【文档说明】河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025届高三上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.859 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-614216f4aa1d7c4633d802bd78baf0fb.html

以下为本文档部分文字说明：

新蔡县第一高级中学高三2024年9月份月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合1|1Axyx==−，()2ln1Byyx==+，则下列

说法正确的是（）A.AB=B.AUBðC.UAðBD.AB=【答案】C【解析】【分析】求出集合,,,UUABABðð，根据集合运算以及集合的关系，判断各选项，即可得答案.【详解】由题意得集合1||1(,1

)1Axyxxx====−−，则[1,)UA=+ð，()2ln1{|0}[0,)Byyxyy==+==+，则(,0)UB=−ð，故[0,1)AB=，A不是UBð的真子集，UAðB，AB，即ABD错误，C正确,故选：C2.已知复数izab=+（a，bR，0a）满

足2212izz−=+，则z=（）A.1B.3C.2D.5【答案】D【解析】【分析】根据复数运算、复数相等列方程组，求得,ab，进而求得z.【详解】将izab=+代入2212izz−=+并整理得：22222122i12i220abaababba+−=+−

−=+−=，解得21ab==−，所以2iz=−，所以()22215z=+−=.故选：D的3.已知1a=，2b=，且()aab⊥+，则a在b上的投影向量为（）Ab−B.bC.14b−D.14b【答案】C【解析】【分析】根据

已知算出1=−rrab，根据投影向量的定义即可求解.【详解】因为()aab⊥+，所以()0aab+=，即220,0aabaab+=+=，又因为1=a，设,ab的夹角为，所以1=−rrab，a在b上的投影为：cosabab=，所以a在b上的投影向

量为2cos14aabbbbbb==−.故选：C.4.已知()21xfx=−，当abc时，有()()()fafcfb，则必有（）A.0,0,0abcB.a0,b0,c0C.22ac−D.1222ac+

【答案】D【解析】【分析】根据题意可画出函数图象，根据图象和abc，且()()()fafcfb，分析各个选项即可.【详解】画出的()21xfx=−图象：对于A，0,0,0abc不能同时成立，因为0,0

,0abc时，函数单调递减，得不到()()()fafcfb，故A错误；对于B，如图，当abc时，有()()()fafcfb，则b可能小于零，也可能大于零，故B错误；对于C，如图，当0ac−时，22ac−，故C错误；.对于D，由图象可

知，0,0ac，所以021,21ac，又()()fafc，所以1221ac−−，所以1222ac+，故D正确.故选：D.5.将95,96,97,98,99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的

平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】D【解析】【分析】先求得总体平均数，然后利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】依题意可知，总体平均数为97，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个

样本，情况如下：选到95,96，则样本平均数为95.5，所以95.5971.5−=，选到95,97，则样本平均数为96，所以96971−=，选到95,98，则样本平均数为96.5，所以96.5970.5−=，选

到95,99，则样本平均数为97，所以97970−=，选到96,97，则样本平均数为96.5，所以96.5970.5−=，选到96,98，则样本平均数为97，所以97970−=，选到96,99，则样本平均数为97.5，所以97.5970.5−=，选到97,98，则样本平均数为97.5，所

以97.5970.5−=，选到97,99，则样本平均数为98，所以98971−=，选到98,99，则样本平均数为98.5，所以98.5971.5−=，所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为84105=.故选：D6.若()20202020012020

2xaaxax−=+++，则()20242020aaaa++++−()21352019aaaa++++的值为（）A.0B.1−C.1D.()201221−【答案】C【解析】【分析】应用赋值法得出奇偶项系数计算求值即可.【详解】令()()20

202fxx=−，令𝑥=1,()()202001232020121faaaaa=−=+++++令𝑥=−1,()()202001232020121faaaaa−=+=−+−++，则()()2202420201352019aaaaaaaa++++−++++()()

()()012320200123202011aaaaaaaaaaff=−+−+++++++=−()()()2020202020202121211=−+=−=.故选：C.7.已知数列na共有5项，满足123450aaaaa，且对任意()15ijij､有

ijaa−仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：①50a=；②414aa=；③数列na是等差数列；④集合,15ijAxxaaij==+∣中共有9个元素.则其中真命题的序号是（）A.①②③④B.①④C.

