【文档说明】西藏自治区拉萨市拉萨中学2021届高三第一次月考数学（文）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.489 MB，由小赞的店铺上传

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文科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1.已知复数z满足()12izi−=+，则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】()12izi−=+，()()()

()1i1i2+i1iz−+=+，13213i,i,22zz=+=+13i,22zz=−的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22−，z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.2.设集合236Mxx=，2,4,6,8N=，则MN=（）A.2,4B.

4,6C.2,6D.2,4,6【答案】A【解析】【分析】解不等式化简集合()6,6M=−，再进行交集运算，即可得答案；【详解】()6,6M=−，故2,4MN=，故选：A.【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.正项等差数列

na的前n和为nS，已知2375150aaa+−+=，则9S=（）A.35B.36C.45D.54【答案】C【解析】【分析】由等差数列na通项公式得2375150aaa+−+=，求出5a，再利用等差数列前n项和公式能求出9S.【详解】正项等

差数列na的前n项和nS，2375150aaa+−+=，2552150aa−−=，解得55a=或53a=−（舍），()91959995452Saaa=+===，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公

式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2pqmnraaaaa+=+=（2pqmnr+=+=）与前n项和的关系.4.已知函数()fx为奇函数，且当x>0时，()fx＝x2＋1x，则(1)f−等于（）A－2B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析

】首先根据解析式求(1)f的值，结合奇函数有()()fxfx−=−即可求得(1)f−【详解】∵x>0时，()fx＝x2＋1x∴(1)f＝1＋1＝2又()fx为奇函数∴(1)(1)2ff−=−=−故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性，结合解析式及函数的奇偶性，求目标函数值5.已知命

题:,1lgpxRxx−，命题1:(0,),sin2sinqxxx+，则下列判断正确的是（）A.pq是假命题B.pq是真命题C.()pq是假命题D.()pq是真命题【答案】D【解析】试题分析：11lgxxx=−时，所以命题

:,1lgpxRxx−为真；11(0,),sin0,sin2sin2sinsinxxxxxx+=，当且仅当sin1x=时取等号，所以命题1:(0,),sin2sinqxxx+为假；因此pq是真命题，pq是假命题，()pq是真命题

，()pq是真命题，选D,考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即

可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.6.已知向量a、b的夹角为60，2a=，1b=，则ab−=vv（）A.5B.3C.23D.7【答案】

B【解析】【分析】利用平面向量数量积和定义计算出()2222ababaabb−=−=−+rrrrrrrr，可得出结果.【详解】向量a、b的夹角为60，2a=，1b=，则()22222122221132ababaabb

−=−=−+=−+=rrrrrrrr．故选：B．【点睛】本题考查利用平面向量的数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将模进行平方，利用平面向量数量积的定义和运算律进行计算，考查计算能力，属于中等题.7.已知函数()()sinfxAx=+（其中A，，为常数，且0

A，0，2）的部分图象如图所示，若()32f=，则sin26+的值为（）A.34−B.18−C.18D.13【答案】B【解析】【分析】根据图象可得2A=，1=，6=−，进而得到()2sin6fxx=−

，由()32f=，结合诱导公式，即可得答案；【详解】由函数图象可知：2A=，函数的最小正周期：724263T=−=，则21T==，当23x=时，21232xk+=+=+，()26kk=−Z，令0k=可得

6=−，函数的解析式：()2sin6fxx=−.由()32f=可得：32sin62−=，3sin64−=，则：291sin2sin2cos212sin12

63236168+=−+=−=−−=−=−.故选：B.【点睛】本题考查根据函数的图象求解析式及诱导公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8.已知直线a

，b分别在两个不同的平面，内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性

成立；当“平面α和平面β相交”，则“直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.9.已知定义域为R的奇函数()yfx=的导函数为()yfx=，当0x时，()()0fxfxx+，若1133af=，()33bf=−−，11lnl

n33cf=，则a，b，c的大小关系正确的是()A.abcB.bcaC.acbD.cab【答案】B【解析】【分析】根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x

）+()fxx<0．当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＜0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＞0，判断单调性即可证明a，b，c的大小．【详解】定义域为R的奇函数y=f（x），设F（x）=xf（x），∴F（x）为R上的偶函数，∴F′（x）

