点E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结BE．（1）求证：△DEA≌△CEF；（2）若BF＝CD，∠D＝52°，求∠ABE的度数．【分析】（1）利用中点定

义可得DE＝CE，再用平行四边形的性质，证明△ADE≌△FCE，即可得结论；（2）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝52°，根据全等三角形的性质得到AD＝FC，AE＝EF，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵E是边CD的中点，∴DE

＝CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BF，∴∠D＝∠DCF，在△DEA和△CEF中，，∴△DEA≌△CEF（ASA）；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝52°，∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC，AE

＝EF，∴AD＝BC＝FC，∴BF＝2BC，∵BF＝CD，∴BF＝AB，∴∠ABE＝∠FBE＝＝26°．11．在▱ABCD中，E，F分别为对角线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，且AE∥CF．（1）如图

1，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，若2BE＝3EF，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图2中面积是△ABD面积的的四个三角形．【分析】（1）先证△ABE≌△CDF（AAS）

，得AE＝CF，再由AE∥CF，即可得出四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，则BE＝DF，再由2BE＝3EF，得BE：BD＝3：8，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠AB

E＝∠CDF，∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：△ABE、△CDF、△BCE、△ADF，理由如下：由（1）得：△ABE≌△C

DF，∴BE＝DF，∵2BE＝3EF，∴BE：BD＝3：8，∴△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝△ABD面积的．1.（2021·浙江丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是．【分析】首先

求得内角和为720°的多边形的边数，过顶点剪去一个角后边数不变或减少1，即可确定原多边形的边数．【解答】解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝720，解得：n＝6．∵多边形过顶点截去一个角后

边数不变或减少1，∴原多边形的边数为6或7，故答案为：6或7．2.（2021·浙江湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是度．【分析】正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正

多边形及邻补角的性质，即可求得∠AFN＝∠ANF＝72°，然后根据三角形的内角和定理可求得∠A的度数．【解答】解：如图，∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，∴∠GFN＝∠FNM＝＝108°，∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝

180°﹣108°＝72°，∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案为：36．3.（2021·浙江衢州）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为．【分析】根据

五边形的内角和公式求出∠ABC，根据等腰三角形的性质求出∠BCA和∠CBD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠CBD＝3

6°，∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，故答案为：72°．4.（2021·浙江嘉兴）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为．【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出AC和OB的

长，又AH⊥OB，可利用等面积法求出AH的长．【解答】解：如图，∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，∴AC＝＝2，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC＝，在Rt△OAB中，OB＝＝，又AH⊥BD，∴OB•AH＝OA•AB，即＝，解得AH＝．故答案为：．5.（2

021·浙江宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．【分析】（1）根据平行四边

形的定义以及题目条件画出图形即可．（2）根据正方形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，四边形AEBF即为所求．6.（2021·浙江温州）如图，在▱ABCD中，E，F

是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．【分析】（1）证AE∥CF，再证△ABE≌△CDF（AAS

），得AE＝CF，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再证∠ECF＝∠CBE，则tan∠CBE＝tan∠ECF，得＝，求出EF＝﹣2，进而得出答案．【解答】（1）证

明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，设AE＝3a，则BE＝4a，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），∴AE＝3，BE＝4，由（1）得：四边形AECF是平行四边形，∴∠EAF＝∠ECF，CF＝A

E＝3，∵∠CBE＝∠EAF，∴∠ECF＝∠CBE，∴tan∠CBE＝tan∠ECF，∴＝，∴CF2＝EF×BF，设EF＝x，则BF＝x+4，∴32＝x（x+4），解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），即EF＝﹣2，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴BE＝

DF＝4，∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．7.（2021·浙江台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．（1）如图2，若点

A是劣弧BD的中点．①求证：▱ABCD是菱形；②求▱ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．①求AB的长；②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．【分析】（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．②求出AC的长，可得结论．（2）①分两种情形：当CD与

⊙O相切时，当BC与⊙O相切时，分别利用相似三角形的性质求解即可．②如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J．想办法求出AJ，HJ即可．如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．【解答】（1）①证明：∵＝，∴AD＝AB，∵四边形ABCD是平行

四边形，∴四边形ABCD是菱形．②解：连接OA交BD于J，连接OC．∵＝，∴OA⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴A，O，C共线，在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2，OD＝3，∴OJ＝＝＝1，∴AJ＝OA﹣OJ＝3﹣1＝2，∵四边形ABCD是菱

形，∴AJ＝CJ＝2，∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝×4×4＝8．（2）①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H，连接OH，OD，延长DO交AB于P，过点A作AJ⊥BD于J．∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∵CD∥AB，∴DP⊥A

