【文档说明】信息必刷卷01（乙卷文科）-2023年高考数学考前信息必刷卷（解析版）.docx，共(17)页，2.829 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷01全国乙卷地区专用文科数学新课标全国卷乙卷试题结构为12道单选题，4道填空题，6道解答题，其中一道解答题是“二选一”型。其中解答题是4道“基础型”，2道“压轴型”，随着新高考的推进，

新课标全国乙卷地区也逐渐过渡到新高考试卷，所以这几年新课标全国卷试题出题也逐渐有新高考的特色，其中一点就是反映在“基础大题”的考察难易变化上。基础大题主要考察数列，三角函数与解三角形，概率分布列，立体几何这几个方面。全国卷这几年的难易变化体现在这样几方面：1.两个压轴大题，逐

渐把圆锥曲线替换最后的导数压轴大题，放到21提为值，作为最后的压轴大题，导数大题前移到20题位置，作为压轴大题的副压轴大题来考察。2..原来的基础大题三角、数列、立体几何、概率等试题考察的位置和试题顺序不再固定，而是根据考试范围和难易来

打乱调整。3.基础大题试题考察难度，考察内容，更加灵活多变，尽可能打破“套路思维”，注重数学思维的考察。4.基础大题有些题由两问变为三问，分散难度，但是增加了数学思维的广度。如本卷第19题。2022年新课标全国卷乙卷试卷试题，把概率统计大题放到第19题位置，21年是概率统计在17题位

置，和21年相比较，试题由两问变成3问，并且此题文理题几乎一致，试题考察的数学知识覆盖面更广，试题考察背景紧密结合社会生产生活，试题考察社会环保治理与发展的相互关系，虽然是基础大题，但是涉及到的数学建

模数学应用。预测2023年新课标全国乙卷仍将继续这种“变新”。所以作为基础大题，每一种类型题，更要注重数学思维和社会实践相结合的考察，同时更要注意随着新高考的推广，今年作为新课标全国卷老教材的考察卷，也会逐渐体现出“文理一致”的“过渡性”。同时也要注意基础试题在知识

交汇处的考察，考察的数学知识运用处理能力综合度较强，如本试卷的第7和第13题。第7题考察框图，但是数学能力与知识的考察却在椭圆的定义与几何性质运用方面，难度虽然不是压轴小题的难度，但数学知识点跨度大，数学思维思考面要求广，是复习备考和

试卷模拟时要多注意多注重的考点之一。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合123Axx=−，31UBxx=−ð，则AB=（）A．11xx−B．3xx

−C．3xx−D．3xx−或1x【答案】B【分析】化简A，由补集求得B，即可进行交集运算.【详解】由31UBxx=−ð，得3Bxx=−或1x.又1231Axxxx

=−=−，所以3ABxx=−，故选：B.2．已知复数13zi=−，则2zzzz=−（）A．13i44−B．13i22−C．13i44+D．13i22+【答案】A【分析】根据复数的乘法运算以及除

法运算即可化简求解.【详解】由13zi=−得13iz=+，2z=，()()13i13i4zz=−+=，所以()2113i4213i4213izzzz−===−+−−，故选：A3．下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）A．()2cossi

ncosfxxxx=+B．()1cos22sincosxfxxx−=C．()ππcoscos33fxxx=++−D．()ππsincos66fxxx=++【答案】C【分析】结合二倍角、辅助

角及和差角公式对选项进行化简，再计算周期比较即可.【详解】对于选项A，()1cos212π1sin2sin222242xfxxx−=+=−+，∴πT=选项B：sin0x且cos0x，()()2211

2sin2sintan2sincos2sincosxxfxxxxxx−−===∴πT=对于选项C，()1313cossincossincos2222fxxxxxx=−++=，∴2πT=对于选项D，()1π1πsin2sin22623fxxx=+=+，∴πT=,故选：C.

