【文档说明】江苏省南京市某校2024-2025学年高二上学期第二次月考试题（期中模拟） 数学 Word版含解析.docx，共(25)页，3.985 MB，由小赞的店铺上传

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高二上市统考模拟2数学命题人：审题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l经过点()()2,3,3,0−，则直线l的倾斜角为（）A．π4B．π3C．2π3D．3π42．已知复数z满足()1i2iz+

=−（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3i2−B．3i2C．32−D．323．已知直线1:3470lxy−+=与直线()2:6110lxmym−++−=平行，则1l与2l之间的距离为（）A．2B．3C．4D．54．已知向量,

ab满足()3,3,3ab==，且()aab⊥+，则a在b上的投影向量为（）A．339,44−−B．33,22−−C．33,22D．()3,35．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”

的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台1111ABCDABCD−，2AB=，114AB=，侧面面积为123，则该正四棱台的体积为（）A．283B．282C．2833D．28236．在某学校开展的“

防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A．甲组中位数为3，极差

为5B．丙组平均数为2，方差为3C．乙组平均数为2，众数为2D．丁组平均数为2，第85百分位数为77.已知圆C：226490xyxy++−+=关于直线30axby++=对称，过点(),Pab作圆C的切线，切点分别为,AB，则cosAPB的最小

值为（）A.2764B.1932C.2964D.27328．斜率为22的直线经过双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点，交双曲线两条渐近线于,AB两点，2F为双曲线的右焦点且22AFBF=，

则双曲线的离心率为（）A．6B．2C．5D．3二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对分别记0分、2分、4分或0分、3分，有选错的得0分.9

．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件A为“第一次出现2点”，事件B为“第二次的点数小于等于4点”，事件C为“两次点数之和为奇数”，事件D为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（）A．A与B不是互斥事件B．B与D相互独立C．A

与B相互独立D．A与C相互独立10．已知点O为坐标原点，直线1yx=+与抛物线2:4Cxy=相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（）A．8AB=B．OAOB⊥C．111AFBF+=D．线段AB的中点到x轴的距离为211．

已知平面四边形ABCD中，2ABADBD===，和1BCCD==，将平面四边形沿对角线BD翻折，得到四面体1ABCD−.则下列说法正确的是（）A．无论翻折到何处，1ACDB⊥B．四面体1ABCD−的体积的最大值为66C．当11AC=时，四面体1ABCD−

的外接球的体积为3π2D．当13AC=时，二面角1BADC−−的余弦值为63三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12．已知π1tan42−=−，则2sin2cos−的值为.

13．已知点()1,0A−，()2,0B，圆()()221:24Cxym−+−=()0m，在圆上存在点P满足2PAPB=，则实数m的取值范围是．14．某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设

计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框(虚线)进行镶嵌，上部分是两个半径都为r的半圆，ACBD、分别为其直径，且ABBCCD==，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率

叫做“心形”的离心率．（1）若矩形框的周长为12，则当该矩形框面积最大时，r=；（2）若1r=，图中阴影区域的面积为π332+，则该“心形”的离心率为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或验算步骤.15．（13分）已知,,abc分别为△ABC三个内

角,,ABC的对边，且3sincosbcCCa++=．(1)求sinA；(2)若3BC=，BC边上的高为1，求△ABC的周长．16．（15分）已知圆M过点()3,3A，圆心M在直线250xy+−=上，且直线250xy−+=与圆M相切.(1)求圆M的方程；(2)过点()0,2D−的直线l交圆M

于,AB两点.若A为线段DB的中点，求直线l的方程.17．（15分）椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点23,22−且()0bcc=.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设C的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F作直线l与椭圆C交于,AB两点，1112AFB

F=，求1ABF的面积.18．（17分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，90BAC=，13AAAC==.(1)设平面11ABC与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；(2)求证：11ACBC⊥；(3)若1

AC与平面11BCCB所成的角为30°，求三棱锥1AABC−内切球的表面积S.19．（17分）已知动圆过定点()1,0M，且与直线=1x−相切.(1)求动圆圆心轨迹C的方程；(2)设过点M的直线l交轨迹C于A，B两点，已知点()2,0N，直线A

