【文档说明】江苏省响水县清源高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1.060 MB，由小赞的店铺上传

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响水县清源高级中学2023年秋学期高二年级期中考试数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.2．答题前务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题

卡上.一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）1.直线10xy+−=的倾斜角为（）A.6B.56C.4D.34【答案】D【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求得倾斜角.【详解】由已知10xy+−=，故1yx=−+，设直线倾斜角为所以tan1k==−，

又因为)0，所以3=4故选：D2.抛物线22yx=的焦点到原点的距离为（）A.14B.12C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线方程得出焦点坐标后即可得．【详解】由题意22p=，1p=，所以焦点为1(,0)2F，其到原点距离为12．故选：B．3.已知函数()()212

1ln2fxfxxx=−++（()fx是()fx导函数），则()1f=（）A.32B.1C.2D.12−【答案】A的【解析】【分析】先对函数()fx求导，代入1x=，求出()1f的值，进而求解()1f的值即可.【详解】因为()()2121ln

2fxfxxx=−++所以定义域为()0,+.所以()()1212fxfxx=−+当1x=时，()()12121ff=−+，()11f=，则()1312122f=−+=故选：A4.已知数列na中，12a=

，()1112nnana−=−，则2023a等于（）A.1−B.12−C.12D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意代入计算可得数列na是周期为3的周期数列，即可得202312aa==.【详解】根据12a=并利用111nnaa−=−可得211112aa=−=，32111aa=−=−

，43112aa=−=，541112aa=−=，…所以可得数列na是周期为3的周期数列，即20233674112aaa+===.故选：D5.若双曲线22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线与直线230xy++=

垂直，则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.5D.52【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率公式以及两直线的垂直与斜率的关系求解.【详解】双曲线22221xyab−=的渐近线方程为byxa=，直线230xy++=的斜率为12−，所以由题可知，2ba=，所以双曲线

的离心率为2215bea=+=，故选:C.6.已知数列31n+与数列41n−，其中*Nn.它们的公共项由小到大组成新的数列na，则na的前20项的和为（）A.2380B.2400C.2420D.2440【答案】C【解析】【分析】先确定公共项为为等差数列，求出首项

和公差后即可求和.【详解】明显数列31n+和数列41n−均为等差数列令123141nn+=−，可得21423nn−=，则22,5,8,n=，则数列na为等差数列，且14217a=−=，公差为()()45142112−−−=，所以na的前20项的和为2019207122420

2+=.故选：C.7.已知()20A−，，()20B，，动点P满足2PAPB=，则点P的轨迹与圆228xy+=相交的弦长等于（）A.27B.26C.42D.25【答案】A【解析】【分析】设(),Pxy，根据题设整理可得点P的轨迹方程为

圆，由两圆方程消去二次项可得公共弦所在直线方程，然后由点到直线的距离公式和圆的弦长公式可得.【详解】设(),Pxy，则()()2222222xyPAPBxy++==−+，整理得221240xyx+−+=，联立222212408xyxxy+−+=+=

消去二次项得公共弦所在直线方程1x=，圆228xy+=的圆心为()0,0O，半径为22，圆心()0,0O到直线1x=的距离为1，所以公共弦长为28127−=.故选：A8.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=

的左､右焦点分别为12,FF，点P在椭圆C上，若离心率12PFePF=，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A.()0,21−B.20,2C.2,12D.)21,1−【答案】D【解析】【分析】由题

意可知12PFePF=，结合椭圆的定义解得221aPFe=+，再由2acPFac−+求解.【详解】因为12PFePF=，所以12PFePF=，由椭圆的定义得：122PFPFa+=，解得221aPFe=+，因为2acPFac−+，所以21aacace−++，两边同除以a得2111e

ee−++，解得21e−，因为01e，所以211e−，所以该离心率e的取值范围是[21,1)−故选：D.二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选的对得2分，选错的得0分）9.已知nS是等差数列na的前n项和，且85

1000aaa+，，则下列选项正确的是（）A.数列na为递减数列B.70aC.nS的最大值为7SD.150S【答案】AC【解析】【分析】根据等差数列的性质得出70a，从而可判断数列的单调性，再结合等差数列的前n项和公式判断各选项．【详解】{}na是等差

数列，则785100aaaa+=+，又80a，∴70a，所以870daa=−，{}na是递减数列，从而nS中7S最大，11515815()1502aaSa+==，故选：AC．10.已知圆()22:24Cxy++=，直线()():1210Rlmxym

m++−+=．则（）A.直线l恒过定点()11−，B.直线l与圆C有两个交点C.当0m=时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1D.若8a=，则圆C与圆22280xyxya+−++=恰有三条公切线【答案】BD【解析】【分析】直线方程整理成关于m的方程，由恒等式知识

