【文档说明】山东省威海市威海文登区2021届高三上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(22)页，2.298 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学2020.11注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若(1)2zii−=，则z的虚部为（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】先化简复数z，再根据共轭复数概念求z，最后根

据复数虚部概念得结果.【详解】由(1)2zii−=，得()()()2122211112iiiiziiii+−+====−+−−+所以1zi=−−，则z的虚部为：1−故选：B2.设全集U=R，集合{||2|1},Axx=−2{|log,0},Bxyxy==则()UABð=（）A.B.{1}C.

{|13}xxD.{|3}xx【答案】B【解析】【分析】求出集合A，B，进而求出UBð，由此能求出()UABð．【详解】解：全集U=R，集合{||2|1}{|13}Axxxx=−=剟?，2{|log,0}{|1}Bxyxyxx===，{|1}UBxx=ð„，(){1}UAB

=ð．故选：B．3.m、n是平面外的两条直线，在m∥的前提下，m∥n是n∥的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】//m，则存在l有//ml．而由//mn可得//nl，从而有//n．反之则不一定成立，,m

n可能相交，平行或异面．所以//mn是//n的充分不必要条件，故选A4.设复数z满足|(1)|1zi−+=，则||z的最大值为（）A.21−B.21+C.2D.3【答案】B【解析】【分析】设,,zabiabR=+，得出,ab的关系，结合其几何意义求解最值.【详解】设,,zabi

abR=+，()|(1)|111ziabi−+=−+−=，()()22111ab−+−=，22||zab=+相当于圆()()22111xy-+-=上的点到原点距离的最大值，即圆心到原点距离加半径：21+.故选：B5.函数(0,1)xyaa

a=与byx=的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A.0abB.0ab+C.log2abD.1ba【答案】C【解析】【分析】由指数函数和幂函数的单调性可判断1a，0b，带特殊值逐一分析选项即可.【详解】由图

可知，xya=单调递增，则1a；byx=单调递减，则0b，A：ab0不一定成立，如3,1ab==−；B：0ab+不一定成立，如2,3ab==−；C：log20ab，成立；D：1ba不成立，1a，0b，01ba.故选：C.【点睛】结论点睛：（1）指数函数当1a

时，在(),−+上单调递增，当01a时，在(),−+上单调递减，且恒过定点()0,1；（2）幂函数yx=当0时，在()0,+上单调递增，当0时，在()0,+上单调递减.且恒过定点()

1,1.6.已知[]x表示不超过实数x的最大整数，若函数()[]1hxx=−，函数2()lnfxxx=−的零点是0x，则0()hx=（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】利用零点存在定理，判断出0x

所在区间，然后根据[]x表示不超过实数x的最大整数求解.【详解】因为2(2)1ln20,(3)ln303ff=−=−，所以()02,3x，所以00()[]11hxx=−=，故选：A7.《几何原本》卷II的几何代数法成了后世西

方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB⊥，设ACa=，BCb=，则该图形可以直接完成的无字证明为（）A.222abab

+(0,0)abB.2abab+(0,0)abC.2222abab++(0,0)abD.2ababab+(0,0)ab【答案】C【解析】【分析】由图形可知：122abOFAB+==，2abOC−=．在RtOCF中，由勾股定理可得

：222FaCb=+．利用CFOF…即可得出．【详解】解：由图形可知：122abOFAB+==，2abOC−=．在RtOCF中，由勾股定理可得：2222()()222abababCF+−+=+=．CFOF…，2222abab++„．(,0)ab．故选：C．8.已知数列na的前n项和为n

S，满足2nSanbn=+，（,ab均为常数），且72a=.设函数2()sin22cos2xfxx=+，记()nnyfa=，则数列ny的前13项和为（）A.132B.7C.7D.13【答案】D【解析】【分析】化简函数的解析式，利用数列的和2nSanbn=+，求出通项

公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】因为2()sin22cossin2cos12xfxxxx=+=++，由2nSanbn=+，得()()()2211122nnnSSanbnanbnanabna−=−=+−−−

−=−+，又11aSab==+也满足上式，所以2naanab=−+，则12nnaaa−−=为常数，所以数列na为等差数列；所以11372aaa+==，()()111131131313sin2cos1sin2cos1yfafa

aaaya=+=++++++()()1111sin2cos1sin22cos12aaaa=+++−+−+=.则数列ny的前13项和为()()()1213...fafafa+++，记()()()1213...Mfafafa=+++，则()()()13121...Mfafafa=+++，所

以()()11321326Mfafa=+=，因此13M=.故选：D．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于先由数列的前n项和确定数列是等差数列，得出113aa+为定值，结合诱导公式，推出113yy+为定值，利用倒

