【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题4.10 函数的应用（二）-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(14)页，128.894 KB，由小赞的店铺上传

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专题4.10函数的应用（二）-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高一专题练习）函数𝑓(𝑥)=𝑥+2的零点为（）A．2B．1C．

0D．−2【解题思路】令𝑓(𝑥)=0，求出方程的解，即可得到函数的零点.【解答过程】解：令𝑓(𝑥)=0，即𝑥+2=0，解得𝑥=−2，所以函数𝑓(𝑥)=𝑥+2的零点为−2；故选：D.2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）下列图

像表示的函数中能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．【解题思路】先判断图像对应的是否函数，再判断它们是不是变号零点，逐项判断可得答案.【解答过程】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，对于A，函数图像和x轴无交点，所以无

零点，故错误；对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.故选：C．3．（

3分）（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥2−2𝑥−2的一个零点的近似值（误差不超过0.1）时，依次计算得到如下数据：𝑓(1)=−2，𝑓(1.5)=0.625，𝑓(1.25)=−0.984，𝑓(1.375)=−0.260，关于下一步的说法正确的是

（）A．已经达到对误差的要求，可以取1.4作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取1.375作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算𝑓(1.4375)D．没有达到对误差的要求，应该接着计算𝑓(1.3125)【解题思路】由零点存在定理可知𝑓(𝑥)在(1

.375,1.5)内有零点，采用二分法可确定结果.【解答过程】∵𝑓(1.5)⋅𝑓(1.375)<0，∴𝑓(𝑥)在(1.375,1.5)内有零点；∵1.5−1.375=0.125>0.1，∴没有达到对误差的要求，应该

继续计算𝑓(1.5+1.3752)=𝑓(1.4375).故选：C.4．（3分）（2022·江苏·高一期中）用二分法研究函数𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥−1的零点时，第一次计算，得𝑓(0)<0，𝑓(0.5)>0，第二次应计算𝑓(𝑥1)，则𝑥1等于（）A．1B．−

1C．0.25D．0.75【解题思路】根据二分法的定义计算可得；【解答过程】解：因为𝑓(0)<0，𝑓(0.5)>0，所以𝑓(𝑥)在(0,0.5)内存在零点，根据二分法第二次应该计算𝑓(𝑥1)，其中𝑥1=0+0.52=0.25；故选：C.5．（3分）（2022·全

国·高一课时练习）若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)的零点为2，则函数𝑔(𝑥)=𝑏𝑥2−𝑎𝑥的零点是（）A．0，−12B．0，12C．0，2D．2，−12【解题思路】由已知，函数𝑓(𝑥)的零点为2即可得到a与b之间的关系，然后带

入𝑔(𝑥)中即可直接求解零点.【解答过程】因为函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)的零点为2，所以𝑓(2)=2𝑎+𝑏=0，∵𝑎≠0，2𝑎+𝑏=0，∴𝑏≠0，∴𝑎𝑏=−12．令𝑏𝑥2−𝑎�

�=0，得𝑥=0或𝑥=𝑎𝑏=−12．故选：A.6．（3分）（2022·全国·高一单元测试）若函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥−1在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：x11.51.251.37

51.3125f（x）-10.875-0.29690.2246-0.05151那么方程𝑥3−𝑥−1=0的一个近似根（精确度为0.1）可以为（）A．1.3B．1.32C．1.4375D．1.25【解题思路】由零点存在性定理和二分法求解近似根.【解答过程】由𝑓(1.3

125)<0，𝑓(1.375)>0，且𝑓(𝑥)为连续函数，由零点存在性定理知：区间(1.3125,1.375)内存在零点，故方程𝑥3−𝑥−1=0的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可.故选：

B.7．（3分）（2022·湖南省高一阶段练习）已知一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥+3=0(𝑚∈𝑍)有两个实数根𝑥1，𝑥2，且0<𝑥1<2<𝑥2<4，则m的值为（）A．-4B．-5C．-6D．-7【解题思路】令𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑚𝑥+3，利

用零点存在性定理，建立参数𝑚所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．【解答过程】因为元二次方程𝑥2+𝑚𝑥+3=0(𝑚∈Z)有两个实数根𝑥1，𝑥2，且0<𝑥1<2<𝑥2<4，令𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑚

𝑥+3，则由题意可得{𝑓(0)>0𝑓(2)<0𝑓(4)>0，即{3>0,7+2𝑚<0,19+4𝑚>0,解得−194<𝑚<−72，又𝑚∈Z，可得𝑚=−4.故选：A.8．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)的图像连续不断，若存在

常数𝜆∈R，使得𝑓(𝑥+𝜆)+𝜆𝑓(𝑥)=0对于任意的实数𝑥恒成立，则称𝑓(𝑥)是“回旋函数”．若函数𝑓(𝑥)是“回旋函数”，且𝜆=2，则𝑓(𝑥)在[0,2022]上（）A．至多有2022个零点B．至多有1011个零点C．至少有2022个零点D．至少有101

1个零点【解题思路】根据已知可得：𝑓(2)+2𝑓(0)=0，当𝑓(0)≠0时利用零点存在定理，可以判定区间(0,2)内至少有一个零点，进而判定(2,4)，(4,6)，…，(2020,2022)上均至少有一个零点，得到𝑓(𝑥)在[0,2022]上至少有1

011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当𝑓(0)=0时，可以得到𝑓(0)=𝑓(2)=⋅⋅⋅=𝑓(2022)=0，此时𝑓(𝑥)在[0,2022]上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数𝑓(𝑥)=0，或者

构造函数𝑓(𝑥)={𝑥(𝑥−1),0≤𝑥<2−2𝑓(𝑥−2),2𝑘≤𝑥<2𝑘+2(𝑘∈𝑍)，可以排除A.【解答过程】因为𝑓(𝑥+2)+2𝑓(𝑥)=0对任意的实数𝑥恒成立，令𝑥=0，

得𝑓(2)+2𝑓(0)=0．若𝑓(0)≠0，则𝑓(2)与𝑓(0)异号，即𝑓(2)⋅𝑓(0)<0，由零点存在定理得𝑓(𝑥)在(0,2)上至少存在一个零点．由于𝑓(𝑘+2)+2𝑓(𝑘)=0，得到𝑓(2𝑘)≠0(𝑘∈𝑍)，进而𝑓(𝑘+2)𝑓(𝑘)

=−[𝑓(𝑘)]2<0，所以𝑓(𝑥)在区间(2,4)，(4,6)，…，(2020,2022)内均至少有一个零点，所以𝑓(𝑥)在[0,2022]上至少有1011个零点．构造函数𝑓(𝑥)={1−𝑥,0≤𝑥<2−2𝑓(𝑥−2),2𝑘≤𝑥<2�

�+2(𝑘∈𝑍)，满足𝑓(𝑥+2)+2𝑓(𝑥)=0对任意的实数𝑥恒成立，是“回旋函数”，在[0,2022]上恰好有1011个零点.若𝑓(0)=0，则𝑓(0)=𝑓(2)=𝑓(4)=𝑓(6)=⋅⋅⋅=𝑓(2022)=0，此时𝑓(𝑥)在[0,2022]上至少有1012个零点

．综上所述，𝑓(𝑥)在[0,2022]上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；对于A,[解法一]取函数𝑓(𝑥)=0，满足𝑓(𝑥+2)+2𝑓(𝑥)=0，但𝑓(𝑥)在[0,2022]上处处是零点，故

A错误.[解法二]构造函数𝑓(𝑥)={𝑥(𝑥−1),0≤𝑥<2−2𝑓(𝑥−2),2𝑘≤𝑥<2𝑘+2(𝑘∈𝑍)，满足𝑓(𝑥+2)+2𝑓(𝑥)=0对任意的实数𝑥恒成立，是“回旋函数”，在[0,2022]上恰好有2023个零点

，故A错误.故选：D．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）若函数𝑓(𝑥)的图像在R上连续，且𝑓(1)>0，𝑓(2)<0，𝑓(3)<0，则下列说法正确的是（）A．函数𝑓(𝑥)在区间(1,2)上有且只

有1个零点B．函数𝑓(𝑥)在区间(2,3)上一定没有零点C．函数𝑓(𝑥)在区间(2,3)上可能有零点D．函数𝑓(𝑥)在区间(1,3)上至少有1个零点【解题思路】由已知，函数𝑓(𝑥)的图像在R上连续且满足𝑓(1)>0，𝑓(

