【文档说明】北京市海淀区中国人民大学附属中学2023届高三上学期10月检测练习（月考）数学试题（解析版）.docx，共(21)页，831.154 KB，由小赞的店铺上传

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人大附中2023届高三10月检测练习数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1.已知集合(){03},l

n2,AxxBxyxAB===−=∣∣（）A.()0,+B.()2,+C.()2,3D.()0,3【答案】A【解析】【分析】求出集合B，再根据并集的定义即可得解.【详解】解：因为(){03},

ln2{2}AxxBxyxxx===−=∣∣∣，所以()0,AB=+.故选：A.2.命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是（）A.∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B.∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C.∃x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0D.∃x∈R

，f(x)＝0或g(x)＝0【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确选项.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以ABC选项不符合，D选项符合.故选：D3.若0

ab，且ab，则下列不等式一定成立的是（）A.22abB.11abC.2baab+D.2abab+【答案】C【解析】【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用基本不等式判断.【详解】对于A，若1,2ab=−=−，则满足0ab，且ab，而2214ab==，所以A错误，对于B，若1,

2ab=−=−，则满足0ab，且ab，而11112ab=−=−，所以B错误，对于C，因为0ab，所以0,0baab，所以22babaabab+=，当且仅当abba=，即ab=时取等号，而ab，所以取不到等号，所以2b

aab+，所以C正确，对于D，若1,2ab=−=−，则满足0ab，且ab，而3222abab+=−=，所以D错误，故选：C4.已知集合260,{04}AxxxBxxa=−−=+∣∣，若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A.()3,6−B.

3,6−C.()(),36,−−+D.(),36,−−+【答案】D【解析】【分析】分别解出A、B集合，由“xA”是“xB”的必要不充分条件可知BA，由此即可列出不等式，则可解出答案.【详解】260{2Axxxxx=

−−=−∣∣或3},{4}xBxaxa=−−∣，因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，所以BA，所以42a−−或3a−，解得：3a−或6a，故选：D.5.若5π1tan122−=，则πtan6−的值为（）A.3B.13C

.－3D.13−【答案】A【解析】【分析】根据凑角的思路可得π5ππtantan6124−=−+，再用正切的两角和公式求解即可.【详解】5ππ1tantan1π5ππ1242tantan315ππ6124111tanta

n2124−++−=−+===−−−,故选：A.6.设()11,,1,2,32fxx=−，则“函数()fx的图象经过点()1,1−”是“函数

()fx在(),0−上递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由幂函数性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】函数()fx的图象经过点()1,1−，

则()()11fx=−=，因为11,,1,2,32−，所以2=，所以()2fxx=，所以()fx在(),0−上递减，而()fx在(),0−上递减，函数()fx的图象不一定经过点()1,1−，如：()1fxx−

=所以“函数()fx的图象经过点()1,1−”是“函数()fx在(),0−上递减”的充分不必要条件.故选：A.7.某科技公司为解决芯片短板问题，计划逐年加大研发资金投入．若该公司计划2021年全年投入研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司

全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）．参考数据：lg1.120.05,lg20.30,lg30.48A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年【答案】D【解析】【分析】求得x年全年投入

的表达式，由此列不等式，结合对数函数的知识求得正确答案.的.【详解】依题意可知，x年全年投入为()()20212021*12010.121201.122021,Nxxxx−−+=，由20211201.12200x−得2021101.126x−，

两边取以10为底的对数得()202110lg1.12lg6x−，()2021lg1.12lg10lg6x−−，1lg2lg320212025.4lg1.12x−−+=，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是2026年.故选：D8.当0a，且1a时，函数log(1)2

ayx=−+的图像经过定点T．若直线240mxny+−=也经过点T．则当0m，0n时．14mn+的最小值为（）A.4B.6C.322+D.326+【答案】C【解析】【分析】先求得T点的坐标，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】当2x

=时，()()log12log2122aayx=−+=−+=，所以()2,2T，代入240mxny+−=得4240,22mnmn+−=+=，所以()1411422mnmnmn+=++()18181662642

322222nmnmmnmn=+++=+=+，当且仅当228,8,22nmnmnmmn===，21,422mn=−=−时等号成立.故选：C9.已知()()1241,2(0,1)2,2xaxaxfxaaax−−++=．若()fx存在