可得定点坐标，判断A，由定点在圆得直线与圆位置关系，判断B，求出圆心到直线的距离得距离为1的平行直线与圆的位置关系判断C，由圆心距离判断两圆位置关系后判断D．【详解】直线l的方程整理为(1)210xmxy+++−=，由10

210xxy+=+−=得11xy=−=，所以直线过定点(1,1)−，A错；又22(11)124−++=，即定点(1,1)−在圆内，因此直线与圆相交，有两个交点，B正确；0m=时直线方程为210xy+−=，圆心(2,0)C−到直线的距离为2013555d−+−==，圆半径为2，35

125+，因此与直线l平行且距离为1的两条直线只有一条与圆相交，另一条与圆相离，因此只有2个点到直线l的距离等于1，C错；8a=时，圆22280xyxya+−++=的标准方程为22(1)(4)9xy−++=，圆心为(1

,4)−，半径为3，两圆圆心距为22(12)(40)532d=++−−==+，两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确，故选：BD．11.在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，过点F的倾斜角为π4的

直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，OAB的面积是82，则（）A.8AB=B.4p=C.1112AFBF+=D.842AF=+【答案】BCD【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距

离公式结合OAB的面积求解p，从而利用焦半径公式求解,AFBF，逐项判断即可.【详解】抛物线()220ypxp=的焦点为,02pF，准线为2px=−，设过焦点的直线方程为设直线l：2pyx=−，()11,Axy，()22,Bxy，联立直线与抛物线方程得222ypxpyx==−

消元得22304pxpx−+=，由韦达定理可得2124pxx=，123xxp+=，所以124ABxxpp=++=，又点O到直线AB的距离是()2222411pp−=+−，所以1248224OABSpp==，得4p=，所以16AB=，故选项A错误，B正确；由4p=知2124

0xx−+=，解得12642,642xx=+=−，所以121111111284284222ppAFBFxx+=+=+=+−++，故选项C正确；18422PAFx=+=+，故选项D正确；故选：BCD.12.已知数列na满足12nnnaak+=+，则（）A.当0k=

且10a时，na为等比数列B.当1k=时，1na+为等比数列C.当2k=时，2nna为等差数列D.当3k=，且15a=时，()()12211log3log3nnnnaa++−−的前n项和为1nn+【答案】ACD【解析】【分析】利用等差数列，

等比数列的定义判断ABC，利用裂项求和来计算D.【详解】对于A：当0k=且10a时，12nnaa+=，数列na是公比为2的等比数列，A正确；对于B：当110a+=，即11a=−时，数列1na+不为等比数列，B错误；对于C：当2k=时，122nnnaa+=+，等式两边同除

12n+得111222nnnnaa++=+，数列2nna是公差为12的等差数列，C正确；对于D：当3k=，123nnnaa+=+，得()111323323nnnnnnnaaa+++−==−−+，则数列3nna−是首项为132a−=，公比为2的等比数列，所以23nnn

a−=，所以()()()122221111111loglog11log3log322nnnnnnnnnnaa+++===−++−−，()()12211log3log3nnnnaa++−−的前n项和为1

1111122311nnnn−+−++−=++，D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.若直线()()150mxym++−+=与直线260xmy+−=平行，则m=___________．【答案】2−【解析】【分析】利用两直线平行，通过分类讨论

即可得出m的值.【详解】由题意，直线()()150mxym++−+=与直线260xmy+−=平行，当0m=时，直线50xy+−=与直线260x−=不平行，舍去，当0m时，()()1256mmm+=−+−

，解得：2m=−，综上，2m=−.故答案为：2−.14.圆()()22125xy++−=在点()11，处切线的一般式方程为____________．【答案】210xy−−=【解析】【分析】由切线与过切点的半径垂直求得切线斜

率后可得切线方程．【详解】圆心坐标为(1,2)−，圆心与切点连线斜率为211112−=−−−，所以切线的斜率为2，切线方程为12(1)yx−=−，即210xy−−=．故答案为：210xy−−=．15.两个等比数列na，nb的前n项和分别为nS和n

T，已知421nnnSnT=−，则55ab=__________．【答案】14##0.25【解析】【分析】设数列na，nb的公比分别为12,qq，在已知式中令1n=得114ab=，再令2n=,3n=得12,qq的关系，进而

联立方程组解得12,qq，进而求解即可．【详解】设数列na，nb的公比分别为12,qq，则1n=时，11114SaTb==，即114ab=，当2n=时，1211111211222244813SaaaaqqTbbbbqq+++=

