【文档说明】四川省双流棠湖中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.456 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-64145c958d9503d1d79a44434b1787e4.html

以下为本文档部分文字说明：

棠湖中学2023-2024学年高二上学期第一学月考试数学试题一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.已知a，Rb，()2iiiab−=−，若izab=+，则z的虚部是（）A.2B.1C.2i−D.2i【答案】A【解析】【分析】根据复数相等求得,ab，

然后利用共轭复数的概念求虚部.【详解】因为()2iii1iabb−=−=+，所以1,2ab==−，所以12zi=−，所以12iz=+，所以z的虚部是2.故选：A.2.过点()2,3A且与直线:2470lxy−+=平行的直线方程是（）A.240xy−

+=B.240xy−−=C.210xy−+=D.280xy+−=【答案】A【解析】【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.【详解】由题意设所求方程为()2407xycc−+=，因为直线经过点()2,3A，所以2

2430c−+=，即8c=，所以所求直线为240xy−+=.故选：A.3.第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月18日至8月29日在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务，招

募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示：则下列说法正确的是（）A.甲的平均成绩比乙的平均成绩高B.甲的平均成绩比乙的平均成绩低C.甲成绩的极差比

乙成绩的极差小D.乙的成绩比甲的成绩稳定【答案】D【解析】【分析】依数据分别计算甲、乙的平均值与方差、极差即可做出选择．【详解】由折线图得到甲六次测试的成绩依次为90，93，92，94，96，93，乙六次测试的成绩依次为93，94，91，9

5，92，93，则甲的平均成绩为()1909392949693936+++++=，乙的平均成绩为()1939491+959293936++++=，故A，B均错误；甲成绩的极差为96906−=，乙成绩的极差为95914−=，故C错误；甲成绩的方差()()22222221+11

030113063s=−+−+++=，乙成绩的方差()()222222221501221063s=++−++−+=，且2212ss，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，D正确．故选：D4.圆22:5Oxy+=，则经过点

2()1,M−的切线方程为（）A.250xy−−=B.250xy++=C.250xy+−=D.250xy−+=【答案】D【解析】【分析】结合题意得点2()1,M−在圆上，进而根据MO与切线垂直得切线斜率为12，再求解方程

即可.【详解】解：因为()22125−+=，所以点2()1,M−在圆上，所以MO与切线垂直，因为2OMk=−，所以切线斜率为12，所以，切线方程为12(1)2yx−=+，即250xy−+=.故选：D5.在四面体ABCD

−中，点F在AD上，且2AFFD=，E为BC中点，则EF=（）A.1223ACABAD+−B.112223ACABAD−−+C.112223ACABAD−+D112223ACABAD−+−【答案】B【解析】【分析】由条件，结合空间向量的线性运算利用,,ABACA

D表示EF即可.【详解】如图，因为点F在AD上，且2AFFD=，所以23AFAD=uuuruuur，因为E为BC中点，所以()1122EBCBABAC==−，所以EFEBBAAF=++()1223ABACABA

D=−+−112223ACABAD=−−+，即112223EFACABAD=−−+.故选：B..6.水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示．其中1BCAB==，则原平

面图形的面积为（）A.328B.324C.32D.62【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法图形性质可得原图形的形状，进而可得面积.【详解】由直角梯形ABCD中1BCAB==，且45ADC=，作APDC⊥于P，则四边形ABCP

为正方形，APD为等腰直角三角形，故2AD=，2DC=.故原图为直角梯形，且上底1ABAB==，高222ADAD==，下底2DCDC==.其面积为()11222322+=.的故选：C7.

已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为35π，则该圆台的体积为（）A.8π3B.14π3C.5πD.16π3【答案】B【解析】【分析】根据扇环的面积公式求出母线长，利用勾股定理求高，在根据圆台体积公式计

算即可.【详解】解：圆台的侧面展开图是个扇环，()()12ππ1235π5Srrlll=+=+==扇环，所以圆台的高()()225212h=−−=，则()()1114π4ππ4π2π333VSSSSh=++=++=下下上上圆台，故选：B.8.已知棱长都为3的正三棱

柱111ABCABC-中，,DE分别为棱11,BBCC上的点，当1ADDEEA++取得最小值时，DE与平面11AACC所成角的正弦值为（）A.1010B.55C.33020D.3320【答案】C【解析】【分析】借助于侧面展