2)<0，𝑓(3)<0，即可判断函数𝑓(𝑥)在区间(1,2)上至少有1个零点，在区间(2,3)上可能有零点，也可能无零点，根据各选项说法即可做出判断.【解答过程】因为函数𝑓(𝑥)的图像在R上连续，且

𝑓(1)>0，𝑓(2)<0，所以𝑓(1)·𝑓(2)<0，所以函数𝑓(𝑥)在区间(1,2)上至少有1个零点，故选项A错误，选项D正确；函数𝑓(𝑥)在区间(2,3)上可能有零点，也可能无零点，故选项B错误，选项C正确．

故选：CD.10．（4分）（2022·全国·高一）设𝑓(𝑥)=2𝑥+3𝑥−7，某学生用二分法求方程𝑓(𝑥)=0的近似解（精确度为0.1），列出了它的对应值表如下：𝑥011.251.3751.43751.52𝑓(𝑥)−6−2−0.87−0.280.020.333若依据此表格

中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（）A．1.31B．1.38C．1.43D．1.44【解题思路】f(x)在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间﹒【解答过程】∵𝑦=2𝑥与𝑦=3𝑥−7都是𝐑上的单调递增函数，∴𝑓(𝑥)=2𝑥+3𝑥−7是𝐑上的单

调递增函数，∴𝑓(𝑥)在𝐑上至多有一个零点，由表格中的数据可知：𝑓(1.375)=−0.28<0，𝑓(1.4375)=0.02>0，∴𝑓(𝑥)在𝐑上有唯一零点，零点所在的区间为(1.375，1.437

5)，即方程𝑓(𝑥)=0有且仅有一个解，且在区间(1.375，1.4375)内，∵1.4375−1.375=0.0625<0.1，∴(1.375.1.4375)内的任意一个数都可以作为方程的近似解，∵1.31∉(1.375，1.4375)，1.3

8∈(1.375，1.4375)，1.43∈(1.375，1.4375)，1.44∉(1.375，1.4375)，∴符合要求的方程的近似解可以是1.38和1.43﹒故选：BC.11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．已知方程𝑒𝑥=8−𝑥的解在(𝑘,𝑘+1)(𝑘∈𝑍)内，则𝑘=1B．函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−3的零点是(−1,0)，(3,0)C．函数𝑦=3𝑥，𝑦=log3𝑥的图像关于𝑦=𝑥对称D

．用二分法求方程3𝑥+3𝑥−8=0在𝑥∈(1,2)内的近似解的过程中得到𝑓(1)<0，𝑓(1.5)>0，𝑓(1.25)<0，则方程的根落在区间(1.25,1.5)上【解题思路】由函数零点的概念判断选项B，由函数零点存在性定理判断选项AD，由函数𝑦=3𝑥与函

数𝑦=log3𝑥互为反函数判断选项C.【解答过程】对于选项A，令𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥−8，因为𝑓(𝑥)在𝑅上是增函数，且𝑓(1)=𝑒−7<0,𝑓(2)=𝑒2−6>0，所以方程𝑒𝑥=8−𝑥的解在(1,2)，所以𝑘=1，故A正确；对于选项B，令𝑥2−

2𝑥−3=0得𝑥=−1或𝑥=3，故函数𝑓(𝑥)的零点为−1和3，故B错误；对于选项C，函数𝑦=3𝑥与函数𝑦=log3𝑥互为反函数，所以它们的图像关于𝑦=𝑥对称，故C正确；对于选项D，由于𝑓(1.25)⋅𝑓(5)<0,𝑓(1)⋅𝑓(1.25)>

0，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间(1.25,1.5)上，故D正确.故选：ACD.12．（4分）（2022·江苏常州·高三阶段练习）已知𝑓(𝑥)={log𝑎1𝑥,𝑥>01𝑎𝑥,𝑥