===+++，即21231qq−=，当3n=时，221231111111221233112231224441217SaaaaaqaqqqTbbbbbqbqqq++++++====++++++，即22221

133774qqqq+−−=，联立2122221123133774qqqqqq−=+−−=，解得1212qq==或12711qq==，当1212qq==时，()111121242nnnnSnanTb==−−−，符合题意；当12711qq==时，()()11111111

720711731111nnnnnnaSTb−−−−=−=−，不符合题意.所以445114451241124aaqbbq===.故答案为：14.16.已知点()21M，，点P是双曲线22:1916xyC

−=左支上的动点，点2F为双曲线右焦点，N是圆()22:51Dxy++=的动点，则PMPN−的最小值为_______________．【答案】510−【解析】【分析】利用PNPDr+，当且仅当N是PD的延长线与圆的交点时取等号，及22210PMPFMFPF−=−，当且仅当2,,PMF三点共线

时取等号，再结合双曲线的定义可得．【详解】由已知9165c=+=，0()5,D−是双曲线的左焦点，它也是圆D的圆心，2(5,0)F，圆D半径为1r=，PNPDr+，当且仅当N是PD的延长线与圆的交点时取等号，22210PMPFMFPF−=−，当且仅当2,,PMF三点共线

时取等号，所以，又由双曲线的定义226PFPDa−==，，所以2101510PMPNPFPD−−−−=−，即PMPN−的最小值为510−，故答案为：510−．四、解答题(第17题10分，其余每题12分，共70分)17.已知圆C经过()2,0A，()0,4B

两点，且圆C的圆心在直线60xy+−=上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过点()4,0D与圆C相交截得的弦为EF，且6EF=，求直线l的方程．【答案】（1）226680xyxy+−−+=（2）4x=或43160xy+−=【解析】【分析】（1）设圆C的方程为()222

2040xyDxEyFDEF++++=+−，利用待定系数法求出,,DEF即可；（2）根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再分直线斜率是否存在两种情况讨论即可.【小问1详解】设圆C的方程为()2222040xyDxEyFDEF++

++=+−，则42016406022DFEFDE++=++=−−−=，解得668DEF=−=−=，所以圆C的方程为226680xyxy+−−+=；【小问2详解】圆C的标准方程为()()223310xy−+−=，圆心()3,3C，半径10r=

，设圆心到直线l的距离为d，则()222106d−=，解得1d=，当直线l的斜率不存在时，方程为4x=，圆心()3,3C到直线l的距离为341−=，符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线方程为()4ykx=−，即40kxyk

−−=，则233411kkk−−=+，解得43k=−，所以直线l的方程为43160xy+−=，综上所述，直线l的方程为4x=或43160xy+−=.18.已知数列na的前n项和为nS，且215nSnn=−.（1）求na通项公式的（2）若nnca=，求nc的前n项和nT

.【答案】（1）216nan=−.（2）2*2*158N151128NnnnnnTnnnn−=−+，，，，.【解析】【分析】（1）利用na与nS的关系式进行通项公式的求解；（2）由通项公式216nan=−可

知，当8n时，其和为负数，则当求绝对值之和时，可直接添加负号即可，当8n时，可通过前8项的变号来进行计算即可.【小问1详解】由215nSnn=−，当2n时，可得()()221151151216nnnaSSnnnnn−=−=−−−−−=−，当1n=时，1111514aS==−=−，适合上

式，所以数列na的通项公式为216nan=−.【小问2详解】由216nan=−，可得216nncan==−，则12nnTaaa=+++，令0na，可得8n，当8n时，可得2121215nnnTaaaaaann=+++=−−−−=−，当8n时，可得121

28910nnnTaaaaaaaaa=+++=−−−−++++()()1289108882nnnaaaaaaSSSSS=−+++++++=−+−=−，因为856S=−，所以215112nTnn=−+，所以2*2*158N151128Nnnnn

nTnnnn−=−+，，，，.注意：分类标准7n和7n，都可以.19.已知椭圆22:184xyC+=，左右焦点分别为1F，2F，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点()21，平分．（1）求直线l的一般式方程；（2）求11FAFB.【答案】（1）30xy+−=（2）473【解析

】【分析】（1）设1122(,),(,)AxyBxy，代入双曲线方程相减，利用弦中点坐标可得直线斜率，从而得直线方程，检验直线与双曲线是否相交．（2）由韦达定理得1212,xxxx+，代入11FAFB的坐标表示中计算即得．【小问1详解】因为弦AB被点()21，平分，所以设交点坐标()