=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+()fxx<0．∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）<0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）>0，即F（x）在（0，+∞）单调递减，在（﹣∞，0）单调递增．F（13）=a=13f（

13）=F（ln3e），F（﹣3）=b=﹣3f（﹣3）=F（3），F（ln13）=c=（ln13）f（ln13）=F（ln3），∵ln3e＜ln3＜3，∴F（ln3e）>F（ln3）>F（3）．即b＜c＜a，故选B．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含

有()()fxfx+，就构造()()xgxefx=,（2）若()()fxfx−，就构造()()xfxgxe=，（3）()()2fxfx+，就构造()()2xgxefx=，（4）()()2fxfx−就构造()()2xfxgxe=，等便于给出导数时联想构造函数.10.设O

为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线()220ypxp=上任意一点，M是线段PF上的点，且2PMMF=,则直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D.1【答案】C【解析】试题分析：设200,)2yPyp（，由题意(,0)2pF，显然00y时不符合题意，故0

0y，则2001112()(,)3333633yypOMOFFMOFFPOFOPOFOPOFp=+=+=+−=+=+，可得：020002223222263OMykypyppyp===++，当且仅当22002,2ypyp==时取等号，故选C．考点：1．抛

物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件||2||PMMF=，利用向量的运算可知200(,)633yypMp+，

写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．11.已知()fx是定义是R上的奇函数，满足3322fxfx−+=+，当30,2x时，()()2ln1fxxx=−+，则函数()fx在区间

0,6上的零点个数是（）A.3B.5C.7D.9【答案】D【解析】【分析】根据()fx是定义是R上的奇函数，满足3322fxfx−+=+，可得函数()fx的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得33101022fffff−=−====（）（）（）（）（），利用周

期性可得函数()fx在区间0,6上的零点个数．【详解】∵()fx是定义是R上的奇函数，满足3322fxfx−+=+，33332222fxfx−++=++（）（），可得3fxfx（）（）+=，函数()fx的周期为3，∵当30,2x时，()()2ln1

fxxx=−+，令0fx=（），则211xx−+=，解得0x=或1，又∵函数()fx是定义域为R的奇函数，∴在区间33[]22−，上，有11000fff−=−==（）（），（）．由3322fxfx−+=+，取0x=，得33

22ff−=（）（），得33022ff=−=（）（），∴33101022fffff−=−====（）（）（）（）（）．又∵函数()fx是周期为3的周期函数，∴方程()fx=0在区间0,6上的解有390

12345622，，，，，，，，．共9个，故选D．【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．12.已知1F，2F分别是双曲线22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在一点

M，使得()220OMOFFM+=（其中O为坐标原点），且123MFMF=，则双曲线的离心率为（）A.51−B.312+C.512+D.31+【答案】D【解析】【分析】先证明2OFOMc==，再分析得到()12231aMFMFc=−=−，即得解.【详解】因为22FMOMOF=−，所以(

)()()22220OMOFFMOMOFOMOF+=+−=，即2220OMOF−=，所以2OFOMc==，在12MFF△中，边12FF上的中线等于12FF的一半，可得12MFMF⊥.因为123MFMF=，所以13MFc=，2MFc=，所以根据双曲线定义得()12231aMFMFc=−=−

，所以双曲线的离心率23131cea===+−.故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题、（每小题5分，共60分）13.若x，y满足约束条件x2y20xy10y0−−−+，则z2xy=+的最小

值为______．【答案】-11【解析】【分析】画出可行域如图,平移动直线根据纵截距的变化情况得到最小值.【详解】画出可行域如图所示，可知目标函数过点()4,3A−−时取得最小值，()()min24311z=−+−=−．故答案为-11【点睛】求目标函数最值的一般

步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.谢尔宾斯基三角形（

Sierpinskitriangle）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的

面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．【答案】2764【解析】【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可

得．【详解】解：由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的14，∴每次剩下的面积为上一次剩下的面积的34，设最初的面积为1，则挖3次后剩下的面积为3327()464=，故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为2764，故答案为2764【点睛】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型．15

.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,tantan2tanabcbBbAcB+=−，且8a=，ABC的面积为43，则bc+的值为__________．【答案】45【解析】由正弦定理，原等式可化为sinsinsinsinsin2sincoscoscosBABBBCBAB+

