【文档说明】四川省遂宁市蓬溪县2020-2021学年高二下学期5月第二次质量检测数学（理）试题含答案.docx，共(11)页，658.343 KB，由小赞的店铺上传

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蓬溪县高2022届第四期第二次质量检测数学试题（理科）1．已知复数2aii+−是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（）A．−2B．2C．12D．−12、命题p：“()00,x+，021x”，则p是（）A．12),,0(+xx

B、12),,0(0+xxC12),0,(0−xxD12),,0(+xx3．已知“x>2”是“31x+<1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．已

知长方体1111ABCDABCD−，动点P到直线AD的距离与到平面11BBCC的距离相等，则P在面11CCDD上的轨迹是（）A．线段B．椭圆一部分C．双曲线一部分D．抛物线一部分5．已知函数()fx的图象如下所示，()fx为()fx的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（

）A．()()12fxfxB．()()12fxfxC．()()120fxfxD．()()120fxfx6、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A．2B．2C．4D．47．从“Ilovepx”（我爱蓬溪）中取6个不同的字母排成一排，含有“px”字母组

合（顺序不变）的不同排列共有（）A．360种B．480种C．600种D．720种8．函数lnxyx=的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知倾斜角为60o的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且直线l交抛物线C于A,B两点,若点M)0,2(p−，则=AMBtan()A．3B．4C

．34D．6410．在三棱锥PABC-中，32,7,tan,22ABACBACPA====，当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积是（）A．3πB．2πC．83D．9211，若对于任意的120xxa，都有211212lnln2xxxxxx−−，则a的最大值为

（）A．1B．eC．1eD．1212、已知实数x，y满足13yyxx+=，则34xy+−的取值范围是（）A．)46,2−B．)46,4−C．62,22−D．62,42−,二、填

空题13．抛物线24xy=的焦点为__________．14．若函数3)2(2131)('23+−−=xfxxxf，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为___________.15．已知平面向量,,

abc满足：||||1ac==rr，0ab=，||acb=，则()abc+的最大值是________．16、已知椭圆12222=+byax（a>b>0）外一点M(a，b),A,B是椭圆上不同的两点，直线AB

的斜率为31−，连接MA,MB分别交椭圆于C,D两点，若直线CD的斜率也为31−，则椭圆的离心率为___________三、解答题17．已知命题:p“曲线2212:123xyCmm+=+表示焦点在y轴上的椭圆”，命题:q“曲线222

:121xyCmm+=+−表示双曲线”．（1）若命题“p且q”是真命题，求实数m的取值范围．（2）若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．18．2020年初，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科

、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴武汉参加救助工作，该医院现有3名护理专家1A，2A，3A，5名外科专家1B，2B，3B，4B，5B，2名心理治疗专家1C，2C.（1）求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家1B和护

理专家1A不能同时被选的概率.19在如图所示的空间几何体中，两等边三角形ACD△与ABC互相垂直，4ACBE==，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上．（1）求证：//DE平面ABC；（2）求平面ABE与平面ACD所成夹角的余弦值．20已知

函数()(1),()afxxalnxaRx=−−+．（1）当2a=时，求()fx的极值；（2）若0a，求()fx的单调区间．21已知椭圆22:14xCy+=的左､右焦点分别为12,FF，直线:30()lmxymm−−=R与椭圆C交于M，N两点(点M在x轴的上方).（1）若1

m=−，求12MFF△的面积；（2）是否存在实数m使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理.22．已知函数()lnfxxxa=−−有两个相异零点()1212,xxxx．（1

）求a的取值范围．（2）求证：12423axx++．．蓬溪县高2022届第四期第二次质量检测数学答案（理科）一、选择题题号123456789101112答案CAADBBCCCDCB二、填空题13161,014

341533416322三、解答题17解（1）命题:p“曲线2212:123xyCmm+=+表示焦点在y轴上的椭圆”，则2230230mmmm++，解得10m−或03m，命题:p10m−或03m，命题:q“曲线222:121xyCmm+=+−表示

双曲线”，则()()210mm+−，解得21m−，命题:q21m−，若命题“p且q”是真命题，则p、q都是真命题，命题:p10m−或03m，命题:q21m−，所以{|10mm−或03}m|21mm−={|10mm−或01}m，实数m的取值范

围为10m−或01m.若命题“p或q”为真，“p且q”为假则命题p、命题q一真一假，P真q假时,31mP假q真时,012=−−mm或3m1012=−−或或mm18解由题意知：人民医院从10名专家中选出4人参加救助工作共有410210C=种情况；（1）设选出的

4人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件A，则满足事件A的情况共有11252330CCC=种；所以4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率为：()3012107PA==；（2）设选出的4人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家1B和护理专家1A

不能同时被选为事件B，则满足事件B的情况为：①当选择1B时，当有2位外科专家时，共有124424CC=种情况；当有3位外科专家时，共有214424CC=种情况；当有4位外科专家时，共有344C=种情况；②当不选择

