【文档说明】河南省鹤壁高中2020-2021学年高二下学期第二次周练数学（理）试题 含答案.doc，共(13)页，593.472 KB，由小赞的店铺上传

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12022届高二年级理科数学周练试卷时间：2021.03.21一．选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A＝{x|1＜2x﹣1≤5}，B＝{x|x2﹣4≥0}，则A∩（∁RB）＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2＜x≤3}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1＜x＜2}2．已知i为虚数单位

，a∈R，若z＝为纯虚数，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．3．执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝5x4．中国古

代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直三角形内随机抛掷100颗米

粒（大小忽略不计，取π＝3），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（）A．55B．50C．45D．405．已知（1+x）10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+⋅⋅⋅+a10（2+x）10，则a9＝（）A．﹣10B．10C．﹣45D．

456．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）2A．B．C．D．7．2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑

雪世界锦标赛．现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（）A．

36B．24C．12D．488．已知数列{an}满足a1＝1，an+1﹣an＝an2，若数列{an2}的前50项和为m，则数列{}的前50项和为（）A．B．C．D．9．若函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象过点M（，﹣3），直线x＝向右平移个单位长度后恰好经过f（x

）上与点M最近的零点，则f（x）在[﹣，]上的单调递增区间是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]10．已知双曲线的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于点A（A在第一象限内），以OA为直径的圆与双曲线的另一条渐近线

交于点B，若BF∥OA，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）3A．2x﹣y﹣1

＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝012．已知不等式对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．2e−C．﹣eD．﹣2e二．填空题（每题5分，共20分）13．已知点G是△ABC的重心，内角A

、B、C所对的边长分别为a、b、c，且，则角B的大小是．14．实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则ab的最大值为．15．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝43−，△ABC的外接圆的半径为，则△ABC的面积的最

大值为．16．已知函数，若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为．三．解答题（共70分）（一）必考题：共60分17．（12分）已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，an+2＝an+1+2an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）

记数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜3．18．（12分）随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播+电商的模式正在全球范围内掀起热潮．目前，国际上Amazon、Rakuten等电商平台和以Facebook为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音

、拼多多、苏宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家．根据中研产业研究院《2020﹣2025年中国直播电商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告》显示，2020年上半年，“直播经济”业态主要岗位的人才达到2019年同期的2.4倍；2020年“6•18”期间，带货主播和直

播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评4价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）请完成关于商品

和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评80对商品不满意10合计200（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为

随机变量X，求对商品和服务全为好评的次数X的分布列和数学期望．附临界值表：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2的观测值：K2＝

（其中n＝a+b+c+d）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，PD＝DC＝BC＝2PA＝2AB＝2，PD⊥DC．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）设（0＜λ＜

1），当二面角A﹣PM﹣B的余弦值为时，求λ的值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A，B．P为直线y＝2上的动点，当点P位于点（1，2）时，△ABP的面积S△ABP＝1，椭

圆C上任意一点到椭圆的左焦点F5的最短距离为﹣1．（1）求椭圆C的方程；（2）连接PA，PB，直线PA，PB分别交椭圆于M，N（异于点A，B）两点，证明：直线MN过定点．21．（12分）已知函数axxxxf−−=ln2)(2．（1）若f（x

）≥0，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明：x1x2＜1．（二）选考题：共10分.请在第22,23中任选一题作答.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中

，曲线C1的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝﹣4sinθ．（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（0，﹣1），若曲线C1与C2相交于A，B两点，求的值．23．[选修4—5：不等式选

讲]已知函数f（x）＝|x+a|+|x+4a|．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≤7的解集；（Ⅱ）对于任意的正实数m，n，且3m+n＝1，若恒成立，求实数a的取值范围．62022届高二年级理科数学周练参考答案一．选择题（共

12小题）DBCCACABCADC1．D．2．B3．解：输入x＝0，y＝1，n＝1，则x＝0，y＝1，不满足x2+y2≥36，故n＝2，则x＝，y＝2，不满足x2+y2≥36，故n＝3，则x＝，y＝6，满足x2+y2≥36，故y＝4x，故选：C．4．解：如图，设AC＝8，BC＝15，可得AB＝

17，设其内切圆的半径为r，则由等面积法，可得×8×15＝(8+15+17)×r，解得r＝3，则其内切圆的直径为6步；现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是P＝＝＝⇒n＝45．故选：C．5．解：（1+x）10＝