4．若双曲线2221(0)yxkk−=的渐近线与圆22430xyx+−+=相切，则k=（）A．2B．3C．1D．33【答案】D【分析】由题得，双曲线渐近线为ykx=，圆心为()2,0，半径为1，根据相切得2211kk=+即可解决.【详解】由题知，双曲线2221(0)y

xkk−=焦点在x轴上，其中1,abk==，圆()2221xy−+=，其中圆心为()2,0，半径为1，所以渐近线为ykx=，其中一条为ykx=，即0kxy-=，因为双曲线的渐近线与圆()2221xy−+=相

切，所以2211kk=+，解得33k=，故选：D5．某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（）A．该校约有一半学生成绩高于70分B．该校不及格人数比例估计为25%C．估

计该校学生成绩的中位数为70分D．估计该校学生的平均成绩超过了70分【答案】D【分析】由频率分布直方图求得分数在[40,50)和[80,90）的频率，然后确定分数高于70分的频率，低于60分的频率，从而可判断ABC，由频率分布直方图计算均值判断D．【详解】由频率分

布直方图知分数在[40,50)和[80,90）的频率为1(10.150.250.350.05)0.12−−−−=,因此成绩高于70分的频率为0.350.10.050.5++=，A正确；不及格人数即分数低于60分的频率为0.10.150.25+=，B正确；由

选项A的计算知C正确；平均成绩为450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5+++++=，D错误，故选：D．6．设m，n为实数，则“2211loglogmn”是“0.20.2mn”的（）A．充

分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简0.20.2mn和2211loglogmn，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.【详解】因为函数2logyx=为()0+，上的单调递增函数，又2211loglogmn

，所以110mn，所以0mn，又函数0.2xy=在()−+，上单调递减，所以0.20.2mn，所以“2211loglogmn”是“0.20.2mn”的充分条件，因为函数0.2xy=在()−+，上单调递减，又0.20.2

mn，所以mn，当m为负数时，1m没有对数值，所以“2211loglogmn”不是“0.20.2mn”的必要条件，所以“2211loglogmn”是“0.20.2mn”的充分不必要条件，A正确，故选

：A.7．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24B．26C．30D．32【答案】D【分析】确定函数表示椭圆的上半部分，d表示椭圆上的点到一个焦点的距离，S表示距离之和，画出图像计算得到答案.【详解】25116xy=−，即2251162xy+=，()0y

，表示椭圆的上半部分，焦点为()10,3F，()20,3F−，d表示椭圆上的点到一个焦点的距离，S表示距离之和，如图所示：()1121314152627232732SAFAFAFAFAFAFAFaacac=

++++++=+−=−=.故选：D8．如图，直线l⊥平面，垂足为O，正四面体ABCD（所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2，C在平面内，B是直线l上的动点，当O到AD的距离最大时，该正四面体在平面上的

射影面积为（）A．3B．32C．2D．212+【答案】D【分析】由题意知点O是以BC为直径的球面上的点，得到O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为BC与AD的公垂线+半径．再由取得最大距离时，AD垂直平面OBC，且平行平

面求解.【详解】因为直线l⊥平面，垂足为O，所以点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离+半径，即BC与AD的公垂线+半径，如图所示：取BC的中点E，AD的中点F，连接AE，ED，EF，因为AE

ED=，所以EFAD⊥，EFBC⊥，22232(2)()222EFAEAF−=−==,所以O到AD的最大距离为21+，此时，,45OEBCBCO⊥=,当取得最大距离时，AD垂直平面OBC，且平行平面，所以投影是以AD为底，O到AD的距离投影，即2(21

)cos4512FG=+=+为高的等腰三角形,其面积122211222=+=+．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题关键是明确O到AD的最大距离为为BC与AD的公垂线+球半径，由,,OEF共线得到,45OEBCBCO⊥=而得解.9．已知函数()tan()(0,0π)f

xx=−与直线ya=交于,AB两点，且线段AB长度的最小值为π3，若将函数()fx的图象向左平移π12个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（）A．π8B．π4C．3π4D．7π8【答案】C【分析】确定函数的最小正周期

，可求得3=，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出ππ,Z42kk=−，依据0π，即可求得答案.【详解】由题意知，函数()fx的最小正周期π3T=,则ππ3=,得3=,所以()(