开图分析可得当11BD=，12CE=时，1ADDEEA++取得最小值时，利用平行将DE与平面11AACC所成的角转化为DE与平面11AACC所成的角，再根据线面角的定义分析求解.【详解】如图1，沿着棱1AA将棱柱的侧面展开成一个矩形，因为11ADDEEAAA++，所以当1ADDEEA++取得最

小值时，11BD=，12CE=，如图2，在1CC上取F点，使得11CF=，连接1BF，因为1BDEF∥，1BDEF=，所以四边形1EFBD为平行四边形，则1BFDE∥，1BFDE=，所以1BF、DE与平面11AACC所成的角相

等.取11AC的中点为G，连接GF、1BG，因为111BGAC⊥，11BGAA⊥，1111ACAAA=，111,ACAA平面11AACC，所以1BG⊥平面11AACC，则1BFG为1BF与平面11AACC所成的角，即D

E与平面11AACC所成的角，又1332BG=，110BF=，所以111330sin20BGBFGBF==.故选：C.二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）9.某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学

生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（）A.在被抽取的学生中，成绩在区间)90,100内的学生有160人B.图中x的值为0.025C.估计全

校学生成绩的中位数为86.7D.估计全校学生成绩的80%分位数为95【答案】ACD【解析】【分析】由频率分布直方图，根据频率之和为1求得x，根据频率、中位数、百分位数的求得正确答案.【详解】由题意，成绩在区间)90,100内的学生人数为4000.04010160=，故

A正确；由()0.0050.0100.0150.040101x++++=，得0.030x=，故B错误；设中位数为a，则()()0.0050.0100.015100.030800.5a+++−=，得86.7a，故C正确；低于90分的

频率为10.40.6−=，设样本数据的80%分位数为n，则900.2100900.4n−=−，解得95n=，故D正确.故选：ACD10.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件A=

“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是红球”，事件C=“第二次取出的是红球”，事件D=“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（）A.A与D互为对立B.B与C互斥CA与B相互独立D.B与D相互独立【答案】ACD【解析】【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识

对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】先编号：红球为1,2，白球为3,4，.不放回依次取出两个，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，共12种，事件A=“12,21,34,43”；事件B=“12

,13,14,21,23,24”；事件C=“12,21,31,41,32,42”；事件D=“13,14,23,24,31,41,32,42”.A选项，,ADAD==，所以A与D互为对立事件；B选项，AC，所以B与C不是互斥事件；C选项，事件AB=“12,21”，所以

()()()()()()416121,,,123122126PAPBPABPABPAPB=======，所以A与B相互独立，所以C选项正确.D选项，事件BD=“13,14,23,24”，()()()()()()18241,,,2123123PBPDPBDPBDPBPD======，所以B与D相互

独立，所以D选项正确.故选：ACD11.已知点(2,3),(3,1)AB，且直线l：10(R)+−=xmym与线段AB恒有交点，下列说法中正确的是（）A.直线l的斜率为m−B.直线l过定点(1,0)C.若直线AB与直线l垂直，则2m

=−D.m的取值范围12,3−−【答案】BCD【解析】【分析】利用直线方程确定直线定点及斜率，来判断A，B选项，在根据直线与AB的关系判断C，D选项.【详解】解：对于直线l：10(R)+−=xmym当0m时，直线斜率存在，斜率为1l

km=−，故A选项错误；又当0y=时，总有1x=，所以直线l过定点(1,0)，故B选项正确；又(2,3),(3,1)AB，所以31223−==−−ABk，若直线AB与直线l垂直，则1lABkk=−，所以112=−=lkm，得2m=−，故C选项正确；如图，设直

线恒过定点(1,0)P若直线l与线段AB恒有交点，则可得：BPlAPkkk即1132−m，解得：123m−−，所以m的取值范围12,3−−，故D选项正确.故选：BCD.12.如图，底面ABCD为边长是2的正方形，半圆面APD⊥底面ABCD.点P为半圆弧AD上（不含A，D点

）的一动点.下列说法正确的是（）A.BPPD的数量积恒为0B.三棱锥PBCD−体积的最大值为23C.不存在点P，使得4ABPB=D.点A到平面BPD的距离取值范围为(0,2)【答案】ABD【解析】【分析】由面面垂直的性质结合平面向量的运算可判断A；由棱锥的体积公式结合高h的范围可判

