【文档说明】【精准解析】河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）2020届高三第一次模拟调研数学（理）试题.pdf，共(22)页，435.306 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2020年河南省六市高三第一次模拟调研试题理科数学第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足(1)12izi，则||z()A.2

2B.32C.102D.12【答案】C【解析】【分析】化简得到1322zi，1322zi，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12izi，故121121313111222iiiiziiii

，故1322zi，10z2.故选：C.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.2.集合2|4,MyyxxZ的真子集的个数为()A.7B.8C.31D.32【答案】A【解析】【分析】计算2

,3,0M，再计算真子集个数得到答案.【详解】2|4,2,3,0MyyxxZ，故真子集个数为：3217.故选：A.【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华

夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生-2-相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A.12B.13C.14D.

15【答案】A【解析】【分析】列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.【详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，其中两类元素相生的有火木、火

土、木水、水金、金土共5结果，所以2类元素相生的概率为51102，故选A.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合

于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)AB，12(,)AB….1(,)nAB，再21(,)AB，22(,)AB…..2(,)nAB依次31(,)AB32(,)AB….3(,)

nAB…这样才能避免多写、漏写现象的发生.4.著名的斐波那契数列na：1，1，2，3，5，8，…，满足121aa，21nnnaaa，*Nn，若2020211nnkaa，则k()A.2020B.

4038C.4039D.4040【答案】D-3-【解析】【分析】计算134aaa，代入等式，根据21nnnaaa化简得到答案.【详解】11a，32a，43a，故134aaa，202

021134039457403967403940401............nnaaaaaaaaaaaa，故4040k.故选：D.【点睛】本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所

示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6

月份的总收益增长了90万元【答案】D【解析】【分析】-4-用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：月份123456789101112收益20302010303060403030

5030所以7月收益最高，A选项说法正确；4月收益最低，B选项说法正确；16月总收益140万元，712月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100万元，所以D选项说法错误.故选D.【点睛】本

小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.6.设函数1()ln1xfxxx，则函数的图像可能为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数为偶函数排除,AC，再计算11()22ln30f排除D得到答案.【详解】1()ln1

xfxxx定义域为：(1,1)11()lnln()11xxfxxxfxxx，函数为偶函数，排除,AC11()22ln30f，排除D故选B-5-【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.7.设x，y满足约束条件212

10xyxyxy，若32zxy的最大值为n，则12nxx的展开式中2x项的系数为()A.60B.80C.90D.120【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平

移得到5n，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32zxy，即322zyx，故z表示直线与y截距的2倍，根据图像知：当1,1xy时，32zxy的最大值为5，故5n.512xx展开式的通项为：355521551221

rrrrrrrrTCxCxx，取2r=得到2x项的系数为：225252180C.故选：B.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能-6-力.8.已知圆锥的高为3，底面半

径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为()A.53B.329C.43D.259【答案】B【解析】【分析】计算求半径为2R，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.【详解】如图所示：设球半径为R，则22233

RR，解得2R.故求体积为：3143233VR，圆锥的体积：2213333V，故12329VV.故选：B.【点睛】本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9.已知抛物线C：214

yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于A，B两点，若2PAAF，则AB为()A.409B.40C.16D.163【答案】D-7-【解析】【分析】如图所示，过AB分别作ACl于C，BDl于D，利用APCBPD和FPMBPD

，联立方程组计算得到答案.【详解】如图所示：过AB分别作ACl于C，BDl于D.2PAAF，则2433ACFM，根据APCBPD得到：APACBPBD，即4343AP

BDAPBD，根据FPMBPD得到：AFFMBPBD，即42343APBDAPBD，解得83AP，4BD，故163ABAFBFACBD.故选：D.【点睛】本题考查了抛

物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.已知P为圆C：22(5)36xy上任意一点，(5,0)A，若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则Q点的轨迹方程为()A.221916xyB.221916xy

-8-C.221916xy（0x）D.221916xy（0x）【答案】B【解析】【分析】如图所示：连接QA，根据垂直平分线知QAQP，610QCQA，故轨迹为双曲线，计算得到答案.【详解】如

图所示：连接QA，根据垂直平分线知QAQP，故610QCQAQCQPPC，故轨迹为双曲线，26a，3a，5c，故4b，故轨迹方程为221916xy.故选：B.【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.11.已知nS是等差数列na的

前n项和，若201820202019SSS，设12nnnnbaaa，则数列1nb的前n项和nT取最大值时n的值为()-9-A.2020B.20l9C.2018D.2017【答案】B【解析】【分析

】根据题意计算20190a，20200a，201920200aa，计算201810b，201910b，20182019110bb，得到答案.【详解】nS是等差数列na的前n项和，若201820202019SSS，故20190a，20200a

，201920200aa，12nnnnbaaa，故1211nnnnaaba，当2017n时，10nb，2018201820192020110aaab，2019201920202021110aaab

，2019202020182019201820192020201920202021201820192020202111110baaaaaaaaaaaab，当2020n时，10nb，故前2019

项和最大.故选：B.【点睛】本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.12.方程2(1)sin10xx在区间2,4内的所有解之和等于()A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析

