【文档说明】湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试 数学答案.pdf,共(4)页,501.341 KB,由管理员店铺上传
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永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第1页(共4页)永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷数学参考答案及评分标准一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DDACCABC二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分.部分选对的得2分.题号9101112答案ABDACABCABC三
、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.5214.3615.1416.6四、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:(1)由正弦定理可得:222BCACABACAB−−=,2221cos22ACA
BBCAACAB+−==−,()0,A,23A=.(2)由余弦定理得:222222cos9BCACABACABAACABACAB=+−=++=,即()29ACABACAB+−=.22ACABACAB+(当且仅当ACAB
=时取等号),()()()22223924ACABACABACABACABACAB+=+−+−=+,解得:23ACAB+(当且仅当ACAB=时取等号),ABC△周长323LACABBC=+++,ABC△周长的最大值为32
3+.18.解:(1)设A,B,C分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件,那么()()()1411229PABPBCPAC===,即()()()()()()()()114111229PAPBPBPCPAPC−=
−==,解得()()()131423PAPBPC==={#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第2页(共4页)即甲、
乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为13,14,23.(2)设D为“从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品”的事件,则()()()()()()()()2315111113436PDPDPAPBPC=−=−−−=−=,即从甲、乙、丙三
台机床加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率是56.19.解:(1)因为在平行六面体1111ABCDABCD−中,点P在线段BC上,且满足BPPC=.设ABa=,ADb=,1AAc=,这三个向量不共面,,,abc构成空间的一个基底.所以()()111DPAPADABBPA
DAA=−=+−+()1122abbcabc=+−+=−−.112DPabc=−−,22222111224DPabcabcabacbc=−−=++−−+1111441222212141122134222=++−−
+=++−−+=,13DP=.(2)由(1)知112DPabc=−−,13DP=,1cABa=+,()2114122172ABac==+++=,()11111112cos,73acabcABDPABDPABDP+−−==2211321222147321aabac
acbcc−−+−−===,直线1AB与1DP所成角的余弦值为2114.20.解:(1)因为//,1,3,3,====⊥ABCDABCDADBCAECD,所以311,3122DEAE−===−=,所以1DE=,又2DB=,2
13BE=+=,所以222DBBEDE=+,故DEBE⊥,又DEAE⊥,,AEBE平面ABCE,AEBEE=,所以DE⊥平面ABCE,因为AC平面ABCE,所以DEAC⊥,在等腰梯形ABCD中,3,246,3ADA
CDC==+==,所以222=ADACCD+,所以ADAC⊥,又//ADBE,所以ACBE⊥,{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第3页(共4页
)因为,DEBE平面DBE,DEBEE=,所以AC⊥平面DBE,因为AC平面DAC,所以平面DBE⊥平面DAC;(2)由(1)DE⊥平面ABCE,AEEC⊥,以点E为原点,,,EAECED为,,xyz轴的正方向,建
立空间直角坐标系,则()()()()2,0,0,2,1,0,0,0,1,0,2,0ABDC,所以()()()0,1,0,2,1,0,0,2,1ABBCDC==−=−,设平面DBC的法向量为(),,nxyz=,则00nBCnDC==,所以2020xyyz−
+=−=,令2x=,则2,4yz==,所以()2,2,4n=为平面DBC的一个法向量,所以点A到平面DBC的距离为222112416ABndn===++,21.解:(1)取AC中点D,连接PD,则有PDAC⊥,又因为面
PAC⊥面ABC,PD面PAC,面PAC面ABCAC=,所以PD⊥面ABC,又BCAC⊥,以C为原点,,CACB分别为,xy轴建立空间直角坐标系,则有:()2,0,0A,()0,3,0B,()0,0,0C,()1,0,3P,13,0,22E所以33,0,22
AE=−,()1,3,3PB=−−,所以330022AEPB=+−=,所以AEPB⊥.(2)因为BC∥面AEF,BC面PBC,面AEF面PBCEF=,所以EFBC∥.又因为点E是线段PC的中点,所以点F为线段P
B的中点,133,,222F,333,,222AF=−,设AQAF=,则有3332,,222CQCAAQ=+=−,且()2,0,0CA=,()0,3,0CB=.
设()1111,,nxyz=为面ACQ的法向量,则有1111112033320222nCAxnCQxyz===−++=,令1y=,解得()10,1,3n=−.{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQk
BCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷·数学答案第4页(共4页)同理,设()2222,,nxyz=为面BCQ的法向量,则有2222223033320222
nCBynCQxyz===−++=,令232x=−,解得233,0,222n=−−.由题意有21212212332273cos,1442364nnnnnn−−===−=−+
,解得640−=,所以23=.所以2AQQF=.22.解:(1)证明:在正方形ABCD中,//ADBC,因为AD平面PBC,BC平面PBC,所以//AD平面PBC,又因为AD平面PAD,平面PAD
平面PBCl=,所以//ADl,因为在四棱锥PABCD−中,底面ABCD是正方形,所以,,ADDClDC⊥⊥且PD⊥平面ABCD,所以,,ADPDlPD⊥⊥因为CDPDD=,所以l⊥平面PDC;(2)如图建立空间直角坐标系Dxyz
−,因为1PDAD==,则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB,设(,0,1)Qm,则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DCDQmPB===−,设平面QCD的法向量为(,,)nxyz=,则00DCnDQn=
=,即00ymxz=+=,令1x=,则zm=−,所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm=−,则210cos,31nPBmnPBnPBm++==+设PB与平面QCD所成角为,则2|1|sin|cos,|31mnPBm+==+2231231mmm+
+=+223232||361111313133mmmm=+++=++,当且仅当1m=时取等号,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAA
yAFABAA=}#}