【文档说明】重庆市渝高中学校2025届高三上学期第一次月考阶段测试数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，860.449 KB，由小赞的店铺上传

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高2025届高三（上）第一学月阶段测试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合4{N|Z}4Axx=−，2{N|34

0}Bxxx=−−，则AB=（）A.1,2−B.0,2C.0,2,3D.1,2【答案】C【解析】【分析】根据题意写出集合,AB的元素，再根据集合交运算即可求解.【详解】2340xx−−即(4)(1)0xx−+，解得14x−，由题意得0,2,3

,5,6,8,0,1,2,3,4AB==，则{0,2,3}AB=.故选：C.2.在ABCV中，60A=，43a=，42b=，则B等于（）A.45°或135°B.135°C.45°D.30°【答案】C【解析

】【分析】由正弦定理可得，sinsinabAB=，可得342sin22sin243bABa===，结合大边对大角由ab可得AB，从而可求B．【详解】∵60A=，43a=，42b=由正弦定理可得，sinsinabAB=∴342sin

22sin243bABa===∵ab，∴AB∴45B=故选：C．3.函数()3sin1xxfxx=+的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的定义域、特殊位置可排除法得

出结果.【详解】易知函数()3sin1xxfxx=+的定义域为1xx−，故可排除C，D；又33ππ2sinπππ4481,044ππ1144f−−−−−==−+−+，所

以可排除B，故选:A．4.“曲线exy=恒在直线yxb=+的上方”的一个充分不必要条件是（）A.1bB.1ebC.e0b−D.eb【答案】C【解析】【分析】由题意可得exxb+,设()exfxxb=−−，利用导数求出函数的最小值，令

最小值大于零，得出b的取值范围，再进行判断即可.【详解】由曲线exy=恒在直线yxb=+上方，可得exxb+，设()exfxxb=−−，则()0fx恒成立，因为()e1xfx=−，所以()fx在R上单调递增，且当0

x=时，()0fx=，故当(),0x−时，()0fx，()fx单调递减；当()0,x+时，()0fx，()fx单调递增，所以当0x=时，()fx取得极小值即最小值()00e01fbb=

−−=−，令10b−，得1b.所以“曲线exy=恒在直线yxb=+的上方”的充要条件是1b，故A错误；对B：1eb是1b的既不充分也不必要条件，故B错误；对C：由e0b−可推出1b，但反之不成立，故C正确；对D：eb是1b的既不充分也不必要条件，故D错误；故选：C5.现

代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若()fx是()fx的导函数，()fx是()fx的导函数，则曲线()yfx=在点()(),xfx处的曲率()()()()3221fxKfx=+.函

数()3lnfxx=的图象在()()1,1f处的曲率为（）A.31000B.3100C.30100D.310100【答案】D【解析】【分析】求出()fx、()fx，代值计算可得出函数()3lnfxx=的图象在()()1,1f处的曲率.【详

解】因为()3lnfxx=，所以()3fxx=，()23fxx=−，所以()13f=，()13f=−，所以()()()()()3233222133103101001911fKf−====++

.故选：D.6.若存在(0,2x，使不等式2230axxa−+成立，则实数a的取值范围是（）A.33aB.407aC.33aD.47a【答案】A【解析】【分析】当(0,2x时，由参变量分离法可得223xax+，利用基本不等

式求出223xx+的最大值，即可求得实数a的取值范围.【详解】当(0,2x时，由2230axxa−+，可得()232axx+，则2max23xax+，因为2222333332xxxxxx==++，当且仅当()30xxx=时，即

当3x=时，等号成立，所以，当(0,2x时，223xx+的最大值为33，故33a.故选：A.7.在ABCV中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知3a=，()()()sinsin3sinsinABbcBC−+=+，则ABCV外接

圆的半径为（）A.1B.3C.2D.5【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到222abcbc=++，结合余弦定理求得1cos2A=−，求得2π3A=，然后再利用正弦定理，即可求得ABCV外接圆的半径，得到答案.【详解】因为3a=，且()()()si

nsin3sinsinABbcBC−+=+，所以()()sinsinABab−+=()sinsincBC+，由正弦定理，可得()()()ababcbc−+=+，即222abcbc=++，所以2221cos22bcaAbc+−

==−，又因()0,πA，所以2π3A=，所以ABCV外接圆的半径为312sin322aA==.故选：A.8.已知函数()fx的定义域为R，函数()()()11Fxfxx=+−+为偶函数，函数()()231Gxfx=+−为奇函数，则下列

说法错误的是（）A.函数()fx的一个对称中心为()2,1B.()01f=−C.函数()fx为周期函数，且一个周期为4D.()()()()12346ffff+++=【答案】C【解析】【分析】对于A，由()Gx为奇函数，则()()GxGx−=−