)tan3fxx=−，将函数()fx的图象向左平移π12个单位长度，得到ππtan3()tan(3)124yxx=+−=+−的图象，因为该图象关于原点对称，则ππ,Z42kk−=，所以ππ,Z

42kk=−当0k时，Zk，0，不合题意，当0k=时，π4=，又0π，所以当1k=−时，取3π4，当2,3,k−−时，5π4，不合题意，故最大值为3π4，故选：C10．如图，在正三棱柱111ABCABC-中，123BBAB=，D是棱BC的中点，E在棱1CC

上，且13CCCE=，则异面直线1AD与1BE所成角的余弦值是（）A．66B．64C．63D．32【答案】B【分析】取棱1BB靠近点B的三等分点F，取棱11BC的中点H，取1BF的中点G，连接1AH，DH，1

AF，DF．证明1//DFBE，得1ADF是异面直线1AD与1BE所成的角（或补角）．设4AB=，用余弦定理计算出余弦值．【详解】取棱1BB靠近点B的三等分点F，取棱11BC的中点H，取1BF的中点

G，连接1AH，DH，1AF，DF．由已知1111133CECCBBBG===，又1//CEBG，所以1CEBG是平行四边形，1//BECG，同时可得F是BG中点，而D是BC中点，所以//DFCG．所以1//DFBE，则1ADF是异面直线1AD与1BE所成的角（或补

角）．又1//DHCC，1CC⊥平面111ABC，则DH⊥平面111ABC，1AH平面111ABC，则1DHAH⊥，设4AB=，则16BB=，从而123AH=，6DH=，2BD=，2BF=，1114BFAB==，故142AF=，143AD=，22DF=．在1ADF中，由余弦定理可得222111

16cos24ADDFAFADFADDF+−==．所以异面直线1AD与1BE所成的角的余弦值为64．故选：B．11．在ABC中，已知60A=，2BC=，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（）A．1B．2C．3D．2【答案】C【分

析】由余弦定理得到224bcbc+=+，再利用基本不等式得到4bc，然后由1()2ADABAC=+求解.【详解】解：由余弦定理得222222cosabcbcAbcbc=+−=+−，即224bcbc=+−，即22

4bcbc+=+，所以224bcbcbc=+−，∴4bc，当且仅当b=c时等号成立.因为1()2ADABAC=+，所以()()22222221111224424ADABACABACcbcbbcbc=++=++

=++，11(4)(48)344bcbc=+++=，∴||3AD，故选：C．12．已知函数()223,0e,0xxxfxx=，若()()()1212fxfxxx=，则12xx+的最大值为（）A．12−B．2ln33−C．ln32

−D．1ln312−【答案】D【分析】分析函数()fx的单调性，设120xx，可得出21223e3xxxx+=−，构造函数()()3e03xgxxx=−，利用导数求出函数()gx的最大值，即可得解.【详解】因为()223,0e,0xxxfxx=

，则函数()fx在(,0−上单调递减，在()0,+上单调递增，不妨设120xx，有22213exx=，可得213e3xx=−，有21223e3xxxx+=−，令()3e(0)3=−xgxx

x，有()31e3xgx=−，令()0gx，可得10ln32x，令()0gx，可得1ln32x，可得函数()gx的增区间为10,ln32，减区间为1ln3,2+，可得max1131()ln3ln33ln312232==−=−

gxg，故12xx+的最大值为1ln312−.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a是单位向量，()1,1b=−，若向量a与向量b夹角π0,4，写出一个满足上述条件的向量a______.【答案】3,221−(答案不

唯一)【分析】设()cos,sina=，取π12=，根据平面向量数量积的定义和坐标表示可得ππcoscos124=+，进而π2π,Z6kk=−−，即可求解.【详解】设()cos,s

ina=，又向量a与()1,1b=−的夹角π0,4，则π·cossin2cos4ab=−=+，1,2ab==，不妨取π12=,则π2cosπ·π4coscoscos1242abab+====+