≤0(𝑎>1)，𝑔(𝑥)=[𝑓(𝑥)]2-𝑚𝑓(𝑥)，则结论正确的是（）A．函数𝑓(𝑥)有唯一零点B．存在实数m使得函数𝑔(𝑥)有三个以上不同的零点C．当𝑚∈[1,+∞)时，函数𝑔(𝑥)恰有三个不同的零点D．当𝑚∈(-∞,0)∪(0,1)时，函数𝑔(𝑥)恰两

个不同的零点【解题思路】把函数零点的问题转化为函数图象交点的问题，作出函数的大致图象，结合函数的性质逐个判断即可得到答案．【解答过程】作出函数𝑦=𝑓(𝑥)的大致图象，如图，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)单调递减，且𝑓(1)=0

，𝑓(𝑥)只有一个零点；当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)>0，𝑓(𝑥)没有零点，所以函数𝑓(𝑥)有唯一零点，故A正确；由𝑔(𝑥)=0，得𝑓(𝑥)=0或𝑓(𝑥)=𝑚，其中𝑓(𝑥)=0有唯一实数根，而𝑓(𝑥)=𝑚实数根的个数

即函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚图象交点的个数，由图可知，函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚图象至多有两个交点，所以不存在m使得𝑔(𝑥)有三个以上零点，故B错误；当𝑚∈[1,+∞)时，函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚图象有两个交点，所以函数�

�(𝑥)恰有三个不同的零点，故C正确；当𝑚∈(-∞,0)∪(0,1)时，函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚图象有一个交点，所以函数𝑔(𝑥)恰两个不同的零点，故D正确．故选：ACD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13

．（4分）（2021·湖北·高一阶段练习）函数𝑓(𝑥)=𝑥−5+e𝑥的零点所在区间为(𝑛,𝑛+1)(𝑛∈𝑍)，则𝑛=1.【解题思路】根据𝑓(𝑥)的性质及题意，结合零点存在的定理，代入数据，分析即可得答案.【解答过程】因为𝑓(𝑥)=𝑥−5+e𝑥是定义域为R的

连续函数，且𝑦=𝑥−5与𝑦=e𝑥在R上均为增函数，所以𝑓(𝑥)=𝑥−5+e𝑥在R上为增函数，又𝑓(1)=−4+e<0,𝑓(2)=−3+e2>0，所以𝑓(1)⋅𝑓(2)<0，即零点在区间（1,

2）内，所以n=1.故答案为：1.14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）根据下表，用二分法求函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥+1在区间(1,2)上的零点的近似值（精确度0.1）是1.5（答案不唯一）．f（1）=-1f（2）=3f（1.5）=-0.125f（1.75）

=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.12719726【解题思路】根据二分法的定义，结合零点存在性定理以及图表，可得答案.【解答过程】由二分法定义：由函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥+1，由图表知

𝑓(1.5)=−0.125<0；𝑓(1.75)=1.109375>0；𝑓(1.625)=0.41601562>0；𝑓(1.5625)=0.12719726>0.由于𝑓(1.5)⋅𝑓(1.5625)<0，故零点的近似值是1.5或1.5625或区

间[1.5，1.5625]上的任何一个值.故答案为：1.5.（答案不唯一）.15．（4分）（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数𝑓(𝑥)={|2𝑥−𝑎+1|,𝑥≤0|ln𝑥|,𝑥>0，函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑏有四个不同的零点𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，且𝑥1<

𝑥2<𝑥3<𝑥4．若−4<(𝑥1+𝑥2)𝑥3𝑥4<−2，则实数a的取值范围是−3<𝑎<−1．【解题思路】根据函数图象的特征，可得𝑥1+𝑥2=𝑎−1，根据对数的运算性质得𝑥3𝑥4=1，进而根据不等式即可求解.【解答过程】由于𝑦

=|2𝑥−𝑎+1|的图象关于𝑥=𝑎−12对称，由𝑥1<𝑥2<𝑥3<𝑥4，所以可得𝑥1+𝑥2=𝑎−1，又−ln𝑥3=ln𝑥4=𝑏，所以𝑥3𝑥4=1，因此(𝑥1+𝑥2)𝑥3𝑥4=𝑎−1，故−4<𝑎−1<−2且𝑎−12<0，解得：−3<𝑎<−1,故答案为：