，再将()()231Gxfx=+−代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得(2)1f=，再由()Fx为偶函数可得(1)(1)2fxfxx+−−=，令1x=可求出(0)f；对于C，由()fx的图象关于点(2,1)对称，结合(0)1f=−求出(4)f进行判断；对于D，利用赋值法求解

判断.【详解】对于A，因为()()231Gxfx=+−为奇函数，所以()()GxGx−=−，即(23)1[(23)1]fxfx−−=−+−，所以(23)(23)2fxfx−++=，所以(2)(2)2fx

fx−++=，所以函数()fx的图象关于点(2,1)对称，所以A正确，对于B，在(2)(2)2fxfx−++=中，令0x=，得2(2)2f=，得(2)1f=，因为函数()()()11Fxfxx=+−+为偶函数，所以()()FxFx−=，所以()

()()()1111fxxfxx−−−=+−+，所以(1)(1)2fxfxx+−−=，令1x=，则(2)(0)2ff−=，所以1(0)2f−=，得(0)1f=−，所以B正确，对于C，因为函数()fx的图象关于点(2,1)对称，(0)1f=−，所以(4)3f=，所以(0)(4)

ff，所以4不是()fx的周期，所以C错误，对于D，在(2)(2)2fxfx−++=中令1x=，则(1)(3)2ff+=，令2x=，则(0)(4)2ff+=，因为(0)1f=−，所以(4)3f=，因为(2)1f=，所以()()()(

)12346ffff+++=，所以D正确，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知212nxx−展开式中各项二项式系数之和为128，则（）A.7n=B.展开式的各项系数之和是1−C.展开式中第4项和第5项的二项

式系数最大D.展开式中无常数项【答案】ACD【解析】【分析】利用二项式系数和公式可先得n判定A，利用赋值法可判定B，利用二项式系数的性质可判定C，利用通项公式可判定D.【详解】由题意可知2127n=，则

7n=，故A正确；令1x=，则7212111−=，故B错误；因为7n=，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，即第4、5项二项式系数最大，分别为3477C,C，故C正确；设7212x

x−展开式的通项为()()()()72773177C2C21Z,07rrrrrrrrTxxxrr−−−−+=−=−，显然730r−=无整数解，故D正确.故选：ACD.10.已知函数()sin3cos(0)fx

xx=+的最小正周期为π，则（）A.()fx的最大值为2B.()fx在ππ,36−上单调递增C.()fx的图象关于点π,06−中心对称D.()fx的图象可由2cos2yx=的图象向右平移π12个单

位得到【答案】ACD【解析】【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图象变换一一判定选项即可.【详解】易知()πsin3cos2sin3fxxxx=+=+

，其最小正周期为2ππT==，所以2=，即()π2sin23fxx=+，显然()2fx，故A正确；令()πππππ22π,2ππ,πZ3221212xkkxkkk+−++−++，显然区间ππ,36−不

是区间()πππ,πZ1212kkk−++的子区间，故B错误；令ππ2063xx=−+=，则π,06−是()fx的一个对称中心，故C正确；将2cos2yx=图象向右平移π12个单位得到()πππππco

s2cos2sin2sin2126263yxxxxfx=−=−=+−=+=，故D正确.故选：ACD的11.设A，B是两个随机事件，

且()12PA=，()23PB=，()23PAB+=，则（）A.()16PAB=B.A与B相互独立C.()23PBA=D.()()PBAPAB=【答案】ABC【解析】【分析】利用概率的性质、独立事件的判定和条件概率的公式逐项

判断即可.【详解】对于A，由()()()()PABPAPBPAB+=+−，即()112233PAB+−=，得()16PAB=，选项A正确；对于B，由()()()PAPABPAB=+，故()()()111263PABPAPAB=−=−=，且()()12

1233PAPB==，故()()()PABPAPB=，所以A与B相互独立，选项B正确；对于C，由()()()123132PABPBAPA===，选项C正确；对于D，因为A与B相互独立，所以A与B，A与B相互独立，所以()()()()()()()23PBAPBPAPB

APBPAPA====；()()()()()()()12PABPAPBPABPAPBPB====，即()()PBAPAB，选项D错误.故选：ABC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数221(1)()(1)xxfxxxx−=−

，()2fa=则a=______.【答案】2【解析】【分析】分1a和1a两种情况列方程求解即可.【详解】221(1)()(1)xxfxxxx−=−，若()2fa=，则1212aa

−=或212aaa−=，即21log3aa=或112aaa=−=或，解得2a=.故答案为：2.13.已知函数()()π2cos0,2fxx=+的部分图像如图所示，其中π13π0,2312ff==，则11π11π46ff

−+=__________.【答案】1【解析】【分析】观察图象确定函数()fx的周期，由此求，根据13π212f=求，再求11π11π46ff−+即可.【详解】设函数()fx的最小正周期为T，观察图象可得313π3π41

