【文档说明】《【考前抓大题】冲刺中考数学》专题28 勾股定理的应用（基础）（解析版）.docx，共(15)页，156.563 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题28勾股定理的应用（基础）1．如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB＝DB），已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为多少？【分析】直接利用勾股定理得出BD2＝DC

2+BC2，进而求出答案．【解答】解：设BC为h米，Rt△BCD中，BC＝h，AB＝BD＝h+1，DC＝3，由勾股定理得：BD2＝DC2+BC2，即（h+1）2＝h2+32，解得：h＝4．因此湖深BC为4米

．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译

成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．【分析】直接利用勾股定理进而得出AC的长．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+AB＝10，BC＝4，设AC＝x，则AB

＝10﹣x，2∴x2+42＝（10﹣x）2，解得：x=215，答：AC的长为215．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出等式方程是解题关键．3．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋

千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣3）m，利用勾股定理可得x2＝62+（x﹣3）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝

（x﹣3）m，故x2＝62+（x﹣3）2，解得：x＝7.5，答：绳索AD的长度是7.5m．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边

的平方．4．如图，一架长5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC＝3米．（1）求BC的长；（2）梯子滑动后停在DE的位置，当AE为多少时，AE与BD相等？【分析】（1）直接利用勾股定理得

出BC的长；3（2）得出AE＝BD，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）∵一架长5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC＝3米，∴BC=√52−32=4（m），答：BC的长为4m；（2）当BD＝AE，则设AE＝x，故（4﹣

x）2+（3+x）2＝25解得：x1＝1，x2＝0（舍去），故AE＝1m．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．5．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点．当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知梯子长2.5m，D点到

地面的垂直距离DE＝1.5m，两墙的距离CE长3.5m．求B点到地面的垂直距离BC．【分析】直接利用勾股定理得出AE的长，进而得出BC的长．【解答】解：∵梯子长2.5m，D点到地面的垂直距离DE＝1.

5m，∴AE=√2．52−1．52=2（m），∵两墙的距离CE长3.5m，∴AC＝1.5m，∴BC=√𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=√2．52−1．52=2（m），答：B点到地面的垂直距离BC为2m．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．6．如图，沿

AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝520m，∠D＝50°，那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上4（结果保留小数点后一位，cos50°＝0.64

28）？【分析】先判断出△BED的形状，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．【解答】解：∵∠ABD＝140°，∴∠DBE＝180°﹣140°＝40°，∵∠D＝50°，∴∠E＝180°﹣∠DBE﹣∠D＝

180°﹣40°﹣50°＝90°，∴𝐷𝐸𝐵𝐷=cosD，即𝐷𝐸520=0.6428，解得DE＝334.3m．故另一边开挖点E离D334.3米正好使A，C，E三点在一直线上．【点评】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，涉及到三角形内角和定理及锐

角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．7．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝8米，CD＝6米，∠ADC＝90°，AB＝26米，BC＝24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米300元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？【分析】连接AC，根

据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，求出区域的面积，即可求出答案．【解答】解：连结AC，如图所示：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，由勾股定理得：AC=√82+62=10（米），5∵AC2+B

C2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC=12×10×24−12×6×8＝96（平方米），∴铺满这块空地共需花

费＝96×300＝28800元．【点评】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理等知识，解此题的关键是求出区域的面积．8．如图，6月5日法制广场一棵大树在离地面3米处被风折断，树的顶端落在离树干底部4米处，求这棵树折断之前的高度．【分析】由题意得，

在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为√32+42=5（米），∴折断前高度为5+3＝8（米）．答：这棵树折断

之前的高度是8米．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．9．如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．6

【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．【解答】解：根据图中数据，由勾股定理可得：AB=√𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=√652−252=60（米）．∴该河流的宽度为60米．【点评】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数

学模型，画出准确的示意图．10．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？【分析】

根据方向角的概念求出∠CAB＝90°，根据勾股定理求出AC的长，得到答案．【解答】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，∴∠CAB＝90°，∵AB＝16×3＝48，BC＝60，∴AC=√𝐵𝐶2−𝐴

𝐵2=36，∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．【点评】本题考查的是勾股定理的应用和方向角问题，正确运用勾股定理．善于观察题目得到直角三角形是解题的关键．11．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着

AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【分析】设BC为xcm，则AC＝xcm，OC＝（9﹣x）cm，利用勾股定理得到32+（9﹣x）2＝x2，然后解7方程求出x

即可．【解答】解：设BC为xcm，则AC＝xcm，OC＝（9﹣x）cm，在Rt△OBC中，∵OB2+OC2＝BC2，∴32+（9﹣x）2＝x2，解得x＝5．答：机器人行走的路程BC是5cm．【点评】本题考查了勾

股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．12．如图所示，有一根直立标杆，它的上部被风从B

处吹折，杆顶C着地离杆底2米，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5米，故杆顶E着地比前一次远1米，求原标杆的长度？【分析】由题中条件，可设原标杆AB的高为x，进而再依据勾股定理建立平衡方程，进而求解即可．【解答】解：依题意得AC＝2，AE＝3

，设原标杆的高为x，∵∠A＝90°，∴由题中条件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2，整理，得x2﹣2ABx＝4，同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2，整理，得x2﹣2ABx+x＝9，解得x＝5．∴

原来标杆的高度为5米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．13．如图，已知一块四边形草

地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2m，CD＝1m．求这块草地的面积和周长．8【分析】分别延长AD，BC交于点E，所求四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CED．由∠A＝45°，