B，∴PA＝PB，∴DB＝AD＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DH＝BH＝2，∴OH⊥BD，∴∠DHO＝∠DPB＝90°，∵∠ODH＝∠BDP，∴△DHO∽△DPB，∴＝＝，∴＝＝，∴DP＝，PB＝，∴AB＝2PB＝，当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝4．综上所述，

AB的长为4或．②解：如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J．∵•AB•DP＝•BD•AJ，∴AJ＝，∴BJ＝＝＝，∴JH＝BH﹣BJ＝2﹣＝，∴tan∠AHJ＝＝＝，如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，综上所述，▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，8.（2021·浙

江绍兴）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．答案：EF＝2．探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重

合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长．（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．【分析】（1）①证∠DEA＝∠DAE，得DE＝AD＝5，同理BC＝CF＝5，即可求解；②由题意得DE＝AD＝5

，再由CF＝BC＝5，即可求解；（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．【解答】解：（1）①如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴∠DEA＝

∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5，同理：BC＝CF＝5，∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE+CF＝10；②如图2所示：∵点E与点C重合，∴DE＝AD＝5，∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5；（2）分三种

情况：①如图3所示：同（1）得：AD＝DE，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴＝；②如图4所示：同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴＝；③如图5所示：

同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝DC＝CE，∴＝2；综上所述，的值为或或2．9.（2021·浙江湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作

AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函

数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．【分析】（1）①设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），

得出AE＝OF，AE∥OF，由平行四边形的判定可得出结论；②过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，证明△AEO∽△BDO，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），

点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，证明△AEO∽△GHP，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案．【解答】（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），∴AE＝OF＝a，∵AE⊥y轴，∴AE∥OF，∴四边形AE

FO是平行四边形；②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，∵AE⊥y轴，∴AE∥BD，∴△AEO∽△BDO，∴，∴当k＝4时，，即，∴S△BOE＝2S△AOE＝1；（2）不改变．理由如下：过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的

坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，∵∠EGO＝∠PGH，∴∠EAO＝∠PGH，又∵∠PHG＝∠AEO，∴△AEO∽△GHP，∴，∵GH＝OH﹣

OG＝﹣b﹣a，∴，∴﹣k＝0，解得，∵a，b异号，k＞0，∴，∴S△POE＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．1．（2021•温岭市一模）正n边形的一个外角为30°，则n＝（）A．9B．10C．12D．14【分析】

利用多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：n＝360°÷30°＝12．故选：C．2．（2021•鹿城区校级二模）如图，在▱ABCD中，∠D＝56°，点E在边BC的延长线上，且BE＝CD，则∠E的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．72°【分析】根据平行四边形的性质得出

AB＝CD，∠B＝∠D，进而利用等腰三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝56°，∵BE＝CD，∴AB＝BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠E＝，

故选：B．3．（2021•嵊州市模拟）如图，在▱ABCD中，点M，N分别是AD、BC的中点，点O是CM，DN的交点，直线AB分别与CM，DN的延长线交于点P、Q．若▱ABCD的面积为192，则△POQ的面积为（）A．72B．

144C．208D．216【分析】连接MN，由平行四边形的性质可得CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC，从而有∠CDQ＝∠Q，∠DCB＝∠CBQ，再由点M，N分别是AD、BC的中点，可得DM＝CN，CN＝BN，可判定四边形CDMN是平行四边形，△C

DN≌△BQN，同理可得△CDM≌△PAM，从而可求得四边形CDMN的面积是96，可判定O是CM的中点，△CDM的面积为四边形CDMN的一半，即48，可求得△COD的面积为24，利用△POQ的面积＝四边形ABCD的面

积+△COD的面积即可得解．【解答】解：连接MN，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC，∴∠CDQ＝∠Q，∠DCB＝∠CBQ，∵点M，N分别是AD、BC的中点，∴DM＝CN，CN＝BN，∴

四边形CDMN是平行四边形，在△CDN和△BQN中，，∴△CDN≌△BQN（AAS），同理可得：△CDM≌△PAM，∴△POQ的面积＝四边形ABCD的面积+△COD的面积，O是CM的中点，∵▱ABCD的面积为192，∴四边形CDMN的面积是96，∴△CDM

的面积为四边形CDMN的面积的一半，即48，∴△COD的面积为24，∴△POQ的面积＝四边形ABCD的面积+△COD的面积＝192+24＝216．故选：D．4．（2021•奉化区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，M，N分别为边BC，CD的中点，且∠MAN＝∠A

