【文档说明】2020年真题+高考模拟题 专项版解析 理科数学——13 不等式选讲（教师版）【高考】.docx，共(16)页，693.465 KB，由小赞的店铺上传

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专题13不等式选讲1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()|31|2|1|fxxx=+−−．（1）画出()yfx=的图像；（2）求不等式()(1)fxfx+的解集．【解析】（1）由题设知13,,31()51,1,33,1.xxf

xxxxx−−−=−−+()yfx=的图像如图所示．（2）函数()yfx=的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)yfx=+的图像．()yfx=的图像与(1)yfx=+的图像的交点坐标为711(,)66−−．由图像可知当且仅当76x−时，()yfx=的图

像在(1)yfx=+的图像上方，故不等式()(1)fxfx+的解集为7(,)6−−．2．【2020年高考全国II卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|．（1）当a=2时，求不等式f

(x)≥4的解集；（2）若f(x)≥4，求a的取值范围．【解析】（1）当2a=时，72,3,()1,34,27,4,xxfxxxx−=−因此，不等式()4fx的解集为311{|}22xxx或．（2）因为222()|||21||21|(1)fxxaxaaaa=−+−+

−+=−，故当2(1)4a−，即|1|2a−时，()4fx．所以当a≥3或a≤-1时，()4fx．当-1<a<3时，222()|21|(1)4faaaa=−+=−，所以a的取值范围是(,1][3,)−−+．3．【2020年高考全国III卷理数】[选修4—5：不等

式选讲]（10分）设a，b，c∈R，0abc++=，1abc=．（1）证明：0abbcca++；（2）用max{,,}abc表示a，b，c的最大值，证明：max{,,}abc≥34．【解析】（1）由题设可知

，a，b均不为零，所以22221[()()]2abbccaabcabc++=++−++2221()2abc=−++0.（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为1,()abcabc==−+，所以a>0，b<0，c<0.由2()4bcbc+，可得34

aabc，故34a，所以3max{,,}4abc.4．【2020年高考江苏】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设xR，解不等式2|1|||4xx++．【解析】当x>0时，原不等式可化

为224xx++，解得203x；当10x−时，原不等式可化为224xx+−，解得10x−；当1x−时，原不等式可化为224xx−−−，解得21x−−．综上，原不等式的解集为2|2}3{xx−．1．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】已知函数()1

=−fxx.（1）解不等式()(1)4fxfx++；（2）当0x，xR时，证明：1()()2fxfx−+.【答案】（1）35,,22−−+；（2）证明见解析.【解析】（1）由()

(1)4fxfx++得14xx−+，当1x时，得214x−，所以52x；当01x时，得14，所以x；当0x时，得124x−，所以32x−；综上，此不等式的解集为：35,,22−−

+；（2）由1()()fxfx−+=111xx++−，由绝对值不等式得1111xxxx++−+，又因为1,xx同号，所以11xxxx+=+，由基本不等式得：12xx+，当且仅当1x=时，等号成立，所以1()()2fxfx−+.【点睛

】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式解法，以及合理应用绝对值三角不等式和基本不等式求最值是解答本题的关键，着重考查了分类讨论思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.2．【2020·黑龙江省大庆

实验中学高三月考】设a、b、c均为正数，（Ⅰ）证明：222abcabbcca++++；（Ⅱ）若1abbcca++=，证明3abc++.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）因为a，b，c均为正数，由重要不等式可得222abab+…，222bcbc+…，222caca+…，以上三式

相加可得222222222abbccaabbcca+++++++…，即222abcabbcca++++…；（Ⅱ）因为1abbcca++=，由（Ⅰ）可知2221abc++…，故2222()222123abcabcabbcca++=+++

+++=…，所以3abc++…得证．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．3．【2020·四川省泸县第二中学高三二模】已知函数()211fxxx=−++.（1）求不等式()2fxx+的解集；（2）若

函数()yfx=的最小值记为m，设0a，0b，且有abm+=.求1212ab+++的最小值.【答案】（1）0,1（2）6429+【解析】（1）因为()3,1,12112,1,213,.2xxfxxxxxxx−−=−++=−+−从图可知满足不等式()2fx

x+的解集为0,1.（2）由图可知函数()yfx=的最小值为32，即32m=.所以32ab+=，从而9122ab+++=，从而()()112121212912ababab+=++++++++()()212122226

423329129129aabbabab+−+++=+++=++++当且仅当()21212abab++=++，即92111492,22ab−−==时，等号成立，∴1212ab+++的最小值为6429+.【点睛】本题考查解绝对值不等式以基

本不等式求最值的问题，是一道中档题.4．【2020·辽宁省高三三模】设函数()234fxxx=−+−．（1）解不等式()2fx；（2）若()fx最小值为m，实数a、b满足343abm+=，求()222ab−+的最小值．【答案】（1）{|1

xx或2}x；（2）1625．【解析】（1）()46,2423422,23446,3xxfxxxxxxx−=−+−=−−+，由()2fx得2462xx−或423222xx−或43462xx−+，得2x或

