【文档说明】湖北省武汉市（第二十三中学、第十二中学、汉铁高中）2019-2020学年高二上学期数学期末联考试题【精准解析】【武汉专题】.docx，共(22)页，735.528 KB，由小赞的店铺上传

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2019~2020学年度上学期二十三中联考体期考试高二数学试卷一、选择题：1.点()1,2,3P−关于xOz平面对称的点的坐标是（）.A.()1,2,3B.()1,2,3−−C.()1,2,3−−D.()1,2

,3−−【答案】B【解析】【分析】根据点关于面对称坐标的性质直接求解即可.【详解】点()1,2,3P−关于xOz平面对称的点，即x，z不变，y变为相反数.故选：B【点睛】本题考查了点关于面对称点问题，属于基础题.2.为调查参加第七届世界军人运动会的9000名运动

员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（）.A.9000名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100【答案】D【解析】【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义判断即可.【详解】9000名运动员的年龄情况

是总体，故A错；每个运动员的年龄情况是个体，故B错；抽取的100名运动员的年龄情况是样本，故C错；样本容量是100。故选：D【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，属于基础题.3.双曲线2213xy−=的右焦点到直线30xy−=的距离是（）.

A.23B.2C.3D.1【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的标准方程求出右焦点的坐标，然后根据点到直线的距离公式直接求解即可.【详解】双曲线2213xy−=的右焦点的坐标为()2,0，由点到直线距离公式得右焦点到直线30xy−=的距离是20113d−==+.故选：D【点睛】本题考查了双曲线焦

点到直线的距离，考查了点到直线的距离公式，考查了数学运算能力.4.如果直线l的方向向量是()2,0,1a=−，且直线l上有一点P不在平面内，平面的法向量是()2,0,4b=，那么（）.A.直线l与平面垂直B.直线l与平面平行C.直线l在平面内D.直线l与平面相交但不垂直【答案】B【解析

】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，计算数量积ab的值，然后再根据已知，结合直线与平面的位置半径和直线与平面平行的判定定理选出正确答案.【详解】因为直线l的方向向量是()2,0,1a=−，平面的法向量是()2,0,4b=，又4040ab

=−++=，所以直线l在平面内或与平面平行，又直线l上有一点P不在平面内，所以直线l与平面平行.故选：B【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示公式，考查了直线与平面平行的判定定理和直线与平面的位置关系.5.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛

，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）.A.是对立事件B.都是不可能事件C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义直接判断即可.【详解】事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时

发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.故选：D【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义，属于基础题.6.实数0mn是方程221xymn+=表示实轴在x轴上的

双曲线的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：“曲线221xymn+=是焦点在x轴上的双曲线”，则0,0mn，0mn，但当0m

n时，可能有0,0mn，此时双曲线的焦点在y轴上，因此“0mn”是“曲线221xymn+=是焦点在x轴上的双曲线”的必要而不充分条件．故选B．考点：充分必要条件7.在正方体1111ABCDABCD−中，E为棱CD的中点，则（）．A.11AEDC⊥B.1AEBD⊥C.

11AEBC⊥D.1AEAC⊥【答案】C【解析】【分析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】画出正方体1111ABCDABCD−，如图所示．对于选项A，连1DE，若11AEDC⊥，又111D

CAD⊥，所以1DC⊥平面11AED，所以可得11DCDE⊥，显然不成立，所以A不正确．对于选项B，连AE，若1AEBD⊥，又1BDAA⊥，所以DB⊥平面1AAE，故得BDAE⊥，显然不成立，所以B不正确．对于选项C，连1AD，则11ADBC．连1AD，则得111,ADA

DADED⊥⊥，所以1AD⊥平面1ADE，从而得11ADAE⊥，所以11AEBC⊥．所以C正确．对于选项D，连AE，若1AEAC⊥，又1ACAA⊥，所以AC⊥平面1AAE，故得ACAE⊥，显然不成立，所以D不正确．故选C．【名师点睛】本题考查线线垂

直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题．8.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数

据的平均为16.8，则xy+的值为（）A.7B.10C.13D.16【答案】C【解析】【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位

于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【详解】乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．∴13xy+=故选C．【点睛】本题考查了中位数和平均

数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．9.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四种说法中正确的个数为（）①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数②甲的成

绩的中位数大于乙的成绩的中位数③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据条形统计图，结合平均数、方差的计算公式，再根据中位数、极差的定义进行判断即可.【详解】()15556965x=++++=乙，()

