【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题（答案解析）.docx，共(14)页，1.020 MB，由envi的店铺上传

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雅礼教育集团2022年高二上学期入学考试试卷数学时量：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数1iz=+（i是虚数单位），则221zz+=−（）A．22i+B．22i−C．2i

D．2i−【答案】B【分析】把1zi=+代入221zz+−，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】解：1zi=+，2222(1)222(22)()22111ziiiiiziii+++++−====−−+−−．故选：B．2．已知集合24

0Axx=−，20Bxxa=+，若ABB=，则实数a的取值范围是（）A．2a−B．2a−C．4a−D．4a−【答案】D【分析】首先分别解出A，B集合，然后画数轴分析即可求解【解析】∵240Axx=−，由2

40x−解得22x−，又∵20Bxxa=+，由20xa+解得2ax−，∵ABB=∴AB，画数轴可知22a−∴4a−故选：D．3．四棱锥P−ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为

32的正方形，若四棱锥P−ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为（）A．36B．64C．100D．144【答案】C【分析】先根据题意求出P到平面ABCD的距离的最大值，在RtOMC中利用勾股定理即可求出球O的半径R，再利用球的表面积公式即可求出结果．【解析】解：如图所示：，

设底面正方形ABCD的对角线交点为M，则PM⊥面ABCD，球O的球心O在PM上，设球O的半径为R，ABCD是边长为32的正方形，若四棱锥PABCD−体积的最大值为54，点P到平面ABCD的距离的最大值为54393232

=，即9PM=，在RtOMC中：OCR=，32232CM==，9OMPMPOR=−=−，222(9)3RR=−+，解得：5R=，所以球O的表面积为24100R=．故选：C．4．如图，在大小为45°的二面角A−EF−D中

，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．3B．2C．1D．32−【答案】D【分析】由DBDEEFFB=++，利用数量积运算性质展开即可得出．【解析】解：四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，0DEEFEFFB==，又大小为45的二面角AEFD−

−中，211cos(18045)2DEFB=−=−．DBDEEFFB=++，222222232DBDEEFFBDEEFDEFBEFFB=+++++=−，||32DB=−．故选：D．5．将曲线1C：2cos26yx

=−上的点向右平移6个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到曲线2C，则2C的方程为（）A．2sin4yx=B．2sin43yx=−C．2sinyx=D．2sin3yx=−【答案】A【分析】利用三角函数

关系式的平移变换和伸缩变换求解即可．【解析】解：曲线1C：2cos26yx=−上的点向右平移6个单位长度，得到2cos22cos22sin2662yxxx=−−=−=再将各点横坐标缩短为原来的12

，纵坐标不变，得到曲线2C的方程为2sin4yx=．故选：A．6．若定义在R上的奇函数()fx在(),0−上单调递减，且()20f=，则满足()10xfx−的x的取值范围是（）A．)1,13,−+B．3,1

0,1−−C．)1,01,−+D．1,01,3−【答案】D【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．【解析】解：定义在R的奇函数()fx在(,0)−单调递减，且f（2）0=，()fx的大致图象如图：()fx在(0,)+上

单调递减，且(2)0f−=；故(1)0f−；当0x=时，不等式(1)0xfx−…成立，当1x=时，不等式(1)0xfx−…成立，当12x−=或12x−=−时，即3x=或1x=−时，不等式(1)0xfx−…成立，当0x时，不等式(1)0xfx−…等价为(1)0fx−…，

此时0012xx−„，此时13x„，当0x时，不等式(1)0xfx−…等价为(1)0fx−„，即0210xx−−„，得10x−„，综上10x−剟或13x剟，即实数x的取值范围是[1−，0][1，3]，故选

：D．7．已知l，b表示不同的直线，，表示不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l⊥，bl⊥，则b∥B．若l，b，l∥，b∥，则∥C．若l∥，b⊥，lb∥，则⊥D．若b=，l，lb⊥，则⊥【答案】C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置

关系；由两平面平行的定义；由直线与平面垂直的判定；由平面与平面垂直的性质分析可得出结论．【解析】解：若l⊥，bl⊥，则b∥或b，故A错误；若l，b，l∥，b∥，则∥或⊥，故B错误；若l∥，b⊥，lb∥，则⊥

，故C正确；若b=，l，lb⊥，则⊥或，相交，不能确定故D错误．故选：C．8．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词