24π3T=−=，所以πT=，又0，所以2π2T==，又13π212f=，所以13π2cos26+=，所以13π2π6k=−，Zk，又π2，所以π6=−，所以()π2cos26fxx=−，所以11π1

1π11ππ11πππ7π2cos2cos2cos2cos146263632ff−+=−−+−=+=，故答案为：1.14.设ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，已知sinsin2ABacA+=，2c=.则C=___

___；S的最大值为______.【答案】①.π3##60°②.3【解析】【分析】由正弦定理边化角结合诱导公式求解角C；利用余弦定理结合基本不等式求面积最大值即可.【详解】因为sinsin2ABacA+=，所以由正弦定理知sinsinsinsin2A

BACA+=，所以sincos2sincossin222CCCAA=，因为sin0,cos02CA，所以1sin22C=，又()0,πC，所以π0,22C，所以π26C=，所以π3C=；由已知及余弦定理得：2222π42cos23ababababa

babab=+−=+−−=，所以4ab，当且仅当ab=时，等号成立，133sin43244ABCSabCab===，则ABCV面积S的最大值为√3.故答案为：π3；3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()4sincos23co

s223fxxxxa=+++的最大值为2．（1）求a值，并求()fx的最小正周期；（2）求()fx在π,π2上的单调递增区间．【答案】（1）223a=−−，最小正周期为π（2）7π,π12【解析】的【分析】（1）先根据二倍

角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到()π4sin2233fxxa=+++，根据函数最值，即可求出a，再由正弦函数的周期，即可求出周期；（2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果.【小问1详解】()4sincos2

3cos2232sin223cos223fxxxxaxxa=+++=+++π4sin2233xa=+++，所以()423fxa++，因为函数()4sincos23cos223fxxxxa=+++最大为2，所以4232a++=

，解得223a=−−；所以π()4sin223fxx=+−，因此最小正周期为2ππ2T==；【小问2详解】由πππ2π22π232kxk−++，kZ得5πππ,π,1212xkkk

−+Z，所以()fx的单调递增区间为5πππ,π,1212kkk−+Z，又π,π2x，取1k=，得()fx在π,π2上的单调递增区间为7π,π12.16.已知函数()()()32231610fxxmxmxmmR=−−

−+.（1）若0m=，求曲线()yfx=在1x=处的切线方程；（2）若0m，且当13,x−时，()0fx恒成立，求m取值范围.【答案】（1）1270xy−−=；（2）(0,2.【解析】的的【分析】（

1）先对函数()yfx=求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）问题可转化为求解函数()yfx=在区间1,3−上的最小值()minfx，求导后对实数m分3m和03m两种情况讨论，求出()min

fx，然后解不等式()min0fx，即可求得实数m的取值范围.【详解】（1）当0m=时，()3223fxxx+=，()266fxxx=+，由题意可得，()15f=，切线斜率()112kf==，故曲线()yfx=在1x=处的切线方程()5121yx−=

−，即1270xy−−=；（2）()()()()2661661fxxmxmxxm=−−−=+−.①若3m，则对任意的13,x−，()0fx，则函数()yfx=在1,3−上单调递减，则只要()335810fm=−+，解可得，81335m，不合题意，舍去；②若

03m，当1xm−时，()0fx，当3mx时，()0fx，故函数()yfx=在1,m−上单调递减，在(,3m上单调递增，故只要()323100fmmmm=−−+，0m，解得02m.综上可得，m的范围为(0,2.【

点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，一般转化为与函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.17.2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满

成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表：关注不关注合计男生5560女生合计75（1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有99%的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？（2）

为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择：方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级.已知振华同学答对这4个问题的概率分别为2221,,,3

332，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？附：()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++()Pk0.10.050.0250.010.001k2.70

63.8415.0246.63510.828【答案】（1）表格见解析，能有（2）振华选择方案一晋级的可能性更大【解析】【分析】（1）根据已知条件补全22列联表，计算2的值并作出判断.（2）根据相互独立概率计算，求得两种方案晋级的概率，从而作出判断.【小问1详解】22列联表如下：关注不关注合计

男生55560女生201030合计7515902290(5510205)96.63560307515−==，能有99%的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关.【小问2详解】记这4个问题为abcd

,,,，记振华答对abcd,,,的事件分别记为,,,ABCD，分别记按方案一､二晋级的概率为12,PP，则1()()()()()PPABCDPABCDPABCDPABCDPABCD=++++322121114233232327=+=，()

()()()()()2111111666666PPABPACPADPBCPBDPCD=+++++21221733633218=+=，因为1472718，振华选择方案一晋级的可能性更大.18.ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()2coscos0

cbAaC−+=.（1）求角A大小；（2）若4,a=8+=bc，求ABCV的面积；（3）若角C为钝角，直接写出cb的取值范围.【答案】（1）π3A=；（2）43；（3）(2,)+.【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，整理化简得sin(12cos)0BA−=，由sin0