14567865x=++++=甲，故甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故甲大于乙；甲的成绩的方差为()221221225+=，乙的成绩的方差为()22113312.45+=；③

正确，甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差等于4，④正确.故选：D【点睛】本题考查了平均数、方差的计算公式，考查了中位数和极差的定义，考查了数学运算能力.10.正方体1111ABCDABCD−中，侧面1AB内有一动点P到直线11AB与直线BC的距离相等，则动点P的轨迹为一段（）A.圆

弧B.双曲线弧C.椭圆弧D.抛物线弧【答案】D【解析】由题意知，直线BC⊥侧面1AB，则PB⊥BC，即|PB|就是点P到直线BC的距离，那么点P到直线11AB的距离等于它到点B的距离，所以点P的轨迹是抛物线，故选

D11.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足11APAC⊥，则线段1AP长度的取值范围（）A.6,22B.6,32C.1,2D.2,3【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理可以证

明1AC⊥平面1BDA，这样可以确定P的轨迹，利用平面几何的知识求出1AP的最值，选出答案.【详解】因为1CC⊥底面ABCD，DB底面ABCD，所以1CCBD⊥，底面ABCD是正方形，所以有CABD⊥，1

CCCAC=，1,CCCA平面1CCA，因此有BD⊥平面1CCA，1AC平面1CCA，所以有1BDAC⊥，同理可证明出11ACDA⊥，因为1BDDAD=，1,BDDA平面1BDA，所以1AC⊥平面1B

DA，所以点P的轨迹就是线段BD，所以P在B或D时1AP最长为2，在BD中点时1AP最短为62.故选：A【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了线面垂直的判定定理，考查了推理论证能力.12.黄金分割比例512−具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的

美学价值.这一比值能够引起人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率512e−=的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法中正确的个数为（）①椭圆221251xy+=+是“黄金椭圆；②若椭圆22221xyab+=，()0ab的右焦点(),0Fc且满足

2bac=，则该椭圆为“黄金椭圆”；③设椭圆22221xyab+=，()0ab的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若90ABF=，则该椭圆为“黄金椭圆”；④设椭圆，22221xyab+=，()0ab的左右顶点分别A，B，左右焦点分别是1F，2F，若1AF，12FF，1FB成等比

数列，则该椭圆为“黄金椭圆”；A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】分别根据椭圆离心率的公式算出四种说法中每个椭圆的离心率，然后根据黄金椭圆的定义进行判断即可.【详解】①251a=+，22b=，故225112bea−=−=是“黄金椭圆”；

②2bac=即22acac−=故210ee+−=，则512e−=或512e−−=（舍），是“黄金椭圆”；③由90ABF=可知()22222acabbc+=+++，化简可知210ee+−=，则512e−=或512e−−=（舍），是“黄金椭圆”；④若1AF，12FF，1F

B成等比数列，则()()()22cacac=−+，则55e=，不是“黄金椭圆.故选：C【点睛】本题考查了椭圆的离心率的计算公式，考查了数学阅读能力，考查了数学运算能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线()22210xyaa−=的一条渐近线方程为

30xy+=，则该双曲线的离心率为________.【答案】233【解析】【分析】根据双曲线的标准方程写出渐近线方程，对比已知所给的渐近线方程，可以求出a的值，最后求出双曲线的离心率.【详解】2221xya−=渐近线方程为0xyxaya==，所以3a=，故离心率为22123

3caeaa+===.故答案为：233【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的离心率公式，考查了数学运算能力.14.正方体1111ABCDABCD−中，E是棱1BB中点，G是1DD中点，F是BC上一点且14FBBC=，则GB与EF所成的角的正弦值

为________.【答案】1【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，设正方1111ABCDABCD−的棱长为2，根据空间向量夹角公式直接求解即可.【详解】以D为原点，D

A为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，设正方1111ABCDABCD−的棱长为2，则()0,0,1G，()2,2,0B，()2,2,1E，3,2,02F，()2,2,1GB=−，1,0,12EF=−−，设G

B与EF所成的角为，则11cos0534GBEFGBEF−+===，90=.GB与EF所成的角为90.故GB与EF所成的角的正弦值为1.故答案为：1【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力.15.已知直线4yx=−与抛物线()2

20ypxp=交于A，B两点，O为坐标原点且OAOB⊥，p=________.【答案】2【解析】【分析】直线与抛物线方程联立，根据直线的垂直关系，利用根与系数关系直接求解即可.【详解】设()11,Axy，()22,