N，BN分别交轨迹C于另一个点P，Q.若直线AB和PQ的斜率分别为1k，2k.（ⅰ）证明：122kk=；（ⅱ）设直线QA，PB的交点为T，求线段MT长度的最小值.南京市第二十九中学高二上市统考模拟2数学命题人：审题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l经过点()()2,3,3,0−，则直线l的倾斜角为（）A．π4B．π3C．2π3D．3π4【答案】B【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大

小.【详解】直线l经过点()()2,3,3,0−，所以直线的斜率为()03332−−=−，设直线的倾斜角为),0,π，即tan3=，所以π3=.故选：B.2．已知复数z满足()1i2iz+=−（i为虚数单位

），则z的虚部为（）A．3i2−B．3i2C．32−D．32【答案】C【分析】由复数的除法运算法则和虚部的定义得到结果.【详解】由()1i2iz+=−，()()()()2i1i2i22ii113i13i1i1i1i2222z

−−−−−−−=====−++−，所以z的虚部为32−.故选：C.3．已知直线1:3470lxy−+=与直线()2:6110lxmym−++−=平行，则1l与2l之间的距离为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】根据两条直线平行，求出m值，再应用平行线间的距

离公式求值即可.【详解】因为直线1:3470lxy−+=与直线()2:6110lxmym−++−=平行，所以6(1)1=347mm−+−−，解之得7m=.于是直线2:6860lxy−−=，即2:3430lxy−−=，所以1l与2l之间的距离为227(

3)23(4)−−=+−.故选：A4．已知向量,ab满足()3,3,3ab==，且()aab⊥+，则a在b上的投影向量为（）A．339,44−−B．33,22−−C．33,22

D．()3,3【答案】A【分析】根据投影向量的定义结合数量积的运算律计算即可.【详解】因为()aab⊥+,所以()2··0aabaab+=+=,所以2·0,?9aabab+==−,又因为()3,3b=,所以()223323b=+=,则a在b上的投影向量为()3,3

·99339,442323abbbbbbb−−===−−.故选：A.5．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台

1111ABCDABCD−，2AB=，114AB=，侧面面积为123，则该正四棱台的体积为（）A．283B．282C．2833D．2823【答案】D【分析】由正四棱台的侧面积求出斜高，再求出高及体积.【详解】取正四棱台1111ABCDABCD−的上下底

面的中心1,OO，棱11,BCBC的中点1,EE，连接1111,,,OOOEEEOE，则11,OOEE分别是正四棱台1111ABCDABCD−的高和斜高，依题意，1111111()3332BCCBSBCBC

EEEE=+==，解得13EE=，在直角梯形11OEEO中，11111//,,1,2OEOEOOOEOEOE⊥==，则221111()2OOEEOEOE=−−=，所以正四棱台1111ABCDABCD−的体积22221282(2244)233V

=++=.故选：D6．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，

则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A．甲组中位数为3，极差为5B．丙组平均数为2，方差为3C．乙组平均数为2，众数为2D．丁组平均数为2，第85百分位数为7【答案】B【分析】A选项

，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为3分，中位数为3，故A错误；C选项，根据方差得到()()()222121022230xxx−+−++−=，若有选手失8分，则有()2823630−=，矛盾，

故C正确；BD选项，举出反例即可判断.【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分，此时中位数为3，故假设可以成立，故A错误；C选项，假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8，满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优

秀小组”，B错误；B选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为1210,,,xxx，丙组平均数为2，方差为3，即()()()222121022230xxx−+−++−=，若108x=，则()21023630x−=，不合要求，故10

7x，所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确；D选项，0085108.5=，故从小到大，选取第9个数作为第85百分位数，即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为0,0,0,0,0,0,0,5,7,8，满足

平均数为2，第85百分位数为7，但不是“优秀小组”，故D错误.故选：B.7.已知圆C：226490xyxy++−+=关于直线30axby++=对称，过点(),Pab作圆C的切线，切点分别为,AB，则cosAPB的最小值为（）A.2764B.1932C

