【文档说明】山东省日照市五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含答案.doc，共(12)页，812.500 KB，由小赞的店铺上传

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五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题2021.04考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标

号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列可作为数列1，

2，1，2，1，2，…的通项公式的是A．()1112nna−+−=B．()312nna+−=C．2sin2nna=−D．()2cos1nan=−−2．在等差数列na中，1a，5a是方程210160xx−+=的两根，则3a=A．3B．4C．

5D．63．函数的单调递减区间为A．[－1,1]B．(0,1]C．[1,+)D．(0,+)4．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是A．B．C．D．5．十九世纪下半叶集合论的创立，奠

定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉

中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n的最小值为（参

考数据：lg20.3010=，lg30.4771=）A．4B．5C．6D．76．已知()(1)lnfxfxx=+，e为自然对数的底数，则(e)f=A.1e+B.eC.2e+D.37．已知22nann=+，若数列na是递增数列，则实数的取值范围为A．4−B．6−C．60−D．

64−−8．设函数()sin1xxfxxeex−=+−−+，则满足()(32)2fxfx+−的x取值范围是A．(3,)+B．(1,)+C．(,3)−D．(,1)−二、多项选择题：本大题共4小

题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．甲工厂八年来某种产品年产量y与时间x（单位：年）的函数关系如图所示．现有下列四种说法正确的有A．前四年该产品产量增长速度

越来越快B．前四年该产品产量增长速度越来越慢C．第四年后该产品停止生产D．第四年后该产品年产量保持不变．10．数列na是首项为1的正项数列，123nnaa+=+，nS是数列na的前n项和，则下列结论正确的是A．313a=B．数列

3na+是等比数列C．43nan=−D．122nnSn+=−−11．对于数列na，若存在正整数k()2k，使得1kkaa−，1kkaa+，则称ka是数列na的“谷值”，k是数列na的“谷值点”，在数列na中，若98nann=+−，则数列na的“谷值点”为A．2B．3C

．5D．712．已知曲线22:20(12)nCxnxyn−+==，，.从点(10)P−，向曲线nC引斜率为(0)nnkk的切线nl，切点为(),nnnPxy.则下列结论正确的是A．数列nx的通项为1nnxn=+B．数列{}ny的通项为211nnnyn+=+C．当3n时，13521

11nnnxxxxxx−−+D．12sin1nnnnxxxy−+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数2()xfxxe=在点(1(1))f，处的切线斜率为________.14．我国古代数学家提出的“中

国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数

学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列na，那么此数列的项数为_________.15．已知数列na是首项为a，公差为1的等差数列

，数列nb满足1nnnaba+=.若对任意的*nN，都有5nbb成立，则实数a的取值范围是__________.16．已知0,a函数()1ln,axfxxeax+=+若()1,x+时，()0fx

恒成立，则实数a的最小值为__________.四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）在①123aa=，②22159aaa=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一种情况解答给分）已知等比数列na的各项均

为正数，且1261aa+=，________．（1）求数列na的通项公式；（2）设3lognnba=，求数列nb前n项和.18．（12分）设1x=与2x=−是函数32()2(0)fxaxbxxa=+−的两个极值点.（1

）试确定常数a和b的值；（2）设()()gxfx=，求曲线()ygx=在点(1,(1))g处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.19．（12分）nS为等差数列na的前n项和，且11a=，728S=．记lgnnba=，其中x表示不超过x的

最大整数，如0.90=，lg991=．（1）求1b，11b，101b；（2）求数列nb的前1000项和．20．（12分）在数列{}na中，10a=，1222nnnaa−=++*),(2nNn．（1）证明：数列22nn

a+为等差数列，并求数列{}na的通项公式；（2）已知数列nb的前n项和为nS，且数列nb满足+2nnba=，若不等式()212nnnS+−+对一切*nN恒成立，求的取值范围.21．（12分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地120ABCDAB=，米，80AD

=米，以ADBC，为直径的半圆1O和半圆2O（半圆在矩形ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，BCCDDA，，都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AEBF、修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中

EF，分别为ADBC，上的动点，EF//AB，且线段EF与线段AB在圆心1O和2O连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米.（1）若80EF=米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米?（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低.22

．（12分）已知23()2()23xxaafxexgxxex=+=+，，aR．（1）设曲线()yfx=在点(,())tft处的切线为l，若1a=−，求直线l斜率的取值范围；（2）设()()()rxgxfx=−

，①讨论()rx的极值点个数；②若()rx有3个极值点123xxx，，，（其中123xxx）证明：1223xxxx．五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试数学参考答案2021.04一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。答案BCBD,CABA二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9

．【答案】BD，10．【答案】．AB，11．【答案】AD，12．【答案】．ABD，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案】3e；14．【答案】135；15．【答案】()5,4−−；

16．【答案】e−；四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）解：（1）设等比数列na的公比为q，则0q．若选择条件①123aa=，则1212361aaaa=+=，即是：11

11361aaqaaq=+=解得11313aq==，……………..4分111111333nnnnaaq−−===；……………..6分若选择条件②22159aaa=，由题意得11222411619

aaqaqaq+==，解得113aq==，……………..4分因此，111111333nnnnaaq−−===；……………..6分（2）331loglog3nnnban===−，……………..8分所以()111nnbbnn+−=−++=−，所以，数列

nb是等差数列，首项为11b=−，设数列nb前n项和为nS，则()()()111222nnnbbnnnnS+−−+===−。……………..10分18．（12分）【答案】（1）()2322fxaxbx=+−，由题意可知：()()10,20ff=−=;3220,12420abab+−