最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下

面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）A．13B．12C．23D．16【答案】A【分析】利用列举法求

出基本事件有6个，算盘表示的数为质数包含的基本事件有2个，由此能求出算盘表示的数为质数的概率．【解析】解：从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，基本事件有：7，16，25，52，61，70，共有6个，算盘表示的数为质数包含的基本事件有：7，61

，共2个，算盘表示的数为质数的概率是2163P==．故选：A．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得０分．）9．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况

，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在)50,60元的学生有60人，则下列说法正确的是（）A．样本中支出在)50,60元的频率为0.03B．样本中支出不少于40元的人数有132C．n的值为200D．若该校有2000名学生，则

一定有600人支出在)50,60元【答案】BC【分析】在A中，样本中支出在[50，60)元的频率为0.3；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：0.03660601320.03+=；在C中，602000.3n==；D．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，

60)元．【解析】解：由频率分布直方图得：在A中，样本中支出在[50，60)元的频率为：1(0.010.0240.036)100.3−++=，故A错误；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：0.03660601320.03+=，故B正确；在C中，602000.3n==，故n的值为200

，故C正确；D．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，60)元，故D错误．故选：BC．10．下列说法正确的是（）A．若事件A与B互斥，则AB是必然事件B.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、

《红楼梦》是我国四大名著．现有这四大名著各一本，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E=“甲取到《红楼梦》”，事件F=“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A=“向

上的点数不大于5”，事件B=“向上的点数为质数”，则BAD．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有2个基本事件【答案】BCD【解析】对于A，事件A与B互斥时，AB不一定是必然事件，故

A不正确；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥不对立事,故B正确；件，B正确；对于C，事件A={1，2，3，4，

5}，事件B={2,3,5}，所以B包含于A，C正确；对于D，基本事件为{正品，次品}，有两个，D正确故选：BCD．11．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．10

xy−+=B．30xy+−=C．20xy−=D．10xy−−=【答案】ABC【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．【解析】解：当直线经过原点时，斜率为20210k−==−，所求的直线方程为2yx=，即20xy−=；当直线不过原点时，设所求的直线方

程为xyk=，把点(1,2)A代入可得12k−=，或12k+=，求得1k=−，或3k=，故所求的直线方程为10xy−+=，或30xy+−=；综上知，所求的直线方程为20xy−=、10xy−+=，或30xy+

−=．故选：ABC．12．对于函数()fx和()gx，设()0xfx=，()0xgx=，若存在，，使得1−，则称()fx与()gx互为“零点相邻函数”．若函数()12xfxex−=+−与()21gxxax=−+互为“零点相邻函数”，则实数的

取值可以是（）A．1B．2C．3D．4【答案】BCD【分析】首先确定函数()fx的零点，然后结合新定义的知识得到关于a的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数a的取值范围即可．【解析】解：函数1()2xfxex−=+−是R上的单调

递增函数，且f（1）0=，据此可知1=，结合“零点相邻函数“的定义可得11−，则02，据此可知函数()21gxxax=−+在区间()0,2上存在零点，即方程201xax=−+在区间()0,2上存在实数根，整理可得：1axx=+，∵12xx+当且仅当1xx

=，即1x=时取等号∴2a故：选BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数()2fxx=的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是___

_____．【答案】4【分析】由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．【解析】解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离

最短，而yx=与2yx=的两个交点的坐标是(2，2)(2−，2)−，根据两点之间的距离公式得到22||(22)(22)164PQ=+==，另解：设直线ykx=，联立曲线方程，可得2xk=，可得2(Pk，2)kk，2(Qk−，2)

kk−，可得22284482644PQkkkkk=+=+=…．当1k=时，取得最小值4．14．在R上定义运算：()1xyxy=−，若不等式()()1xaxa−+对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．【答案】13

22a−【分析】利用定义的运算建立函数关系式，解决恒成立问题转化成二次函数的图象恒在x轴上方，由△0，结合二次不等式的解法可得所求范围．【解析】解：不等式()()1xaxa−+对任意实数x恒成立，即为()(1)1xaxa−−−，化简得2

210xxaa−−++在R上恒成立，则△0，即214(1)0aa−−++，即有24430aa−−，即(23)(21)0aa−+，解得1322a−，15．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，22sin3BAC=，

32AB=，3AD=，则BD的长为________．【答案】3【分析】由BACBADDAC=+，90DAC=，得到90BACBAD=+，代入并利用诱导公式化简sinBAC，求出cosBAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cosBAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．

