【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题6.3 反比例函数的图象与性质（知识讲解）.docx，共(23)页，811.708 KB，由管理员店铺上传

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1专题6.3反比例函数的图象与性质（知识讲解）【学习目标】1.能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．2.会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．3.会解决一次函数和反比例函数有关的问题．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义一般地，形如kyx

=(k为常数，0k)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.特别说明：（1）在kyx=中，自变量x是分式kx的分母，当0x=时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y.故函数图象与x轴、y轴无

交点.（2）kyx=()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）kyx=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是

待定系数法，由于反比例函数kyx=中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对xy、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比

例函数为：kyx=(0k)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k的值；（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx=中.2要点三、反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有

两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.特别说明：（1）若点(ab，)在反比例函数kyx=的图象上，则点(ab−−，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k为常数，

0k)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数

；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的

趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当0k时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当0k时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在

每个象限内，y值随x值的增大而减小；（2）如图2，当0k时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y3值随x值的增大而增大；特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例

系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.要点四：反比例函数()中的比例系数k的几何意义过双曲线xky=(0k)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k.过双曲线xky=(0k

)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k.特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.类型一、反比例函数的解析式1、已知函数121,yyyy=−与x成正比例

，2y与x成反比例，且当1x=时，2y=；当2x=−时，7y=−．（1）求y关于x的函数解析式；（2）求当3x=时的函数值．【答案】（1）24yxx=−；（2）1113【分析】（1）设111(0)ykxk=，222(0)kykx=，然后表示出y、x的函数关系式，再把两组数据代入函数解析式

进行计算即可得解；（2）把自变量3x=代入函数解析式进行计算即可得解．解：（1）1yQ与x成正比例，4设111(0)ykxk=，2yQ与x成反比例，设222(0)kykx=，12yyy=−Q，21kykxx=−，Q当1x=时，2y=；当2x=−时，7y=−．1221

2272kkkk−=−+=−，解得1242kk==，24yxx=−；（2）当3x=时，21431133y=−=．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量求函数值的方法，是基

础题，表示出y、x的函数关系式是解题的关键．举一反三：【变式】如图，一次函数1yx=+与反比例函数kyx=的图像相交于点()2,3A和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B作BCx⊥轴于C，求ABCSV；（3）是否在y轴上存在一点D，使得BDCD+的值最小，并

求出D坐标．5【答案】（1）6yx=；（2）5；（3）存在，()0,1D−【分析】（1）将A的坐标代入反比例函数解析式中，求出k的值，即可确定出反比例函数解析式；（2）将反比例函数解析式与一次函数解析式联

立组成方程组，求出方程组的解，根据B所在的象限即可得到B的坐标；三角形ABC的面积可以由BC为底边，A横坐标绝对值与B横坐标绝对值之和为高，利用三角形的面积公式求出即可．（3）作C关于y轴的对称点C′，连接BC′交y轴上一点D，连接CD，求出BC′的直线解析式，即可求出D的坐

标．解：（1）∵一次函数1yx=+与反比例函数kyx=相交于()2,3A6kxy==6yx=（2）如图：616yxyx=+=，∴123,2xx=−=．∴()3,2B−−过B作BCx⊥轴12552AB

CS==V（3）存在．作C关于y轴的对称点C，连接BC交y轴上一点D，连接CD，()3,0C设BC的直线方程(0)ymxnm=+3032mnmn+=−+=−∴131mn==

−113yx=−令0,1xy==−∴()0,1D−7【点拨】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：因式分解法解一元二次方程，待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积公式，待定系数

法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．类型二、反比例函数的图象分布2、反比例函数3kyx+=的图象在二、四象限，则k的取值范围是（）A．3k−B．3k−C．3k„D．3k−…【答案】B【

分析】根据反比例函数的图象和性质，函数位于二、四象限，k+3＜0，解不等式即可得出结果．解：∵3kyx+=的图象在二，四象限，∴k+3＜0，即k＜-3．故选：B．【点拨】本题考查反比例函数3kyx+=（k≠0）的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．举

