【文档说明】上海市格致中学2021-2022学年高一下学期阶段性（二）数学试题 含解析.docx，共(15)页，701.531 KB，由小赞的店铺上传

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格致中学二○二一学年度第二学期阶段性练习二高一年级数学试卷一､填空题（本题共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分）1.已知(1,),(3,6)akb==，若ab∥，则实数k=___________.【答案】

2【解析】【分析】利用向量平行列方程即可求解.【详解】因为(1,),(3,6)akb==，且ab∥，所以63k=，解得：k=2.故答案为：22.等差数列na中，51211,3aa==−，则公差d=___________.【答案】2−【解析】【分析】根据等差数列的公差公式计算可得.【详解】

依题意1252125131251aad==−−=−−−−.故答案为：2−.3.已知复数z满足i1iz=+（i为虚数单位），则||z=___________.【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解.【

详解】解：由题可得1i1iiz+==−，则1i,2zz=+=.故答案为：2.4.在复平面内，复数134iz=+对应的点为A，217iz=−+对应的点为B，则向量AB的坐标是___________.【答案】()4,3−【解析】【分析】先求出()3,

4A,()1,7B−,再求出AB.【详解】因为复数134iz=+对应点为A，217iz=−+对应的点为B，所以()3,4A,()1,7B−.所以()4,3AB=−.故答案为：()4,3−5.已知向量(1,2),(3,4)ab==，则a在b方向上

的投影为___________.【答案】115##2.2【解析】【分析】求出ab的值及||b，由||cos||abab=计算即可.【详解】解：因为(1,2),(3,4)ab==，所以3811ab=+=，22||345b=+=，由||||cosabab=可得：11||cos5|

|abab==，即a在b方向上的数量投影为：115.故答案为：115.【点睛】理解投影的概念是关键.6.已知等比数列na的前三项依次为1a−，1a+，4a+，则na=_______．【答案】1342n−【解析】【详解】由题意得，解得，则等比数列na的前三项依次为4，6，9，

则，，所以．7.利用数学归纳法证明“不等式在n从某个自然数0n开始，总有33nn成立.”则验证不等式成立初始值0n的最小值是___________.的的【答案】4【解析】【分析】数学归纳法的n的最小值应该是满足条件的最小值，在不等式33nn中，当3n=时，333

3=，不满足条件，故从4n=时开始验证.【详解】解：利用赋值法可得：当1n=时，1331成立，当2n=时，2332成立，当3n=时，3333=成立，当4n=时，4334成立，当5n=时，5335成立，猜想当4n=时开始，总有33nn成立，

故验证不等式成立的初始值0n的最小值是4.故答案为：4.8.函数()cos()fxx=+的图像关于点,03成中心对称，则的最小正值为___________.【答案】6【解析】【分析】利用代入法列方程即可求解.【详

解】因为函数()cos()fxx=+的图像关于点,03成中心对称，所以(),Z32kk+=+，解得：(),Z6kk=+.所以的最小正值为：当k=0时，6π=.故答案为：69.在数列na中，若对一切*nN都有13nnaa+=−且()24629lim2

nnaaaa→++++=，则1a的值为__________【答案】12−【解析】【分析】由递推关系可知数列na和2na均为等比数列，由等比数列求和公式和极限的思想可构造方程求得2a，由等比数列通项公式可求得1a.【详解】若0na=，则()2462lim0nnaaaa→+++

+=，不合题意，0na；13nnaa+=−，数列na是以13−为公比的等比数列，数列2na是以19为公比的等比数列，()22246221191999limlimlim11898219n

nnnnnaaaaaaa→→→−++++==−==−，解得：24a=，211213aa==−−.故答案为：12−.10.函数2tanyx=（常数0）在开区间2,43−上是严格增函数，则实数的取值范围是___

___．【答案】30,4【解析】【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解.【详解】由题意可知，函数2tanyx=的单调递增区间为,22kk−++，kZ，因函数2tanyx=（常数0）在开区间2,43