【解析】解：ADAC⊥，90DAC=，90BACBADDACBAD=+=+，22sinsin(90)cos3BACBADBAD=+==，在ABD中，32AB=，3AD=，根据余弦定理得：2222cos18

9243BDABADABADBAD=+−=+−=，则3BD=．16．关于函数()4sin23fxx=+（xR），有下列命题：①由()()120fxfx==，可得12xx−必是的整数倍；②若1x，2,612x−，且()11226fxfxx

=++，则12xx；③函数()yfx=的图象关于点,06−对称；④函数()yfx=−的单调递增区间可由不等式222232kxk−−++（kZ）求得．其中正确命题的序号是________．（注：把你认为正确的命题的序号都

填上）【答案】②③【分析】对于①和③通过利用三角函数的函数值等于0分析变量1x和2x的取值情况，从而判断命题的真假；对于④，直接利用求复合函数单调性的方法加以判断；②的判断稍微困难，分析得到[6−，]12为()fx的第一个14周期，利用周期性加以变形，得到112()2sin(2)3fx

x=+，然后利用11111222sin(22)2sin(2)cos(2)sin(22)3333xxxxxx++=++++，结合单调性即可得到结论．【解析】解：对于①．令23xk+=，得到(26kxk=−是整数），由12()()0fxf

x==，可得12xx−必是2的整数倍，故①错误；对于②．()4sin(2)3fxx=+，求解得()06f−=，()112f=，周期T=．则[6−，]12为()fx的第一个14周期（此周期内()fx单调增大于0)．设1x，2x的取值区间为D，112()

2sin(2)3fxx=+12122()sin(22)63fxxxx++=++由于1cos(2)3x+在D中取值范围为(0,1)，得11111222sin(22)2sin(2)cos(2)sin(22)3333xxxx

xx++=++++即111222sin(22)sin(22)33xxxx++++又，在D中()fx性质如上述，由单调性有12xx．故②正确；对于③．令23xk+=，得到(26kxk=−是整数

），当0k=时，得到6x=−，所以函数()yfx=的图象关于点(6−，0)对称．故③正确；对于④．函数()4sin(2)3yfxx=−=−+，若求其增区间，只需让23x−+在正弦函数的减区间内即可，故④不正

确．所以正确的命题的序号是②③．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）

直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．【分析】（1）要证直线//EF平面PCD，只需证明//EFPD，EF不在平面PCD中，PD平面PCD即可．（2）连接BD，证明BFAD⊥．说明平面PA

D平面ABCDAD=，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．【解析】证明：（1）在PAD中，E，F分别为AP，AD的中点，//EFPD．又EF不在平面PCD中，PD平面PCD直线//EF平面PCD．（2）连接BD．在ABD中，ABAD=，60BAD

=．即两底角相等并且等于60，ABD为正三角形．F是AD的中点，BFAD⊥．平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，BF⊥平面PAD．又BF平面EBF，平面BEF⊥平

面PAD．18．（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者1A、2A、3A通晓日语，1B、2B、3B通晓俄语，1C、2C通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（1）求1A被选中的概率；（

2）求1B和1C不全被选中的概率．【分析】（1）先用列举法，求出从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有一切可能的结果对应的基本事件总个数，再列出1A恰被选中这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解．（2）我们可利用对立事件的减法公式

进行求解，即求出“1B，1C不全被选中”的对立事件“1B，1C全被选中”的概率，然后代入对立事件概率减法公式，即可得到结果．【解析】解：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空

间1{(A=，1B，1)C，1(A，1B，2)C，1(A，2B，1)C，1(A，2B，2)C，1(A，3B，1)C，1(A，3B，2)C，2(A，1B，1)C，2(A，1B，2)C，2(A，2B，1)C，2(A，2B，2)C，2(A，3B，1)C，2(A，3B，2)C，3(A，1B，1)C，3(

A，1B，2)C，3(A，2B，1)C，3(A，2B，2)C，3(A，3B，1)C，3(A，3B，2)}C由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“1A恰被选中”这一事件，

则1{(MA=，1B，1)C，1(A，1B，2)C，1(A，2B，1)C，1(A，2B，2)C，1(A，3B，1)C，1(A，3B，2)}C事件M由6个基本事件组成，因而61()183PM==．（2）用N表示“1B

