【文档说明】江西省吉安市2021届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题含答案.docx，共(13)页，741.827 KB，由小赞的店铺上传

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吉安市高三上学期期末教学质量检测数学（理科）试题2021.1（测试时间：120分钟卷面总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合23,{50}AxxBxx==−∣∣…，则（）A

．AB=B．[3,5)AB=C．AB=RD．(,3][3,5)AB=−−2．欧拉公式iecosisin=+（e是自然对数的底，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．若ie表示的复数对应的点在第二象限，则

可以为（）A．3B．23C．32D．1163．已知0.30.37log0.3,0.7,7abc===，则（）A．abcB．acbC．cabD．bca4．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像

作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,AB处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C，测得212.6cm,3ABACB==，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为（单位：cm）（）A．12.6B．4C．4.2

D．4.35．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺

序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法（即农历）．干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一．今年（2020年）是庚子年

，小华的爸爸今年6月6日是56周岁生日，小华爸爸出生那年的农历是（）A．庚子B．甲辰C．癸卯D．丙申6．过圆22:5Oxy+=外一点(3,2)P作圆O的切线，切点分别为,AB，则||PA=（）A．3B．2C．22D．37．已知平面向量,ab满足||2,||1,(2)abaab==⊥+，则向量

,ab的夹角为（）A．3B．4C．23D．348．垃圾分类，人人有责．北京市从2020年5月1日开始实施《北京市生活垃圾管理条例》，北京将生活垃圾分为有害垃圾、可回收物、厨余垃圾和其他垃圾四类，并分

别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某区四类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“有害垃圾”箱“可回收物”箱“厨余垃圾”箱“其他垃圾”箱有害垃圾605510可回收物51851010厨余垃圾104054010其他垃

圾5151080则下列结论中不正确的是（）A．厨余垃圾占垃圾总量的60%B．有害垃圾投放正确的概率为75%C．厨余垃圾投放正确的概率为90%D．生活垃圾投放错误的概率为15%9．将函数sin3yx=−的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，再

向右平移3个单位长度，得到函数()yfx=的图象．在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，若2(2)2fA=−，且4,42ab==，则ABC的面积为（）A．4B．6C．8D．1010．定义在R上的函数()fx满足()()()fxyfxfy=

+，当1x时，()0fx，则函数()fx零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．无数个11．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为2的正方形和4个边长为2的正三角形组成，则该多面体的外接球的表面积为（）A．2B．4C．8D．

1612．过抛物线22ypx=焦点(1,0)F的直线l与抛物线交于,AB两点，且(1)AFmFBm=，25||4AB=，则m=（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．322xx+展开式中的常数项为_________．1

4．曲线sin2cos1yxx=+−在点,02处的切线方程为_________．15．双曲线22221(0,0)xyabab−=的离心率为6，则双曲线的渐近线方程为_________．16．构造法是数学解题的重要方法．如构造顶角为36的

等腰三角形，可以求解18,36的三角函数值，则sin18=________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证眀过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第2

2-23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知na是公差不为0的等差数列，若1313,,aaa是等比数列nb的连续三项．（Ⅰ）求数列nb的公比；（Ⅱ）若11a=，数列11nnaa+的前n和

为nS且99200nS，求n的最小值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//,90,2ADBCADCADDCBC===，平面PAD⊥平面,ABCDPAD为正三角形，Q为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；（Ⅱ）若点M在棱PC

上，且//PA平面BMQ，求平面BMQ与平面PAB所成的锐角的余弦值．19．（本小题满分12分）2020年国庆节期间，甲、乙等5名游客准备从庐山、三清山、婺源、井冈山4个景点中选取一个景点游览，设每人只选择一个景点，且选择任一个景点是等可能的．（Ⅰ）

分别求“恰有2人选择井冈山”和“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率；（Ⅱ）记X表示5人中选择景点的个数，求X的分布列与数学期望．20．（本小题满分12分）已知函数()e(2)(0)xfxaxa=−．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若函数2()()2gxfxxx=+−有两个极值点，求实数a的取

值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为2，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点,QP，与椭圆分别交于点,MN，各点均不重合且满足,PMMQPNNQ

==．若4+=−，证明：直线l恒过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下有许多美丽的曲线，如贝努利双纽线22cos2a=的形状是一个横8

字，和谐、对称、优美．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的直角坐标系下，曲线C的参数方程2cos,sin,xtyt=+=（,,2kkt+Z为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和贝努利双纽线的直角坐标方程；（Ⅱ）若

2,6a==，将曲线C向左平移2个单位得到曲线C，曲线C与贝努利双纽线交于,AB两点，求,AB的极坐标．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|2|fxxxa=−+−．（Ⅰ）若()4fx…对于xR恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当4a=−时，函数()fx的最

小值为t，且正实数,mn满足mnt+=，求14mn+的最小值．吉安市高三上学期期末教学质量检测数学（理科）试题参考答案2021.1题号123456789101112答案CBACBCDDCCCC1．【答案】