()1122,,AxyBxy，，121242xxyy+=+=，，则22112222184184xyxy+=+=，两式相减得：()()()(121212122xxxxyyyy+−=−+−），所以直线l的斜率1

2121212112yyxxkxxyy−+==−=−−+，故直线l的一般式方程为30xy+−=，联立椭圆与直线方程2218430xyxy+=+−=，，得2312100xx−+=，2(12)4310240=−−=，直

线与双曲线相交，满足题意．所以直线方程为30xy+−=，【小问2详解】由（1）知：()120F−，，()()1122,,AxyBxy，由（1）得12121043xxxx+==，，()()()12121212133393yyxxxxxx=−+

−+=−++=，所以()()()1112121212124722243FAFBxxyyxxxxyy=+++=++++=．20.记nS为数列na的前n项和，nT为数列nS的前n项和，若12a=且122nnaS+=+.（1）证明：数列1nS+是等比数列；（2）若120nTn−成立，求n

的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）利用1(2)nnnaSSn−=−得出关于nS的递推关系，从而根据等比数列的定义得证；（2）由分组求和法求得nT后，解不等式得结论．【小问1详解】由122nnaS+=+可得122nnnSSS+−=

+，即132nnSS+=+，即()1131nnSS++=+，而113S+=，所以1nS+是以3为首项，3为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知1133nnS−+=，即31nnS=−()1121231333313131132

2nnnnnTSSSnn+−=+++=−+−++−=−=−−−，由120nTn−可得13312022nnn+−−−，整理可得13243n+，解得4n，因为*Nn，所以n的最小值为5．21.已知椭圆()2222:10xyCa

bab+=焦距为6，离心率为34.（1）求曲线C方程；的（2）过点2F作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记OMN的面积为S，求S的最大值.【答案】（1）221167xy+=（2）27【解析】【分析】（1）由已

知条件可得出关于a、b、c的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；（2）分析可知，直线直线l与x轴不重合，设直线l的方程为3xmy=+，设点()11,Mxy、()22,Nxy，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出S的最大值.【小问1详解】解：由题意可得22

2634ccabac===−，解得473abc===，所以，椭圆C的方程为221167xy+=.【小问2详解】解：当直线l与x轴重合时，O、M、N三点重合，不符合题意，易知点()23,0F，设直线l的方程为3xmy=+，设点()11,Mxy、()22,N

xy，联立223716112xmyxy=++=可得()2271642490mymy++−=，则()()2222424497161961610mmm=++=+，由韦达定理可得12242716myym+=−+，12249716yym=−+，所以，()2212121211342

2SOFyyyyyy=−=+−()22222223424498418492716716719711mmmmmmm+=−+==+++++++228484279672711mm==++，当且仅当229711mm+=+时，即当147m=时，等号成立，故S的最大

值为27.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利

用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．22.从双曲线()222210,0xyabab−=上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点1F，点12,AA分别是双曲线的左、右顶点，点10,2Bb，且2//ABOP，1223FA=+.（1）求

双曲线的方程；（2）过点()23,0作直线L分别交双曲线左右两支于,CD两点，直线1AC与直线2AD交于点M，证明：点M在定直线上.【答案】（1）2213xy−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由2/

/ABOP可得22bbaca−=−，再由1223FA=+可得23ac+=+，解方程即可求出,,abc，即可得出答案.（2）设()11,Cxy，()22,Dxy，直线:23CDxty=+，联立直线与双曲线的方程可求出t的范围，再根据根与系数的关系可得(

)1212943yyyyt=−+③，设直线12,ACAD方程结合③求解，即可证明点M在定直线32x=上.【小问1详解】令xc=−，代入双曲线方程可得2bya=，所以设2,bPca−，()2,0Aa，因为2//ABOP，所以22

bbaca−=−，即2cb=，所以3ab=.因为1223FA=+，所以()2323acb+=+=+，所以1b=，2c=，3a=，所以双曲线的方程为2213xy−=.小问2详解】设()11,Cxy，()22,Dxy，直线:23CDxty=+

，联立221323xyxty−==+可得，()2234390tyty−++=，由2230Δ0903tt−−可得3t或3t−，所以122433tyyt−+=−，12293yyt=−，

直线()111:33yACyxx=++①直线()222:33yADyxx=−−②【()1212943yyyyt=−+③由①÷②可得()()21123333yxxxyx++=−−()()2112212112333333ytytyyytyyyyty++==++把③代入上式化简

可得333xx+=−−，解得32x=，所以点M在定直线32x=上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；②利用0求得变量之间的关系，同时

得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.的