.2964D.2732【答案】B【解析】【分析】首先由圆C关于直线30axby++=对称，则圆心在直线上，从而得到323ab−=，即确定(),Pab在直线323xy−=上，再利用倍角公式，用,ab表示cosAPB，即()(

)228cos132APBab=−++−，再利用()()2232ab++−几何意义，即可求出cosAPB的最小值.【详解】由圆C：226490xyxy++−+=，即可得圆心()3,2C−，半径2r=，由圆C：2264

90xyxy++−+=关于直线30axby++=对称，可得圆心()3,2C−在直线30axby++=上，所以3230ab−++=，即323ab−=，所以(),Pab在直线323xy−=，又过点(),Pab作圆C的两条切线，切点分别为,AB，则coscos2APBAPC=212si

nAPC=−()()2222812132PCab=−=−++−，又(),Pab在直线323xy−=，则()()2232ab++−可表示()3,2C−到直线323xy−=上点的距离的平方，所以()(

)2232ab++−的最小值为()222294316256131332−−−==+−，所以cosAPB的最小值为81521912562563213−==，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将求cosAPB的最小值转化为求直线323xy

−=上的动点(),Pab到圆C：226490xyxy++−+=的最小值问题.8．斜率为22的直线经过双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点，交双曲线两条渐近线于,AB两点，2F为双曲线的右焦点且22AFBF=，则双曲线的离心率为（）A．6B．2C

．5D．3【答案】D【分析】设E为𝐴𝐵中点，由22AFBF=可得2EFAB⊥，从而确定E点坐标，再用点差法探索双曲线中a，b的关系，从而确定离心率.【详解】如图：取E为𝐴𝐵中点，则由题意：2FEAB⊥，122tan2AFF=，则1

23sin3AFF=，126cos3AFF=.作EHx⊥轴于点H，则112262?cos3FEcAFFc==，11222·sin3EHFEAFFc==，11124·cos3FHFEAFFc==.所以E点坐标为22,33cc.再设()11,Axy，()22,B

xy()12xx.由22112222222200xyabxyab−=−=22221212220xxyyab−−−=()()()()1212121222xxxxyyyyab+−+−=，且1223cxx+=，1

2423cyy+=，121222yyxx−=−得：222ab=2222aca=−223ac=3ca=.故选：D【点睛】关键点点睛：根据2ABF是等腰三角形，从而得到垂直关系是问题的突破口.二、多选题：本题共

3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对分别记0分、2分、4分或0分、3分，有选错的得0分.9．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件A为“第一次出现2点”，事件B为“第二次的点数小于等于4点”，事件

C为“两次点数之和为奇数”，事件D为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（）A．A与B不是互斥事件B．B与D相互独立C．A与B相互独立D．A与C相互独立【答案】ACD【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可.【详解】如第

一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A、B均发生，所以A与B不是互斥事件，故A正确；依题意()16PA=，()4263PB==，()1111122222PC+==，()41669PD==，又()()()41369PABPAPB=

==，即A与B相互独立，故C正确；()()()313612PACPAPC===，即A与C相互独立，故D正确；()()()213618PBDPBPD==，即B与D不相互独立，故B错误.故选：ACD10．已知点O为坐标原点，

直线1yx=+与抛物线2:4Cxy=相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（）A．8AB=B．OAOB⊥C．111AFBF+=D．线段AB的中点到x轴的距离为2【答案】AC【分析】联立方程组求得12126,1yyyy+==，且11322,322yy=+=−，结合选项，结合抛物

线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解.【详解】由抛物线2:4Cxy=，可得焦点(0,1)F，则直线1yx=+过抛物线C的焦点，联立方程组214yxxy=+=，整理得到2610yy−+=，显然0，设1122

()AxyBxy,,(,)，可得12126,1yyyy+==，对于A中，由抛物线的定义，可得12628AByyp=++=+=，所以A正确；对于B中，由12121212(1)(1)OAOBxxyyyyyy=+=−−+12122()130yyyy=−++=−，所以OA与OB不垂直