序相加法，即可求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.在数列na中，若211nnnnaakaa+++−=−（k为常数），则称na为“等差

比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（）A.k不可能为0B.“等差比数列”中的项不可能为0C.等差数列一定是“等差比数列”D.等比数列一定是“等差比数列”【答案】BCD【解析】【分析】根据“等差比数列”的定义逐个选项进行判断

正误即可．【详解】解：当0k=时，根据“等差比数列”的定义，有2110nnnnaaaa+++−=−，即有210nnaa++−=，这与分母不为0矛盾，0k，故选项A正确；当1nan=−时，211111nnnnaannaann+++−+−==−−+为常数，数列{}na为“等差比数列”

，且10a=，故选项B错误；又当数列{}na为非零常数列时，数列{}na既是等差数列又是等比数列，但10nnaa+−=，此时数列{}na不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故选：BCD．10.函数()fx对任意,xyR总有()()()fxyfxfy+=+，当0x时，()0fx，1

(1)3f=，则下列命题中正确的是（）A.()fx是R上的减函数B.()fx在[6,6]−上的最小值为2−C.()fx是奇函数D.若()(3)1fxfx+−−，则实数x的取值范围为)0,+【答案】BCD【解析

】【分析】本题首先可取0x=、0y=，求出(0)0f=，然后令yx=−，即可证得函数()fx是奇函数，C正确，再然后通过定义法判断函数()fx的单调性，即可得出函数()fx是R上的增函数，A错误，最后根据增函数得出函数()fx在[

6,6]−上的最小值为(6)f−，根据()()()fxyfxfy+=+求出(6)2f−=−，B正确，根据增函数性质将()(3)1fxfx+−−转化为233x-?，即可判断出D正确.【详解】取0x=，0y=，则(0)(0)(0)fff=+，解得(

0)0f=，令yx=−，则(0)()()ffxfx=+−，即()()fxfx−=−，函数()fx是奇函数，C正确，令12,xxR，且12xx，则120xx−，因为当0x时，()0fx，所以1

2()0fxx−，则121212()()()()()0fxfxfxfxfxx−=+−=−，即12()()fxfx，函数()fx是R上的增函数，A错误，因为函数()fx是R上的增函数，所以函数()fx在[6,6]−上的

最小值为(6)f−，(6)(3)(3)2(3)ffff−=−+−=−，(3)(3)ff−=−，1(3)(2)(1)(1)(1)(1)313ffffff=+=++==，故(6)2f−=−，()fx在[6,6]−上的最小值为2−，B正确，()(3)1fxfx+−−，即(23

)(3)fxf−−，因为函数()fx是R上的增函数，所以233x-?，0x，实数x的取值范围为)0,+，D正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性的判断、定义法证明函数单调性以及根据函数单调性求最值和不等式，若定义域关于y轴对称的函数

()fx满足()()fxfx−=−，则函数()fx是奇函数，若满足()()fxfx=−，则函数()fx是偶函数，考查计算能力，体现了基础性和综合性，是中档题.11.四边形ABCD中，//ABCD，90,22,AABADDC===3,2,BCECAEAF==

则下列表示正确的是（）A.12CBABAD=−+B.1133AFABAD=+C.1263CFABAD=−D.2133BFABAD=−+【答案】BD【解析】【分析】利用向量的线性运算将CB,,AFCFBF用基底AB和AD表示，与选项比较即可得正确选项.【

详解】对于选项A：1122CBCDDAABABDAABABDA=++=−++=+，故选项A不正确；()11121122112223223333AFAEABBEABABDAABDAABAD==+=−+=−=+故选项B正确；1111223363CFCDDAAF

ABADABADABAD=++=−−++=−−，故选项C不正确，11213333BFAFABABADABABAD=−=+−=−+，故选项D正确；故选：BD12.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，3ABC=，ABC的平

分线交AC于点D，且3BD=，则下列说法正确的是（）A.ac的最小值是4B.ac的最大值是4C.3ac+的最小值是323+D.3ac+的最小值是423+【答案】AD【解析】【分析】先根据三角形面积公式得

出acac=+，再利用基本不等式可求解.【详解】由题意知ABCABDBDCSSS=+VVV，由角平分线的性质以及面积公式可得111sin603sin303sin60222acac=+，化简得acac=+，2acacac=+，当且仅当ac=时成立，解得4ac，故A正确，B错误；ac

ac=+，111ac=+，11333(3)442423acacacacaccaca+=++=+++=+，当且仅当3acca=，即3ac=时等号成立，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：由角平分线的性质以及面积公式得出acac=+