断B；由向量的线性运算，PBPAAB=+，再由数量积运算可判断C；由等体积法得出点A到平面BPD的距离取值范围，可判断D.【详解】对A，因为半圆面APD⊥底面ABCD，ABAD⊥，面APD底面ABCDAD=，AD底面ABCD，所以AB⊥平面APD，又,A

PPD平面APD，ABAP⊥，ABPD⊥，又由圆的性质，APPD⊥，()000BPPDAPABPDAPPDABPD=−=−=−=，故A正确；对B，设点P到平面BCD的距离为h，底面积2BCDS=，显然当点

P为弧AD中点时h最大，此时棱锥的体积最大，11221333PBCDBCDVSh−==，故B正确；对C，()224ABPBABPAABABPAABAB=+=+==，故C错误；对D，因为cosDBDPDB

DPPDB=，又()2200DBDPDPPAABDPDPDP=++=++=，所以2cosDBDPPDBDP=，22DB=，所以2cos4DPPDBDPDB==，所以211sin1cos22BDP

SBDDPPDBBDDPPDB==−22812221242DPDPDPDP−=−=，在RTAPD中，24sin2DPAPADPAD−==，设点P到平面ABD的距离为1h，点A到平面BPD的距离为2h，作PEAD⊥于E，因为面APD⊥底面

ABCD，面APD底面ABCDAD=，PE面APD，所以PE⊥面ABCD，所以214sin2DPDPDPPDAhPE−===，因为PABDABPDVV−−=，即121133ABDBPDShSh=，所以22248213232DPDPDPDPh−−=

，设()0,2DPt=，则22222416488thtt−==−−−，()284,8t−，()20,2h，故D正确.故选：ABD.第2卷非选择题（90分）三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.某学校共有教职员工800人，其中不超过45岁的有x人，

超过45岁的有320人.为了调查他们的健康状况，用分层抽样的方法从全体教职员工中抽取一个容量为50的样本，应抽取超过45岁的教职员工20人，抽取的不超过45岁的救职员工y人，则xy+=______人.【答案】510【解析】【分析】直接根据条件列方程求解.【详解】根据条件学校共有教职员工8

00人，抽取一个容量为50的样本，3208002050xy+=+=，解得48030xy==，510xy+=.故答案为：510.14.已知向量()2,,4am=−，()1,4,2b=−，且ab∥，则实数m=______.【答

案】8−【解析】【分析】利用向量平行的条件直接解出m.【详解】因为向量()2,,4am=−，()1,4,2b=−，且ab∥，所以24142−==−m，解得8m=−.故答案为：8−.15.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形

的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点()()()4,0,0,2,0,3ABC−，则ABC欧拉线的方程为______.【答案】230xy

−−=【解析】【分析】根据ABC的顶点为()()()4,0,0,2,0,3ABC−，求得重心坐标，结合外心的性质设ABC的外心W的坐标，由||||WAWC=求得坐标，然后写出欧拉线方程.【详解】因为ABC的顶点为()()()4,0,0,2

,0,3ABC−，所以重心41,33G−，因为线段BC的垂直平分线方程为12y=−，所以可设ABC的外心为1,2Wa−，则||||WAWC=，即2222(411)0322aa−+−−=+−+

，解得54a=，所以5,421W−．所以该三角形的欧拉线方程为314315331424yx−++=−−，化简可得，230xy−−=.故答案为：230xy−−=.16.若恰有三组不全为0的实数对(,)ab满足关系式22|23||533|abab

tab++=−+=+，则实数t的所有可能的值为________【答案】52，115，115353【解析】【分析】化简得到2222|23||533|ababtabab++−+==++，然后，根据情况，对t进行分类讨论即可求解【详解】由已知得，明显地

，0t，整理得，又由2222|23||533|ababtabab++−+==++，看成有且仅有三条直线满足，(2,1)A和(5,3)B−到直线:30laxby++=（不过原点）的距离t相等；由22(52)(31)5AB=−+−−=，（1）当522ABt==，此时，易得符合题意的直线l为线段AB

的垂直平分线68290xy−−=以及直线AB平行的两条直线8630xy++=和86470xy+−=（2）当522ABt=时，有4条直线l会使得点(2,1)A和(5,3)B−到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点A到l的距离为d，①作为

增根被舍去的直线l，过原点和,AB的中点7(,1)2M−，其方程为270xy+=，此时，115253td==，符合；②作为增根被舍去的直线l，过原点且以AB为方向向量，其方程为430xy+=，此时，11552td==，符合；综上，满足题意的实数t为52，115，115