②③D.①③④【答案】A【解析】【分析】当ij=时，可知0ijaa−=，所以可判断①；454naaaa−=必有344naaaa−=，则342aa=，则有233aaa−=或234aaa−=，若233aaa−=，则2443453,,aaaaaa−=，所以舍，若

234naaaa−=，则243aa=，同理可得414aa=，故可判断②；由②可推出③；将ijaa+罗列可判断④。【详解】因为对任意()15ijij､有ijaa−仍是该数列的某一项，则可令ij=时，可知0ijaa−=

，且123450aaaaa，则可得50a=，故①正确；由①知，可得45440naaaaa−=−=，必有344aaa−=，则342aa=，则有233aaa−=或234aaa−=，若233aaa−=，则2443453,,aaaaaa−=，所以

舍，若234naaaa−=，则243aa=，同理可得414aa=，故②正确；由②的推导过程可知14243444504,3,2,,aaaaaaaaaa=====，所以可得数列na是等差数列，故③正确；,15ijAxx

aaij==+∣，由③可知ijaa与，将所有ijaa+罗列出可得444444440,,2,3,4,5,6,7,8Aaaaaaaaa=，故集合A有9个元素，故④正确.故选：A8.若定义在R上的奇函数()fx在(),0−上单调递减

，且()20f=，则满足()10xfx−的x的取值范围是（）A.)1,13,−+B.3,10,1−−C.)1,00,−+D.1,01,3−【答案】D【解析】【分析】根据题意，得到函数()fx的单调性及()()()2200fff−===，再结合不等式，分类讨论

，即可求解.【详解】由题意，定义在R上的奇函数()fx在(),0−上单调递减，且()20f=，则()fx在()0,+上单调递减，且()20f−=，()00f=，所以当()(),20,2x−−时，()0fx，当()()2,02,x−+时

，()0fx，所以由()10xfx−可得：021012xxx−−−或或001212xxx−−−或或0x=，解得10x−或13x或0x=，即10x−≤≤或13x，所

以满足()10xfx−的x的取值范围是1,01,3−.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.记ABC

V的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sinsin5sin,1aBcAAbcbc+==++，ABCV的面积为22，则ABCV的周长可能为（）A.8B.517+C.9D.515+【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理得5bc+=，由三角形面积公式得22sin3A=，进而得出1

cos3A=，再根据余弦定理求得3a=或17，即可求解．【详解】由正弦定理得5abaca+=，得5bc+=，则16bcbc=++=，由1sin222ABCSbcA==，得22sin3A=，所以21cos1sin3AA=−=，由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得22()22cos

9abcbcbcA=+−−=或17，所以3a=或17，所以ABCV的周长为8或517+，故选：AB．10.在圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的直径，圆锥的底面半径为2，母线长为2，点C为PA的中点，圆锥底面上点M在以AO为直径的圆上（不含A

O､两点），点H在PM上，且PAOH⊥，当点M运动时，则（）A.三棱锥MPAO−的外接球体积为定值B.直线CH与直线PA不可能垂直C.直线OA与平面PAM所成的角可能为60oD.2AHHO+【答案】AD【解析】【分析】由条件结合线面垂直判定定

理证明AM⊥平面POM，由此证明AMPM⊥，再证明点C为三棱锥MPAO−的外接球球心，判断A，证明PA⊥平面OHC，由此证明PACH⊥，判断B；证明OH⊥平面PAM，由此可得OAH为直线OA与平面PA

M所成的角，解三角形求其正弦，判断C，证明OHAH⊥，解三角形求AHHO+，结合基本不等式求其范围，判断D.【详解】连接,,,,,OMAMAHOCCMCH，对于A，易知⊥PO平面AMB，AM平面AMB，所以AMPO