−3<𝑎<−1.16．（4分）（2022·湖南·高二期末（理））对于定义域为𝑅的函数𝑓(𝑥)，若存在非零实数𝑥0，使函数𝑓(𝑥)在(−∞,𝑥0)和(𝑥0,+∞)上均有零点，则称𝑥0为函数𝑓(𝑥)的一个“给力点”.现给出下列四个函数：（1）

𝑓(𝑥)=3|𝑥−1|+12；（2）𝑓(𝑥)=2+1𝑔|𝑥−1|（3）𝑓(𝑥)=𝑥33−𝑥−1；（4）𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥−1(𝑎∈𝑅)则存在“给力点”的函数是（4）.【解题思路】根据“给力点”的定义，对四个函数逐一判断即可得到结果.【

解答过程】对于（1），𝑓(𝑥)=3|𝑥−1|+12，定义域为𝑅，且𝑓(𝑥)>12>0恒成立，则不存在“给力点”.对于（2），𝑓(𝑥)=2+lg|𝑥−1|，定义域为{𝑥|𝑥≠1,𝑥∈𝑅}，不符合函

数定义域的要求，所以不存在“给力点”.对于（3），𝑓(𝑥)=𝑥33−𝑥−1，定义域为𝑅，𝑓′(𝑥)=𝑥2−1，在−1<𝑥<1时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)递减，在𝑥>1或𝑥<−1时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)递增，则𝑥=1处取得极小值−53，𝑥=

−1处取得极大值−13，则𝑓(𝑥)与𝑥轴只有一个交点，则不存在“给力点”.对于（4），𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥−1(𝑎∈𝑅)，定义域为𝑅，由于判别式𝑎2+4>0，则一定存在“给力点”.综上可得，（4）正确.故答案为:（4）.四．解答题（共6小题，满

分44分）17．（6分）（2021·全国·高一课前预习）求方程𝑥2=2𝑥+1的一个近似解（精确度0.1）【解题思路】利用二分法，直到精确度小于0.1，求方程的近似解.【解答过程】设𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−1

.因为𝑓(2)=−1<0,𝑓(3)=2>0𝑓(𝑥)在区间(2,3)内单调递增，所以在区间(2,3)内，方程𝑥2−2𝑥−1=0有唯一的实数根为𝑥0取2与3的平均数2.5因为𝑓(2.5)=0.25>0，所以2<𝑥0<2.5，再取2与2.5的平均数2.25，因为𝑓(2.25)=−

0.4375<0，所以2.25<𝑥0<2.5；如此继续下去，有𝑓(2.375)<0,𝑓(2.5)>0，所以𝑥0∈(2.375,2.5)；𝑓(2.375)<0,𝑓(2.4375)>0，所以𝑥0∈(2.375,2.4375)；因为|2.375−2.4375|

=0.0625<0.1，所以方程𝑥2=2𝑥+1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.18．（6分）（2022·全国·高一课时练习）求证：方程3𝑥=2−𝑥𝑥+1在(0,1)内必有一个

实数根．【解题思路】构造函数𝑓(𝑥)=3𝑥−2−𝑥𝑥+1，先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理分析判断.【解答过程】证明：设函数𝑓(𝑥)=3𝑥−2−𝑥𝑥+1=3𝑥+1−3𝑥+1．任取𝑥1,𝑥2∈(0,1)，且𝑥1<𝑥2，则𝑓(𝑥

2)−𝑓(𝑥1)=3𝑥2+1−3𝑥2+1−3𝑥1−1+3𝑥1+1=(3𝑥2−3𝑥1)+3𝑥1+1−3𝑥2+1=(3𝑥2−3𝑥1)+3(𝑥2−𝑥1)(𝑥1+1)(𝑥2+1)，因为𝑥1,𝑥2∈(0,1)，且𝑥1<𝑥2，所以3𝑥2−3𝑥1>

0，𝑥2−𝑥1>0，𝑥1+1>0，𝑥2+1>0，所以𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)>0，即𝑓(𝑥2)>𝑓(𝑥1)所以函数𝑓(𝑥)在(0,1)内是增函数．又𝑓(0)=30−2=−1<0，𝑓(1)=3−12=52>0，即𝑓(0)⋅𝑓(1)<0，所以函数𝑓(𝑥)在