最小值，则实数a的取值范围为（）A.10,2B.30,4C.10,(1,2)2D.30,(1,2)4【答案】A【解析】【分析】通过对参数a分类讨论，研究()fx在(,2]−和(2,)+的单调性，再结合

已知条件，即可求解.【详解】解：由题意，不妨令()(2)41gxaxa=−++，(,2]x−；1()2xhxa−=，(2,)x+，①当01a时，()(2)41gxaxa=−++在(,2]−上单调递减，1()2xhxa−=在(2,)+上单调递减，

易知1()2xhxa−=在(2,)+上的值域为(0,2)a，又因为()fx存在最小值，只需(2)(2)2410gaa=−++，解得12a，又由01a，从而102a；②当12a时，()(

2)41gxaxa=−++在(,2]−上单调递减，1()2xhxa−=在(2,)+上单调递增，又因为()fx存在最小值，故(2)(2)gh，即(2)2412aaa−++，解得，34a，这与12a矛盾；③当2a=时，9,2()2,2xxfxx

=，易知()fx的值域为(4,)+，显然()fx无最小值；④当2a时，()(2)41gxaxa=−++在(,2]−上单调递增，1()2xhxa−=在(2,)+上单调递增，从而()fx无最小值.综上所述，实数a的取值范围为10,2.故选：A.10.已知(

)sin|||sin|cos|||cos|=+++fxxxxx，给出下述四个结论：①()yfx=是偶数；②()yfx=在π3π,22上为减函数；③()yfx=在()π,2π上为增函数；④()yfx=的最大值为22．其中所有正确结

论的编号是（）A.①B.②C.①③D.①④【答案】D【解析】【分析】结合函数的奇偶性、单调性以及三角恒等变换、三角函数最值等知识求得正确答案.【详解】()fx的定义域为R，()()()sinsincoscosfxxxxx

−=−+−+−+−sin|||sin|cos|||cos|()xxxxfx=+++=，所以()fx为偶函数，①正确.当3ππ2x时，()sinsincoscos0fxxxxx=−+−=，所以()yfx=在π3π,22

上不是减函数，②错误；以及()yfx=在()π,2π上不是增函数，③错误.()()π3π02,2,π0,022ffff====，当0x时，()sinsincoscosfxxxxx=+++，()()()

()()2πsin2πsin2πcos2πcos2πfxxxxx+=+++++++()sinsincoscosxxxxfx=+++=，所以当0x时，2π是()fx的一个周期，当π02x时，()π2sin2cos22sin224fxxxx

=+=+，π4x=时等号成立.当ππ2x时，()2sin2fxx=，当3ππ2x时，()0fx=，当3π2π2x时，()2cos2fxx=，综上所述，结合()fx为偶函数可知()fx的最大值

为22，④正确.故选：D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置.）11.若i为虚数单位，复数满足()1i34iz−=−，则z的虚部为______.【答案】52##2.5【解析】【分析】根据复数的除法运算可得55i22z=+，进而即

得.【详解】因为()1i34i5z−=+=，所以()()()()51i55551ii1i1i1i222z+===+=+−−+，所以复数z的虚部为52.故答案为：52.12.函数()()=sin+>0,>0,<3fxAxA

的部分图像如图所示，则函数()fx的解析式为______.【答案】()2sin26fxx=+【解析】【分析】由sin()yAx=+的部分图象确定其解析式.【详解】由图象可得

，2A=，22362T=−=，即T=，∴22==，∵2sin263f=+=，∴232k+=+，Zk，即26k=+，Zk，又3，∴6=.∴函数()fx的解析式为()2sin26fxx

=+.故答案为：()2sin26fxx=+13.已知直线1ykx=+与曲线()lnfxx=相切，则k=_____．【答案】2e−##21e【解析】【分析】求出函数的导函数，设切点为()00,l

nxx，即可求出切线的斜率，从而得到方程组，解得即可.【详解】解：由()lnfxx=，所以1()fxx=，设切点为()00,lnxx，所以()001fxx=，则00011lnkxkxx=+=，解得202eexk−==

；故答案：2e−14.关于函数()cos2cos236fxxx=−++有下列命题：①其最大值为2；②其最小正周期为；③在13,2424上单调递减；④将函数2cos2yx=的