[﹣1+(2+x)]10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+⋅⋅⋅+a10（2+x）10，则a9＝•(﹣1)＝﹣10，故选：A．6．解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，则依题意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah

′⇒4（）2﹣2（）﹣1＝0⇒＝（负值舍去）；故选：C．7．解：根据题意，分2种情况讨论，①若小张、小赵只有一人选，则有选法C21C21A33＝24；②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32＝12，共有选法12+

24＝36种，故选：A．8．解：由题意，数列{an}满足a1＝1，an+1﹣an＝an2，若数列{an2}的前50项和为m，则＝（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a51﹣a50）＝a51﹣a1＝a

51﹣1，∴a51＝1+m，∵an+1﹣an＝an2，∴，7∴，即，∴数列{}的前50项和为＝1﹣＝1﹣．故选：B．9．解：∵函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象过点M（，﹣3），直线x＝向右平移个单位长度后恰

好经过f（x）上与点M最近的零点，∴•＝，∴ω＝2．结合五点法作图可得2×+φ＝，求得φ＝，∴f（x）＝3sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．则f（x）在[﹣，]上的单调递增区间

为[﹣，]，故选：C．10．解：如图，因为AF⊥OF，所以点F在圆上，又BF∥OA，F是AC的中点，所以∠AOF＝∠OFB，而∠AOF＝∠BOF，所以△OBF是等腰三角形，|OA|＝2|OB|＝2|BF|＝2|AF|，所以∠AOF＝30°，所

以，所以，故选：A．11．解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，圆心M（1，1），半径r＝2．∵＝2S△PAM＝|PA|•|AM|＝2|PA|＝．∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方

程为y﹣1＝（x﹣1），即y＝，联立，解得P（﹣1，0）．则以PM为直径的圆的方程为．联立，相减可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．故选：D．12．解：不等式在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，即e﹣x﹣lne﹣x≥xa﹣lnxa在（1，+∞）上恒成立．设

函数f（x）＝x﹣lnx，则，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即f（e﹣x）≥f（xa）在（1，+∞）上恒成立．∵x∈（1，+∞）时，，根据选项，只需讨论a＜0的情况，当a＜0时，函数y＝xa在（1，+∞）上单调递减，则xa∈8（0，1

）；则e﹣x≤xa，两边取e为底的对数，得﹣x≤alnx（x＞1），即（x＞1），设函数，则，所以h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，则h（x）最大值＝h（e）＝﹣e，即a≥﹣e．故选：

C．二．填空题（共4小题）13．解：由题意：点G是△ABC的重心，可得：，∵，∴可得a＝5，b＝7，c＝8，由余弦定理可得：cosB＝，∵0＜B＜π，∴B＝．14．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），由z

＝ax+by，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2a+b＝4，又a＞0，b＞0，∴4＝2a+b，即ab≤2，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时等号成立．故答案为：2．15

．解：在△ABC中，由cosA＝，得sinA＝，，∵△ABC的外接圆的半径为，∴，得a＝5．又cosA＝，∴，即，得25﹣bc≥2bc，∴bc．∴△ABC的面积的最大值为．故答案为：．16．解：原问题等价于函数

−−−=2ln113)(xxxg与函数y＝﹣kx存在4个不同的交点，绘制函数g（x）的图像如图所示，很明显，当k≥0时，不满足题意，当k＜0时，两函数在区间（﹣∞，0）和区间（0，1）上必然各存在一个交点，则函数g（x

）与函数y＝﹣kx在区间（1，+∞）上存在两个交点，临界条件为函数y＝﹣kx与函数h（x）＝lnx﹣2相切，考查函数h（x）＝lnx﹣2过坐标原点的切线：由函数的解析式可得：，设切点坐标为（x0，9lnx0﹣2），则切线方程为：，切线过坐标原点，则：，解得：，此时切

线的斜率为：，据此可得：实数k的取值范围是（﹣e﹣3，0）．故答案为：（﹣e﹣3，0）．三．解答题（共6小题）17．（1）解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由题设可得：anq2＝anq+2an，∵an＞0，∴

q2﹣q﹣2＝0，解得：q＝2，又a1＝1，∴an＝2n﹣1；..............................4分（2）证明：由（1）可得：+＝+＝+﹣...7分∴Sn＝+1﹣+﹣+…+﹣＝2﹣+1﹣＝3﹣（+）＜3...10分又Sn随n增大而增大，∴