1B时，当有2位外科专家时，共有224560CC=种情况；当有3位外科专家时，共有314520CC=种情况；当有4位外科专家时，共有441C=种情况；综上：满足事件B的情况共有2424460201133+++++=种情况；所

以至少含有2位外科专家，且外科专家1B和护理专家1A不能同时被选的概率：()1331921030PB==.19（1）取AC中点O，连接BO，DO，由题知，BO为ABC的平分线，BOAC⊥，DOAC⊥，设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上

，连接EF，则EF⊥平面ABC，平面ACD⊥平面ABC，平面ACD平面ABCAC=，DO平面ACD，DOAC⊥，DO⊥平面ABC，//DOEF，BE和平面ABC所成的角为60，即60EBF=，23EF=，又23DO=，四边形EFOD为平行四边形，//DEBO，BO

平面ABC，DE平面ABC，//DE平面ABC.（2）以OA，OB，OD方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则()2,0,0A，()0,232,23E−，()0,23

,0B，()2,23,0AB=−，()2,232,23AE=−−，设平面ABE的一个法向量为(),,nxyz=，则223y02(232)230nABxnAExyz=−+==−+−+=，取1z=，得()3,3,1=n，取平面ACD的法向量为()0,1,0m=ur，设平面ABE与平面A

CD所夹角为，则339coscos,||||11331nnmnmm====，平面ABE与平面ACD所夹角余弦值为3913.20解：（1）因为当2a=时，2()3fxxlnxx=−−，所以2232()(0)xxfxxx−+=，由()0fx=得

1x=或2x=，当x变化时，()fx，()fx的变化情况列表如下：x(0,1)1(1,2)2(2,)+()fx+0−0+()fx单调递增1−单调递减132ln−单调递增所以当1x=时，()fx取极大值1−；当2x=时，()

fx取极小值132ln−．（2）222(1)()(1)()xaaxxaxfxxx+−+−−==，12()0,1fxxax===①当1a时，当(0,1)x，()0fx，()fx单调递增，当(1,)xa，()0fx，()f

x单调递减，当(,)xa+，()0fx，()fx单调递增．②当1a=时，()0fx在(0,)+恒成立，所以()fx在(0,)+上单调递增；③当01a时，当(0,)xa，()0fx，()fx单调递增，当(,1)xa，()0fx，()fx单调

递减，当(1,)x+，()0fx，()fx单调递增，综上所述，①当1a时，()fx单调递增区间为(0,1)，(,)a+．单调递减区间为(1,)a；②当1a时,()fx单调递增区间为),0(+③当01a时,()fx单调递增区间为),0(a,

),1(+,单调递减区间为)1,(a21（1）由题意，椭圆22:14xCy+=，可得224,1ab==，又由222=3cab=−，所以3c=，所以1223FF=，联立221430xyxy+=+−=化简得252310yy−−=，解得322

5y−=或3225y+=，又点M在x轴的上方，所以0My，所以3225My+=，所以12MFF△的面积为1211322326232255MFFy++==.（2）假设存在实数m使得以线段MN为直径的圆恰好经过

坐标原点O，则有OMON⊥，设()()1122,,,MxyNxy，联立方程组221430xymxym+=−−=，消去y得()222241831240mxmxm+−+−=，①则2212122283124,4141mmxxxxmm−+==++.由OMON⊥，得

0OMON=，所以12120xxyy+=，即()()21212330mxxxx−−+=，整理得()()22212121330mxxmxxm+−++=，所以()22222221248313304141mmmmmmm−+−+=++，解得21111m=经检验21111

m=时，①中0，所以存在实数21111m=，使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.22解：（1）1()(0)xfxxx−=当01x时，()0,()fxfx单调递减；当1x时，()0,()fxfx单调递增；由(1)0f得，1a当1

a时，()()0,(1)0,20aaafeffeea−=−，所以()1,1axe−使得f()()120,1,afxxe=使得()20fx=，综上：(1,)+a（2）由（1）可知，12

01xx，要证12423axx++即证()11112114ln24ln242333xxxxaxxx−+−++−=−=构造函数4ln2(),(01)3xxgxx−+=，则4()03xgxx−=所以()gx在(0,1)单调递减，()(1)1gxg=．故有1124ln

21,13xxx−+因为()fx在(1,)+上单调递增，所以只需证()1124ln23xxfxf−+即证1114ln2()3xxfxf−+构造函数4ln2()(),(01)3xxhxfxfx−+=−

，2114()34ln2xxhxxxxx+−=+−+下面证()0hx在(0,1)x时恒成立即证(5)(1)ln042xxxx+−−+构造函数(5)(1)()ln,(01)42xxxxxx+−=−+

32(1)()0(21)xxxx−=+在(0,1)x时恒成立因此()x在(0,1)上单调递增，从而()(1)0x=，()0hx在(0,1)x时恒成立()hx在(0,1)x时单调递增()(1)0hxh=成立，

即()1114ln23xxfxf−+12423axx++成立．