图象向左平移24个单位后将与已知函数图象重合.其中正确的命题的序号是___________.【答案】②③【解析】【分析】由诱导公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质判断①②③，利用图象平移变换及诱导公式判断④．【详解】()

cos2cos2cos2cos236662fxxxxx=−++=+−++22sin(2)cos(2)2sin(2)cos(2)662626xxxx=+++=+++

52sin(2)2sin(2)6412xx=++=+,所以函数最大值是2，①错；22T==，②正确；13(,)2424x时，532(,)1222x+，所以此时()fx递减，③正确；将函数2c

os2yx=的图象向左平移24个单位后得图象的解析式为72cos22cos22sin2241212yxxx=+=+=+，与()fx图象不重合，④错．为故答案为：②③．15.如图，四边形ABCD中．7ACADCD===．53sin

14BAC=，2π3ABC=，则ABC的面积为__________，BD=___________．【答案】①.1534②.8【解析】【分析】利用正弦定理求得BC，利用余弦定理求得AB，进而求得三角形AB

C的面积.先求得cosDCB，利用余弦定理求得BD.【详解】在三角形ABC中，由正弦定理得sinsinBCACBACABC=，7,5533142BCBC==，由余弦定理得2222cosACABBC

ABBCABC=+−，25240ABAB+−=，解得3AB=，负根舍去.所以三角形ABC的面积为113153sin352224ABBCABC==.3733,,sinsinsinsin1432ABACACBACBABCACB==

=，由于ACB为锐角，所以23313cos11414ACB=−=.所以π13coscoscossin322DCBACBACBACB=+=−11333312142147=−=.

在三角形BCD中，由余弦定理得：222cosBDCDBCCDBCBCD=+−1492527587=+−=故答案为：1534；8三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，请在答题纸上的

相应位置作答.）16.已知函数()lnfxxx=．（1）求曲线()yfx=在点()()e,ef处的切线方程；（2）求函数()fx的最小值．【答案】（1）2e0xy−−=（2）1e−【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求出

切线方程，（2）对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值【小问1详解】()lnfxxx=的定义域为()0,+．因为()1lnfxx=+（0x），所以()e1lne2f=+=，又因()eelneef==，所以曲线()yfx=在点

()()e,ef处的切线方程为()e2eyx−=−，即2e0xy−−=．【小问2详解】()lnfxxx=的定义域为()0,+，()1lnfxx=+令()0fx，得1ln1lnex−−=，因为e1，所以1ex，为令()

0fx得10ex，所以()fx在1,e+上单调递增；在10,e上单调递减，所以()min1111lneeeefxf===−．17.在ABC中，角,,ABC的对边分别为3,,,cos2abcaBbc+=.（1）求A的大小；（2）再从条件①､条件②､

条件③这三个条件选择一个作为已知，使得ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长.条件①：321cos,114Bb==；条件②：2,23ac==；条件③：3,3bc==.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.【

答案】（1）6.（2）条件①：217；条件③：32.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得36b=不满足条件，条件①：根据sinsin()CAB=+，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理

结合等面积求解即可.【小问1详解】在ABC中因为3cos2aBbc+=，由正弦定理得3sincossinsin2ABBC+=，所以3sincossinsin()sincossincos2ABBABABBA+=+=+，即3sinsincos2BBA=，又因为,(0,)AB，sin0B，所以3c

os2A=，6A=.【小问2详解】设BC边上的高为h，条件①：因为321cos14B=，所以(0,)2B，7sin14B=，所以0AB+，根据三角形全等（角角边）可知ABC存在且唯一确定.所以21sinsin()sincossinco

s7CABABBA=+=+=，则11sin22haabC=，解得217h=，即BC边上的高为217.条件②：由余弦定理得222cos2bcaAbc+−=，即23129243bb+−=，解得36b=，此时满足条件的ABC

的三角形有两个，条件②不符合题意.条件③：根据三角形全等（边角边）可得ABC存在且唯一确定，由余弦定理得222cos2bcaAbc+−=，即2393263a+−=，解得3a=，则11sin22habcA=，解得32h=，即BC边上的高为32.18.已知函数()sincos(0,0)fxaxx

a=．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()fx存在且唯一确定．（1）求()fx的解析式；（2）设2()()2cos1gxfxx=−+，求函数()gx在()0,上的单调递增区间．条件①：14f=；条件②：()fx为偶函数；条件③：()fx的最大值为1