=−，进一步化为cossinsinAcosB2ABsinCcosA+=−，则sin()2ABsinCcosA+=−，即1cos2A=−．在三角形中2π3A=．由面积公式1sin432ABCSbcA==△，可知16bc=，由余弦定理()22222cosabcbcAbcbc=+−

=+−，代入可得45bc+=．故本题应填45．点睛：本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时可考虑使用余弦定理判断三角形的形

状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.选择余弦定理和面积时，要以已知角的为主．16.已知函数ln,0()2ln,xxefxxxe=−，若,,abc互不相等，且()()(

)fafbfc==，则abc++的取值范围是______．【答案】2122eee++，【解析】画出函数()fx=ln,0e2ln,exxxx−的图象（如图所示）．不妨令abc，则由已知和图象，得201e

eabc，且lnln2lnabc−==−，则21,eabbc==，则221e1+eabcbbbbb++=++=+，因为22'21+e1+e()10bbb+=−在(1,e)b恒成立，所以

21+ebb+在(1,e)单调递减，所以2211+e2e2eebb+++，三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.命题:p关于x的不等式()2210xaxa+−+的解集为；命题:q函数()22xyaa=−为增函数．分别求出下列条件的实数a的取值范

围．(1),pq中至少有一个是真命题；(2)“pq”是真命题，且“pq”是假命题．【答案】（1）11,,23−−+；（2）11,11,32−−.【解析】【分析】(1)根据一元二次

不等式恒成立化简命题p，根据指数函数的单调性化简命题q，求并集即可得结果；（2）由pq为真命题，pq为假命题，可得,pq一真一假，分两种情况讨论，对于p真q假以及p假q真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数a的

取值范围.【详解】关于x的不等式()2210xaxa+−+的解集为，等价于()2210xaxa+−+恒成立，所以p为真命题时，()22140aa=−−，解得13a或1a−.①q为真命题时，221aa−，解得1a或12a−.②(

1)若p，q中至少有一个是真命题，则实数a的取值范围是11,,23−−+．(2)“pq”是真命题，且“pq”是假命题，有两种情况：p为真命题，q为假命题时，113a；p为假命题，q为真命题时，112a

−−.故“pq”是真命题，且“pq”是假命题时，a的取徝范围为11,11,32−−．【点睛】本题通过判断复合的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，

应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.18.已知正项等比数列{}na满足126aa+=，324aa−=.（1）求数列{}na的通项公式；（2）记2211loglognnn

baa+=，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】（1）2nna=；（2）1nnTn=+．【解析】【分析】（1）由题意得1121164aaqaqaq+=−=，解出基本量即可得到数列na的通项公式；（2）由（1）知，111nbnn=−+，利用裂项相消法求和.【详解】（1

）设数列na的公比为q，由已知0q，由题意得1121164aaqaqaq+=−=，所以23520qq−−=．解得2q=，12a=.因此数列na的通项公式为2nna=；（2）由（1）知，()2211111loglog11nnnbaannnn+===

−++，∴11111111223111nnTnnnn=−+−++−=−=+++．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧

：（1）()1111nnkknnk=−++；（2）1nkn++()1nknk=+−；（3）()()1111212122121nnnn=−−+−+；（4）()()11122nnn=++()()()11

112nnnn−+++.此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19.已知某单位全体员工年龄频率分布表为：年龄（岁）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）合计人数

（人）61850311916140经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如图所示：（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名

男职工和一名女职工的概率．【答案】（Ⅰ）a=0.02；（Ⅱ）4：3；（Ⅲ）815【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图所有小长方形面积和为1解得a；（Ⅱ）先根据频率、频数解得总数，即得男女人数，解得比例，（

Ⅲ）先确定年龄在[25，30）岁的职工人数，再利用列举法，根据古典概型概率公式求概率.【详解】（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：（a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025）×5=1．所以a=0.