C【解析】23(,3][3,),{50}{5}AxxBxxxx==−−+=−=∣∣∣…，(,3][3,5),ABAB=−−=R，故选C．2．【答案】B【解析】根据欧拉公式可得ecossini

i=+，当23=时，232213ecossin3322iii=+=−+，复数对应的点在第二象限．故选B．3．【答案】A【解析】0.377log0.3log10,00.70.71,01abb

====，又0.30771c==，则abc．故选A．4．【答案】C【解析】画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，设圆心为O，依题意，,,,,,OAACOBBCOACB⊥⊥四点共圆，2,33ACBAOB==．,OAOBAOB

=为等边三角形，12.6cmOAAB==．∴《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为4.2(cm)3OA=．故选C．5．【答案】B【解析】小华的爸爸今年6月6日是56周岁生日，小华爸爸出生于1964(2020561964)−=年．按六十年一个甲子，今年（2020年）是庚子年，6

0年前（1960年）是庚子年，由干支纪年法知，1961,1962,1963，1964年分别是辛丑，壬寅，癸卯，甲辰年．故选B．6．【答案】C【解析】2222,||||32522PAOAPAOPr⊥=−=+−=．故选C．7．【答案】D【解析】(2),(2)0aabaab⊥++=，即220

,1aabab+==−，12cos,2||||21ababab−===−．3,[0,],,4abab=．故选D．8．【答案】D【解析】厨余垃圾共104054010600+++=

（吨），占垃圾总量的60%，选项A正确；厨余垃圾投放正确的概率为540100%90%600=，选项C正确；有害垃圾投放正确的概率为60100%75%605510=+++，选项B正确；生活垃圾投放正确的概率为6018554080100%86.5%1000+++=，生活垃圾投放错

误的概率为13.5%，选项D错误．故选D．9．【答案】C【解析】122()sinsincos,(2)cos,cos23322222xxfxxfAAA=−−=−=−=−=−=

．0,4AA=．4,42,4abA===，由余弦定理得22224(42)2422cc=+−，整理得28160cc−+=，得4c=．1sin82ABCSABACA==．ABC的面积为8．故选C．10．【答案】C【解析】令

0xy==，得(0)(0)(0),(0)0ffff=+=；令1xy==，得(1)(1)(1),(1)0ffff=+=；令1xy==−，得(1)(1)(1)fff=−+−，(1)0f−=；令1y=−，得()()(1)fxfxf−=+−，()()fxfx−=，

即()fx为偶函数．设120xx，则()()()2222211111111,0,xxxxffxfxffxfxxxxx==+，∴函数()fx在(0,)+单调递减，∴

函数()fx在(0,)+只有一个零点1．又()fx为偶函数，在(,0)−单调递增，∴函数()fx在(,0)−也只有一个零点1−．故()fx有3个零点．故选C．11．【答案】C【解析】该多面体是一个棱长都为2的四棱锥PABCD−，设正方形ABCD的中心为O，则2OAOC==．又222(2)2

,OPO=−=为四棱锥外接球的球心，球的半径为2，∴该多面体的外接球的表面积24(2)8S==．故选C．12．【答案】C【解析】∵焦点(1,0),2Fp=，抛物线方程式为24yx=．设直线l的方程为1(0)xy=+，代入抛物线方程，得2440yy−−=

．设()()1122,,,AxyBxy，由韦达定理得124yy=−．由AFmFB=，得12ymy=−．解得212,2yymm==−，或212,2yymm=−=，121,xmxm==．12125||2,44ABxxpmmm=++=+

+==．故选C．13．【答案】12【解析】通项()326313322rrrrrrrTCxCxx−−+==，令630r−=，得2r=，∴展开式的常数项为223212C=．14．【答案】20xy+−=【解析】cos2sin,22yxxf=−=−，曲线

sin2cos1yxx=+−在点,02处的切线方程为22yx=−−，即20xy+−=．15．【答案】5yx=【解析】由2216cbaa=+=，得225,5bbaa==，∴双曲线的渐近线方程为5yx=．1

6．【答案】514−【解析】构造,,36ABCABACA==，作角B的平分线交AC于D，则36ABDCBD==，72,BDCBCDBDBCAD====，,ABBCABCBDCBCCD=∽．设,ABaB

Cb==，则51512,,sin1824BCabbababAB−−====−．17．【解析】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，由1313,,aaa是等比数列nb的连续三项，得23113aaa=，即()()2111212adaad+=+，化简得

2148dad=．10,2dda=．4分设数列nb的公比的公比为q，则3111111245aadaaqaaa++====．6分（Ⅱ）若11a=，则1111112,21,(21)(21)22121nnndanaannnn+

==−==−−+−+，8分111112133557(21)(21)nSnn=++++−+111111111111233557212122121nnnnn=−+−+−++−=−=−+++．10分由

99200nS，得9999,212002nnn+，故n的最小值为50．12分18．【解析】（Ⅰ）PAD为正三角形，Q为AD的中点，PQAD⊥．1分//,2,ADBCADDCBCQ==为AD的中点．∴四边形BCDQ为平行四边形，//BQCD．又90,90ADCAQB