⊥，因为点M在以AO为直径的圆上（不含A、O），所以AMOM⊥，OMPOO=，OM平面POM，PO平面POM，所以AM⊥平面POM，又PM平面POM，所以AMPM⊥，又POAO⊥，C为PA的中点，2PA=，所以1COCAC

PCM====，所以点C为三棱锥MPAO−的外接球的球心，所以三棱锥MPAO−的外接球的半径为𝑟=1，所以三棱锥MPAO−的外接球体积为定值，A正确；由已知，POAO⊥，2PA=，2AO=，所以()22222P

OAO=−==，所以POA为等腰直角三角形，连接OC，又C为PA的中点，故PAOC⊥，又PAOH⊥，OHOCO=，OH平面OHC，OC平面OHC，则PA⊥平面OHC，又CH平面OHC，所以PACH⊥，故B错误；因为AM⊥平面POM，又OH平面POM，所以AMOH

⊥，又PAOH⊥，PAAMA=，AM平面PAM，PA平面PAM，则OH⊥平面PAM，所以OA在平面PAM上的射影为AH，所以OAH为直线OA与平面PAM所成的角，设OMx=，则22PMx=+，又OHPMOMPO=，所

以222xOHx=+，所以2sin2OHxOAHOAx==+，令60OAH=，则2322xx=+，解得6x=，即6OM=，与OMOA矛盾，C错误；对于D中，因为OH⊥平面PAM，AH平面PAM，所以OHAH⊥，又222xOHx=+

，2OA=，所以22222222xAHxx=−=++，所以()2222222222xxAHHOxxx++=+=+++，02x<<，由基本不等式可得222222xx++，即2222xx++，所以2AHHO+，D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：

解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.11.已知双曲线22:14xCy−=的左､右焦点分别为12,FF，过坐标原点O的直线l与双曲线C的左､右两支分别交于,AB两点，

P为C的右支上一点（异于点B），12PFF的内切圆圆心为N.则以下结论正确的是（）A.直线PA与PB的斜率之积为4B.若124PFPF=，则12π3FPF=C.以1PF为直径的圆与圆224xy+=相切D.若120PFPF=，则点N坐标为()2,65−【答案】BC【解析】【

分析】由题意设点1(Ax,1)y，1(Bx−,1)y−，0(Px,0)y，把点A，B坐标代入双曲线的方程，两式相减得PAPBkk，即可判断A；利用余弦定理，结合；记2||PFt=，则双曲线定义即可判断B，由于12PFPF⊥，利用勾股定理以及双曲线定义，结合等面积法进而可求

内切圆半径，利用切线长的性质即可求解C；画出图形，利用M是线段1PF的中点，结合双曲线的性质以及定义，转化推出以1PF为直径的圆与圆224xy+=的位置关系即可判断D．【详解】设点1(Ax,1)y，1(Bx−,1)y−，0(Px,

00)()yxa，则221114xy−=且220014xy−=，两式相减得222201014xxyy−=−，2201220114yyxx−=−，220101012201010114PAPByyyyyy

kkxxxxxx−+−===−+−，故A错误，由于12|||4PFPF−=，124PFPF=，若12π3FPF=，由余弦定理可得()2222212121212121212(2)2cos(2)22coscPFPFPFPFFPFcPFPFPFPFPFPFFPF

=+−=−+−，解得121cos2FPF=，由于()120,πFPF，故12π3FPF=，故B正确，P在双曲线右支上，12||||24PFPFa−==，M是线段1PF的中点，111||||||2MFP

MPF==，O是线段12FF的中点，21||||2MOPF=，1211|||222PFPFa−==，1||||2MFOM−=，1||||2OMMF=−，即圆心距等于两圆的半径之差，以线段1PF

为直径的圆与圆224xy+=的位置关系是内切，故C正确．记2||PFt=，则1||4PFt=+，12PFPF⊥，222(4)44(41)20ttc++==+=，解得62t=−或62t=−−（舍去），1||26PF=+，12PFF的面积为1211||||(