，得ππ2π,Z124kk=++，则π2π,Z6kk=−−，当0k=时，π6=−，此时31,22a=−.故答案为：3,221−.14．已知nN，将数列21

n−与数列21n−的公共项从小到大排列得到新数列na，则1210111aaa+++=__________.【答案】1021【分析】分析可知21n−是正奇数列，根据题意求得241=−nan，然后利用裂项相消法可求得1210111aaa+++的值.【详解】因为数列21n−是正奇数

列，对于数列21n−，当n为奇数时，设()21nkk=−N，则()()22121141nkkk−=−−=−为偶数；当n为偶数时，设()2nkk=N，则22141nk−=−为奇数，所以，241=−nan，则()()211111141212122121nannnnn===−

−−+−+，因此，12101111111111110112335192122121aaa+++=−+−++−=−=.故答案为：1021.15．ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且()coscos23sincosaB

CaAcBA−+=，2222bca+−=，则ABC的面积为______．【答案】32【分析】利用三角恒等变换以及正弦定理化简可得出tanA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值，利用余弦定理可求得bc的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】因为()()coscosπcosABCBC=−+=−+，所以，()()23sincoscoscoscBAaBCaBC=−−+()()coscossinsincoscossinsin2sinsinaBCBCBC

BCaBC=+−−=，因为A、B、()0,πC，则sin0B，所以，sin3cosaCcA=，由正弦定理可得sinsin3sincosACCA=，因为sin0C，所以，sin3cos0A

A=，则tan3A=，可得π3A=.由余弦定理可得22222cosbcabcAbc=+−==，因此，1133sin22222ABCSbcA===.故答案为：32.16．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左右焦点为1F，2F，过1F的直线交椭圆C于P，Q两点，若1143P

FFQ=，且212PFFF=，则椭圆C的离心率为__________．【答案】57【分析】根据椭圆的定义，线段比例关系和余弦定理即可求解.【详解】因为2122PFFFc==，所以12222PFaPFac=−=−，又1143P

FFQ=，所以11333(22)()442FQPFacac==−=−，所以213322()222acQFaQFaac=−=−−=+，在三角形12FPF中，()()22212(22)22cos2(22)22acccacFPFaccc−+

−−==−，在三角形12QPF中，()2221273(22)2422cos72(22)24acaccFPFacc−+−+=−，以上两式相等整理得(57)()0acac−−=，故57ac=或ac=（舍去），故57ca

=，故答案为：57.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）如图所示，已知三棱台111ABCABC-中，11ABBB⊥，11CBBB⊥，1160ABBCBB==

，ABBC⊥，11BB=．(1)求二面角1ABBC−−的余弦值；(2)设E、F分别是棱AC、11AC的中点，若EF⊥平面ABC，求棱台111ABCABC-的体积．【答案】(1)13−(2)7212【分析】（1

）由二面角定义可得二面角1ABBC−−的平面角为1ABC，结合垂直关系及余弦定理求其余弦值即可；（2）将棱台补全为棱锥OABC−，利用垂直关系证明1BB⊥面1ABC，进而得到相关线段垂直并求出线段的

长度，根据111OABCOABCVVV−−=−求体积.【详解】（1）因为11ABBB⊥，11CBBB⊥，所以二面角1ABBC−−的平面角为1ABC．因为1160ABBCBB==，11BB=，所

以113ABCB==，2ABCB==．因为ABBC⊥，所以22AC=．因为222111112cosACABCBABCBABC=+−，所以11cos3ABC=−，故二面角1ABBC−−余弦值为13−．（2）因为111ABCABC-是三棱台，所以直线1AA、1BB、1CC共点

，设其交点为O，因为E、F分别是棱AC、11AC的中点，所以直线EF经过点O．因为11ABBB⊥，11CBBB⊥，111ABCBB=且11,ABCB面1ABC，所以1BB⊥面1ABC，又1EB面1ABC，

所以11BBEB⊥．因为2EB=，11BB=，所以145BBE=．因为EF⊥平面ABC，EB平面ABC，所以EFEB⊥，所以112sin2EFBBEBB==，2OEEB==，故F为OE的中点．三棱台111ABCABC-