或1x，∴不等式解集{|1xx或2}x．（2）根据图象知：()min4233fxf==，∴342ab+=，所求可看做点()2,0到直线3420xy+−=的距离的平方，223224534d−==+．∴()222ab−+的最小值为1625．【点睛】本题考查了解绝

对值不等式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为点到直线的距离是解题的关键.5．【2020·山西省高三其他】已知函数()36fxx=+，()3gxx=−.（1）求不等式()()fxgx的解集；（2）若()()232fxgxaa+−对于任意xR恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）93,,24−−−+；（2）3,5−.【解析】（1）由()()fxgx，得363xx+−，平方得()()22363xx+−，得229363669xxxx++−+，得2842270xx++

，得()()29430xx++，解得92x−或34x−.故不等式()()fxgx的解集是93,,24−−−+.（2）若()()232fxgxaa+−恒成立，即236392xxaa++−−恒成立.只需2min(3

633)2++−−xxaa即可.而()3639363915xxxx++−+−−=，所以2215aa−，得22150aa−−，解得35a−.故实数a的取值范围是：3,5−.【点睛】本题考查了含有绝对值不等式的解法、含参不等

式的恒成立问题，考察了数学运算技能和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.6．【2020·河北省高三其他】已知函数()122fxxx=++−，()13gxxxmm=−++−.（Ⅰ）求函数()fx的最小值；（Ⅱ）对于任意

1xR，存在2xR，使得()()12fxgx成立，求m的取值范围.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）31,42−.【解析】（Ⅰ）()31,11223,1131,1xxfxxxxxxx−+−=++−=−+−−，(,1−上单调递减，在(1,)+

上单调递增，()()12minfxf==，故当1x=时，()fx取得最小值2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()min2fx=，而()1313gxxxmmxxmm=−++−−−−−13mm=+−，当1x=时等号成立，由题意知，对任意1xR，存在2xR使得()()12fxgx成立

，则()()minminfxgx，即213mm+−，所以2220(2)(13)mmm+++，解得：3142m−，即m的取值范围为31,42−.【点睛】本题考查根据分类讨论和单调性求函数的最值，绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的性质和根据不等式恒成立问题求参数取

值范围，考查转化思想和运算能力．7．【2020·山西省太原五中高三月考】已知函数()|4||1|fxxx=−+−，xR.（1）解不等式：()5fx；（2）记()fx的最小值为M，若实数a，b满足22

abM+=，试证明：22112213ab+++.【答案】（1）|05xx（2）证明见解析【解析】(1)()|4||1|fxxx=−+−25,43,1425,1xxxxx−=−+剟.()5fx„,25

54xx−„或14x剟或2551xx−+„,45x„或14x剟或01x„,05x剟,不等式的解集为{|05}xx剟;(2)因为()|4||1||(4)(1)|3fxxxxx=−+−−+−=(当且仅当14x等号成立),所

以()fx的最小值3M=,即223ab+=,所以()()222222111112121216ababab+=++++++++22221212216baab++=++++2222121(22)216baab+

++++23=(当且仅当21a=,22b=等号成立).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.8．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他】已知函数24()|2|(0)afxxxaa+=+++，()8|3|gxx=−+.（1）当1a=−

时，求不等式()11fx的解集；（2）若关于x的不等式()()fxgx的解集包含[2,1]−−，求a的取值集合.【答案】（1）4,7−；（2）2−【解析】（1）当1a=−时，()32,2527,2523,5x

xfxxxxxx−−=−++=−−，由32112xx−−得：42x−−；由71125x−得：25x−；由23115xx−得：57x，综上所述：()11fx的解集为4,7−.（2）由题意可知：当2,1

x−−时，24283axxxa++++−+恒成立，即24832axxxa++−+−+恒成立，0a，240aa+，当2,1x−−时，240axa++，30x+，20x+，2483232axxxxa+−−−−−−=−，

243axa+−在2,1−−上恒成立，244aa+−，又0a，可解得：2a=−，a的取值集合为2−.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解；关键是能够根据解集的子集将问题

转化为在不等式在子集范围内恒成立问题的求解，进而通过分离变量将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系求解问题.9．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】函数()fxxaxbc=++−+，其中0a，0b，0c．（1）当1abc===

时，求不等式()4fx的解集；（2）若()fx的最小值为3，求证：2223bcaabc++．【答案】（1）33,,22−−+．（2）见解析【解析】（1）当1abc===时，不等式()4fx，即1114xx++−+，即11

3xx++−．当1x时，化为113xx++−，解得32x；当11x−时，化为()113xx+−−，此时无解；当1x−时，化为()()113xx−+−−，解得32x−．综上可得，不等式()4fx的解集为：33,,22−−+

．（2）由绝对值三角不等式得()()()3fxxaxbcxaxbcabc=++−++−−+=++=．由基本不等式得22baba+，22cbcb+，22acac+，三式相加得222222bcaabc

abcabc+++++++，整理即得2223bcaabcabc++++=，当且仅当1abc===时，等号成立．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用