Sn≥S1＝3﹣（1+）＝，∴≤Sn＜3．..........12分18．解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合

计15050200K2＝≈11.111＞10.828，.........5分故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关；..6分（2）每次购物中，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3

，其中P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝．..9分10X的分布列为：X0123P由于X～B（3，），则X的数学期望E（X）＝3×＝．..12分19．（1）证明：因为ABCD是直角梯形，AB∥

DC，∠BAD＝90°，所以AD⊥DC，又因为PD⊥DC，PD∩AD＝D，所以CD⊥平面PAD，又因为PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA，取CD的中点E，连接BE，在Rt△BCE中，BC＝2，CE＝1，可得，所以，又PD＝2PA＝2，所以PA2+AD2＝PD2，所以PA⊥

AD，又AD∩CD＝D，所以PA⊥平面ABCD．...........................4分（2）解：以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，

0），，P（0，0，1），所以，，设平面PBD的法向量＝（x，y，z），由，得，令y＝1，得，...................7分设M（x0，y0，z0），由，得，所以，所以，，设平面PAM的法向量＝（x1，y1，z1），由，得，

令，得平面PAM的一个法向量为，............................10分设二面角A﹣PM﹣B的平面角为θ，则有,解得λ＝0或，因为0＜λ＜1，所以．..12分1120．解：（1）由已知可设A（0，b），B（0，﹣b），则三角形ABP的面积为S＝，所

以b＝1，又由已知可得a﹣c＝﹣1，且a2＝b2+c2，所以a＝，c＝1，所以椭圆C的方程为；..............................4分（2）证明：设点P（t，2）（t≠0），则直线PA，PB的斜

率都存在，则直线PA的方程为：y＝x+1，直线PB的方程为y＝x﹣1，联立方程，消去y整理可得：（1+）x＝0，解得x＝0或x，所以M（），同理可得点N的坐标为（），.........7分显然直线MN的斜率

存在，且k＝，...........9分所以直线MN的方程为y﹣＝，整理可得：y＝，所以直线MN过定点（0，），又t＝0时，直线MN过定点（0，），所以直线MN过定点（0，）．..12分21．解：（1）由题意得，x＞0，＝，令r（x）＝x3+lnx﹣1，则，所以r

（x）＝x3+lnx﹣1在（0，+∞）上单调递增，且r（1）＝0，所以0＜x＜1时，）（xf＜0，函数单调递减，当x＞1时，）（xf＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝1﹣a，因为f（x）≥0，所以1﹣a≥0，即a≤1．..．．．．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，12所以0＜x1＜1＜x2，，因为f（x1）＝f（x2）＝0，所以f（x1）﹣f（）

＝f（x2）﹣f（）＝（）﹣（﹣）)ln21)(1(22222xxxxx−−+=，..........7分设g（x）＝x﹣﹣2lnx，x＞1，则＝＞0，故g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）＝0，.........．．．10分故f（x1）﹣f（）＞0

，即f（x1）＞f（），又f（x）在（0，1）上单调递减，所以，所以x1x2＜1．..．．．．．．．．12分22．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为；曲线C2的极坐标方程为ρ＝﹣4sinθ，整理得ρ2＝﹣4ρsinθ，根据，转化为直角坐标方程为x2+y

2+4y＝0．（2）把曲线C1的参数方程为（t为参数），代入x2+y2+4y＝0，得到，则，t1t2＝﹣3，所以＝．23．解：（Ⅰ）a＝1时，原不等式为|x+1|+|x+4|≤7，当x≤﹣4时，得﹣x﹣1﹣x﹣4≤7，解得x≥﹣6，所以﹣6≤x≤﹣4；当﹣4＜x≤﹣1时，得﹣x﹣

1+x+4≤7，即3≤7恒成立，所以﹣4＜x≤﹣1；当x＞﹣1时，得x+1+x+4≤7，解得x≤1，所以﹣1＜x≤1．13综上可得，不等式的解集为{x|﹣6≤x≤1}．（Ⅱ）因为m，n为正实数，并且＝+＝+＝3++≥3+2＝5．当且仅当m＝n＝时等号成立，所以的最大值为，又

因为f（x）＝|x+a|+|x+4a|≥|x+4a﹣（x+a）|＝|3a|，当（x+a）（x+4a）≤0时取到等号，要使恒成立，只需|3a|≥，所以a≤﹣或a≥.即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．声明：试题解析著作权属菁优网

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