【文档说明】湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试 数学.pdf，共(4)页，503.599 KB，由小赞的店铺上传

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永州一中2023年下期高二入学考试·数学第1页（共4页）永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷满分：150分考试时间：120分钟命题人：陈诗跃审题人：魏善元一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2|430Axxx=−+，|230Axx=−，则AB=A．3|32xx−−B．3|32xx−C．3|

12xxD．3|32xx2.已知平面⊥平面，则“直线m⊥平面”是“直线//m平面”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.在梯形ABCD中，π2ABC=，//ADBC，222B

CADAB===，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A．()52π+B．()42π+C．()522π+D．()32π+4.已知π,02−，且π2cos2sin4=+，则sin2

=A．34−B．34C．1−D．15．在ABC△中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设AMxAB=，ANyAC=（0,0xy），则4xy+的最小值是A．43B．103C．3D．26．已知三棱柱111ABCABC−的侧棱垂

直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB=，1AC=，60BAC=，则此球的表面积等于A．8πB．9πC．10πD．11π7．已知ABC△是边长为4的等边三角形，P为ABC△所在平面内一点，则()PAPBPC+的最小值为A．8−B．6−C．4−D．2−8．在

空间直角坐标系Oxyz−中，经过点()000,,Pxyz且一个法向量为(),,mabc=的平面的方程为()()()0000axxbyyczz−+−+−=，经过点P且一个方向向量为()(),,0nvv

=的直线l的方程为000xxyyzzv−−−==.阅读上面材料并解决下面问题：现给出平面的方程为35410xyz−++=，直线l的方程为354xyz==，则直线l到平面的距离为A.0B.22C.210D.1010{#{QQABIYaQogC

oQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试·数学第2页（共4页）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知复数1i1iz+=−，以下结论正确的是A．2021z是纯虚数B．i2z+=C．1zz=−D．在复平面内，复数izz+对应的点位于第三象限10．已知ABC△中的两个内角的正切值为方程2560xx−+=的两个根，最长的

边为3，则ABC△的A．最小角为π4B．最短边的中线长为29C．最长边上的高为2D．外接圆的半径为1011．下面四个结论正确的是A．已知向量()9,4,4a=−，()1,2,2b=，则a在b上的投影向量为()1,2,2B．

若对空间中任意一点O，有111632OPOAOBOC=++，则P，A，B，C四点共面C．已知,,abc是空间的一组基底，若mac=+，则,,abm也是空间的一组基底D．若直线l的方向向量为()1,0,3e=，平面的法向量22,0,3n=

−，则直线l⊥12．如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体1111ABCDABCD−的侧面11ADDA上的一个动点（含边界），P是棱1CC的中点，则下列结论正确的是A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为132B.若保持2PM=，则点M在侧面11ADDA内运

动路径的长度为π3C.三棱锥1BCMD−的体积最大值为13D.若点M在1AA上运动，则1D到直线PM的距离的最小值为33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．向量(,1,3)ax=，(1,,1)by=，(2,4,2)c=−，且ac⊥，//bc，则2ab+=___________．1

4．若1k，2k，，6k的方差为4，则()132k−，()232k−，，()632k−的方差为.15．若三个向量()2,3,2a=，()6,,7bm=，()0,5,1c=共面，则实数m的值为.16．在正方体11

11ABCDABCD−中，点P满足11111BPxBAyBCzBD=++，且1xyz++=，直线1BP与平面1ACD所成角为π3，若二面角1PADB−−的大小为，则tan的最大值是__________.{#{QQABIYaQogCoQA

JAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试·数学第3页（共4页）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题

满分10分）在ABC△中，已知222sinsinsinsinsinABCBC−−=.（1）求A；（2）若3BC=，求ABC△周长的最大值；18．（本小题满分12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零部件是一

等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率是14，乙机床加工的零部件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率是29.（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从

甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.19．（本小题满分12分）如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1160AADAABBAD===，2ABAD==，11AA=，点P为线段BC中点．（1）求

1DP；（2）求直线1AB与1DP所成角的余弦值．20．（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD中，//,1,3,3,ABCDABCDADBCAECD====⊥，沿AE把DEA△折起成四棱锥DABCE−，使得2DB=

.（1）求证：平面DBE⊥平面DAC；（2）求点A到平面DBC的距离.{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}永州一中2023年下期高二入学考试·数学第4页（共4页

）CBADP21．（本小题满分12分）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的一点，平面PAC⊥平面ABC，PAC△是边长为2的等边三角形，3BC=，E是PC的中点．（1）求证：AEPB⊥；（2）过直线AE与直线BC平行的平面交棱PB于点F，线段A

F上是否存在一点Q，使得二面角ACQB−−的正弦值为74？若存在，求AQQF的值；否则，说明理由．22．（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD−的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PDAD==

，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}