【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修1-1教案：3.1.1变化率问题 3 含解析【高考】.doc，共(5)页，505.500 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-[教学目的]1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念

的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。[教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点[教学方法]讲授启发，自学演练。[授课类型]：新授课[课时安排]：1课时[教具]：多媒体、实物投

影仪[教学过程]一、复习提问(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时

间t（单位：s）存在关系()105.69.42++−=ttth，那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？3.1变化率与导数-2-

表格1表格20t时，在2,2t+这段时间内0t时，在t+2,2这段时间内()()()1.139.41.139.422222−−=−+=+−+−=tttttthhv()()()1.139.41.139.422222−−

=−−=−+−+=ttttththv当−=t0.01时，−=v13.051；当=t0.01时，−=v13.149；当−=t0.001时，−=v13.0951；当=t0.001时，−=v13.1049；当−=t0.0001时，−=v13.09951

；当=t0.0001时，−=v13.10049；当−=t0.00001时，−=v13.099951；当=t0.00001时，−=v13.100049；当−=t0.000001时，−=v13.0999951；当=t0.000001时，−=v13.1000049；。。。

。。。。。。。。。问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）关于这些数据，下面的判断对吗？2．当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1sm/。3．靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以

是某一段2,2t+上的平均速度；4．靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段t+2,2上的平均速度；-3-5．-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1sm/。分析:2=t秒时

有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1sm/。这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1sm/，

现在我们一起回忆一下是如何得到的：首先，算出t+2,2上的平均速度()()thth−+22=1.139.4−−t，接着观察当t趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时

的瞬时速度。为了表述方便，我们用()()1.1322lim0−=−+→ththt表示“当2=t，t趋近于0时，平均速度v趋近于确定值-13.1”。思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边

趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1−．从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t=时的瞬时速度是13.1/ms−为了表述方便，我们用

0(2)(2)lim13.1ththt→+−=−表示“当2t=，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1−”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。3．函数()xfy=在0xx=处的瞬时变化率如何表示？导数的定义

（板书）函数()xfy=在0xx=处的瞬时变化率是xxfxxfxfxx−+=→→)()(limlim0000，我们称它为函数()xfy=在0xx=处的导数，记作()0'xf或0|'xxy=，-4-即()0'xf=xxfxxfxf

xx−+=→→)()(limlim0000。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为()1.132'−=h或1.13|'2−==ty。附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；②定义的变化形式：()xf'=xxxfxfxyxx−−=→→)

()(lim)(lim0000；()xf'=00)()(lim)(lim00xxxfxfxyxxxx−−=→→；()xf'=xxfxxfx−−−→−)()(lim000；0xxx=−，当0x→时，0xx→，所以0000()()()limxfxfxfxxx→−=−③求函数()xfy

=在0xx=处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。三．典例分析例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2,再求6fxx=+再求0lim6xfx

→=解：法一（略）；法二：222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx=→→→−−===+=−−（2）求函数f(x)=xx+−2在1x=−附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：xxxx

xy−=−+−++−−=32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx→→−−++−+−−===−=例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同

产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)fxxxx=−+，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是'

(2)f和'(6)f根据导数定义，0(2)()fxfxfxx+−=22(2)7(2)15(27215)3xxxx+−++−−+==−-5-所以00(2)limlim(3)3xxffxx→→==−=−；同理可得:(6)5f=在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时

变化率分别为3−和5，说明在2h附近，原油温度大约以3/Ch的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch的速率上升．注：一般地，'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况．17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，

其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。由导数的定义，我们知道，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率。实际上，导数可以

描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。四．课堂练习1．质点运动规律为32+=ts，求质点在3t=的瞬时速度为．2．求曲线y=f(x)=x3在1x=时的导数．3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度

的瞬时变化率，并说明它们的意义．