的体积1117717288312OABCOABCOABCABCVVVVOES−−−=−===△．18．（12分）已知数列na的前n项的积记为nT，且满足112nnnaTa−=.(1)证明：数列nT为等差数列；(2)设()()11

1nnnnnbTT+−+=，求数列nb的前n项和nS.【答案】(1)证明见解析(2)()11181212nn−−+【分析】（1）将条件112nnnaTa−=中的na变为1nnTT−，然后整理即可证明；（2）求出数列nb的通项

公式，然后利用裂项相消法求和.【详解】（1）当2n时，11111122222nnnnnnaTTaaT−−==−=−，1122nnTT−=−，即12nnTT−−=，又当1n=时，11111112aTaa−==，得

113Ta==，数列nT是以3为首项，2为公差的等差数列；（2）由（1）得21nTn=+，则()()()()()11111212342123nnnnbnnnn−+−==+++++，()()1111111111143557792123nnnSnn

=−−++−−++−+−++()()1111111432381212nnnn=−+−=−−++.19．（12分）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连

接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并

推断它们的相关程度；(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型2()0,()YbxeEeDe=+==（随机误差iiieybx=−）．请推导：当随机误差平方和Q＝21niie

=取得最小值时，参数b的最小二乘估计．(ii)令变量,xttyww=−=−，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型2()0,()YbxeEeDe=+==利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数

()()()12211()niinniiiiittrttwwww===−=−−−，()25176.9iiww=−=，()()5127.2iiittww=−−=，5160.8iiw==，76927.7【答案

】(1)0.98r,这两个变量正线性相关，且相关程度很强.(2)（i）121ˆniiiniixybx===；（ii）经验回归方程2.72yx=;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.【分析】（

1）根据相关系数计算，若0r两个变量正相关，若0r两个变量负相关，r越接近于1说明线性相关越强.（2）(i)整理得2221112nnniiiiiiiQbxbxyy====−+，根据二次函数求最小值时b的取值；(ii)根据ˆb计算公式求得经验回归方程，并代入7t=可预测2024年移动

物联网连接数.【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.因为1(12345)35t=++++=,所以52222221()(13)(23)(33)(43)(53)10iitt=−=−+−+

−+−+−=,所以()()()()5155221127.227.227.20.9827.71076.9769iiiiiiittwwrttww===−−===−−,所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.（2）(i)()()222221112nnniiiiiiiiiiQe

ybxybxybx=====−=−+2221112nnniiiiiiibxbxyy====−+，要使Q取得最小值，当且仅当121ˆniiiniixybx===.(ii)由(i)知()()()5511552211ˆiiiiiiiii

ixyttwwbxtt====−−==−27.22.7210==，所以y关于x的经验回归方程2.72yx=，又5160.812.1655iiww====，所以当7t=时，则734,2.72412.1623.04xwyw=−==+=+=，所以预测20

24年移动物联网连接数23.04亿户.20．（12分）已知函数()34lnafxxaxx+=−+（0a）．(1)当12a=，求f（x）的极值．(2)当1a时，设2e42xgxxa（）=－＋，若存在121

,,22xx，12fxgx（）＞（），求实数a的取值范围．（e为自然对数的底数，e2.71828＝）【答案】(1)极小值为3；极大值为4ln7－3(2))1,4【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可；（

2）存在121,,22xx，使12fxgx（）＞（），转化为在区间1,22上()()maxminfxgx,即可求解.【详解】（1）()fx的定义域为0（，）+，当12a=时，()74ln22xfxxx=−+，∴()()()221741

7222xxfxxxx−−=−−=−，令()0fx＞，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极

大值为4ln7－3；（2）()()()22430axxafxxx−++=−，令()243hxaxxa−+（）=-＋，若1a，则()()216412140aaaa=−−=−−+，∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，∴当1a时，f（x）在1,22上单调递减

，∴f（x）在1,22上的最大值为134ln2622fa=−++，()2e4xgx＝－，令()0gx＝，得ln2x=，当1,ln22x时，()0gx，∴()gx单调递减，当(ln2,2x时，()0gx，∴g（x）单调递增，∴()gx