=−−=11,32ab==解得.……………6分（2）'2()()2gxfxxx==+−,所以：'()21gxx=+，'(1)3g=，(1)0g=，…………….8分从而切线方程是03(1)yx−=−，……………10分在x轴上的截距是1，在y轴上的截距是3−；所以：三角形面积是：131322

=.……………….12分19．（12分）【解析】（1）设na的公差为d，74728Sa==，∴44a=，∴4113aad−==，∴1(1)naandn=+−=．……………2分∴11lglg10ba==

=，……………3分1111lglg111ba===，……………4分101101lglg1012ba===．……………5分（2）记nb的前n项和为nT，则1000121000Tbbb=+++121000lglglgaaa=+++．当0

lg1na≤时，129n=，，，；……………6分当1lg2na≤时，101199n=，，，；……………7分当2lg3na≤时，100101999n=，，，；……………8分当lg3na=时，1000n=．…………

…9分∴1000091902900311893T=+++=．……………12分20．（12分）解：（1）因为1-1-112222222224=12222nnnnnnnnnnnnnaaaaaa−−++++−==−−−=…2分所以数列22nna+是公差

为1，…3分首项为1221a+=的等差数列，…4分所以22nnan+=．…………………..5分所以数列na的通项公式为22nnan=−.…………………..6分（2）由题干知：+22nnnban==，令()1211222122nnnS

nn−=+++−+①则2nS=()()2-111222122+nnnnnn+++−+−②①-②得123122222nnnSn+−=+++−所以1(1)22nnSn+=−+∴()2112(1

)22nnnnSn++−+=++，…….10分若n为偶数，则1(1)22nn+++，∴26；若n为奇数，则1(1)22nn+−++，∴10−，∴10−.综上，1026−.…………….

12分21．（12分）【答案】（1）8004800200033−−；（2）当1AOE为3时，修建费用最低.(1)如图，设直线EF与矩形ABCD交于MN，两点，连12OEOF，，因为80EF=米，则20ME=米，1203OM=米．………

..2分梯形12OOFE的面积为()112080203200032+=平方米，………..3分矩形12AOOB的面积为120404800=平方米，由16AOE=，得扇形1OAE和扇形2OFB的面积均为：14001600263=平方

米，故阴影部分面积为8004800200033−−平方米．………..6分(2)设1,0,2AOE=，则40AEBF==，所以120240sin12080sinEF=−=−，修建费用()()()2008040012080sin1600032sinf=+−

=+−，所以()()1600012cosf=−，令()0f=,得3=，……….10分当变化时,()(),ff的变化情况如下表：0,33,32()f-0+()f极小值由

上表可得当3=时，即13AOE=，()f有极小值,也为最小值．故当1AOE为3时,修建费用最低．…………….12分22．（12分）（1）解：当1a=−时，()2122xfxex=−，'()2xkfxex==−，''()21x

fxe=−，又1ln2x时，''()0fx，1ln2x时，''()0fx，即是：'()fx在1(ln)2−，单调递减，在1(ln+)2，单调递增，所以：'11(ln)1ln=1+ln222kf=−，即斜率的取值范

围是[1+ln2)+，；……………………………..4分（2）()()()rxgxfx=−32(2)()32xxxxea=−+−，所以：'()(1)()xrxxeax=−+，'(0)0r，即：0x=不是'()0rx=的零点。()()'1(

0)xerxxxaxx=−+，()rx的极值点的个数即为函数'()rx的变号零点个数，令()xemxx=，()()'21xxemxx−=，故()mx在(01)，上单调递减，(1+)，上单调递增，在(,0)−上单调递减，且当x＜0时，m

（x）＜0．即()()),0,xemxex=−+，根据ya=−与()ymx=的交点个数可得：1)当0a时，()rx有2个极值点，2)当0ea−时，()rx只有1个极值点，3)当ae−时，()rx有3个极值点．…………8分②证明：因为()rx有3个极值点x1，x

2，x3（其中x1＜x2＜x3），此时，ae−，x1，x2，x3的位置如右图所示：所以11+=0xeax，33+=0xeax，且x2＝1，即得3113xxeexx=，要证1223xxxx，即131xx，由3113xxeexx=，得331131xxxxxeexe−==，设3

1xkx=，k＞1，则31xxek−=，所以x3﹣x1＝lnk，联立3131xxlnkxkx−==，得1311lnkxkklnkxk=−=−，，，所以()()21321klnkxxk=−，所以要证x1x3＜1，只需()()2211klnkk−＜，k＞1，……………….

10分则有()221()klnkk−＜，即11klnkkkk−=−＜，则需证明10lnkkk−+＜．令kt=，t＞1，即需证明()210htlnttt=−+＜．因为()()222221212110ttthttttt−−−+−=−−==＜恒成立，所以h（t）在t∈（1，+∞）上是单

调递减函数，则有()()111101hthln=−+=＜，即()210htlnttt=−+＜成立，所以x1x3＜1，即1223xxxx得以证明．………12分