】【分析】画出函数sinyx和12(1)yx的图像，sinyx和12(1)yx均关于点1,0中心对称，计算得到答案.【详解】2(1)sin10xx，验证知1x不成立，故1sin2(1)xx，-10-画出函数sinyx和12(

1)yx的图像，易知：sinyx和12(1)yx均关于点1,0中心对称，图像共有8个交点，故所有解之和等于428.故选：C.【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点1,0中心对称是解题的关键.第Ⅱ卷非选择题

（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(2,1)mur，(4,)ny，若mn，则2mn________.【答案】10【解析】【分析】根据垂直得到8y，代入计算得到答案.【详解】mn，

则(2,1)(4,)80mnyyurr，解得8y，故24,24,80,10mn，故210mn.故答案为：10.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学

生的计算能力.-11-14.设函数2019,0()2020,0xexfxx，则满足24(3)fxfx的x的取值范围为________.【答案】(1,)【解析】【分析】当0x时，函数单调递增，当0x时，函数为常数，故需满足243xx，且30x，解得答

案.【详解】2019,0()2020,0xexfxx，当0x时，函数单调递增，当0x时，函数为常数，24(3)fxfx需满足243xx，且30x，解得1x.故答案为：(1,).【点睛】本题考查了根据

函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15.六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）.【答案】135【解析】【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615

C种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案.【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有33119种选择，故不同的坐法有159135.故答案为：135.【

点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.若方程0,1xaxaa有两个不等实根，则实数a的取值范围是_____________.【答案】11eae-12-【解析】【详解】由xax知x＞0，故lnlnln0lnxxaxax

.令ln0xfxxx，则21ln'xfxx.当0,xe时，'0fx；当,xe时，'0fx.所以fx在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故10lnaf

ee，即11eae.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.如图ABC中，D为BC的中点，213AB，4AC，3AD.（1）求边BC的长

；（2）点E在边AB上，若CE是BCA的角平分线，求BCE的面积.【答案】（1）10；（2）607.【解析】【分析】（1）由题意可得cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2﹣

52+9+BD2﹣16＝0，进而解得BC的值．（2）由（1）可知△ADC为直角三角形，可求S△ADC14326，S△ABC＝2S△ADC＝12，利用角平分线的性质可得25ACEBCESS，根据S△ABC＝S△BCE+S△ACE可求S

△BCE的值．【详解】（1）因为D在边BC上，所以coscosADBADC，在ADB和ADC中由余弦定理，得222222022ADBDABADDCACADBDADDC，因为213AB，4AC，3AD，BDDC，-13-所以

229529160BDBD，所以225BD，5BD.所以边BC的长为10.（2）由（1）知ADC为直角三角形，所以14362ADCS，212ABCADCSS.因为CE是BCA的角平分线，所以1sin2

1sin2ACEBCEACCEACESSBCCEBCE42105ACBC.所以25ABCBCEACEBCEBCESSSSS7125BCES，所以607BCES.即BCE的面积为607.【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形

的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．18.在四棱椎PABCD中，四边形ABCD为菱形，5PA，43PB，6AB，POAD，O，E分别为AD，AB中点.60BAD.（1）求证：

ACPE；（2）求平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）89191.【解析】【分析】（1）证明POAC，ACOE得到AC平面POE，得到证明.（2）以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，平面POE的一个法向量

为(3,1,0)m，平面PBD的一个法向量为(43,4,33)n，计算夹角得到答案.【详解】（1）因为四边形ABCD是菱形，且60BAD，所以ABD是等边三角形，-14-又因为O是AD的中点，所以BOAD，又因为6A

B，3AO，所以33BO，又4PO，43PB，222BOPOPB，所以POOB，又POAD，ADOBO，所以PO平面ABCD，所以POAC，又因为ABCD是菱形，//OEBD，所以ACOE，又POOEO，所以AC平面POE，所以ACPE

.（2）由题意结合菱形的性质易知OPOA，OPOB，OAOB，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,4)P，(0,33,0)B，(0,0,0)O，33,3,022E，(3,0,0)D，设

平面POE的一个法向量为111,,mxyz，则：11140333022mOPzmOExy，据此可得平面POE的一个法向量为(3,1,0)m，设平面PBD的一个法向量为222,,nxyz，则：

22223330340nBDxynPDxz，据此可得平面PBD的一个法向量为(43,4,33)n，16891cos,91|||291mnmnmn，平面POE与平面PBD所成锐二面

角的余弦值89191.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.设椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,FF，离心率是e，动点00,Pxy在-1

5-椭圆C上运动，当2PFx轴时，001,xye.（1）求椭圆C的方程；（2）延长12,PFPF分别交椭圆于点,AB（,AB不重合）.设1122,AFFPBFFP，求的最小值.【答案】（1）2212xy；（2）23【解析】【分析】（1）

根据题意直接计算得到1b，2222abc，得到椭圆方程.（2）不妨设(,)Pmn，且0n，设1122,,,AxyBxy，代入数据化简得到[(32)1](1)0m，故21163232