在1,22上的最小值为()ln244ln22ga−=＋，由题意可知34ln2644ln222aa−++−+，解得4a，又∵1a，∴实数a的取值范围为[1，4）．21．（12分）如图，已知点()2,2P是焦点为F的抛物线()2:20Cypxp=上一点，A，B是抛物线C上异

于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为()1kk.(1)求抛物线方程；(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；(3)令焦点F到直线AB的距离d，求ddFAFB−的最大值.【答案】(1)

22yx=(2)证明见解析，12−(3)255【分析】（1）待定系数法求解抛物线方程；（2）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得到B点纵坐标，从而求出直线AB的斜率；（3）在前两问基础上用斜率k表达出2451654516

kddkFAFBkk−−=−+，换元后使用基本不等式求出最大值.【详解】（1）解：将点()2,2P代入抛物线方程可得：1p=，所以抛物线2:2Cyx=；（2）证明：设()():221−=−PAykxk，与抛物线方程联立可得：22440−+−=kyyk，∴4422−−==

APAkkyyykk，因为直线PA，PB的倾斜角互补，用k−代k可得：22+=−Bkyk因此，2221222ABABABABABAByyyykyyxxyy−−===−−+−=，即12ABk=−.（3）解：由（2）可知，12ABk=−，()222122,−−kkAkk，()2

22122,++−kkBkk因此()22222122122:202−−−−=−−+−=kkkAByxxykkk，1,02F到直线AB的距离2222122254525−−−==kkkdk，所以1

1dddFAFBFAFB−=−∵()342113211112524162422BABAABABABFBFAxxxxkFAFBFAFBkkxxxxxx−−−−====−++++++，∴()2234242254543216252416252416

255kkddkkFAFBkkkkk−−−==−+−+22244551616165542524516−−==−+−+kkkkkkkk，令45=−tkk，由1k，得1t∴2161611612516165555216ddtFAFBttt−===++当且仅当

42264545+=−==tkkk时取等号.所以ddFAFB−的最大值为255.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy

中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C的极坐标方程为4sin=，若P为曲线1C上的动点，将OP绕点O顺时针旋转60得到OQ，动点Q的轨迹为曲线2C．(1)求曲线2C的极坐标方程；(2

)在极坐标系中，点2π4,3M，射线()π06=与曲线1C，2C分别交于异于极点O的A，B两点，求MAB△的面积．【答案】(1)π4sin3=+(2)4【分析】（1）假设曲线1C上的动点P的极坐

标为()00,P，设(),Q，即可得到00π3==+，再由P点在4sin=上即可求出Q的轨迹方程；（2）首先求出AB及点M到射线()π06=的距离h，即可求出MAB△的面积.【详解】（1）解：假设曲线1C上的动点P的极坐标为()00,P，设()

,Q，由题意00π3==+，因为004sin=，所以π4sin3=+，所以曲线2C的极坐标方程为π4sin3=+.（2）解：由题意可得12ππ4sin4sin262AB=−=−=，又因为2π4,3M

到射线()π06=的距离π4sin42h==，所以1124422MABSABh===△.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知222,,R,9abcabc+++=，求证：(1)33abc；(2)2223abcabcbccaab+++++++.【答案】(1)证明见解

析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元基本不等式即可得证.（2）利用基本不等式推得24bcabca+++，24cabcab+++，24cabcab+++，再相加即可得证．【详解】（1）因为222,,R,9abcabc+++=，所以32222

223abcabc++，即322293abc，当且仅当abc==且2229abc++=，即3abc===时，等号成立，所以32223abc，即22227abc，故33abc.（2）因为,,Rabc+，因为222

44abcabcabcbc+++=++，当且仅当24abcbc+=+，即2abc=+取得等号，同理可得24bcabca+++，当且仅当2bac=+取得等号，同理可得24cabcab+++，当且仅当2cba=+取得等号，上面三式相加

可得2222abcabcabcbccaab++++++++++，即2222abcabcbccaab+++++++，当且仅当2abc=+，2bac=+，2cba=+且2229abc++=，即3abc===时，等号成立

，因为0abc++，所以23abcabc++++，所以2223abcabcbccaab+++++++.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com