一反三：【变式】反比例函数y=1mx−的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1【答案】C【解析】试题解析：∵反比例函数y=1mx−的图象在第一、三象限，∴m-1＞

0，解得m＞1．故选C．【点拨】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．3．已知关于x的函数y＝kx+k和y＝－kx（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是8（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先根据反

比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的即为正确答案．解：当k＞0时，反比例函数的系数-k＜0，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没有满足的图形；当k＜0时，反比例函数的系数-k＞0，所以反比例函数过一

、三象限，一次函数过二、三、四象限，只有A满足．故选：A．【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．举一反三：【变式】一次函数ykxk=−与反比例函数kyx=在

同一直角坐标系中的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据k>0时，k<0时，分析一次函数ykxk=−与反比例函数kyx=的图象所在的9象限，即可得到答案.【详解】当k>0时，一次函数ykxk=−的图象经过第一、三、四

象限，反比例函数kyx=的图象的两个分支在第一、三象限；当k<0时，一次函数ykxk=−的图象经过第一、二、四象限，反比例函数kyx=的图象的两个分支在第二、四象限；正确的图象为：B,故选：B.【点拨】此题考查一次函数的图象所在的象限，反比例函数所

在的象限，正确掌握比例系数与函数图象所在的象限的关系是解题的关键.类型三、反比例函数的图象的增减性4、若点()11,Aay−，()21,Bay+在反比例函数(0)kykx=的图象上，且12yy，则a的取值范围是（）A．1a−B

．11a−C．1aD．1a−或1a【答案】B【分析】由反比例函数(0)kykx=，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第

四象限且点B在第二象限讨论即可．【详解】解：∵反比例函数(0)kykx=，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，①若点A、点B同在第二或第四象限，∵12yy，∴a-1＞a+1，此不等式无解；10②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵12yy，∴1010aa

−+＜＞，解得：11a−；③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．综上，a的取值范围是11a−．故选：B．【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分

情况讨论，不要遗漏．举一反三：【变式】关于反比例函数1pyx−=的下列说法：①若其图象在第三、一象限，则1p；②若其图象上两点()11,Mxy、()22,Nxy，当120xx时，12yy，则1p；③其图象与坐标轴没有公共点．其中正确的说法是（）A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】

C【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：∵反比例函数1pyx−=，∴若其图象在第三、一象限，则1-p＞0，得p＜1，故①正确；若其图象

上两点M（x1，y1）、N（x2，y2），当x1＜0＜x2时，y1＞y2，则1-p＜0，得p＞1，故②正确；其图象与坐标轴没有公共点，故③正确；故选：C．【点拨】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．举一反三：【变式】反比例函数(0)

kykx=的图象如图所示，以下结论错误的是（）11A．0kB．若点()1,3M在图象上，则3k=C．在每个象限内，y的值随x值的增大而减小D．若点()1,Aa−，()2,Bb在图象上，则ab【答案】D【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行

判断即可．【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限，∴k＞0故A正确；当点M（1，3）在图象上时，代入可得k=3，故B正确；当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故C正确；将A（-1，a），B（2，b）代

入(0)kykx=中得到，得到a=-k，2kb=∵k＞0∴a＜b，故D错误，故选：D．【点拨】本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键类型四、反比例函数与一次函数的综合5、如

图，一次函数1ykxb=+的图象与反比例函数2myx=的图象交于点12()()3,2,,6ABn−−两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求AOBV的面积；【答案】（1）124yx=−−，26yx=−；（2）8【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比

例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；（2）设AB与y轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再

根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．【详解】解：()1把()32A−，代入2myx=得326m=−=−，反比例函数解析式为26yx=−，把()6Bn−，代入26yx=−得66n−=−，∴解得1n=，B点坐标为()16−，，把()(

)3216AB−−，，，代入1ykxb=+得326kbkb−+=+=−，解方程组得24kb=−=−，一次函数解析式为24yx=−−；()2当0x=时，244yx=−−=−，13则AB与y轴的交点坐标为C()04−，，ABOAOCBOC11S=S+S=43