，再利用基本不等式是解决本题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.在中国古代的音乐理论中，“宫、商、角、徵、羽”这五个音阶在确定第一个音阶之后，其余的音阶可采用“三分损益法”生成

.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为181(1)543−=，能发出第三个基准音的乐器的长度为154(1)723+=，，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推，后来按照这种方法将音阶扩充到12个，称为“

十二律”.若能发出第六个基准音的乐器的长度为256，那么能发出第四个基准音的乐器的长度为_____.【答案】288【解析】【分析】设第四个基准音的乐器的长度为x，则第六个基准音的乐器的长度为11(1)(1)25633x+−=，解出x的值

即可．【详解】解：设第四个基准音的乐器的长度为x，则由题意可知：第六个基准音的乐器的长度为11(1)(1)33x+−，11(1)(1)25633x+−=，解得：288x=，即能发出第四个基准音的乐器的长度为288．故答案为：288．14.已知单位向

量12,ee满足12|2|3ee−=.设1212,2aeebee=+=+，则向量,ab的夹角的余弦值为_____________.【答案】32114【解析】【分析】对12|2|3ee−=两边平方即可求出1212ee=，然后可求出ab，||a和||b的值，从而可根据向量夹角的余弦公式可得

出,ab夹角的余弦值．【详解】解：1212||||1,|2|3eeee==−=，21212(2)4143eeee−=+−=，1212ee=，221212121219()(2)2321322abeeeeeeee=++=++=

++=，222121212||()21113aeeeeee=+=++=++=，222121212||(2)444127beeeeee=+=++=++=，93212cos,14||||37ababab===．故答案为：32114．15.如图所示，一块长为5m，宽为

3m缺一角A的长方形木板，EF是直线段.木工师傅想要在BC的中点M处作EF延长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此线.请帮忙在BF边上找到一点N，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时FN的长度为______m.

【答案】2.4【解析】【分析】根据题意，由MNEF⊥，可得AEFBNM∽，由已知结合相似比求出BN，进一步可得FN的值．【详解】解：如图所示，假设MNEF⊥，则AEFBNM∽，又由0.8AEm=，0.6AFm=，1.5BMm=，则有

AEBNAFBM=，即0.80.61.5BN=，得2BNm=，此时520.62.4FNm=−−=．故答案为：2.4．16.如图，设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，3(coscos)2sinaCcAbB+=，且3CAB=.若点D是ABC外一

点，1CD=，3AD=，则当D=______时，四边形ABCD的面积的最大值为____________【答案】(1).56(2).5332+【解析】【分析】利用正弦定理边角互化结合BÐ的取值范围可求得3B=，可判断出A

BC为等边三角形，利用余弦定理求得2106cosAC=−，利用三角形的面积公式可得出四边形ABCD的面积关于的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形ABCD面积的最大值及其对应的的值，即可得解.【详解】()3coscos2sinaC

cAbB+=，由正弦定理可得()23sincoscossin2sinACACB+=，所以，()()22sin3sin3sin3sinBACBB=+=−=，3CAB=，20,3B，可得sin0B，3sin2B=，3B=，所以

，ABC为等边三角形，设D=，则0，由余弦定理可得2222cos106cosACADCDADCD=+−=−，()2135333sin106coscos23422ABCSAC==−=−△，13sinsin22ACDSA

DCD==△，所以，四边形ABCD的面积为3533353sincos3sin22232ACDABCSSS=+=+−=−+△△，0Q，2333−−，所以，当32−=时，即当56D==时，四边形ABCD的面积取最大值5332+.故答

案为：56；5332+.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，

优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.四、解答题：本题共6小题，共70分.把解答写

在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在①133aab+=，②254bSb+=−，③194aa+=−这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问题中的m存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.设等

差数列na的前n项和为nS，nb是各项均为正数的等比数列，设前n项和为nT，若，，且1422,5bTT==.是否存在大于2的正整数m，使得134,,mSSS成等比数列？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】答案见解析.【解析】【分析】由等比数列的条件，求得2q=，可得

等比数列的通项公式．然后分别选取条件①②，条件①③，条件②③，列出关于等差数列首项与公差的方程组，求得首项与公差，得到等差数列的通项公式及前n项和，再由14S，3S，mS成等比数列列式求解m值即可．【详解】解：设n

a的公差为d，nb的公比为(0)qq，由题意知1q，所以421142(1)(1)5511bqbqTTqq−−===−−，整理得215q+=，因为0q，所以2q=，所以2nnb=.（1）当选取的条件为①②时，有1358416aaS+=+=−，所以1122824ada

d+=+=−，解得1128ad==−.所以2820,416nnanSnn=−+=−+.所以21312,12,416mSSSmm===−+，若134,,mSSS成等比数列，则2314mSSS=，所以241630mm−+=，解得1322m=，因为m为正整数，所