62)(62)122PFPF=−+=，设三角12PFF的内切圆半径为r，则1(266225)12++−+=，所以65r=−，设圆N与12PFF三边相切于,,MQT，则1122,,,FTFMFTFQPMPQ===设1,FTx=则1122,2,FTFMxFTFQcx====−故

()26622PMxPQcx=+−==−−−，解得2xc=+，所以2OT=故()2,65N−或()2,65N−+,D错误，故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()()21cos1fxxxa=++++的最

小值是4，则a=_______.【答案】3【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值，根据已知的最小值求参数.【详解】因为()()()21cos1fxxxa=++++所以()()()21sin1fxxx=+−+，令()()()21sin

1gxxx=+−+，则()()2cos10gxx=−+.,所以()()()21sin1fxxx=+−+在(),−+上为增函数，又()10f−=，所以由()0fx1x−；由()0fx1x−.所以函数()fx在(),

1−−上单调递减，在()1,−+单调递增.所以1x=−时，函数()fx取得极小值，也是最小值.由()114fa−=+=3a=.故答案为：313.高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧.因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅

为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞之间至少要有一名同学的规则.高三(一)班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞.则添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为___________【答案】1【解析】【分析】设晒黑女生人数为X

，确定X可能取值为0，1，2，求出每个值相应的概率，即可求得答案.【详解】由题意可设高三(一)班共有七名女生坐成一排依次为1,2,3,4,5,6,7，由于两侧已经摆好了两个遮阳伞，则1，7一定晒不到，现在考虑在

她们中间添置三个遮阳伞，即在7位同学之间形成的空中选3个放置，共有36C20=种放法；设晒黑女生人数为X，则X可能取值为0，1，2，X0=时，若12之间放一把伞，则另外2把分别放在34，56之间，若23之间放一把伞，则另外1把分别放在56之间，第三把放在34或45之间，若6

7之间放一把伞，则另外2把分别放在23，45之间，则41(0)205PX===；1X=时，被晒的人若是2，则23之间没有伞，34之间必有一把伞，其余2把伞有3种放法，同理被晒的人若是6，则67之间没有伞，45之间必有一把伞，其余2把伞有3

种放法，被晒的人若是3或4或5，此时3把伞均有2种放法，故322233(1)205PX++++===，131(2)1555PX==−−=，故晒黑女生人数的数学期望为()1310121555EX=++=,故答案为：114.已知函数()22()3

log1fxxx=+−，正数,ab满足()(31)0fafb+−=，则3baab+的最小值为______．【答案】12【解析】【分析】由函数奇偶性的判定得出()fx为奇函数，有()()0fxfx+−=，进而得出31ab+=，再根据基本不等式求

解即可．【详解】因为()22()3log1fxxx=+−定义域为R，又()()()2222221()3log13log3log11fxxxxxfxxx−=++==−++=−+−，所以()fx奇函数，有()()0fxfx+−=，又()(31)0fafb+−=，所以3

10ab+−=，即31ab+=，又因为,ab为正数，所以33131(3)baabababab+=+=++99332612babaabab=++++=，当且仅当9baab=，即11,26

ab==时，等号成立，故答案为：12．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列na中，11a=，且0na，nS为数列na的前n项和，1nnnSSa−+=，数列nb是

等比数列，110ab+=，2233443ababab==++−．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若1nnnnnbcaa+=，求数列nc的前n项和．为【答案】（1）21nan=−，()1nnb=−；（2）数列

nc的前n项和为()11484nn−−++.【解析】【分析】（1）由关系1nnnSSa−+=证明数列nS为等差数列，由此可求数列nS的通项公式，再求数列na的通项公式，设数列nb的公比为q，由条件列方程求1b，q，结合等比数列通项公式可得结论.（2）由（1）可得()()

111142121nnncnn+−−=−−+，利用裂项相消法求数列nc的前n项和.【小问1详解】由已知当2n，Nn时，1nnnSSa−+=，0na，所以10nnSS−+，又1nnnaSS−=−，所以()()1111nnnnnnnnSSSSSSSS−−−