区间(0,1)内有零点，且只有一个，即方程3𝑥=2−𝑥𝑥+1在(0,1)内必有一个实数根．19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥2−8𝑥−1为R上的连续函数，判断𝑓(�

�)在(−1,1)上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．【解题思路】根据零点存在性定理，由𝑓(−1)=9，𝑓(1)=−7，即𝑓(−1)𝑓(1)<0，𝑓(𝑥)为R上的连续函数，可知函数𝑓(𝑥)在(−1,1)上必存在零点，根据二分

法，可得答案.【解答过程】解析𝑓(−1)=9，𝑓(1)=−7．因为𝑓(−1)𝑓(1)<0，𝑓(𝑥)为R上的连续函数，所以函数𝑓(𝑥)在(−1,1)上必存在零点，设为𝑥0．区间中点的值中点函数值符号(−1,1)0𝑓(0)=−1<0(−1,0)－0.

5𝑓(−0.5)=72>0(−0.5,0)－0.25𝑓(−0.25)=98>0(−0.25,0)－0.125𝑓(−0.125)=132>0(−0.125,0)－0.0625𝑓(−0.0625)=−63128<0所以𝑥0∈(−0.125,−0.0625)．因

为－0.125，－0.0625精确到0.1的近似值都为－0.1，故所求近似值为－0.1．20．（8分）（2022·全国·高一单元测试）已知函数𝑓(𝑥)=3−2log2𝑥，𝑔(𝑥)=log2𝑥．(1)

求函数𝑦=𝑓(𝑥2)⋅𝑓(√𝑥)+2𝑔(𝑥)在[1,4]上的零点；(2)若函数ℎ(𝑥)=[𝑓(𝑥)+1]⋅𝑔(𝑥)−𝑘在[1,4]上有零点，求实数𝑘的取值范围．【解题思路】(1)通过换元法将复合函数转化为以t为自变量的二次函数

，整理之后求出令函数为0的t值，求出对应x值即为其零点；(2)求出ℎ(𝑥)=0时k的表达式，通过换元法用t表示k，根据t的取值范围判断k的取值范围即可.【解答过程】（1）由𝑓(𝑥2)⋅𝑓(√�

�)+2𝑔(𝑥)=0，得(3−4log2𝑥)(3−log2𝑥)+2log2𝑥=0．令𝑡=log2𝑥，因为𝑥∈[1,4]，所以𝑡∈[0,2]，则原式可转化为(3−4𝑡)(3−𝑡)+2𝑡=0，化简为4𝑡2−13𝑡+9=0，解得𝑡=1或𝑡=94（舍去），所以lo

g2𝑥=1，所以𝑥=2，即函数𝑦=𝑓(𝑥2)⋅𝑓(√𝑥)+2𝑔(𝑥)在[1,4]上的零点为𝑥=2．（2）ℎ(𝑥)=(4−2log2𝑥)⋅log2𝑥−𝑘=−2(log2𝑥−1)2+2−𝑘，令𝑡=log2𝑥

，因为𝑥∈[1,4]，所以𝑡∈[0,2]，令ℎ(𝑥)=0，得𝑘=−2(𝑡−1)2+2，因为𝑡∈[0,2]，所以−2(𝑡−1)2+2∈[0,2]，即实数𝑘的取值范围为[0,2]．21．（8分）（2

021·北京·高二学业考试）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+1𝑥与𝑔(𝑥)=𝑎𝑥−1.(1)若𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)有相同的零点，求𝑎的值；(2)若𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≥0对𝑥∈[1,+∞)恒成

立，求𝑎的最小值.【解题思路】（1）求出函数𝑓(𝑥)的零点，将其代入𝑔(𝑥)=0，即可求出𝑎的值；（2）令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)，由𝐹(𝑥)≥0对𝑥∈[1,+∞)恒成立，令𝑥=1，𝐹(1)≥0可解出𝑎≥−1，再检验𝑎=−1时，𝐹(𝑥)≥0对𝑥∈[1

,+∞)恒成立.【解答过程】(1)令𝑓(𝑥)=𝑥2+1𝑥=0，即𝑥3+1=0，所以𝑓(−1)=0，故𝑔(−1)=−𝑎−1=0，解得𝑎=−1；(2)令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)=