94mmm，得到答案.【详解】（1）cea，所以1,,1cPca，222211caab，化简得2222211bcabb，所以1b，2222abc，所以方程为2212xy；（2）

由题意得，P不在x轴上，不妨设(,)Pmn，且0n，设1122,,,AxyBxy，所以由11AFFP，得111,(1,)xymn，所以111,xmyn，由221112xy，得22(1)()12m

n，代入2212mn，化简得：[(32)1](1)0m，-16-由于10，所以132m，同理可得132m，所以2116323294mmm，所以当0m时，最小为2

3【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.已知函数2()xxfxxeae（aR）在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数a的取值范围；（2）若()fx有两个不同的极值点1x，2x，且12xx，若不等式120xx恒成立.求正实数

的取值范围.【答案】（1）10,2；（2）1.【解析】【分析】（1）求导得到120xxae有两个不相等实根，令12()xxahxe，计算函数单调区间得到值域，得到答案.（2）1x，2x是方程12xxae的两根，故11xhxh

，化简得到111ln1ln1(1)0xxx，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.【详解】（1）由题可知2()(1)20xxfxxeae有两个不相等的实根，即：120xxae有两个不相等实根，令

12()xxahxe，2(1)()xxxxexexhxee，xR，(,0)x，()0hx；(0,,)x，()0hx，故()hx在(,0)上单增，在(0,)上单减，∴max()(0)1hxh.又(1)0h，(

,1)x时，()0hx；(1,)x时，()0hx，-17-∴2(0,1)a，即10,2a.（2）由（1）知，1x，2x是方程12xxae的两根，∴1210xx，则112200xxxx因为()hx在

(0,)单减，∴12xhxh，又21hxhx，∴11xhxh即111111xxxxee，两边取对数，并整理得：111ln1ln1(1)0x

xx对1(1,0)x恒成立，设()ln(1)ln1(1)xFxxx，(1,0)x，1(1)(1)()(1)1(1)()1xxFxxxxx，当1时，()0Fx对

(1,0)x恒成立，∴()Fx在(1,0)上单增，故()(0)0FxF恒成立，符合题意；当(0,1)时，1(1,0)，(1,0)x时()0Fx，∴()Fx在(1,0)上单减，()(0)0FxF，不符合题意.综上，1.【点睛】本题考查了根据极值点求参数

，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要

验1000次.方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血．．．．．．．．．-18-化验．．

1k次．）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验1k次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设0.1p，试比

较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【答案】（1）分布列见解析；（2）406.【解析】【分析】（1）计算k个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq，呈阳性反应的概率为1kq，得到分布

列.（2）计算1()1kEXqk，代入数据计算比较大小得到答案.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则1qp.所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq，呈阳性反应的概率为1kq

.依题意可知1Xk，11k，所以X的分布列为：X1k11kPkq1kq（2）方案②中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：111()111kkkEXqqqkkk2k时

，21()0.910.692EX，此时1000人需要化验的总次数为690次，3k时，31()0.910.60433EX，此时1000人需要化验的总次数为604次，-19-4k时，41()0.910.59394EX，此时1

000人需要化验的次数总为594次，即2k时化验次数最多，3k时次数居中，4k时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当4k时化验次数最多可以平均减少100059

4406次.【点睛】本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另

外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox中，方程(1sin)a（0a）表示的曲线1C就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中.已知

曲线2C的参数方程为1333xtyt（t为参数）.（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）若曲线1C与2C相交于A、O、B三点，求线段AB的长.【答案】（1）6（R）；（2）2a.【解析】【分析】（1）化简得到直线方程为33yx，再利用极坐标公式计

算得到答案.（2）联立方程计算得到,26aA，37,26aB，计算得到答案.-20-【详解】（1）由1333xtyt消t得，30xy即33yx，2C是过原点且倾斜角为6的直线，∴2C的极坐标方程为6（

R）.（2）由6(1sin)a得，26a∴,26aA，由76(1sin)a得3276a∴37,26aB

，∴3||222aaABa.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|||2|fxxax.（1）当1a时，求不等式()7fx的解集；（2）若()|4||2|fxxxa„的解集包含

0,2，求a的取值范围.【答案】（1）(,3][4,)；（2）[22]，.【解析】【分析】（1）对x范围分类整理得：21,1()3,1221,2xxfxxxx„，分类解不等式

()7fx即可．（2）利用已知转化为“当[02]x，时，|||2|2xaxa„”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：|||2|||xaxaa„，问题得解．【详解】当1a时，21,1()3,1221,2xxfxxxx„，当1x时，由()7fx

得217x，解得3x；-21-当12x时，()7fx无解；当2x时，由()7fx得217x，解得4x，所以()7fx的解集为(,3][4,)（2）()|4||2|fxxxa„的解集包含[0]2，

等价于|||2||4||2|xaxaxx„在[0]2，上恒成立，当[02]x，时，|||2||4||2|2xaxaxx„等价于max|(2|||)2xaax„恒成立，而|||2||()(2)|||xaxaxaxaa„，∴2a，故满足条件的a的取值

范围是[22]，【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．-22-