；条件④：()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为2．【答案】（1）()sin2fxx=；（2）370,,,88【解析】【分析】（1）先由降幂公式得()sin2(0,0)2afxxa

=，故()fx为奇函数，排除条件②，若选①③，()fx不唯一，不合题意；若选①④由14f=及周期解出()fx即可；若选③④由最大值及周期解出()fx即可；（2）先由倍角公式及辅助角公式求出()2sin(2)4gxx=−，再令222,242kx

kk−+−+Z解出单调区间，最后写出在()0,上的单调递增区间即可.【小问1详解】()sincossin2(0,0)2afxaxxxa==，易知()fx为奇函数，故条件②不成立，舍去.若选①③，则()sin1422af==且12

a=，故2a=，2,22kk=+Z，解得14,kk=+Z，故()fx不唯一，不合题意；若选①④，()sin1422af==且22T=，故22T==，解得1=，2a=，存在且唯一，故

()2sincossin2fxxxx==；若选③④，则12a=且22T=，故22T==，解得2a=，1=，故()2sincossin2fxxxx==，存在且唯一，故()sin2fxx=；【小问2详解】22()()2cos1sin22cos1sin2cos22sin(2)

4gxfxxxxxxx=−+=−+=−=−，令222,242kxkk−+−+Z，解得3,88kxkk−++Z，当0k=时，388x−，当1k=时，71188x，故函数()gx在()0,上的单调递增区间为370,,,88

.19.已知函数()322fxxaxb=−+．（1）若函数()fx在1x=处取得极小值－4，求实数a，b的值；（2）讨论()fx的单调性．【答案】（1）33ab==−（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据求导

和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论a取值即可求解.【小问1详解】()262fxxax=−，则()()1014ff==−即62024aab−=−+=−解得33ab==−，经验证满足题意，【小问2详解】()()26223

fxxaxxxa=−=−令()0fx=解得0x=或3ax=1°当0a=时，()fx在()－，＋上单调递增2°当0a时，()fx在,3a−，()0，＋上单调递增，,03a上单调递减3°当0a时，()fx

在()0－，，（,3a+上单调递增，0,3a上单调递减20.已知函数()e,()sincosxfxgxxx==+．（1）若()1xfax+恒成立，直接写出a的值，并证明该不等式；（2）证明：当4πx−时，()()fx

gx；（3）当4πx−时，不等式()()()20Rfxgxaxa+−−恒成立，求a的取值集合．【答案】（1）1a=，证明详见解析（2）证明详见解析（3）2的【解析】【分析】（1）先得到a，然后通过构造函数法，结合导数证得不等式成立.（2）构

造函数()()()hxfxgx=−，利用导数证得()0hx，由此证得不等式成立.（3）构造函数()()()2fxgaxxxG+−−=，由()'00G=求得a，结合导数确定a的取值集合.【小问1详解】a的值为1，即不等式()1fxx+≥，证明如下：构

造函数()()()1e1,00xFxfxxxF=−−=−−=，()'e1xFx=−，所以()Fx在区间()()()',0,0,FxFx−递减；在区间()()()'0,,0,FxFx+递增.所以()()00FxF=，故e1xx+，即不等式()

1fxx+≥恒成立.【小问2详解】π()e,()sincos2sin4xfxgxxxx==+=+，构造函数()()()πe2sin4xhxfxgxx=−=−+，()'πe2cos4xhxx=−+，当π04x−时，ππ044x+，π12cos

24x+，e1x，所以()'πe2cos04xhxx=−+，所以()hx在区间π,04−上递减.当π02x时，ππ3π444x+，π12cos14x−+，0ee1x=，

所以()πe2cos04xhxx=−+，所以()hx在区间π0,2上递增.当π2x时，1ee2x，π22cos24x−+，所以()'πe2cos04xhxx=−+，所以()hx在

区间π,2+上递增.所以()()0π0e2sin04hxh=−=，即()()()()()0,hxfxgxfxgx=−.【小问3详解】当4πx−时，不等式()()()20Rfxgxaxa+−−恒成立，即4πx−时，不等式()esincos20Rxxxaxa+