以不符合题意，此时m不存在.（2）当选取的条件为①③时，有131984aaaa+=+=−，所以11228284adad+=+=−，解得162ad==−.所以228,7nnanSnn=−+=−+.所以2136,12,7mSSSmm===−+，若134,,mSSS成等比数列，

则2314mSSS=，所以2760mm−+=，解得6m=或1m=（舍去）此时存在正整数6m=满足题意.（3）当选取的条件为②③时，有1954416aaS+=−+=−，所以1128424adad+=−+=−，解得161ad=−=.所以2137,2nnnnanS

−=−=.所以213136,15,2mmmSSS−=−=−=，若134,,mSSS成等比数列，则2314mSSS=，即22524mS=−，所以2452750mm−+=，解得13942m=，因为m为正整数，所以不符合题意，此时m不存在.【点睛】等比数列基本量的求

解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．18.将函数()2sin()fxx=+(0,0)的图象向右平移4后得到(

)gx图象，已知()gx的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点(0,1)F，与x轴相交于点B、C，点M为最高点，且2MBCS=．（1）求函数()gx的解析式，并求出()gx在(0,)上的递增区间；（2）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，()1gA=，且5a=，求AB

CS的最大值．【答案】（1）()2sin(2)6gxx=+；递增区间为(0,)6和[,)3；（2）534.【解析】【分析】（1）先将()fx的图象向右平移4个单位得到()gx的解析式，由解析式得最大值

为2，利用三角形面积公式可得到BC，而2TBC=，利用周期的计算公式得到2=，又因为()gx过(0,1)F，代入解析式得到值，从而得到()gx的解析式；（2）先利用()1gA=，利用特殊角的三角函数值得到角A的大小，再利用余弦定理得到b和c的一个关

系式，利用基本不等式得到5bc，代入到三角形面积公式中，得到面积的最大值.【详解】解：（1）由题意知()2sin[()]4gxx=−+，则M点的纵坐标为2由于1222MBCSBC==，则,22TBCT===，即2

=又由于(0)2sin()2cos12g=−=−=，所以1cos2=−.因为0，则23=，即2()2sin[2()]2sin(2)436gxxx=−+=+.当222,262kxkkZ−++时，得

到,36kxkkZ−+当0k=时，,36x−当1k=时，27,36x所以()gx在(0,)上的递增区间为(0,)6和[,)3.（2）13()2sin(2)1,2(,)6666gAAA=+=+，则52,663AA

+==由余弦定理得2222cos5,bcbcAa+−==即225bcbcbc=+−153sin24ABCSbcA=，当且仅当bc=时取等.故ABCS的最大值为534【点睛】关键点睛：本题考查三角函数图象、三角函数图象的平移

变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式等知识，解答本题的关键是根据图象性质由周期和特殊点先求出()gx的解析式，由余弦定理2222cosbcbcAa+−=可得5bc，得出三角形面积的最大值，属于中档题.19.已知向量2(cos,sin)mxax=，(3,cos)nx=−，函数3()2fxmn=

−.（1）若1a=，当[0,]2x时，求()fx的值域；（2）若()fx为偶函数，求方程3()4fx=−在区间[,]−上的解.【答案】（1）3[1,]2−；（2）75,1212x=.【解析】【分析】（1）将()fx化为()cos(2)6fxx=+，然后可得答案；

（2）由()fx为偶函数可求出0a=，然后可得答案.【详解】（1）233()3cossincoscos2sin2222afxxaxxxx=−−=−当1a=，31()cos2sin2cos(2)226fxxxx=−=+由73[0,],2[,],cos(2)[1,

]266662xxx++−所以()fx的值域为3[1,]2−（2）若()fx为偶函数，则()()fxfx−=恒成立即33cos2sin2cos2sin22222aaxxxx+=−成立，

整理得sin20,0axa==所以由33()cos224fxx==−得3cos22x=−又752[2,2],,1212xx−=20.已知正项数列na的前n项和为1,1,nSa=且满足141nnSS+=+．（1）求数列na的通项公式；（2）

当1in，1jn（,,ijn均为正整数）时，求ia和ja的所有可能的乘积ijaa之和.【答案】（1）14nna−=；（2）2(41)9n−.【解析】【分析】（1）由已知得114141(2)nnnnSSSSn+−=+=+，，两式相减得14(2

