【文档说明】湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试 数学答案.pdf，共(4)页，501.341 KB，由小赞的店铺上传

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永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第1页（共4页）永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号

12345678答案DDACCABC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分．部分选对的得2分．题号9101112答案A

BDACABCABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．5214．3615．1416．6四、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由正弦定理可得：2

22BCACABACAB−−=，2221cos22ACABBCAACAB+−==−，()0,A，23A=.（2）由余弦定理得：222222cos9BCACABACABAACABACAB=+−=++=，即()29ACABACAB+−=.22

ACABACAB+（当且仅当ACAB=时取等号），()()()22223924ACABACABACABACABACAB+=+−+−=+，解得：23ACAB+（当且仅当ACAB=时取等号）

，ABC△周长323LACABBC=+++，ABC△周长的最大值为323+.18．解：（1）设A，B，C分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，那么()()()1411229PAB

PBCPAC===，即()()()()()()()()114111229PAPBPBPCPAPC−=−==，解得()()()131423PAPBPC==={#{QQABIYaQogCoQAJAA

RhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第2页（共4页）即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为13，14，23.（2）设D为“从甲

、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品”的事件，则()()()()()()()()2315111113436PDPDPAPBPC=−=−−−=−=，即从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率是56.19．解：（1）因为在平行

六面体1111ABCDABCD−中，点P在线段BC上，且满足BPPC=．设ABa=，ADb=，1AAc=，这三个向量不共面，,,abc构成空间的一个基底．所以()()111DPAPADABBPADAA=−=+−+()1122abbcabc=+−+

=−−．112DPabc=−−，22222111224DPabcabcabacbc=−−=++−−+1111441222212141122134222=++−−+=++−−+=，13DP=．（2）由（1）知112DPabc

=−−，13DP=，1cABa=+，()2114122172ABac==+++=，()11111112cos,73acabcABDPABDPABDP+−−==2211321222147321aabacacbcc−−+−−===，直线1AB与1DP所成角的余

弦值为2114．20．解：（1）因为//,1,3,3,====⊥ABCDABCDADBCAECD，所以311,3122DEAE−===−=，所以1DE=，又2DB=，213BE=+=，所以222DB

BEDE=+，故DEBE⊥，又DEAE⊥，,AEBE平面ABCE，AEBEE=，所以DE⊥平面ABCE，因为AC平面ABCE，所以DEAC⊥，在等腰梯形ABCD中，3,246,3ADACDC==+==，所以222=AD

ACCD+，所以ADAC⊥，又//ADBE，所以ACBE⊥，{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第3页（共4页）因为,DEBE平

面DBE，DEBEE=，所以AC⊥平面DBE，因为AC平面DAC，所以平面DBE⊥平面DAC；（2）由（1）DE⊥平面ABCE，AEEC⊥，以点E为原点，,,EAECED为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0

,2,1,0,0,0,1,0,2,0ABDC，所以()()()0,1,0,2,1,0,0,2,1ABBCDC==−=−，设平面DBC的法向量为(),,nxyz=，则00nBCnDC==，所以2020xyyz−+=

−=，令2x=，则2,4yz==，所以()2,2,4n=为平面DBC的一个法向量，所以点A到平面DBC的距离为222112416ABndn===++，21．解：（1）取AC中点D，连接PD，则有

PDAC⊥，又因为面PAC⊥面ABC，PD面PAC，面PAC面ABCAC=，所以PD⊥面ABC，又BCAC⊥，以C为原点，,CACB分别为,xy轴建立空间直角坐标系，则有：()2,0,0A，()0,3,0B，()0,0,0C，()1,0,3P

，13,0,22E所以33,0,22AE=−，()1,3,3PB=−−，所以330022AEPB=+−=，所以AEPB⊥．（2）因为BC∥面AEF，BC面PBC，面AEF面PBCEF=，所以EFBC∥．又因为点E是线段PC的中点，所以点F

为线段PB的中点，133,,222F，333,,222AF=−，设AQAF=，则有3332,,222CQCAAQ=+=−，且()2,0,0CA=，()0,3,0CB=．设()1111,,

nxyz=为面ACQ的法向量，则有1111112033320222nCAxnCQxyz===−++=，令1y=，解得()10,1,3n=−．{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAA

AyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第4页（共4页）同理，设()2222,,nxyz=为面BCQ的法向量，则有2222223033320222nCBynCQxyz===−++=

，令232x=−，解得233,0,222n=−−．由题意有21212212332273cos,1442364nnnnnn−−===−=−+，解得640−=，所以23=．所以2AQQF=．22．解：（1）证明：在正方形ABC

D中，//ADBC，因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以//AD平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl=，所以//ADl，因为在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，所以,,ADDClDC⊥⊥且PD⊥平面ABCD，所以,,AD

PDlPD⊥⊥因为CDPDD=，所以l⊥平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz−，因为1PDAD==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，设(,0,1)Qm，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DCDQm

PB===−，设平面QCD的法向量为(,,)nxyz=，则00DCnDQn==，即00ymxz=+=，令1x=，则zm=−，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm=−，则210cos,31nPBmnPBn

PBm++==+设PB与平面QCD所成角为，则2|1|sin|cos,|31mnPBm+==+2231231mmm++=+223232||361111313133mmmm=+++=++，当且仅当1m=时取等号，

所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}