353；故答案为：52，115，115353【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于化简得到2222|23||533|ababtabab++−+==++，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，(2,1)A和(5,3)B−到直线:30laxby++

=（不过原点）的距离t相等，这是本题的解题关键，本题难度属于困难三、解答题（本大题共6个大题，共70分）17.已知平面内两点()()2,2,4,4MN−．（1）求MN的垂直平分线方程；（2）直线l经过点()3,0A，

且点M和点N到直线l的距离相等，求直线l的方程．【答案】（1）360xy+−=；（2）3x=和390xy−−=【解析】【分析】(1)求出MN中点坐标为()31，，计算出MN两点的斜率，根据两直线垂直斜率乘积等于

-1计算出中垂线的斜率，再利用点斜式写出中垂线即可．(2)点M和点N到直线l的距离相等等价于直线l与直线MN平行或直线l过MN的中点．【详解】（1）易求得MN中点坐标为()31，．又()42342MNk−−==−，所以MN的中垂线的斜率为13−，MN的中垂线的方程为

()1133yx−=−−即360xy+−=．（2）由（1）知，3MNk=，所以直线l的方程为390xy−−=，直线l经过点()()3,03,1得3x=，综上：l为3x=和390xy−−=【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属

于基础题．18.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并

将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70),,[90,100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50

,60)80.16第2组[60,70)a▆第3组[70,80)200.40第4组[80,90)▆0.08第5组[90,100]2b合计▆▆（1）求,,,abxy的值；（2）若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.

【答案】（1）16,0.04,0.032,0.004abxy====；（2）35.【解析】【分析】（1）根据频率分布表可得b.先求得[80,90)内的频数,即可由总数减去其余部分求得a.结合频率分布直方图,即可求得,xy的值.（2）根据频率分布表可知在[80,90)内有4

人,在[90,100]有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布表可得20.0450b==[80,90)内的频数为500.084=,∴508204216a=−

−−−=∴[60,70)内的频率为160.3250=∴0.320.03210x==∵[90,100]内的频率为0.04∴0.040.00410y==（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,设第4组的4人分别为1a、2a、3a、4a；第5组的2人分别为1b

、2b从中任取2人的所有基本事件为：()12,aa,()13,aa,()14,aa,()11,ab,()12,ab,()23,aa,()24,aa,()21,ab,()22,ab,()34,aa,()31,ab,()32,ab,()41,ab,()42,ab,()12,bb共15

个.至少一人来自第5组的基本事件有：()11,ab,()12,ab,()21,ab,()22,ab,()31,ab,()32,ab,()41,ab,()42,ab()12,bb共9个.所以93155P==.∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为35.19.已知

圆C过三个点(1,0),(3,2),(5,0)MNR．（1）求圆C的方程：（2）已知O为坐标原点，点A在圆C上运动，求线段OA的中点P的轨迹方程．【答案】（1）22(3)4xy−+=（2）22312xy−+=【解析】【分析】（1）设圆C的方程为2222(4)00xyDx

EyFDEF++++=+−，将三个点(1,0),(3,2),(5,0)MNR代入求解；（2）设动点P的坐标为(),xy，A的坐标是()11,xy，由P为线段OA的中点，得到1122xxyy==，，代入圆22(3)4xy−+=上的点求解.【小

问1详解】解：设圆C的方程为2222(4)00xyDxEyFDEF++++=+−，因圆C过三个点(1,0),(3,2),(5,0)MNR，所以10943202550DFDEFDF++=++++=++=，解得6,0

,5DEF=−==，所以圆C的方程为22650xyx+−+=，即22(3)4xy−+=．【小问2详解】设动点P的坐标为(),xy，A的坐标是()11,xy．由于P为线段OA的中点，所以12xx=，12yy=，所以有1122xxyy

==，①A是圆22(3)4xy−+=上的点，所以A坐标()11,xy满足：()221134xy−+=②将①代入②整理，得22312xy−+=，所以P的轨迹是以3,02为圆心，以1为半径的圆，方程为22312xy−+=．20.如图，在三棱柱111A

BCABC-中，1CC⊥底面ABC，ACBC⊥，D是11AC的中点，且12ACBCAA===.（Ⅰ）求证：11//AB平面ABD；为（Ⅱ）求直线1AB与平面ABD所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）39.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面