+−−恒成立，构造函数()ππe2sin244xMxxaxx++−−−=，即()0Mx,由于()0Mx且()00M=，所以当0x=时，()Mx取得最小值，由于()Mx是可导函数，且()'πe2cos4xMxxa

=++−，则0x=是函数()Mx的极小值点，所以()'0π0e2cos204Maa=+−=−=，解得2a=.下面证明当2a=时，0x=为()Mx的极小值点：此时()ππe2sin2244xMxxxx++−−−=，()'πe2cos24xMxx=++−

，令()()'πe2cos24xNxMxx==++−，()'πe2sin4xNxx=−+，由（2）可知，当4πx−时，()'πe2sin04xNxx=−+，所以

()Nx在区间π,4−+上递增，()()'0π00e2cos204NM==+−=，所以在区间()()'π,0,0,4MxMx−递减；在区间()()()'0,,0,MxMx+递增，所以0x=是()Mx的极小值点，符合题意.所以a的取值集合是2.

【点睛】利用导数研究函数的单调区间，如果导函数无法判断函数的单调区间时，可以考虑利用二次求导来进行求解，求解过程中要注意导函数和原函数之间的对应关系.21.对各项均为正整数的有限数列0A：()*123,,,,naaaanN，每次进行以下变换之一；变换1T：将其中一项删除；变换2T：将其中一

项的数值由x变为y，其中,yyxN；变换3T：将其中一项变为两项，由x变为y，z，其中,,yzyzx+N．（1）若0A：2，3，经过k次变换后其所有项均被删除，且上述三种变换都至少进行了一次，求k；（2）甲对0A进行一次变换得到1A，乙对1A进行一次变换得到2A，…，

甲、乙轮流进行变换，直到所有项均被删除．①若0A：1，2，2，甲能否确保自己最后将所有项删除？说明理由．②若0A：1，2，3，乙能否确保自己最后将所有项删除？说明理由．③若0A：1，2，3，4，5，是否有人能

确保自己最后将所有项删除？说明理由．【答案】（1）5（2）①可以，理由见详解；②可以，理由见详解；③可以，理由见详解【解析】【分析】（1）根据题意可得第一次变换只能为2T或3T时，再根据变换特点理解求解；（2）根据题意分析处理①②，

对与③甲将0:1,2,345A，，变换为1:1,2,344A，，，把问题转化为②理解处理.【小问1详解】若执行变换2T，则原来项的数值2x，若执行变换3T，则原来项的数值3x，且当3x=时，1yz==∵0:2,3A，则2T、3T各执行一次且第一次变换只能为

2T或3T时，即为相当于三个元素执行1T进行消去，共需三次∴1135k=++=【小问2详解】根据题意可得：有奇数项逐个消去，最终由甲执行最后一次变换，有偶数项逐个消去，最终由乙执行最后一次变换，执行1T、3T不会影响最终结果，执行2T会转换最终结

果①∵0:1,2,2A，则为奇数项且最多可以执行2次（偶数次）2T，∴能确保甲最后将所有项删除，只需保证执行偶数次2T即可甲第一次执行1T消去项1，得到1:2,2A0A1A2A3A4A5A1，2，22，22结束1，2，22，21，21，11

结束②0:1,2,3A，则为奇数且最多可以执行3次（奇数次）2T，能确保乙最后将所有项删除，只需保证执行奇数次2T，如下表所示：0A1A2A3A4A5A1，2，31，21，11结束1，2，31，31，11结束1，2，32，32，

22结束1，2，32，32，21，21，11结束1，2，31，1，31，1，1，11，1，11，11结束1，2，31，1，21，11结束1，2，31，2，22，22结束1，2，31，2，22，21，21

，11结束1，2，31，1，1，21，1，1，11，1，11，11结束③∵0:1,2,345A，，，则为奇数项且最多可以执行10次（偶数次）2T，∴能确保甲最后将所有项删除，只需保证执行偶数次2T即可步骤如下：甲将0:1,2,345A，，变换为1:1,

2,344A，，将1,2,3看成组1，44，看成组2若乙对组1变换，根据②可知，甲可以最后将所有项删除若乙对组2变换，根据②可知，甲只需执行和乙相同的变换即可保证最后将所有项删除【点睛】①对三种变换理解的：执行1T、3T不会影响最终结果，执行2T会转换最终结果；②将问题化为已经解决

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