【文档说明】《数学北师大版必修4教学教案》1.9三角函数的简单应用含答案【高考】.doc，共(6)页，240.500 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-三角函数的简单应用教学目标:1、对一些简单的周期现象，能够选择适当的三角函数模型，刻画和解决实际问题。2、能正确分析收集到的数据，选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。3

、培养学生数学应用意识；提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。教学重点：体会三角函数模型在实际问题中的应用。教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。教学媒体：几何画板教学过程：导入语

：我们已经知道周期现象是自然界最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型，这一节课，我们将通过实例让同学们体会如何利用三角函数解决实际问题。水车问题与三角函数例1、水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，如图是一个水车工作的示意图，它的直径为4.8m,其中心（即圆心）O距水

面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是90s.在水车轮边缘上取一点P，点P距水面的高度为h(m).(1)求h与时间t的函数解析式，并作出这个函数的简图.(2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水

车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？【师】随着时间t的变化h有着怎样的变化？【生】呈周期变化。【师】这样，我们就要去找有关角的关系，那位同学能说一下你的想法？学生代表发言，老师板书。解：不妨设水面的高度为0,当点P旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值.显然，h与t的函数

关系是周期函数的关系.如图，设水车的半径为R，R=2.4m;水车中心到水面的距离为b,b=1.2m;QOP为;水车旋转一圈所需的时间为T;由已知T=90s，单位时间（单位：s）旋转的角度（单位：rad）为2,/45radsT==.-2-从图

中可以看出：1.2sin2.4=，所以6=.2.4sin()1.2()456htm=−+这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数解析式。【师】谁有不同意见？强调定义域。【师】找学生板演图象。学生板演:师生共同解决第二问

：如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大.如果水车轮转速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大。课时小结：面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本

技能.这个过程并不神秘，就像这个例题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的。潮汐问题与三角函数：1．观看视频，例题引入2．问题提出，探究解决【师】你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？【生

】水深情况。【师】是的，我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到有关那个港口的水深与时间的对应关系。请同学们看下面这个问题。问题探究1：如图所示，下面是钱塘江某个码头在今年春季每天的时间与水深的关系表：时间0.003.006.009.0012.0015.0018.0

021.0024.00水深5.07.55.02.55.07.55.02.55.0请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？小组合作发现，代表发言。可能结果：1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.

5米。2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。4）学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律。（研究数据的两种形式）-3

-5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？追问为什么类似正弦型函数bxAy++=)sin(（排除法，关键在于周期性）。（学生活动，求解解析式）得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验

过程，教师点明：建模过程——选模，求模，验模，应用。有了这个模型，我们大致可以知道哪些情况？学生小组合作讨论回答，如周期、单调性、每时每刻的水深。学生计算几个值，最后教师呈现水深关于整点时间的数值表时刻0.001.0

02.003.004.005.006.007.008.009.0010.0011.00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12.0013.0014.0015.0016.0017.0018.0019.002

0.0021.0022.0023.00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754【师】有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时每艘船只的吃水深度是不

一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：问题探究2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？（师生一起分析）用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数学问题？水深5

.5米得出5.1456sin5.2++x，即2.06sinx，（师生齐分析）解三角不等式2.06sinx的方法令2.06sin=x学生活动：操作计算器计算3848.0,2014.06xx，结合

电脑呈现图-4-象发现：在[0，24]范围内，方程2.06sin=x的解一共有4个，从小到大依次记为：那么其他三个值如何求得呢？（学生思考）得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港

呢？（学生讨论，交流）可能结果：【生1】货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。【生2】货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时30分，中午12时30分，或者傍晚

17时30分左右出港。……（学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后

来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港

时间呢？请看下面问题：问题探究3：在探究2条件中，若该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？（学生讨论）安全即需要：实际水深安全水深，即：，讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并

呈现）通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）求P点横坐标即解方程-5-cos3,0ytt=−−cos6,0ytt=−−

013,22P−数形结合，二分法求近似解：由图得点P点横坐标在[6，7]，故我们只需要算出6，6.5，7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。时间实际水深安全水深是否安全6．05米4．3米安全6．54．2米4．1米较安全7．03．8米

4．0米危险货船应该在6时30分左右驶离港口。（可能有的同学有些异议，可以讨论）从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后在驶回来。这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？那该怎

么来做呢？（学生讨论）可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度。3．课时小结，认识深化（师生一起归纳）回顾整个探究过程，经历了第一阶段：收集数据-----画散点图第二阶段：根据图象特征---选模、求模、验模第三阶段：函数模型

应用在整个探究过程，我们用到数学常见的一些思想方法：（1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；（2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；（3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，

用到了数形结合的思想；（4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。课堂练习：已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度做圆周运动，则点的纵坐标关于运动时间t（单位：s）的函数关系为（）A

BCD课堂小结：1.通过学习三角函数的简单应用,体会数学建模的过程.2.会求三角函数的解析式，能利用数学知识解决一些简单的实际问题.3.三角函数模型作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问3sin,0ytt=−6

sin,0ytt=−-6-题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用。