，1C不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“1B，1C全被选中”这一事件，由于1{(NA=，1B，1)C，2(A，1B，1)C，3(A，1B，1)}C，事件N有3个基本事件组成，所以31()186PN==，由对立事件的概率公式得15(

)1()166PNPN=−=−=．19．（本小题满分12分）已知两点A（1−，2），B（m，3），求：（1）直线AB的斜率k；（2）求直线AB的方程；（3）已知实数31,313m−−−，求直线AB的倾斜角的范围．【分析

】（1）根据斜率公式计算即可，（2）当1m=−时，直线的斜率不存在，写出直线的方程；当1m−时，由两点式求直线的方程．（3）已知实数3[13m−−，31]−，利用不等式的性质求出斜率的范围，再利用正切函数的单调性求出倾斜角的范围．【解析】解：（1）当1m=−时，直线AB的斜率不

存在；当1m−时，11km=+．（2）当1m=−时，AB的方程为1x=−，当1m−时，AB的方程为12(1)1yxm−=++．（3）①当1m=−时，2=；②当1m−时，1(1km=−+，33][3−，)+，[6，)(22，2]3．综合①②，知直线AB的倾斜角[

6，2]3．20．（本小题满分12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sinsin2ACabA+=．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且1c=，求△ABC面积的取值范围．【分析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正

弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得2211aaa+−+且2211aaa+−+，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解析】解：（1）sinsin

2ACabA+=，即为sincossin22BBaabA−==，可得sincossinsin2sincossin222BBBABAA==，sin0A，cos2sincos222BBB=，若cos02B=，可得(21)Bk=+，kZ不成立，1sin22B=

，由0B，可得3B=；（2）若ABC为锐角三角形，且1c=，由余弦定理可得22121cos13baaaa=+−=−+，由三角形ABC为锐角三角形，可得2211aaa+−+且2211aaa+−+，且2211aaa+−+，解得12

2a，可得ABC面积133sin(2348Saa==，3)2．21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面P

DC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点且，DAmPQ=（0m），求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【分析】（1）过P在平面PAD内作直线//lAD，推得l为平面PAD和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；（2）以D为坐标原点，直线DA，DC，

DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz−，设(Qm，0，1)，运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式，以及基本不等式可得所求最大值．【解析】解：（1）证明：过P在平面PAD

内作直线//lAD，由//ADBC，可得//lBC，即l为平面PAD和平面PBC的交线，PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC⊥，又BCCD⊥，CDPDD=，BC⊥平面PCD，设平面PCD中有任一直线l，则BC⊥直线l，//lBC，l

⊥直线l，由线面垂直的定义得l⊥平面PCD；（2）如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz−则(0D，0，0)，(1A，0，0)，(0C，1，0)，(0P，0，1)，(1B，1，0)，设(Qm，0，1)，(DQm=，0，1)，(1

PB=，1，1)−，(0DC=，1，0)，设平面QCD的法向量为(na=，b，)c，则00nDCnDQ==，00bamc=+=，取1a=−，可得(1n=−，0，)m，cosn，21||||31nPBmPBnPBm−−=

=+，PB与平面QCD所成角的正弦值为222|1|3123131mmmmm+++=++2323261131323mm=++=+„，当且仅当1m=取等号，PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63．22．（本小题满分12分）已知二

次函数()21fxaxbx=++（a、bR，0a），设方程()fxx=的两个实数根为1x和2x．（1）如果1224xx，设二次函数()fx的对称轴为0xx=，求证：01x−；（2）如果12x，212xx−=，求

b的取值范围．【分析】（1）有1224xx转化为()()0gxfxx=−=有两根：一根在2与4之间，另一根在2的左边，利用一元二次方程根的分布可证．（2）先有0a，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况来讨论．再利用两根之和与两根之积和21||2x

x−=来求b的取值范围．【解析】解：（1）设2()()(1)1gxfxxaxbx=−=+−+，0a，由条件1224xx，得g（2）0，g（4）0．即421016430abab+−+−由可行域可得2ba，012bxa=−−．（2）由2()(1)10gxaxbx=+−

+=，知1210xxa=，故1x与2x同号．①若102x，则212xx−=（负根舍去），2122xx=+．(2)0(4)0gg，即42101164304abbab+−+−；②若120x−，则2122xx

=−+−（正根舍去），(2)0(4)0gg−−，即42307164504abbab−+−+．综上，b的取值范围为14b或74b．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.c

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