Bxy联立方程组()224242yxypyypx=−=+=，可得2280ypyp−−=，则121282yypyyp=−+=，OAOB⊥，12120xxyy+=，所以2212121622

yyxxpp==，()16802pp+−==.故答案为：2【点睛】本题考查了利用根与系数关系求参数问题，考查了数学运算能力.16.已知直线()0ykxk=与双曲线()2222:10,0xyCabab−=交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若ABF的面积为24a，

则双曲线的离心率为________.【答案】5【解析】【分析】先根据题意求出以AB为直径的圆的方程，利用正比例函数图象和双曲线的对称性，根据双曲线的定义，三角形的面积公式、勾股定理可以求出双曲线的离心率.【详解】以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，以AB为直径的圆的方程为222

xyc+=，设AFm=，BFn=，则2mna−=.ABF的面积2142ABFSmna==，且22224mnABc+==，联立三式：2222284mnamnamnc−==+=，得42mana==，故2

22045ace==.故答案为：5【点睛】本题考查了双曲线的离心率的计算公式，考查了双曲线的定义，考查了圆的标准方程，考查了数学运算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.某高校在2019年的冬令

营考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示：组号分组频数频率第1组)160165,50.050第2组)165170,350.350第3组)170175,100.100第4组)175,180200.200第5组)180185,300.300合计1

001.00（1）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（2）在（1）的前提下，高校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被A

考官测试的概率.【答案】（1）第3、4、5组每组各抽取1名，2名，3名学生进入第二轮面试.（2）35【解析】【分析】（1）先求出3、4、5组一共有多少学生，然后利用抽样比进行求解即可；（2）第三、四、五组的

六名同学为B，C，D，E，F，G，在这6名学生中随机抽取2名，写出各种结果，然后再求出其中第4组至少有1名学生被抽中的结果，最后利用古典概型概率的计算公式直接求解即可.【详解】（1）因为3、4、5组共有10203060++=名学生.利用分层抽样在这3组学生中抽

取6名进入第二轮，每组抽取的人数为：第3组：106160=第4组：206260=第5组：306360=所以第3、4、5组每组各抽取1名，2名，3名学生进入第二轮面试.（2）设第三、四、五组的六名同学为B，C，D，E，F，G，在这6名学生中随机抽取2名，共BC

，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG等15种结果；其中第4组至少有1名学生被抽中有BC，BD，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG9种结果，故所求概率93155p==.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式，考查

了分层抽样，考查了数学运算能力.18.已知抛物线C的顶点在原点，准线是12y=，一条过点()0,1M−的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点.若OA与OB的斜率之和为2，求直线l的方程.【答案】210xy−−=【解析】【分

析】根据准线方程求出抛物线的标准方程，设出l的斜截式方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用斜率公式和根与系数关系结合已知求解即可.【详解】由题意知抛物线方程为22xy=−，设l斜率为k，则l方程：1ykx=−.设()11,Axy，()22,Bxy

，由212ykxxy=−=−得：2220xkx+−=，由书达定理：122xxk+=−，122xx=−，1221121212OAOByyxyxykkxxxx++=+=()()21121211xkxxk

xxx−+−=121222222xxkkkkxx+−=−=−==−所以直线l的方程为：21yx=−，即210xy−−=【点睛】本题考查了求直线的方程，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力.19.如图，在四棱锥PABCD−中

，底面ABCD为直角梯形，90ABCBAD==，2AD=且1PAABBC===，PA⊥平面ABCD.（1）求PA与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E，满足90AEC=？若存在，求AE的长；若不

存在，说明理由.【答案】（1）33；（2）不存在，详见解析.【解析】【分析】（1）以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，根据空间向量夹角公式求出PA与平面PCD所成角的正弦值；（2）根据

空间向量夹角公式直接求解即可.【详解】（1）90BAD=Q，PA⊥平面ABCD，可以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则，()0,0,1P，()1,0,0B，()1,1,0

C，()0,2,0D，从而()0,0,1PA=−，()1,1,1PC=−，()0,2,1PD=−.设平面PCD的法向量为(),,nabc=，则00nPCnPD==，020abcbc+−=−=，取1a=，得1b=，2c=，平面PCD的一个法向量()

1,1,2n=，设直线PA与平面PCD的夹角为，则23sincos,316PAn−===.（2）()01PEPD=，则()0,2,1E−，()1,21,1CE=−−−，()0,2,1AE

=−，若90AEC=，则()()222110AECE=−+−=，此方程无解，故在棱PD上不存在一点E，满足90AEC=.【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求线面角的正弦值，考查了利用空