，所以B错误；对于C中，由2610yy−+=，可得11322,322yy=+=−，由抛物线定义，可得422,422AFBF=+=−，则11111422422AFBF+=+=+−，所以C正确；对于D中，线段AB的中点的到x轴的

距离为1232yy+=，所以D错误.故选：AC.11．已知平面四边形ABCD中，2ABADBD===，和1BCCD==，将平面四边形沿对角线BD翻折，得到四面体1ABCD−.则下列说法正确的是（）A．无论翻折到何处，1ACDB⊥B．四面体1ABCD−的体积的最大值为66C．当

11AC=时，四面体1ABCD−的外接球的体积为3π2D．当13AC=时，二面角1BADC−−的余弦值为63【答案】ACD【分析】取线段BD的中点O，连接1,AOCO，即可证明BD⊥平面1AOC，从而判断A；当平面1ABD⊥平面BCD时，四面体1ABCD−的体积最

大，由锥体的体积公式判断B；依题意可得1,,CBCCDA两两互相垂直，将四面体补成正方体，求出正方体外接球的半径，即可判断C；将四面体1ABCD−补成棱长为1的正方体1111GBCDABCD−，再确定二面角的平面角，即可判断D.【详解】对于A：取线段BD的中点O，连接1,AOCO，ABD是等边三

角形，在BCD△中，BCBD=，1,AOBDCOBD⊥⊥，又11,,AOCOOAOCO=平面1AOC，BD⊥平面1AOC，又1AC平面11,AOCBDAC⊥，即无论翻折到何处，1ACDB⊥，故A正确；对于B：当平面1ABD⊥平面BCD时，四面体1ABCD

−的体积最大，又1AOBD⊥，平面1ABD平面BCDBD=，1AO平面1ABD，所以1AO⊥平面BCD，又()22126222AO=−=，222BCCDBD+=，所以()12max1616132212ABCDV−==，故B错误；对于C：当11AC=时，2221

1ACBCAB+=，22211ACDCAD+=，所以1ACBC⊥，1ACDC⊥，又BCCD⊥，即1,,CBCCDA两两互相垂直，且11CBCDAC===，将四面体1ABCD−补成棱长为1的正方体，则正方体的外接球即为四面体1ABCD−的外接球，所以外接球半径22

2111322R++==，所以外接球体积为334433πππ3322VR===，故C正确；对于D：当13AC=时，22211ABBCAC+=，22211ADDCAC+=，所以1ABBC⊥，1ADD

C⊥，将四面体1ABCD−补成棱长为1的正方体1111GBCDABCD−，取1AD中点E，1BC中点F，则1BFBC⊥，11//ADBC，所以1BFAD⊥，又//EFCD,CD⊥平面11GDDA，1AD平面11

GDDA，所以1CDAD⊥，所以1EFAD⊥，又=BFEFF，,BFEF平面BEF，所以1AD⊥平面BEF，又BE平面BEF，所以1BEAD⊥，BEF是二面角1BADC−−的平面角，又BF⊥平面11ABCD，EF平面11ABC

D，所以BFEF⊥，所以16cos362BEF==，则当13AC=时，二面角1BADC−−的余弦值为63，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12．已知π1tan42−=−

，则2sin2cos−的值为.【答案】310−/0.3−【分析】由条件结合两角差的正切公式可求tan，再结合二倍角正弦公式及同角关系将2sin2cos−化为由tan表示的形式，由此可得结论.【详解】由已知πtan11tan41tan2

−−==−+，所以1tan3=，所以2222221212sincoscos2tan133sin2cossincostan110113−−−−====−+++

.故答案为：310−.13．已知点()1,0A−，()2,0B，圆()()221:24Cxym−+−=()0m，在圆上存在点P满足2PAPB=，则实数m的取值范围是．【答案】521,22【分析】设𝑃(𝑥,𝑦)，根据2PAPB=求出点P的轨

迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设𝑃(𝑥,𝑦)，因为点()1,0A−，()2,0B，2PAPB=，所以()()2222122xyxy++=−+，即2

2650xyx+−+=，所以()2234xy−+=，可得圆心()3,0，半径2R=，由圆()()221:24Cxym−+−=可得圆心()2,Cm，半径12r=，因为在圆C上存在点P满足2PAPB=，所以圆()2234xy−+=与圆()()221:24Cxym−+−=有公共点，所以

()2211232222m−−++，整理可得：2925144m+，解得52122m，所以实数m的取值范围是521,22，故答案为：521,22.14．某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动

，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框(虚线)进行镶嵌，上部分是两个半径都为r的半圆，ACBD、分别为其直径，且ABBCCD==，下部分是一个“半椭圆”，并把

椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．（1）若矩形框的周长为12，则当该矩形框面积最大时，r=；（2）若1r=，图中阴影区域的面积为π332+，则该“心形”的离心率为．【答案】112/0.5【分析】空1：设矩形的宽

为x，写出面积表达式，利用二次函数的性质即可；空2：建立合适的直角坐标系，求出点M的坐标即可.【详解】设矩形的宽为x，则长为6x−，矩形面积()()()2639,0,6Sxxxx=−=−−+，当且仅当3x=时，矩形框面积最大为9，所以1r=；如图，以AD为x轴，AD的中垂线为y轴，

直线EF交x轴于点()0,0Mx，设2a为椭圆长轴，则3,2Fa−−，11,0,,022BC−所以圆221:1,2Bxy++=圆221:1,2Cxy−+=联立两圆方程2222112,112xyxy+

+=−+=得032xy==，所以30,2E，π3EBO=，所以扇形ABE面积1π3S=，又因为RtRtMOEMAF，所以OMOEAMAF=，即003232xax=−，得()033223xa=+，()1

2AMFBMEAMFBOEMOESSSSSAMaBOOEMOOE+=+−=+−00013133133332222222422xaxaxa=−+−=+−+=

，解得3a=，又32b=，所以2232cab=−=，则12cea==.故答案为：1；12.【点睛】关键点点睛：阴影部分面积的表示中的难点是BMES△，需要先利用相似三角形表示出点()0,0Mx的横坐标即可.四、解答题：本题共5小题，共77

分，解答应该写出文字说明、证明过程或验算步骤.15．已知,,abc分别为ABCV三个内角,,ABC的对边，且3sincosbcCCa++=．(1)求sinA；(2)若3BC=，BC边上的高为1，求ABCV的周长

．【答案】(1)32(2)33+【分析】（1）对原式使用正弦定理进行边换角，然后结合三角恒等变换进行计算求解；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组求解.【详解】（1）由正弦定理，sinsin3sincossinbcBCCCaA

+++==，即3sinsinsincossinsinACACBC+=+，而sinsin()sincossincos=+=+BACACCA，结合两式可得，3sinsinsincossincossincossinACACACCAC+=++，

则3sinsinsincossinACCAC=+，又(0,π)C，则sin0C，故3sincos1AA=+，即223sincos2cos11222AAA=−+，又π0(),22A，则cos02A，上式化简为3tan23A=，则π26A=，故π3A=，3si

n2A=（2）根据三角形面积公式1113sin22ABCSbcA==，可得2bc=，由余弦定理，2222cosbcbcAa+−=，即223bcbc+−=，于是22229()bcbcbc++==+，故3bc+=，于是ABCV的周长为

33+16．已知圆M过点()3,3A，圆心M在直线250xy+−=上，且直线250xy−+=与圆M相切.(1)求圆M的方程；(2)过点()0,2D−的直线l交圆M于,AB两点.若A为线段DB的中点，求直线l的方程.【答案】(1)22(2)(1)5xy−+−=(2)0x=或5

12240xy−−=.【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设(),Axy，从而得到()2,22Bxy+，由,AB在圆上，代入方程求解即可解决问题.【详解】（1）设圆M的方程为222()()xaybr−+−=，因为圆M过点()3,3A，所以222(3)(3)abr−+