−上是严格增函数，所以422320−−，解得30,4.故答案为：30,4.11.如图所示，半径为1的圆O内接于正方形ABC

D，点P是圆O上的一个动点，点P与P关于直线AC成轴对称，若AQOP=，则PQ的取值范围是______．【答案】2,6【解析】【分析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可求解.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，故()0,0O，()2,0A，设()00,Pxy，

(),Qxy，则()00,Pxy−，因AQOP=，所以002xxyy−==−，即002xxyy=+=−，因此()()22200024xxyPQyy=−+−=+，又因点P是圆O上的一个动点，所以22001xy

+=，因此2001y，故202246y+，因此PQ的取值范围为2,6.故答案为：2,6.12.已知数列na是首项为1,公差为2m的等差数列,其前n项和为nS，设()*2nnnSbnNn

=，若数列nb是递减数列,则m的取值范围是__________.【答案】)0,1【解析】【分析】先由等差数列求和公式，根据题意，得到(1)=+−nSnmnn，求出(1)122−+==nnnnSmnbn，再由数列nb是递减数列，得到1nnbb+，推出(2)10−+m

n，分别讨论0m=，0m，0m三种情况，即可求出结果.【详解】因为数列na是首项为1,公差为2m的等差数列，所以其前n项和为(1)12(1)2−=+=+−nnnSnmnmnn，所以(1)(1)1222+−−+===nnnnnSnmnnmnbnn，又数列nb是递减数列，

所以1nnbb+，即11(1)122++−+nnmnmn，化简整理得：(2)10−+mn，所以*nN，(2)10−+mn；当0m=时，10显然成立；当0m时，(2)121=−+=−+ymnmnm为单调递增函数，所

以min(12)11=−+=−ymm，因此只需10m−，解得1m，所以01m；当0m时，(2)121=−+=−+ymnmnm为单调递减函数，无最小值，不满足题意；综上，01m.故答案)0,1【点

睛】本题主要考查由数列的增减性求参数的问题，熟记等差数列的求和公式，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.二､选择题（本题共4小题，每题4分，满分16分）13.若a与bc−都是非零向量，则“abac=”是“()

abc⊥−”的（）A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】为【分析】根据向量数量积运算及向量垂直的充要条件，可得答案.【详解】解：因为a与bc−都是非零向量，所以0()0()abacabacabcabc=

−=−=⊥−，故“abac=”是“()abc⊥−”的充要条件.故选：C.14.已知z均为复数，则下列命题不正确的是（）A.若zz=则z为实数B.若20z，则z为纯虚数C.若|1||1|zz+=−，则z为纯虚数D.若31z=，则

2zz=【答案】C【解析】【分析】设复数(,)zabiabR=+，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案.【详解】由题意，设复数(,)zabiabR=+，对于A中，由zz=，即abiabi+=−，解得0b=，所

以复数z为实数，所以A正确；对于B中，复数2222zababi=−+，因为20z，可得00ab=，，所以复数z为纯虚数，所以是正确的；对于C中，当0z=时，满足|1||1|zz+=−，所以复数z不一定为纯虚数，所以不正确；对于D中，由31z=，可得310z−=，即2(1)(1)0zzz−++=

，解得1z=或1322zi=−，所以2zz=，所以是正确的.故选C.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的

关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.函数6(3)3,7(),7xaxxfxax−−−=，若数列na满足()nafn=，*nN，且na是递增数列，则实数a的取值范围是（）A.9,34B.9,34C.()1,3D.()2,3【答案】D【

解析】【分析】根据题意可知分段函数为增函数，且()()87ff，列出不等式组()86301373aaaa−−−−，解不等式组即可求解.【详解】由题意可知分段函数为增函数，且()()87ff，即(

)86301373aaaa−−−−，解得23a，故实数a的取值范围是()2,3.故选：D【点睛】本题考查了分段函数的单调性、数列的单调性，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16.设函数()s

incosfxaxbx=+，其中0a，0b，若()4fxf对任意的Rx恒成立，则下列结论正确的是（）A.26fB.()fx的图像关于直线34x=对称C.()fx在5,44上单调递增D.过点(),ab的直线与函数()fx的图