BC，则的值是．【分析】延长AM与DC的延长线交于点E，先证明△ABM≌△ECM，得AM与AE的关系，AB与EN和ED的关系，再证明△EAN∽△EDA，由相似三角形比例线段便可得结论．【解答】解：延长AM与DC的延长线交于点E，∵四边形ABCD为平行四边

形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，∵∠B＝∠MAN，∴∠ECM＝∠B＝∠MAN＝∠D，∵M是BC的中点，N是CD的中点，∴BM＝CM，CN＝DN＝，在△ABM和△ECM中，，∴△ABM≌△ECM（ASA），∴AB＝CE，AM＝EM，∴AE＝2AM，EN＝A

B，ED＝2AB，∵∠EAN＝∠D，∠E＝∠E，∴△EAN∽△EDA，∴，即EA2＝ED•EN，∴，∴，∴．故答案为：．5．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边

形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为100cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形ABDC的面积是．【分析】把大平行四边形空白部分看作是由：除阴影部分外，4个小平行四边形组成的，对角线AB、AC、BD、DC把每个小平行四边

形平均分成了两个面积相等的三角形，即它们的面积①＝②，③＝④，⑤＝⑥，⑦＝⑧；大平行四边形图中空白部分的面积＝100﹣20＝80cm2；因此四边形ABDC中空白的部分的面积＝①+③+⑥+⑦＝80÷2＝40cm2，则四边形ABDC的面积＝①+③+⑥+⑦+阴影部

分的面积＝40+20＝60cm2．【解答】解：如图所示：四边形ABDC的面积＝①+③+⑥+⑦+阴影部分的面积，四边形ABDC内空白部分的面积是：（100﹣20）÷2＝80÷2＝40（cm2）；四边形ABDC的面积：40+20＝60（cm2）；∴四边形ABDC的面积

是60cm2．故答案为：60cm2．6．（2021•宁波模拟）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，则△OCD的周长为．【分析】根据勾股定理得出OA的长，进而利用平行四

边形的性质即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝6，∵AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，∴OB＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝8，OA＝OC＝6，OB＝OD＝10，∴△OCD的周长＝6+8

+10＝24，故答案为：24．7．（2021•长兴县模拟）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，分别以点A，C为圆心画弧，交于M，N两点，直线MN与AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE．若AC＝4，EF＝2，则AE的长是．【分析】由作图可知：MN是AC的垂直平分线

，即可得AE＝CE，AF＝CF，通过证明△AOE≌△AOF（ASA），可证明四边形ABCD为菱形，进而可求解AO，EO的长，再利用勾股定理可求解AE的长．【解答】解：由作图可知：MN是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AF＝CF，∠AOE＝∠AOF，∴∠FAC

＝∠FCA，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，∴∠EAC＝∠FAC，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∴AE＝AF＝CF＝CE，∴四边形ABCD为菱形，∵AC＝4，EF＝2，∴AO＝AC＝2

，EO＝EF＝1，∴AE＝．故答案为．8．（2021•永嘉县校级模拟）如图1，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与水平地面平行．如图2，画框的左上角顶点B，E，F，G都在直线AB上，且BE＝EF＝FG，楼梯装饰线条所在直线CD∥AB，延长画框的边

BH，MN得到▱ABCD．若直线PQ恰好经过点D，AB＝275cm，CH＝100cm，∠A＝60°，则正方形画框的边长为cm．【分析】延长EP，与CD交于点K，证明PK＝HC＝100cm，解Rt△PDK，求得DK，进而求得BE，再求得A

G，解Rt△AMG得GM便可．【解答】解：延长EP，与CD交于点K，如图，∵AB∥CD，BC∥EK，∴四边形BCKE是平行四边形，∴BE＝CK，BC＝EK，∵BH＝EP，∴PK＝CH＝100cm，∵∠A＝60°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝60°，

AB＝CD＝275cm，∵BC∥EK，∴∠PKD＝∠C＝60°，∴DK＝cm，∴BE＝CK＝CD﹣DK＝75cm，∵BE＝EF＝FG，∴AG＝AB﹣3BE＝275﹣75×3＝50cm，∴GM＝AG•sin∠A＝50×＝25cm

．正方形画框的边长为25cm．故答案为：25．9．（2021•永嘉县校级模拟）如图，已知∠ACB＝90°，AC＝4，∠CAB＝60°，D为AC的中点，E为AB上的一动点，以AD、DE为一组邻边构造▱ADEP，连接CP，则CP的最小值是．【分析】当CP⊥AB时，垂足为O

，此时CP的值最小，过点D作DF⊥AB于F，根据含30°角的直角三角形的性质求出DF，CO的长，再证明△DAF≌△PEO，根据全等三角形的性质求出OP的长，即可求解．【解答】解：如图，当CP⊥AB时，垂足为