∠B＝∠D＝90°，可得△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，然后求出△ABE和△CDE的面积即可求解．【解答】解：分别延长AD，BC交于点E．如图所示，∵∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，∴∠DCE＝∠DEB＝∠A＝45°，∴AB＝BE，

CD＝DE，∵AB＝2m，CD＝1m，∴BE＝2m，DE＝1m，∴BC＝BE﹣CE＝2−√2，AD＝AE﹣DE＝2√2−1，∵S△ABE=12AB•BE＝2，S△CDE=12CD•DE＝0.5，∴四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CDE＝2﹣

0.5＝1.5（m2）．四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝2+2−√2+1+2√2−1＝4+√2（m）所以这块草地的面积为1.5m2．周长为（4+√2）m．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用．解题的关键是：通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用四

边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CED来求解．14．如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车达到A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处；已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC＝110米，DE＝10米，BD＝60米，α＝3

0°，β＝60°，求AC的高度．9【分析】根据已知和余弦的概念求出DF的长，得到CG的长，根据正切的概念求出AG的长，求和得到答案．【解答】解：∵cos∠DBF=𝐵𝐹𝐵𝐷，∴BF＝60×√32=30√3（m），FH＝DE＝10m，∴EG＝HC＝110﹣30√3−10＝（10

0﹣30√3）m，∵tan∠AEG=𝐴𝐺𝐸𝐺，∴AG＝（100﹣30√3）×√3=（100√3−90）m，∵sin∠DBF=𝐷𝐹𝐵𝐷，∴DF＝60×12=30（m），∴CG＝30m，∴AC＝AG+CG＝100√3−90+30＝（100√3−60）米，答：AC的高度为（

100√3−60）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念和坡角的概念是解题的关键，解答时注意：正确作出辅助线构造直角三角形准确运用锐角三角函数的概念列出算式．15．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿

BM方向航行125km到达C岛，10A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．（2）C岛在A港的什么方向？【分析】（1）Rt△ABC中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来

求AC的长度，则时间＝路程÷速度；（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°．由方向角的定义作答．【解答】解：（1）由题意AD＝60km，Rt△ABC中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．∴BD＝80（km）．∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．∴AC=√𝐶�

�2+𝐴𝐷2=√452+602=75（km）．75÷25＝3（小时）．答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，∴AB2+AC2＝BC2．∴∠BAC＝90°．∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝4

2°．∴C岛在A港的北偏西42°．11【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．16．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们的东北方向距离10海里处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°

方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻艇以每小时15海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻队出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC＝12

0°，AB＝10，BC＝10x，AC＝15x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD＝10x+5．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC＝

45°+75°＝120°，AB＝10，BC＝10x，AC＝15x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝10，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，∴BD＝AB•cos60°=12AB＝5，AD＝AB•sin60°＝5√3，∴CD＝10

x+5．在Rt△ACD中，由勾股定理得：（15x）2＝（10x+5）2+（5√3）2，解得：x1=2+2√65，x2=2−2√65（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2+2√65小时．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股

定理得出方程是解12决问题的关键．17．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？【分析】设卡车开到C处刚好

开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．【解答】解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，CB=√1002−802=60（m），∴CD＝2CB

＝120m，则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．答：该学校受影响的时间为24秒．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间＝路程÷速度．18．如图，一轮船以40km/h的

速度由西向东航行，在途中点C处接到台风警报，台风中心点B正以20km/h的速度由南向北移动．已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得BC＝500km，BA＝300km．（假定轮船不改变航向）．（1）如果这

艘轮船不改变航向，经过11小时，轮船与台风中心相距多远？此时，轮船是否受到台风影响？（2）如果这艘轮船受到台风影响，请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时？13【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长，进而利用勾股定理求出轮船与台风中心距离；（2）利

用勾股定理结合一元二次方程解法得出轮船受到台风影响时间．【解答】解：（1）∵CB＝500km，AB＝300km，∴AC=√𝐶𝐵2−𝐴𝐵2=400（km），√(11×40−400)2+(300−11×20)2=40√5（km），∵40√5＜200，∴此时，轮船受到台风影响；（2）由题意得：（

400﹣40t）2+（300﹣20t）2＝2002，解得：t1＝7，t2＝15，轮船受到台风影响时间：15﹣7＝8（小时），答：轮船受到台风影响一共8小时．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出线段长是解题关键．19．八年级（

2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）过点D作DH

⊥BC，垂足为H，求BH、DH．14【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得𝐶𝐷

=√𝐶𝐵2−𝐵𝐷2=√252−152=20（米）．所以CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）；（2）由12𝐵𝐷×𝐷𝐶=12𝐵𝐶×𝐷𝐻得𝐷𝐻=15×2025=12，在Rt△BHD中，𝐵𝐻=√𝐵𝐶2−𝐷𝐻2=9

．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．20．如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求水深是多少？【分析】根据题意，运用勾股定理

列出方程，解答即可得到结果．【解答】解：如图，CD是红莲高出水面部分，即CD＝1，A是红莲入泥处（根部），设AC＝x，则AD＝1+x，所以AB＝AD＝1+x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+22＝（1+x）2，4+x2＝1+2x

+x2，2x＝3∴x=32，15故这里的水深32m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是从实际问题中抽象出几何图形，并应用勾股定理列出方程．