−+=−=+−，所以11nnSS−−=，所以数列nS为等差数列，公差为1，又111Sa==，所以nSn=，所以当2n，Nn时，1121nnnaSSnnn−=+=+−=−，又11211a==−，所以21nan=−，Nn，设等比数列n

b的公比为q，因为110ab+=，2233443ababab==++−，所以111ba=−=−，323357qqq−=−+=，所以1q=−，所以()1nnb=−，【小问2详解】由（1）()()()()1111212142121nnnncnnnn−−==+−+−+，所以()()111

142121nnncnn+−−=−−+，所以数列nc的前n项和()()11111111111114343545742121nnnTnn+−−=−−+++−−++−−+，所以()11484nnTn−=−++.

16.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD,ADCD=,2PAAC==，2.ABBC==（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；（2）若3BD=，求平面ADP与平面BDP的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）45【解析】【分析】（1

）先由线面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC，再由面面垂直的定理证明结果即可；（2）建立如图所示坐标系，分别求出平面APD和平面BPD的法向量，代入公式计算即可；【小问1详解】证明：记ACBDO=，因为,ABBCADCD==，

所以ABDCBD≌△△，所以90AODCOD==，即ACBD⊥，又PA⊥底面,ABCDBD平面ABCD，所以PABD⊥，因为ACPAA=，且AC平面PAC，PA平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又BD平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．【小问2

详解】取PC中点M，连接OM，则OMPA∥，所以OM⊥平面ABCD，所以,,OCODOM三条直线两两垂直，分别以,,OCODOM所在的直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则()()()()1,0,0,0,1,

0,0,2,0,1,0,2ABDP−−−，所以()()()1,2,2,1,2,0,0,3,0PDADBD=−==设平面APD的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则1111122020mPDxyzmADxy=+−=

=+=，可取()2,1,0m=−，同理设平面BPD的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，则222222030nPDxyznBDy=+−===，可取()2,0,1n=所以，44cos,54141mnmnmn−===−++，所以，平面ADP与平面BDP的夹角的余

弦值为45．17.已知函数()lnfxxax=+．（1）若()0fx在(0,)x+恒成立，求a的取值范围；（2）若()1,()e()xagxffx==−，证明：()gx存在唯一极小值点01,12x，且()02gx．【答案】（1）1,e−−；

（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数()lnxhxx=−，利用导数求最值即可；（2）求导，利用零点存在性定理结合单调性判断导函数的唯一零点在(12,1)内，利用零点方程代入()0gx，使用放缩法即可得证.【小问1详解】()0fx在(0,)x+恒成立，等价于ln

xax−在(0,)+上恒成立，记()lnxhxx=−，则()2ln1xhxx=−，当0ex时，ℎ′(𝑥)<0，当ex时，ℎ′(𝑥)>0，所以ℎ(𝑥)在()0,e上单调递减，在()e,+上单调递增，所以当ex=时，ℎ(𝑥)

取得最小值()lne1eeeh=−=−，所以1ae−，即a的取值范围1,e−−.【小问2详解】当1a=时，()()e()eln,0xxgxffxxx=−=−，则1()exgxx=−，因为1e,xyyx==−在(0,

)+上均为增函数，所以()gx在(0,)+单调递增，又()121e20,1e102gg=−=−，所以在区间(12,1)存在0x，使得当𝑥∈(0,𝑥0)时，()0gx，当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，()0gx，所以()gx在()00

,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，所以()gx存在唯一极小值点01,12x.因为001e0xx−=，即00lnxx=−，所以00000()eln=exxgxxx=−+，因为01,12x，且=ex

yx+在(12,1)上单调递增，所以012001()=ee2xgxx++，又9e4，所以123e2，所以00031()=e222xgxx++=.18.已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>

𝑏>0)的左、右顶点分别为A，B，点31,2在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为1k，直线BN的斜率为2k，求证：1213kk=．【答