O，此时CP的值最小，过点D作DF⊥AB于F，∵∠ACB＝90°，AC＝4，∠CAB＝60°，∴∠ACO＝∠ADF＝30°，∴AO＝2，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝2，∴AF＝，DF＝3，OC＝6，∵CP⊥AB，DF⊥A

B，∴∠DFA＝∠POE＝90°，∵四边形ADEP是平行四边形，∴AD＝EP，AD∥EP，∴∠DAF＝∠PEO，△DAF和△PEO中，，∴△DAF≌△PEO（AAS），∴OP＝DF＝3，∴CP＝CO+OP＝6+3＝9．

故答案为：9．10．（2021•鹿城区校级三模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：EO＝FO；（2）若AE＝EF＝4，求AC的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得

出∠ABE＝∠CDF，求出∠AEB＝∠CFD＝90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．（2）根据勾股定理得出OA，进而解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵OB＝OD，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，∴OE＝OF．（2）解：∵AE＝EF＝4，OE＝OF，∴OE＝2，在Rt△AEO中，OA＝，∴AC＝2OA＝

4．11．（2021•西城区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点N，点M是对角线BD中点，连接AM，CM．如果AM＝DC，AB⊥AC，且AB＝AC．（1）求证：四边形AMCD是平行四边形

．（2）若DN＝，则BC＝，tan∠DBC＝．【分析】（1）要证明四边形AMCD是平行四边形，已知AM＝DC，只需要证明AM∥DC即可；由条件可知△AMB≌△AMC（SSS），推理可得∠DCA＝∠MAC＝45°，由内错角相等两直线平行可知AM∥CD，可得结论；（2）如图

，延长AM交BC于点E，根据等腰直角三角形的选择得到AE⊥BC，且点E为BC的中点，根据三角形中位线的性质定理得到CD＝2ME，设AB＝a，则BC＝a，求得AE＝BC＝a，根据平行四边形的性质得到MN＝DN＝，设DC＝x，BC＝3x，根据勾股定理即可得到结论．【解

答】（1）证明：如图，∵点M是BD的中点，∠BCD＝90°，∴CM是Rt△BCD斜边BD的中线，∴CM＝BM＝MD，又AB＝AC，AM＝AM，∴△AMB≌△AMC（SSS），∴∠BAM＝∠CAM，∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAM＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°

，∴∠DCA＝∠DCB﹣∠ACB＝45°，∴∠DCA＝∠MAC，∴AM∥CD，又∵AM＝DC，∴四边形AMCD为平行四边形；（2）解：如图，延长AM交BC于点E，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAM，∴AE⊥BC，且点E为BC的中点，∵点M是BD的中点，点E是BC的中点，∴

ME是△BCD的中位线，∴CD＝2ME，又AM＝CD，∴AM＝2ME，∴ME＝AE，设AB＝a，则BC＝a，AE＝BC＝a，∴ME＝AE＝a，又BE＝AE＝a，∴tan∠DBC＝＝，∵四边形AMCD为平行四边形，DN＝，∴MN＝DN

＝，∴BD＝4，在Rt△BCD中，∵tan∠DBC＝＝，∴设DC＝x，BC＝3x，∴BD＝＝x，∴x＝4，∴x＝4，∴DC＝4，∴BC＝＝12，故答案为12，．12．（2021•长兴县模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE

．（1）求证：∠OBE＝∠ADO；（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，①求证：△EFG是等腰三角形；②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠ADB＝∠DBC，再证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可

得∠OBE＝∠OBC，进而可证明结论；（2）①首先证明EG＝AB，再根据三角形中位线的性质可得EF＝CD，进而得到EG＝EF，可证明结论；②由①得EF∥AB，由EF⊥EG，G是AB的中点，可证得AE＝BE，设CE＝x，则AO＝CO＝2

CE＝2x，利用勾股定理可求解x值，进而可求解AC，BE，再利用平行四边形的面积公式可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD＝

2AD，∴AD＝DO，∴BC＝BO，∵E是CO中点，∴∠OBE＝∠OBC，∴∠OBE＝∠ADO；（2）①证明：∵BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中点，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G为AB中点，∴EG＝AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，

∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF＝CD∴EG＝EF，∴△EFG是等腰三角形；②解：由①得EF∥AB，∵EF⊥EG，∴EG⊥AB，∵G是AB的中点，∴AE＝BE，设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，∴BE＝AE＝3x，在Rt△BEC中，BC＝10，∴EC2+BE

2＝BC2，即x2+（3x）2＝102，解得x＝，∴AC＝，BE＝，∴S▱ABCD＝2S△ABC＝．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com