像必有公共点【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在4x=处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案.【详解】由题意，()()22sincossinfxaxbxabx=+=++，tanba=，而函

数在4x=处取得最大值，所以()()2Z2Z424kkkk+=+=+，所以()22sin4fxabx=++，tan1baba===，则()()2sin04fxaxa=+.对A，因为3212

3226sinsinsin24426422224++==+=+=，即26f，A错误；对B，因为3sinsin044+==

，所以B错误；对C，因为3,242x+，所以函数在5,44上单调递减，所以C错误；对D，因为()fx的最大值为2a，而2baa=，所以过点(),ab的直线与函数()fx的图象必有公共点，D正确.故选：

D三､解答题（本题共4小题，满分42分）17.已知ABC的顶点坐标分别为(,4),(0,),(,0)AaBbCc.若虚数2i(0)xaa=+是实系数一元二次方程250xcx−+=的根，（1）求点A､C的坐标；（2）若A是钝角，求b的取值范围.【答案】（1）()()1,4,4,0AC（2）

141616,,333+【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系列方程即可求得；（2）利用向量的夹角公式可以求得.【小问1详解】因为虚数2ixa=+是实系数一元二次方程250xcx−+=的根，所以虚数2ixa=−也是实

系数一元二次方程250xcx−+=的根.所以由根与系数的关系得：()()2i2iaac++−=，()()2i2i5aa+−=，.解得：1,4ac==.故()()1,4,4,0AC.【小问2详解】由（1）可知：()()()1,

4,0,,4,0ABbC，所以()()1,4,3,4ABbAC=−−=−.所以()()223416134cos,145145ABACbbABACABACbb−−+−===+−+−.要使A是钝角，只需()()22134cos,0145134cos,1145bABACb

bABACb−=+−−=−+−，解得：141633b或163b.故b的取值范围为141616,,333+.18.设数列{}na的前项和为nS，满足()*22nnS

anN=−．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设12lognnba=．求数列11nnbb+前项和nT．【答案】（1）2nna=；（2）1nnTn=+．【解析】【分析】（1）根据数列的前n项和与数列的通项的关系1(2)nnnaSSn−=−，可求通项；（2）先由（1

）的结论求出数列11nnnbbb+和的通项公式，再运用裂项法求其前n项和．【详解】（1）当时，∵()22nnSanN+=−①∴()1122nnSanN+−−=−②①-②得()122nnnaaanN+−=−；即12nnaa−=又1122Sa=−；得：，

∴数列是以为首项，2为公比的等比数列∴2nna=（2）∵2nna=，，∴212lognnbn==−，∴()1111111nnbbnnnn+==−++．111111111122334111nnTnnnn=−+−+−+

+−=−=+++【点睛】本题考查数列的前n项和与数列的通项的关系及裂项法求和，属于中档题．在运用数列的前n项和与数列的通项的关系求数列的通项时，比较容易忘记关系式1(2)nnnaS

Sn−=−中的条件，即求出通项后，一定要验证n=1时，通项公式是否也成立．19.已知向量131,sin2cos2,((),1)222mxxnfx=+=−，且mn⊥，常数0.（1）若1

=，求函数()fx在[0,]x的严格增区间；（2）设实数12,xx满足122xx−=.若对任意xR，不等式()()12()fxfxfx都成立，求的值以及方程()1fx=在闭区间[0,]上的解.【答案】（1）20,,,63

（2）0x=或3x=或x=【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换得到函数()fx的解析式，整体代入法求解正弦型函数的严格增区间即可；（2）由不等式恒成立可得12()2,()2fxfx=−=