−=①，又因为圆心M在直线250xy+−=上，所以250ab+−=②，直线250xy−+=与圆M相切，得到255abr−+=③，由①②③解得：2,1,5abr===因此圆M的方程为22(2)(1)5.x

y−+−=（2）设(),Axy，因为A为线段BD的中点，所以()2,22Bxy+，因为,AB在圆M上，所以()()()()222221522215xyxy−+−=−++=，解得00xy==或24131613xy==−当()0,0A时，由()0,2D−可知直

线l的方程为0x=；当2416,1313A−时，由()0,2D−可得斜率162513241213k−+==−，故直线l的方程为5212yx=−，即512240xy−−=.综上，直线l的方程为0x=或512240xy−−=.17．椭

圆2222:1(0)xyCabab+=过点23,22−且()0bcc=.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设C的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F作直线l与椭圆C交于,AB两点，1112AFBF=，求1ABF的面积.【答案】(1)2212xy+=(2)103.【分

析】（1）代入点23,22−坐标并于bc=联立计算可得222,1ab==，求出椭圆C的标准方程；（2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出2m=，再由弦长公式计算可得结果.【详解】（1）将23,22−代入椭圆

方程可得2213241ab+=，即2213124ab+=，又因为bc=，所以222ab=，代入上式可得222,1ab==，故椭圆C的标准方程为2212xy+=；（2）由(1)可得()()12121,0,1,0,2FFFF−=，设直线l的方程为()(

)11221,,,,xmyAxyBxy=+，如下图所示：联立22112xmyxy=++=，得()222210mymy++−=，所以12122221,22myyyymm+=−=−++，则()()1111221,,1,AFxyBF

xy=−−−=−−−，所以()()1111221212121,1,1AFBFxyxyxxxxyy=−−−−−−=++++()()()2221212122222221211142222mmmmyymymyyymmmm=+++

++++=−−−−++++227122mm−==+，解得24m=，即2m=，所以121221,36yyyy+==−，则1ABF的面积()212121212110423SFFyyyyyy=−=+−=.18．如图，在直三棱柱11

1ABCABC−中，90BAC=，13AAAC==.(1)设平面11ABC与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；(2)求证：11ACBC⊥；(3)若1AC与平面11BCCB所成的角为30°，求三棱锥1AABC−内切球的表面积S.【答案】(1

)//lAC，证明见解析(2)证明见解析(3)()1263−【分析】（1）由平面111ABC∥平面ABC可得11AC∥平面ABC，从而根据线面平行的性质定理即可得证；（2）连接1AC，根据已知可得1AC

⊥平面1ABC，从而即可证明11ACBC⊥；（3）由题意，首先求出棱锥中各条棱的长度，然后利用等体积法计算三棱锥内切球的半径，最后计算其表面积即可得答案．【详解】（1）解：判断lAC∥.证明如下：∵1

11ABCABC−为直三棱柱，∴平面111ABC∥平面ABC，∵11AC平面111ABC，∴11AC∥平面ABC，又平面11ABC平面=ABCl，11AC平面11ABC，∴11ACl∥，又∵11AC

AC∥，∴lAC∥；（2）证明：连接1AC，∵三棱柱111ABCABC−为直三棱柱，∴1AA⊥平面ABC，∴1AAAB⊥，又90BAC=，1AAACA=I，∴AB⊥平面11ACCA，又1AC平面11ACCA，∴1ABAC⊥，又∵直三棱柱

111ABCABC−中，1AAAC=，∴四边形11ACCA为正方形，∴11ACAC⊥，∵1ACABA=，1AC平面1ABC，AB平面1ABC，∴1AC⊥平面1ABC，又∵1BC平面1ABC，∴11ACBC⊥；（3）解：过1A作111ADBC⊥，垂足为D，连接CD，如图所