间向量夹角公式解决异面直线所成角为直角的问题，考查了数学运算能力.20.某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的

数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）该公司按

照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）1347表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.回

归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为12221()ˆniiiiixynxybxnx==−=−，ˆˆaybx=−.【答案】（1）2；（2）5；（3）得空白栏为5，1.4.2ˆ0yx=−.【解析】【分析】（1）根据在频率直方图所有小矩形的面积之和为

1直接求解即可；（2）根据已知所给的各组取值的方法进行求解即可；（3）直接将（2）的结果填入上表的空白栏.根据平均数的计算公式求出x，y的值，再求出51iiixy=，521iix=，最后根据所给的公式求出ˆb，ˆa的值，最后求出回归直线方程.【详解】（1）设

各小长方形的宽度为m，可得：()0.080.10.140.120.040.021m+++++=，2m=.（2）可得各组中点从左向右依次是1，3，5，7，9，11，各组中点对应的频率从左向右依次是0.16，0.20，0.28，0.24，

0.08，0.04，平均值10.1630.250.2870.2490.08110.045=+++++=.（3）得空白栏为5，1234535x++++==，1345745y++++==，51112334

455774iiixy==++++=，522222211234555iix==++++=，根据公式可得274534ˆ1.45553b−==−，41.43.2ˆ0a=−=−，故回归直线方程为1.4.2ˆ0yx

=−.【点睛】本题考查求频率直方图中组距问题，考查了在频率直方图中求平均数问题，考查了求回归直线方程，考查了数学运算能力.21.已知椭圆与抛物线24yx=有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为12，（Ⅰ）求该椭圆的标准方程：（Ⅱ）求过点()0,1P的直线与该椭圆交

于A，B两点，O为坐标原点，若2APPB=，求AOB的面积.【答案】（Ⅰ）22143xy+=；（Ⅱ）32【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可以求出椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式，求出a的值，然后结合椭圆,,abc的关系求出b，最后写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据平面向量共线定理可

以得出A，B两点横坐标和纵坐标之间的关系，再设出直线AB方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出直线AB的斜率，最后根据三角形面积结合根与系数关系求出AOB的面积.【详解】（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为22221xyab

+=，由题意可得1c=，又12cea==2a=，2223bac=−=，所以椭圆的标准方程为22143xy+=（Ⅱ）设()11,Axy，()22,Bxy，由2APPB=得：()12122121xxyy

−=−=−，验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为1ykx=+联立椭圆方程，得：221431xyykx+==+，整理得：()2243880kxkx++−=，得：122122843843kxxkxxk−+=+−=+，将122xx−=代入得，

214k=所以AOB的面积()22121212241141263224322xxxxkSOPxxk+−+=−===+.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用一元二次方程根与系数关系求直线斜率和三角形面积问题，考

查了数学运算能力.22.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，2SAABBC===，且1AD=.M是棱SB的中点.（Ⅰ）求证：//AM面SCD；（Ⅱ）求二面角ASDC−−的余弦

值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求sin的最大值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）66；（Ⅲ）()max35sin7=【解析】【分析】以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标

.（Ⅰ）求出平面SCD的法向量，根据空间向量数量积的计算公式，结合线面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）利用空间向量夹角公式直接求解即可；（Ⅲ）利用空间向量夹角公式求出sin的表达式，利用配方法求出sin的最大值.

【详解】以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,2,0B，()1,0,0D，()0,0,2S，()0,1,1M.（Ⅰ）()0,1,1AM=，()1,0,2SD=−，()1,2,0CD=−−.设平面SCD的法向量是(),,nxyz=r，则00S

DnCDn==，即2020xzxy−=−−=令1z=，则2x=，1y=−.于是()2,1,1n=−.011110nAM=−+=，AMn⊥.又AM平面SCD，//AM平面SCD.（Ⅱ）易知平面ASD的法向量为()10,1,0n=.设平面SCD与平面ASD所

成的二面角为，则1116cos616nnnn===，二面角ASDC−−的余弦值66.（Ⅲ）易知：平面ASB的法向量为()21,0,0n=uur设(),22,0Nxx−，则(),23,1MNxx=−−.122121sin12105121

0137511055nMNxnMNxxxxx====−+−+−+.当135x=，即53x=时，()max35sin7=.【点睛】本题考查了用空间向量证明线面平行、求二面角、求线面角，考查了数学运算能力，考查了线面平行的判定

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