，利用恒等式求出12,xx满足的关系，从而求出的值，可得到函数()fx的解析式，求解三角方程即可.【小问1详解】解：因为mn⊥，所以i1()031sn2cos2222mnfxxx−+==，所以31sin()22sin2cos22226f

xxxx==++，又1=，则()2sin26fxx=+，当[0,]x时，132,666x+，所以当2662x+或3132266x+

时，即06x或2ππ3x＃时，函数()fx单调递增，故函数()fx在[0,]x的严格增区间为20,,,63.【小问2详解】解：因为()2sin26fxx=+

，所以函数()fx的值域为22−,，若对任意xR，不等式()()12()fxfxfx都成立，则12()2,()2fxfx=−=，所以11221222,22,,Z6262xkxkkk+=−+=

+，所以12121222(22)222kkkkxx−−−−−===，则12222kk−=，解得1=，故()2sin26fxx=+，因为[0,]x，所以132,666x

+，因为()1fx=，则1sin262x+=，所以266x+=或5266x+=或13266x+=，解得0x=或3x=或x=.故方程()1fx=在闭区间[0,]上的解为0x=或3x=或x=

.20.如果数列na每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数n满足211nnnaaa−+，则称数列na具有性质M.（1）若nnapq=､nbanb=+（p､q､a､b均为正实数），判断数列na､

nb是否具有性质M，并说明理由；（2）若数列na､nb都具有性质M，nnncab=+，证明：数列nc也具有性质M；（3）设实数2a，方程210xax−+=的两根为1x､2x，12nnnaxx=+，若122311nnaaanaaa++++−

对任意正整数n恒成立，求所有满足条件的a.【答案】（1）数列na具有性质M；数列nb不具有性质M.（2）证明见解析（3）2a=【解析】【分析】（1）结合性质M直接判断nnab､即可；（2）由

nnab､都具有性质,nnnMcab=+，可直接得出211nnnaaa−+，211nnnbbb−+，要证211nnnccc−+，化简可得证11112nnnnnnababab−++−+，结合性质

M和基本不等式即可求证；（3）先将12nnnaxx=+结合韦达定理代换成111nnnaxx=+，设法证明na具有性质M，则原不等式可进一步放缩为121nana−，求出12,aa，解一元二次不等式即可求解.【小问1详解】对()1nnnaqqp

pq−==，可看作以pq为首项，q为公比的等比数列，故211nnnaaa−+=，故na具有性质M；对nbanb=+，若满足211nnnbbb−+，即()()()211anbanbanb+−+++，整理得()()()2a

nbanbaanba++−++，即()()222anbanba++−，20a−，因为0a，所以20a−不成立，所以nb不具有性质M.【小问2详解】若nnab､都具有性质,nnnMcab=+，则2

11nnnaaa−+，211nnnbbb−+，()22nnncab=+，111111,nnnnnncabcab−−−+++=+=+，()()111111nnnnnnccabab−+−−++=++，要证数

列nc也具有性质M，即证211nnnccc−+，即()()()21111nnnnnnababab−−+++++，整理得：22111111112nnnnnnnnnnnnababaabbabab−+−+−++−+++++，因为21

1nnnaaa−+，211nnnbbb−+，即证11112nnnnnnababab−++−+①，因为211nnnaaa−+，211nnnbbb−+，所以()()()121111111nnnnnnnnnnaaabbabbab−+−+−+−+=，所以()()11

11nnnnnnaabbba−+−+，()()111122nnnnnnabbaab−+−+，由基本不等式可得()()111111112nnnnnnnnabbaaabb−+−+−++−

+，①得证；小问3详解】由方程210xax−+=的两根为()*1212,nnnxxaxxn=+N､可得1212,1xxaxx+==，211xx=，111nnnaxx=+，111111nnnax

x−−−=+，111111nnnaxx+++=+，2121212nnnaxx=++，12121122111112211121111111112nnnnnnnnnnnaxxxaxxxxxxax−+−++−

==++++++=+，即11nnnnaaaa−+，所以放缩得111122222311nnaaaaaanaaaaaa+++++++−，即121nana−，当1n=时，112axxa=+=；当2n=时

，()2222212121222axxxxxxa=+=+−=−，所以212nana−−，即2112aan−−恒成立，故212aa−，解得1,2a−，又2a，故只能2a=.【