)nnana+=，求得11a=.由此得数列na是首项为1，公比为4的等比数列，根据等比数列的通项可求得答案；（2）由ia和ja的所有可能乘积24ijijaa+−=（1in，1jn），根据等比数列的求和公式

可得答案.【详解】解：（1）∵1141,41(2)nnnnSSSSn+−=+=+，两式相减得114,4(2)nnnnaaana++==，由2141SS=+得12141aaa+=+，又21211,4,4aaaa===.所以数列na是首项为1，公比为4的等比数列，所以14nna

−=.（2）由ia和ja的所有可能乘积24ijijaa+−=（1in，1jn）可构成下表11212213212212222232223123223323212223224,4,4,,44,4,4,,44,4,4,,44,4,4,,4nnnnnnnn+−+−+−+−+−+−+−+−

+−+−+−+−+−+−+−+−设上表第一行的和为1T，则11441143nnT−−==−所以21(144nTT=+++…＋14)n−＝24114(41)3149nnn−−−=−.【点睛】数列求和的常用方法：（1）公式法：即直

接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若na是等差数列，nb是等比数列，求1122nnababab++.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111nnnn=

−++，()1111222nnnn=−++，()()1111212122121nnnn=−−+−+等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加

法.21.已知函数()(1)lnfxxxaxa=++−.（1）当2a=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若[1,)x+时，()0fx，求实数a的取值范围.【答案】（1）440xy−−=；（2）2a−.【解析】【分析】（1）

先写出当2a=时，()fx解析式，再求导，根据导数的几何意义可得4k=切，再由点斜式写出切线的方程．（2）先求出()fx，在求出()fx，通过分两种情况2a−…，2a−，讨论()fx的正负，进而得()fx的增减性，推出()fx最小值的范围，进而判断()0fx…是否恒成立，即可得出

答案．【详解】解（1）当2a=时，()(1)ln22fxxxx=++−，1()ln2xfxxx+=++，(1)4f=，所以切线斜率4k=，又(1)0f=，所以切线方程为4(1)yx=−，即440xy−−=.（2）11()lnln1xfxxaxaxx+=++=+++，22111(

)xfxxxx−=−=.当[1,)x+时，()0fx，所以()fx在[1,)+上单调递增，所以()(1)2fxfa=+.①当20a+即2a−时，()0fx，所以()fx在[1,)+上单调递增，所以()(

1)0fxf=，满足题意.②当20a+即2a−时，必存在0(1,),x+当0[1,),()0xxfx，0(,),()0xxfx+，所以()fx在0[1,)x上单调递减，在0(,)x+上单调递增，所以min0

()()(1)0fxfxf==，所以()0fx不恒成立，所以2a−不满足题意.综上，a的取值范围为2a−.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点

、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22.已知函数()cosxfxexx=−，()(sin1)gxxx=−.（1）讨论()fx在区间(,0)2−上的单调性；（2）判断()()fxgx−在区间[,]22−上零点的个数，并给出证明.【答案】（1）

()fx在(,0)2−上单调递减；（2）有且仅有2个零点.证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性判断即可；（2）令()()()cossinxFxfxgxexxx=−=−，求出

函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可证明结论成立.【详解】（1）()cossin12cos()14xxxfxexexex=−−=+−，()2cos2sin44xxfxexex=+−+

2cos()2sin2xxexex=+=−.(,0)2x−，sin0x，()0fx，所以()fx在(,0)2−上单调递增，()(0)0fxf=，()fx在(,0)2−上单调递减.（2）()()fxgx−在区间[,]22−上有且仅有2

个零点.证明：令()()()cossinxFxfxgxexxx=−=−，所以()()()cossincossinxFxexxxxx=−−+，①当,02x−时，因为()()cossin0,cossin0xxxxx−−+，()()0,Fx

Fx在02−，单调递增，又()010,022FF=−=−.()Fx在02−，上有一个零点；②当0,4x时，cossin0,0xxxex，()cossinsinsinsin()0xxxF

xexxxexxxxex=−−=−恒成立.()Fx在04，上无零点；③当,42x时，0cossinxx，()()()cossincossin0xFxexxx

xx=−−+，()Fx在42，上单调递减；又420,022424FFe=−=−，()Fx在42，上必存在一个零点；综上，()()fxgx−在区间[,]22−上有且仅有2个零点.【点

睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()fx的定义域；求导函数()fx，由()0fx（或()0fx）解出相应的x的范围，对应的区间为()fx的增区间（或减区间）；（2）确定函数()fx的定义域；求导函数()

fx，解方程()0fx=，利用()0fx=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()fx的正负，由符号确定()fx在子区间上的单调性.