【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修1-1教案：3.1.1变化率问题 2 含解析.doc，共(4)页，226.500 KB，由envi的店铺上传

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高一数学选修1—1教案周次上课时间月日周课型新授课主备人胡安涛使用人课题3.1.1变化率问题教学目标1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点平均变化率

的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点平均变化率的概念.课前准备多媒体课件一、【创设情境】为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间

的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变

量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的

函数关系是334)(rrV=如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr=分析:343)(VVr=(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr−气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr−−(2)当V从1增

加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr−气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr−−可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1

增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(VVVrVr−−问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系105.69.4)(2++−=ttth.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:5.00

t和21t的平均速度v在5.00t这段时间里,)/(05.405.0)0()5.0(smhhv=−−=在21t这段时间里,)/(2.812)1()2(smhhv−=−−=探究:计算运动员在49650

t这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数105.69.4)(2++−=ttth的图像,结合图形可知,)0()4965(

hh=,所以)/(004965)0()4965(mshhv=−−=虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms,hto但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状

态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf−−表示,称为函数)(xf从1x到2x的平均变化率.2.若设12xxx−=,)()(12xfxff−=(这里x看作是对于

1x的一个“增量”可用xx+1代替2x,同样)()(12xfxfyf−==)则平均变化率为==xfxyxxfxxfxxxfxf−+=−−)()()()(111212思考:观察函数)(xf的图象平均变化率=xf1212)()(xxxfxf−−表示什么?三、典例分析例1已知函数

xxxf+−=2)(的图象上的一点)2,1(−−A及临近一点)2,1(yxB+−+−则=xy.解:)1()1(22xxy+−++−−=+−∴xxxxxy−=−+−++−−=32)1()1(2例2求2xy=在0xx=附

近的平均变化率.解:2020)(xxxy−+=所以xxxxxy−+=2020)(xxxxxxxx+=−++=020202022所以2xy=在0xx=附近的平均变化率为xx+02课堂练习1.质点运动

规律为32+=ts,则在时间)3,3(t+中相应的平均速度为.2.物体按照43)(2++=ttts的规律作直线运动,求在s4附近的平均变化率.3.过曲线3)(xxfy==上两点)1,1(P和)1,1(yxQ++作曲线的割线,求出当1.0=x时割线的斜率

.四、【课堂小结】1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.五、【书面作业】六、【板书设计】七、【教后记】1.2.