平行的判断定理可得证；（Ⅱ）以CA，CB，1CC为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，运用线面向量求解方法可求得直线1AB与平面ABD所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）如图，由三棱柱111ABCABC-，得11//ABAB，又因为11AB平面

ABD，AB平面ABD，所以11//AB平面ABD；（Ⅱ）因为1CC⊥底面ABC，ACBC⊥，所以CA，CB，1CC两两垂直，故分别以CA，CB，1CC为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,2

,0B，()2,0,0A，()10,2,2B，()1,0,2D，所以()12,2,2AB=−，()2,2,0AB=−，()1,0,2AD=−，设平面ABD的法向量(),,nxyz=，由0ABn=，0ADn=，得220,20,xyxz−+=−+=令2x=，得()2,2,1n=r.设直线

1AB与平面ABD所成角为，则1113sincos,9ABnABnABn===，所以直线1AB与平面ABD所成角的正弦值为39.【点睛】本题考查线面平行的证明，线面角的向量求解方法，属于中档题.21.如图，

几何体EFABCD−中，平面ABCD⊥平面EFCD，四边形CDEF为边长为2的正方形，在等腰梯形ABCD中，//ABCD，2AD=，4AB=.（1）求证：ACFB⊥；（2）求二面角EFBD−−的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）310535.【解析】【分析】（1）可证AC⊥平面BF

C，从而得到ACFB⊥.（2）以CA方向为x轴，CB方向为y轴，CF方向为z轴建立空间直角坐标系，求出平面EFB和平面DFB的法向量的夹角的余弦值后可得二面角EFBD−−的平面角的余弦值.【详解】证明：过点C作CHAB⊥于H.ABC

D为等腰梯形，则//ABCD，又2ADDC==，4AB=，1BH=，又2BC=，60ABC=，又4,2ABBC==，故1642423AC=+−=,故222ACBCAB+=，ACBC⊥.∵平面ABCD⊥平面EFCD，F

CCD⊥，平面ABCD平面EFCDCD=，∴FC⊥平面ABCD.∵AC平面ABCD，ACFC⊥，又ACBC⊥Q，BCFCC=∴AC⊥平面BFC，∵FB平面BFC，所以AC⊥FB.（2）解：以CA方向为x轴，CB

方向为y轴，CF方向为z轴建立空间直角坐标系，则()23,0,0A，()0,2,0B，()0,0,2F，(3,1,0)D−.设平面EFB和平面DFB的法向量分别为()1111,,nxyz=和()2222,,nxyz=，则1100BFnBAn==即111122

02320yzxy−+=−=，取11x=得：()11,3,3n=，又2200BFnDFn==即22222220320yzxyz−+=−++=，取21y=得：()23,1,1n=，则12333105cos,35133311nn==++++，∴二面角EFBD−−

的余弦值为310535.【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算

，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.22.已知圆()()22:4Cxayb−+−=，圆心C在直线yx=上，且被直线:2mxy+=截得弦长为22.（1）求圆C方程；的（2）若0a，点()0,1A，过A作两条直

线l，1l，且满足1ll⊥，直线l交圆C于M，N两点，直线1l交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值.【答案】（1）224xy+=或()()22224xy−+−=；（2）7.【解析】【分析】（1）由已知可得ab=，利用圆的弦长公式可求解；（2）分类讨论直线斜率是否存在，利

用圆的弦长公式求得||PQ，||MN，再利用基本不等式求得四边形PMQN面积的最大值.【详解】（1）由圆()()22:4Cxayb−+−=，圆心C在直线yx=上，ab=故圆()()22:4Cxaya−+−=，圆心(),aa，半径2r=设圆心到直线2xy+=的距离为d，则()22222d=−=即2

222ad−==，解得：0a=或2a=所以圆C的方程为224xy+=或()()22224xy−+−=；（2）由0a，可知圆C的方程为224xy+=当直线l斜率不存在时，此时||4MN=，22||22123PQ=−=此时1|1423432|

||2PMQNPQMNS===当直线l斜率存在，设为k，则直线l方程为1ykx=+，圆心到直线l的距离设为d，则211dk=+，则2221||22241MNdk=−=−+同理可得2221||2424111kPQkk=−=−++则222222111||||24444

721111PMQNkkPQMNkkkSk=−−−+−=++++=当且仅当22214411kkk−=−++，即21k=时等号成立综上可知四边形PMQN面积的最大值为7.获得更多资源请扫

码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com