示，∵三棱柱111ABCABC−为直三棱柱，∴1BB⊥平面111ABC，又1AD平面111ABC，∴11BBAD⊥，∵111BCAD⊥，1111BBBCB=，∴1AD⊥平面11BCCB，∴1ACD为直线1AC与平面11BCCB所成的角，即130ACD=，∵13AAAC==，∴13

2AC=，∴11111sinsin30232ADADACDAC====，∴1322AD=，∴在11RtACD△中，111113222sin32ADACDAC===，∴1145ACD=，又1190BAC=，

∴11113ABAC==.设三棱锥1AABC−内切球的半径为r，球心为O，连接OA，OB，OC，1OA，则由1111AABCOABCOABAOACAOABCVVVVV−−−−−=+++三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥得()2111133333333232324r=+

，即()3333336233r−−===+，∴三棱锥1AABC−内切球的表面积()()224331263Sr==−=−.19．已知动圆过定点()1,0M，且与直线=1x−相切.(1)求动圆圆心轨迹

C的方程；(2)设过点M的直线l交轨迹C于A，B两点，已知点()2,0N，直线AN，BN分别交轨迹C于另一个点P，Q.若直线AB和PQ的斜率分别为1k，2k.（ⅰ）证明：122kk=；（ⅱ）设直线QA，PB的交点为T，求线段MT长度的最小值.【答案】(

1)24yx=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3；【分析】（1）根据给定条件，可得动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，利用抛物线的定义求解方程作答.（2）（ⅰ）设直线l的方程，与曲线C的方程联立，设出1122()AxyBxy,,(,)，用12,

yy分别表示点,PQ的纵坐标，再计算1k，2k作答.（ⅱ）由（ⅰ）求出直线AQ的方程，直线BP的方程，并联立求出交点的轨迹即可求解作答.【详解】（1）依题意，动圆圆心到定点()1,0M的距离与到定直线=1x−的距离

相等，因此动圆圆心的轨迹是以点()1,0M为焦点，直线=1x−为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹C的方程为24yx=.（2）（ⅰ）设()11,Axy，()22,Bxy，()33,Pxy，()44,Qxy，因为l

过点()1,0M，显然直线l不垂直于坐标轴，设直线l的方程为1xmy=+，0m，由214xmyyx=+=消去x并整理，得2440ymy−−=，于是124yy=−，直线AN上任意点(,)Rxy，有//NRNA，而11(2,),(2,)NRxyNAxy=−=−，于是11(2)

(2)yxxy−=−，又10y，因此直线AN的方程为1122xxyy−=+，由112224xxyyyx−=+=消去x并整理，得()1214280xyyy−−−=，则138yy=−，同理得248yy=−，又

1212122121212444yyyykyyxxyy−−===−+−，同理12234121212442882()yykyyyyyyyy====−−+−+++，所以122kk=.（ⅱ）由（ⅰ）知，当l不垂直于x轴时，直线

AQ的斜率22141122444883AQyykyyyyyy====−+−−，同理直线BP的斜率13BPyk=−，直线AQ的方程为2211()34yyyyx−=−−，即21233yyyx=−+，直线BP的方程为2122()34yyyyx−=−−，

即12233yyyx=−+，由2112233233yyyxyyyx=−+=−+消去y得2x=−，因此直线QA和PB的交点T在定直线2x=−上，当lx⊥时，由对称性不妨令(1,2),(1,2)AB−，直线AN的方程为122xy=−+，由21

224xyyx=−+=得点(4,4)P−，同理点(4,4)Q，因此直线AQ的方程为2433yx=+，直线BP的方程为2433yx=−−，由24332433yxyx=+=−−解得：20xy=−=，点

(2,0)−在直线2x=−上，从而直线AQ，BP的交点T的轨迹为直线2x=−，点M到直线2x=−的距离3，即为MT长度的最小值，所以线段MT长度的最小值为3.【点睛】结论点睛：点112212(,),(,),()AxyBxyxx是抛物线22(0)ypxp=

上的两点，则直线AB斜率122ABpkyy=+；点1122()AxyBxy,,(,)是抛物线22(0)xpyp=上的两点，则直线AB斜率122ABxxkp+=.