+4122V()143182=+=．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数解析式问题．掌握反比例函数与一次函数解析式的求法，会利用分割法求两函数的交点与原点构成三角形的面积是解题关键．举一反三：【变式】已知双曲线kyx=与直线14yx=相交于A、B两点．第

一象限上的点(),Mmn（在A点左侧）是双曲线kyx=点上的动点，过点B作//BDy轴交x轴于点D．过()0,Nn−作//NCx轴交双曲线kyx=于点E，交BD于点C．（1）若点D坐标是()8,0−，求

A、B两点坐标及k的值．（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．【答案】（1）()8,2A；B()8,2−−；k=16；（2）2233yx=+【分析】（1）根据D点的横坐标为-8，求出点B的横坐

标代入14yx=中，得2y=−，得出B点的坐标，即可得出A点的坐标，再根据求出即可；14（2）根据111122,,2222======DCNODBOOENSmnkSmnkSmnk，即可得出k的值，进而得出B，C点的坐标，再求出解析式即可．解

：（1）∵(),80D−，∴B点的横坐标为8−，代14yx=入中，得2y=−．∴B点坐标为()8,2−−．∵A、B两点关于原点A对称，∴()8,2A．∴8216kxy===；（3）∵()0,Nn−，B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，

∴mnk=，2,2nBm−−，()2,Cmn−−，(),Emn−−．22DCNOSmnk==矩形，1122DBOSmnk==△，1122OENSmnk==△，∴4DBOOENDCNOOBCESSSSk=−−=

=VV矩形四边形．∴4k=．∵2,2nBm−−在双曲线4yx=与直线14yx=上，∴()()2421242nmnm−−=−=−，15解得1122mn==或2222mn=−=−（舍去）∴()4,

2C−−，()2,2M．设直线CM的解析式是yaxb=+，把()4,2C−−和()2,2M代入得：4222abab−+=−+=，解得23ab==．∴直线CM的解析式是2233yx=+．【点拨】本题考查反比例函数解析式，一次函数解析式，掌握反比例函数解析式，一次函数解

析式待定系数求法，关键是点B横纵坐标关系，以及4DBOOENDCNOOBCESSSSk=−−==VV矩形四边形构造方程组解决问题．类型五、反比例函数的面积问题6、如图，直线3yx=−，与反比例函数kyx=的图象交于点A与点(),4Bm−．（1）求反比例函数的表达式；（2）求不等式

3kxx−的解集；（3）若Р是第一象限内双曲线上的一个动点，连接OP，过点Р作y轴的平行线交直线AB于点C，若POC的面积为3，求点Р的坐标．【答案】（1）4yx=；（2）4x，或10x−；（3

）()2,2，或()1,4，或45,5【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法将B代入反比例函数解析式中即可求出其表16达式；（2）求出点A与点B坐标后观察函数图象即可求解；（3）设点P的坐标为()4,0Paaa

，用a表示出△POC的面积，从而列出关于a的方程，解方程即可．解:()143m−=−，得1m=−，()1,4B−−．()144k=−=−，∴反比例函数的表达式为4yx=；()2由43xx−=，得124,1xx

==−，∴A(4,1)，B(-1,-4)，不等式3kxx−的解集为4x或10x−．()3设()4,0Paaa，则,)3Caa−（，()1143322POCpSPCxaaa==−−=，由4

36aaa−+=，得122,1aa==；由436aaa−−=，得345,2aa==−．170,aQ点P的坐标为)2,2（，或()1,4，或45,5【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点

问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，一次函数yaxb=+经过(3,0),(0,6)AB两点，且与反比例函数kyx=的图象相交于,CE两点，CDx⊥轴，垂足为D，点D的坐标为(2,0)D

−．（1）从一次函数与反比例函数的解析式；（2）求CDE△的面积．【答案】（1）26yx=−+，20yx−=；（2）CDE△的面积为35．【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，然后求出点C的坐标，即可求出反比例函