能力.10．【2020·银川高级中学高三月考】已知()|1||1|fxxx=−++，不等式()4fx的解集为M.（1）求集合M；（2）当,abM时，证明：2|||4|abab++.【答案】（1）(2,2)M=−；（2）证明见解析.【解析】（1）2

1()1121121xxfxxxxxx−−=−++=−，所以()4fx等价于124xx−−或1124x−或124xx，21x−−或11x−或

12x，22,(2,2)xM−=−；（2）当,abM时，即22,22ab−−，2222224()(4)4416abababab+−+=+−−22(4)(4)0ab=−−，224()(4),2|||4|abababab++++.【点

睛】本题考查绝对值不等式求解、不等式的证明，分类讨论去绝对值是解题的关键，利用作差法证明不等式，属于中档题.11．【2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他】已知函数()=−++fxxaxb，()0,0ab.（1）当1a=，3b=时，求不等式()6fx的解集

；（2）若()fx的最小值为2，求证：11111ab+++.【答案】（1）()4,2−；（2）证明见解析.【解析】（1）依题意136xx−++，当1x时，136xx−++，解得2x，即12x，当31x−时，136xx−++，解得46成立，

即31x−，当3x−时，136xx−−−，解得4x−，即43x−−，综上所述，不等式的解集为()4,2−.（2）()()()fxxaxbxaxbabab=−++−−+=−−=+，所以2ab+=(

)11111111112111411411baabababab+++=++++=++++++++.当且仅当1ab==时，取等号.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式证明不等式，属于基础题.12．【2020·重庆高三月考】已

知函数()13222fxxax=++−.（1）当1a=−时，解不等式()3fxx；（2）当2a=时，若关于x的不等式()421fxb−的解集为空集，求实数b的取值范围.【答案】（1）1{|}2xx−；（2）[6,8]−.【解析】（1）当1a=−时，

不等式可化为()3fxx1413(2)()322xxxx−−++−或3213(2)()322xxxx+−−或134213(2)()322xxxx−++−112

4x−−或32x或1342x−故不等式()3fxx的解集为1{|}2xx−（2）当2a=时，117()|2||23|(2)(23)|222fxxxxx=++−+−−=（当且仅当1342x−时取等号），则不等式min7[4()]4142fx==因此4()2|1|fxb

−的解集为空集等价于2|1|14b−，解得68b−故实数b的取值范围是[6,8]−【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、绝对值三角不等式应用，考查基本分析求解能力，属中档题.13．【2020·四川省绵阳南山中

学高三一模】已知a，b，c均为正实数，求证：（1）()2()4ababcabc++；（2）若3abc++=，则11132abc+++++.【答案】证明过程详见解析【解析】(1)要证()()24ababcabc++，可证222240abacabbcabc+++

−，需证()()2222b220acacacbbc+−++−，即证()()220bacacb−+−，当且仅当abc==时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式()()24ababcabc++成立．(2

)因为,,abc均为正实数，由不等式的性质知1231222aaa++++=，当且仅当12a+=时，取等号，1231222bbb++++=当且仅当12b+=时，取等号，1231222ccc++++=当且仅当12c+=时

，取等号，以上三式相加，得()211162abcdabc++++++++=所以11132abc+++++，当且仅当1abc===时，取等号．【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等

式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．14．【2020·河南省高三三模】关于x的不等式|x﹣2|＜m（m∈N*）的解集为A，且32∈A，12∉A．（1）求m的值；（2）设a，b，c为正实数，且a+b+c＝3m，求abc++的最大

值．【答案】（1）m＝1；（2）最大值为3．【解析】（1）∵32∈A，12∉A，∴|32−2|＜m，|12−2|≥m，∴12＜m32，∵m∈N*，∴m＝1；（2）a，b，c为正实数，且a+b+c＝3，∴111abcabc+

+=++()311133322222abcabc+++++++++===．当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．∴++abc的最大值为3．【点睛】本题考查利用不等式的解集确定参数值，以及利用基本不等式求最值，属综合基础题.15．【2020

·宁夏回族自治区银川一中高三其他】已知()|1|1fxx=−+，()(),3123,3fxxFxxx=−.（1）解不等式()23fxx+；（2）若方程()Fxa=有三个解，求实数a的取值范围.【答案】（1）1[,)3−+；（2）(1,3).【解析】（1）不等式()23

fxx+，即为1123xx−++.当1x时，即化为1123xx−++，得3x−，此时不等式的解集为1x，当1x时，即化为()1123xx−−++，解得13x−，此时不等式的解集为113x−.综

上，不等式()23fxx+的解集为13−+，.（2）()1131233xxFxxx，，，−+=−即()21131233xxFxxxxx−=−，，，，.作出函数()Fx的图象如图所示，当直线ya=与函数()yFx=的图象有三个公共点时，方程()Fxa=

有三个解，所以13a.所以实数a的取值范围是()13，.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．