【文档说明】湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试 数学答案.pdf，共(4)页，501.341 KB，由管理员店铺上传

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永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第1页（共4页）永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号1

2345678答案DDACCABC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分．部分选对的得2分．题号9101112答案ABDACABC

ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．5214．3615．1416．6四、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由正弦定理可得：222BCACABACAB−−=，2221c

os22ACABBCAACAB+−==−，()0,A，23A=.（2）由余弦定理得：222222cos9BCACABACABAACABACAB=+−=++=，即()29ACABACAB+−=.22ACABACAB+（当且仅当ACAB=时取等号），(

)()()22223924ACABACABACABACABACAB+=+−+−=+，解得：23ACAB+（当且仅当ACAB=时取等号），ABC△周长323LACABBC=+++，ABC△周长的最大值为323+.18．解：（1）设

A，B，C分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，那么()()()1411229PABPBCPAC===，即()()()()()()()()114111229PAPBPBPCPAPC−=−==，解得()()()131423PAPBPC=

=={#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第2页（共4页）即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率

分别为13，14，23.（2）设D为“从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品”的事件，则()()()()()()()()2315111113436PDPDPAPBPC=−=−−−=−=，即从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验

，至少有一个一等品的概率是56.19．解：（1）因为在平行六面体1111ABCDABCD−中，点P在线段BC上，且满足BPPC=．设ABa=，ADb=，1AAc=，这三个向量不共面，,,abc构成空间的一个基底．所以()()111DPAPADABBPADAA=−=+−+()1122abb

cabc=+−+=−−．112DPabc=−−，22222111224DPabcabcabacbc=−−=++−−+1111441222212141122134222=++−−+=++−−+=

，13DP=．（2）由（1）知112DPabc=−−，13DP=，1cABa=+，()2114122172ABac==+++=，()11111112cos,73acabcABDPABDPABDP+−−==2211321222147321aabacacbcc−−+

−−===，直线1AB与1DP所成角的余弦值为2114．20．解：（1）因为//,1,3,3,====⊥ABCDABCDADBCAECD，所以311,3122DEAE−===−=，所以1DE=，又2DB=，213BE=+=，所以222DBBEDE=+，故DEBE⊥，

又DEAE⊥，,AEBE平面ABCE，AEBEE=，所以DE⊥平面ABCE，因为AC平面ABCE，所以DEAC⊥，在等腰梯形ABCD中，3,246,3ADACDC==+==，所以222=ADACCD+，所以ADAC⊥，又//ADBE，所以AC

BE⊥，{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第3页（共4页）因为,DEBE平

面DBE，DEBEE=，所以AC⊥平面DBE，因为AC平面DAC，所以平面DBE⊥平面DAC；（2）由（1）DE⊥平面ABCE，AEEC⊥，以点E为原点，,,EAECED为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,2,1

,0,0,0,1,0,2,0ABDC，所以()()()0,1,0,2,1,0,0,2,1ABBCDC==−=−，设平面DBC的法向量为(),,nxyz=，则00nBCnDC==，所以2020xyyz−+=−=，令2x=，则2,4yz==，所以()2,2,

4n=为平面DBC的一个法向量，所以点A到平面DBC的距离为222112416ABndn===++，21．解：（1）取AC中点D，连接PD，则有PDAC⊥，又因为面PAC⊥面ABC，PD面PAC，面PAC面ABCAC=

，所以PD⊥面ABC，又BCAC⊥，以C为原点，,CACB分别为,xy轴建立空间直角坐标系，则有：()2,0,0A，()0,3,0B，()0,0,0C，()1,0,3P，13,0,22E所以33,0,22AE=−，()1,3,3PB=−−，所

以330022AEPB=+−=，所以AEPB⊥．（2）因为BC∥面AEF，BC面PBC，面AEF面PBCEF=，所以EFBC∥．又因为点E是线段PC的中点，所以点F为线段PB的中点，133,,222F，333,,222AF=−，设AQA

F=，则有3332,,222CQCAAQ=+=−，且()2,0,0CA=，()0,3,0CB=．设()1111,,nxyz=为面ACQ的法向量，则有1111112033320222nCAxnCQxyz===−++=，令1y=，解得()10

,1,3n=−．{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第4页（共4页）同理，设()2222,,nxyz=为面BCQ的法向量，则有2222223033320222nCBy

nCQxyz===−++=，令232x=−，解得233,0,222n=−−．由题意有21212212332273cos,1442364nnnnnn−−===−=−+，解得640−=，所以23=．所

以2AQQF=．22．解：（1）证明：在正方形ABCD中，//ADBC，因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以//AD平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl=，所以//ADl，因为在四棱锥PABCD−

中，底面ABCD是正方形，所以,,ADDClDC⊥⊥且PD⊥平面ABCD，所以,,ADPDlPD⊥⊥因为CDPDD=，所以l⊥平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz−，因为1PDAD==，则有(

0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，设(,0,1)Qm，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DCDQmPB===−，设平面QCD的法向量为(,,)nxyz=，则00DCnDQn==，即00ymxz=+=，令1x=，

则zm=−，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm=−，则210cos,31nPBmnPBnPBm++==+设PB与平面QCD所成角为，则2|1|sin|cos,|31mnPBm+==+2231

231mmm++=+223232||361111313133mmmm=+++=++，当且仅当1m=时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.{#{QQABIYaQogCoQAJAAR

hCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}