==，即BQAD⊥．5分又,PQBQQAD=⊥平面PBQ．6分（Ⅱ）连接AC，交BQ于点N，连接MN．//PA平面,BMQPA平面APMN，平面BMQ平面,//APMNMNPAMN=．//,2,ADBCADBCQ=为AD的中点．∴

四边形BCQA为平行四边形，N为AC的中点，M为PC的中点平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面,,ABCDADPQADPQ−=⊥平面ABCD．8分设2AD=，则3,2,1PQDCBC===．分别以直线,,QAQBQP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，则13(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(0,0,3),,1,22QABCPM−−，13,1,,(0,2,0)22QMQB=−=．设()111,,nx

yz=为平面BMQ的一个法向量，由0,0,nQMnQB==得1111130,2220,xyzy−++==取11z=，则(3,0,1)n=．10分又(1,0,3),(1,2,0)AP

AB=−=−，设()222,,mxyz=为平面PAB的一个法向量，由0,0,mAPmAB==得222230,20,xzxy−+=−+=取21z=，则33,,12m=．设平面BMQ与

平面PAB所成的锐角为，则cos|cos|nm=22222313(3)1(3)12+=+++41919=．故平面BMQ与平面PAB所成的锐角的余弦值为41919．12分19．【解析】（

Ⅰ）所有可能的选择方式有54种，“恰有2人选择井冈山”的方式有235C3种，从而“恰有2人选择井冈山”的概率为2355C31354512=．3分“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的方式有334种，从而“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率为35343416=．6分（Ⅱ）X的所有可能值为1,

2,3,4．又145C1(1)4256PX===，()2324245252545(2)4256CCACAPX+===，2233335343535CCCAC?A2!150(3)4256PX+===，24545C?A

60(4)4256PX===．8分故X的分布列为X1234P12564525615025660256X的数学期望14515060781()1234256256256256256EX=+++=．12分20．【解

析】（Ⅰ）()e(1)xfxax=−，1分若0a，由()0fx，得1x；由()0fx，得1,()xfx的递减区间为(,1)−，递增区间为(1,)+．3分若0a，由()0fx，得1x；由()0fx，得1,(

)xfx的递减区间为(1,)+，递增区间为(,1)−．5分（Ⅱ）22()()2e(2)2xgxfxxxaxxx=+−=−+−，()()e(1)22(1)e2xxgxaxxxa=−+−=−+．2()e(2)2xgxaxxx=−+−有两个极值点，等价于()()

e(1)22(1)e2xxgxaxxxa=−+−=−+有两个不同的零点，等价于()e2xhxa=+有一个不为1的零点，当1x=时，1(1)e20ha=+，即2ea−．8分∴①当0a时，()e20xhxa=+，此时无零点；②当0a且2ea−时，2()e

0,()hxahx=为减函数．又2ln2lne20ahaa−−=+=，∴总存在唯一实数2lna−，使()0hx=．综上，()gx有两个极值点实数a

的取值范围22,,0ee−−−．12分21．【解析】（Ⅰ）依题意，22,1cc==．由12ca=，得2,3ab==．故椭圆方程为22143xy+=．5分（Ⅱ）设()()(0,),

(,0)(0),,,,MMNNPpQqqMxyNxy，()()()(),,,,,,,MMMMNNNNPMxypMQqxyPNxypNQqxy=−=−−=−=−−．由PMMQ=，得()()MMMMxqxypy=−−=−，11MMqxpy=+=+

．∵点M在椭圆上，2211143qp+++=，整理得()222312244120qp−−+−=．8分同理，由PNNQ=可得()222312244120qp−−+−=．,为方程()222312244120qxxp−−+−=的两不相等实数根，224

4312q+==−−．10分22q=．又0,2qq=．∴直线l恒过定点(2,0)Q．12分22．【解析】（Ⅰ）直线l的普通方程为tan(2)(2)yxx=−．由22cos2a=，得()422222cossina=−，∴贝努利双纽线的直角坐标方程

为()()222222xyaxy+=−．5分（Ⅱ）曲线C向左平移2个单位得到曲线:tan(0)Cyxx=，当6=时，其极坐标方程为(0)6=，联立24cos2,,6==得2=，2,,2,66AB−

．10分23．【解析】（Ⅰ）()4fx…对于xR恒成立，等价于2||4xxa−+−∣∣…对于xR恒成立．|2||||2()||2|xxaxxaa−+−−−−=−…，|2|4a−…，即24a−−„或24a−…，解得2a−„或6a…．∴实数a的取值范围为(,2][6,)−−

+．5分（Ⅱ）当4a=−时，min()|2||4|(2)(4)6,()6fxxxxxfx=−++−++==∣∣…，即6t=，由此可得6mn+=．又,mn为正实数，14141414314526662mnnmnmmnmnmnmn++=+=++++

=…．当且仅当4nmmn=，即2nm=时，等号成立．14mn+的最小值为32．10分