𝑥2+1𝑥+𝑎𝑥−1，因为𝐹(𝑥)≥0对𝑥∈[1,+∞)恒成立，所以𝐹(1)=1+𝑎≥0，则𝑎≥−1，当𝑎=−1时，𝐹(𝑥)=𝑥2+1𝑥−𝑥−1=(𝑥2−1)+1−𝑥2𝑥=(𝑥−1)2(𝑥+1)𝑥，当𝑥∈[1,+∞)时，(𝑥−1)2≥0

𝑥+1>0，所以𝐹(𝑥)≥0，所以实数𝑎的最小值是−1.22．（8分）（2022·浙江·高二学业考试）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏,𝑎,𝑏∈𝐑，𝑓(1)=0．(1)若函数𝑦=|𝑓(𝑥)|在[0,1]上是减函数，求实数𝑎的取值范围；(2)设𝐹(𝑥)

=𝑓(|2𝑥−1|)+𝑎(|2𝑥−1|−2)，若函数𝐹(𝑥)有三个不同的零点，求实数𝑎的取值范围；【解题思路】（1）由𝑓(1)=0求得𝑏=−𝑎−1，求出𝑓(𝑥)对称轴𝑥=−𝑎2，分𝑎≤−2和𝑎>−2讨论�

�(𝑥)的单调性，再结合𝑓(𝑥)的正负，得到𝑦=|𝑓(𝑥)|的单调性，即可求解；（2）令𝑡=|2𝑥−1|画出图像，将问题转化为𝑡2+2𝑎𝑡−3𝑎−1=0的根的问题，结合𝑡=|2𝑥−1|的图像求得𝑡2+2𝑎𝑡−3𝑎−1=0两根的分布，由二次函数的性质求出实数𝑎即

可.【解答过程】（1）由𝑓(1)=1+𝑎+𝑏=0，可知𝑏=−𝑎−1，所以𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥−𝑎−1，对称轴为𝑥=−𝑎2，Δ=𝑎2−4(−𝑎−1)=(𝑎+2)2≥0，当𝑎≤−2时，−𝑎2≥1，则𝑓(𝑥)在[0,1]上是减函数，又𝑓(1)=0，则在[0,1]

上有𝑓(𝑥)≥0，则函数𝑦=|𝑓(𝑥)|在[0,1]上是减函数；当𝑎>−2时，−𝑎2<1，则𝑓(𝑥)在[−𝑎2,1]上为增函数，又𝑓(1)=0，则在[−𝑎2,1]上，有𝑓(𝑥)≤0，则函数𝑦=|𝑓(𝑥)|在[−𝑎2,1]上为减函数，则有−𝑎2≤0，解得�

�≥0，综上可得，实数𝑎的取值范围为(−∞,−2]∪[0,+∞)；（2）函数𝐹(𝑥)有三个不同的零点，则方程𝑓(|2𝑥−1|)+𝑎(|2𝑥−1|−2)=0有三个不同的实根，设𝑡=|2𝑥−1|={2𝑥−1,�

�≥0−2𝑥+1,𝑥<0，其图像如图所示，则𝑓(𝑡)+𝑎(𝑡−2)=0，即𝑡2+2𝑎𝑡−3𝑎−1=0必有两个不同实根𝑡1,𝑡2(𝑡1<𝑡2)，由𝑡=|2𝑥−1|的图像可知，则𝑡1=0,0<𝑡2<1

或0<𝑡1<1,𝑡2=1或0<𝑡1<1,𝑡2>1；若𝑡1=0,0<𝑡2<1，则−3𝑎−1=0，解得𝑎=−13，此时方程为𝑡2−23𝑡=0，解得𝑡1=0,𝑡2=23，符合题意；若0<

𝑡1<1,𝑡2=1，则1+2𝑎−3𝑎−1=0，解得𝑎=0，此时方程为𝑡2−1=0，解得𝑡1=−1,𝑡2=1，不合题意；若0<𝑡1<1,𝑡2>1，则{−3𝑎−1>01+2𝑎−3𝑎−1<0，无解，不合题意；综上可得，𝑎=

−13.