数的解析式；（2）联合两个解析式，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式即可求出答案．【详解】解：（1）Q一次函数yaxb=+经过(3,0),(0,6)AB两点，3006abb+=+=，18解得：26ab=−=，所以一次函数

的解析式为：26yx=−+．将2x=−代入上式，得点C的坐标为(2,10)−．代入kyx=，得：20k=−，所以反比例函数的解析为：20yx−=．（2）联立方程组2620yxyx=−+−=．解得11210xy=−=，1154x

y==−，点E的坐标为(5,4)E−．CDEV的面积为：111073522CDEECSCDxx=−==．【点拨】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，以及求三角形的面积，解题的关键是掌握

反比例函数和一次函数的性质进行解题．类型六、反比例函数与几何综合7、如图，已知点A在反比例函数()0kykx=的图象上，点B在直线4yx=−的图象上，点B的纵坐标为1−，ABx⊥轴，且92OABS=()1求k的值；()2点P在y轴上，AOPV是等腰三角形，求点P的坐标

．19【答案】（1）-12；（2）点P的坐标为()()()12340,5,0,5,0,8,250,8PPPP−−−【分析】()1可先求得B点坐标，再结合△OAB的面积可求得AB的长，则可求得A点坐标，把A点坐标代入反比例函数解析式

可求得k的值；()2分三种情况:①OP=OA；②AP=OA；③AP=OP三种情况进行讨论解：()1Q点B在直线4yx=−的图象上，点B的纵坐标为1−，41,x−=−3,x=3,(1).B−设点A的坐标为(3,)

t，则1,1tABt−=−−．92OABS=Q()191322t−−=，解得4,t=−点A的坐标为(3,4)−．204,123kk−=−=12yx=−()2分三种情况：①点O为顶点时：如图1，12OPOPOA=

=．∵点A的坐标为(3,4)−，∴5OA=；∴125==OPOP()()120,5,0,5PP−．②点A为顶点时：如图2．35,APOA==作AHy⊥轴于H，则34==HPHO；21()30,8P−③点P为顶点时：如图3．44APOP=作OA

的垂直平分线PQ，交y轴于点4P，∵点A的坐标为(3,4)−，∴OA的表达式为43yx=−；∴OA的中点坐标为3,22−，设PQ的表达式为34yxb=+，将3,22−代入得，258b=−4PQ的表

达式为32548yx=−．4250,8P−综上得出，点P的坐标为()()()1234250,5,0,5,0,8,0,8PPPP−−−．【点拨】本题考查反比例函数和几何、反比例函数和一次函数相结合等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，学会利用分类讨论的数学思想，属于中考常考题型．举一反三：22【变式】如图，直线AD：33yx=+与坐标轴交于AD、两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CGy⊥轴于G点．过点C的反比例函数(0)kykx=与直线AD交于,EF两点．（1）求证：△AOD

≌△DGC；（2）求E、F两点坐标；（3）填空：不等式33kxx+的取值范围是_________．【答案】（1）证明见解析；（2）()()1,6,2,3EF−−；（3）20x−或1x．【分析】（1）由题意易得,90ADCD

ADC==，进而可得ADODCG=，然后问题可求证；（2）由直线AD的解析式可求出()()1,0,0,3AD−，由（1）可得1,3DGOACGOD====，则有2OG=，然后联立一次函数与反比例函数解析可求解；（3）由（2

）及图像可直接进行求解．（1）证明：Q正方形ABCD，,90ADCDADC==，90AODDGC==Q，90ADOGDCDCGGDC+=+=，ADODCG=，AODDGCV

V≌；23（2）解：330yx=+=Q时，1x=−，()()1,0,0,3AD−，由()1可知1,3DGOACGOD====，2OG=，即()3,2C，即6yx=，联立336yxyx=+=，解得：122,1xx=−=；()()1,6,2,3EF−

−；（3）由图像及（2）可得：不等式33kxx+的取值范围是20x−或1x；故答案为20x−或1x．【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合及正方形的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合及正方形的性质是解题的关键．