案】（1）22143xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的半焦距和椭圆上的已知点列出方程组，计算即得椭圆方程；（2）先考虑直线斜率为0时满足，再设直线的横截距式方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，写出韦

达定理，并发现内在关系12123()2yyyym=+，计算123kk−并消去12,xx，得其分子为1212233myyyy−−，代入前式，计算即得分子为0，则得证.【小问1详解】依题意，可得，22221,1914abab=++=

解得23ab==，故椭圆C的标准方程为：22143xy+=；【小问2详解】如图，当直线l的斜率0k=时，可得120kk==，显然满足1213kk=；当0k时，不妨设直线:1lxmy=+，由221,143xmyxy=++=消去x，整理得，22(3

4)690mymy++−=，显然0，设1122(,),(,)MxyNxy，则由韦达定理，122122634,934myymyym+=−+=−+故12123()2yyyym=+，因(2,0),(2,0)AB−,则121212,22yykkxx==+−，则1

2122112211212121233(2)(2)3(1)(3)322(2)(2)(2)(2)yyyxyxymyymykkxxxxxx−−+−−+−=−==+−+−+−，此式的分子为：1221121212123(1)(3)

2333()3()0ymyymymyyyyyyyy−−+=−−=+−+=，故得123kk=，即1213kk=，得证.19.给定平面上一个图形D，以及图形D上的点12,,,nPPP，如果对于D上任意的点P，21niiPP=为与P无关的定值，我们就称12,,,nPPP

为关于图形D的一组稳定向量基点.（1）已知()()()1231230,0,2,0,0,2,PPPPPP为图形D，判断点123,,PPP是不是关于图形D的一组稳定向量基点；（2）若图形D是边长为2的正方形，1234,,,PPPP是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求1223341

PPPPPPPP++−的取值范围；（3）若给定单位圆E及其内接正2024边形122024,PPPP为该单位圆上的任意一点，证明122024,,,PPP是关于圆E的一组稳定向量基点，并求202421iiPP=的值.【答案

】（1）不是（2）0,22（3）证明见解析，4048【解析】【分析】（1）分别计算P与()10,0P重合和P与()22,0P重合时这两种情况下21niiPP=的结果，再依据一组稳定向量基点的定义得解.（2）根据向

量运算法则得12233414PPPPPPPPPP++−=，再结合正方形结构性质可得4PP的最大值和最小值，进而得解.（3）先转化()22222iiiiPPOPOPOPOPOPOP=−=−+，从而得2024202420242221112024||2iiiiiiPPOPOPOP

OP====+−，再结合1iOPOP==和偶数边的正多边形图形结构性质即可得解.【小问1详解】点()()()1230,0,2,0,0,2PPP不是关于D的一组稳定向量基点，理由如下：当P与()10,0P重合时，有2221238PPPPPP++=，当P与()22,0P重合时，有22

2123128PPPPPP++=，故()()()1230,0,2,0,0,2PPP不是关于D的一组稳定向量基点.小问2详解】因为12233411414PPPPPPPPPPPPPP++−=−=，所以12233414PPPPPPPPPP++−=，故由正方形

结构性质得：【当P与2P重合时，4PP取得最大值22；当P与4P重合时，4PP取得最小值0.所以1223341PPPPPPPP++−的取值范围为0,22.【小问3详解】设单位圆E的圆心为O，则()22222iiiiPPOPOPOPOPOPOP=−=−+，所以(

)2024202420242024222211112024||2iiiiiiiiPPOPOPOPOPOPOP=====−=+−，因为多边形122024PPP是正2024边形，所以由偶数边的正多边形图形结构性质可知202410iiOP==

，故202410iiOPOP==，又1iOPOP==，所以2024214048iiPP==，故122024,,,PPP是关于圆E的一组稳定向量基点，且2024214048iiP==.【点睛】方法点睛：

对于新定义题目，解决此类题的策略是：1.准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等；2.重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法；3.运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算

规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题.