B推得1cos2A=，求得角A；（2）由余弦定理和题设条件，求出16bc=，代入三角形面积公式计算即得；（3）由正弦定理化边为角，再消去角C，整理得312tan2cbB=+，利用π06B时正切函数的值域即可求得cb的取值范围.【小问1详解】的由()2

coscos0cbAaC−+=和正弦定理得，()sin2sincossincos0CBAAC−+=，因sincossincossin()sin(π)sinCAACACBB+=+=−=，则有sin(12cos)0BA−=，因0π,sin0BB，则1cos2A=，又0πA，故π3A=

.【小问2详解】由余弦定理，2222cosabcbcA=+−，代入得，2216bcbc+−=，因8+=bc，则有2()316bcbc+−=，即得16bc=，故ABCV的面积113sin1643222SbcA=

==.【小问3详解】由正弦定理，sinsinbcBC=可得sinsincCbB=，因2π3CB=−，代入化简得：2π31sin()cossinsin31322sinsinsin2tan2BBBcCbBBBB

−+====+因C为钝角，故由π022ππ32BB−可得π06B，则30tan3B，332tan2B，即2cb，故cb的取值范围是(2,)+.【点睛】思路点睛：本题主要

考查正弦定理、余弦定理在求角、面积和解析式范围上的应用，属于难题.解题思路即是遇到与三角形中的边相关的解析式求范围问题时，一般运用正、余弦定理将其化成内角的三角函数式，利用三角函数的有界性求其范围.19.已知函数()

1lnfxxxa=−与函数()eaxgxx=−，其中0a.（1）求()fx的单调区间；（2）若𝑔(𝑥)>0，求a的取值范围；（3）若曲线𝑦=𝑓(𝑥)与x轴有两个不同的交点，求证：曲线𝑦=𝑓(𝑥)与曲线𝑦=𝑔(𝑥)共有三个不同的交点

.【答案】（1）答案见解析（2）1,e+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）借助导数研究其导函数的正负即可得其单调区间；（2）若0x，可得不等式恒成立，若0x，即lnxax，构造函数()lnxhxx=后借助导数求出其最大值即可得解

；（3）根据题设先证两条曲线有()1,0x，()2,0x两个交点，再构造函数()1e2lnaxHxxxa=−+证明其除了这两个交点后还存在第三个交点即可得.【小问1详解】()yfx=的定义域为：{|0}xx，又已知0a，()111axafxaxax−=−=，所

以10,xa时，()()0,fxfx单调递减；1,xa+时，()()0,fxfx单调递增；【小问2详解】由题意：()e0axgxx=−，即eaxx，若0x，不等式恒成立，若0x，即lnxax，令()ln(0)xhxxx=，()21lnx

hxx−=，当()0,ex时，()()0,hxhx单调递增，当()e,x+时，()0hx，()hx单调递减，故max1()ehx=，故a的取值范围为1,e+；【小问3详解】曲线()yfx=与x轴有两个不同

的交点，即函数()yfx=有两个不同的零点12,xx，不妨令120xx，由（2）知，a的取值范围为10,e，且由11eaxx=得111lnxxa=，同理得曲线()yfx=与曲线()ygx=共有两个不同的交点()1,0x，()2,0x，下面证明这两条

曲线还有一个交点，令()1e2lnaxHxxxa=−+，()1e21e2axaxaaxaxHxaaxaxax−=+−=−，令tax=，则()e21,0tmtattt=−+，()()1e2tmtat=+−，令()()()1

e2tmtatnt=+=−，则()()2e0tntat=+恒成立，则()mt单调递增，又()12e20ma=−，令()()1e20tmtat=+−=，得()22e1tata=+，故存在021lnta，使得()ymt=在()00,t上单调递减，在()0,t+单调递增，()()

2010,1e10,ln10mmama==−=，故()e21tmtatt=−+有两个零点12122,,01lntttta，令1324,taxtax==，即()yHx=有且只有两个极值点34,xx

，所以()yHx=在()30,x上单调增，在()34,xx上单调减，在()4,x+上单调增，又()111120Hxaxax=+−，若()110,1Hxax==，由11eaxx=得11e,exa==与题设矛盾，所以()10Hx

，同理()2120,,Hxxx不可能在同一单调区间，13420,xxxx，故有()()()()13420,0HxHxHxHx==，所以在()34,xx间存在唯一的0x使得()00Hx=，即两条曲线还有一个交点0x，故曲

线()yfx=与曲线()ygx=共有三个不同的交点.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先得出曲线()yfx=与曲线()ygx=共有两个不同的交点()1,0x，()2,0x，再通过构造函数()1e2lnaxHxxxa=−+去证明其除了这两个交点后还存在第三个交点.