02．（Ⅱ）该单位[25，35）岁职工共24人，由于[25，35）岁男女职工人数相等，所以[25，35）岁的男职工共12人．由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25，35）岁的频率为0.15，所以男职工共有12800.15=人，所以女职工有140-80=60人，所以男女比例

为4：3．（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25，30）岁的频率为0.05．由（Ⅱ）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在[25，30）岁的有4人，分别记为A1，A2，A3，A4．又全体员工年龄在[25，30）岁

的有6人，所以女职工年龄在[25，30）岁的有2人，分别记为B1，B2．从年龄在25～30岁的职工中随机抽取两人的结果共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），

（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）15种情况，其中一男一女的有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1）

，（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）8种情况，所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为815．【点睛】本题考查频率分布直方图与古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.20.设圆222150xyx++−=的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l

交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EAEB+为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】(Ⅰ)答案

见解析；(Ⅱ))12,83.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．试题解析：（Ⅰ）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为

，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【考点】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考

查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21.已知函数()()()lnfx

xxaxa=−R.（1）若1a=，求函数()fx的图像在点()()1,1f处的切线方程；（2）若函数()fx有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：()212fx−.【答案】（1）0xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根

据导数的几何意义，求解出切线的斜率，然后利用斜率和切点即可求解出切线方程；（2）先根据()fx有两个极值点分析出a的取值范围，然后根据单调性和极值点判断出()2fx与()1f的关系，即可完成证明.【详解】（1）由已知条件，()

()()ln0fxxxxx=−，当1x=时，()1fx=−，()ln12fxxx=+−，当1x=时，()1fx=−，所以所求切线方程为0xy+=（2）由已知条件可得()ln12fxxax=+−有两个相异正实根1x，2x，令()()fxhx=，则(

)12hxax=−，①若0a，则()0hx，()hx单调递增，()fx不可能有两根；②若0a，令()0hx=得12xa=，可知()hx在10,2a上单调递增，在1,2a+上单调进减，令102fa解得1

02a，由112ea有120afee=−，由2112aa有2122ln10faaa=−+−，从而102a时函数()fx有两个极值点当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表x()10,x1x()12

,xx2x()2,x+()fx−0+0−()fx单调递减()1fx单调递增()2fx单调递减因为()1120fa=−，所以121xx<<，()fx在区间21,x上单调递增，()()2112fxfa=−−.另解：由己知可得()ln12fxxax=+

−，则1ln2xax+=，令()1lnxgxx+=，则()2lnxgxx−=，可知函数()gx在()0,1单调递增，在()1,+单调递减，若()fx有两个根，则可得121xx<<，当()21,xx时，1ln2xax+，()ln120fxxax=+−，所以()fx在区间21,

x上单调递增所以()()2112fxfa=−−.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到导数的几何意义、用导数研究函数的单调性与极值点，难度较难.（1）利用导数求解曲线的切线方程，注意利用导数的几何意义以

及直线的点斜式方程进行求解；（2）函数的极值点问题，可以转化为导函数的零点问题进行分析.22.平面直角坐标系中，直线l的参数方程为131xtyt=+=+(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos1cos=−．（1）写出直线l的

普通方程与曲线C的直角坐标方程;（2）已知与直线l平行的直线l过点()2,0M，且与曲线C交于A，B两点，试求MAMB．【答案】(1)直线l的极坐标方程为3cossin310−−+=，曲线C的直角坐标方程为22yx=.(2)4133.【解析】【分析】(1)直线参数方程

131xtyt=+=+消去t即可得直角坐标方程，极坐标方程22cos1cos=−两边同时乘以后再按极坐标与直角坐标关系化简即可.（2）写出l的参数方程12232xtyt=+=，代入曲线C的直角坐标方程可得234160tt−−

=，利用根与系数的关系求得12tt即为所求.【详解】（1）直线l的参数方程为131xtyt=+=+，把直线l的参数方程化为普通方程为()311yx=−+．由22cos1cos=−，可得()221cos2cos

−=，∴曲线C的直角坐标方程为22yx=．（2）直线l的倾斜角为3，∴直线l的倾斜角也为3，又直线l过点()2,0M，∴直线l的参数方程为12232xtyt=+=(t为参数)，将其代入曲线C的直角

坐标方程可得234160tt−−=，设点A，B对应的参数分别为1t，2t．由一元二次方程的根与系数的关系知12163tt=−，1243tt=+．∴163MAMB=．【点睛】极坐标与直角坐标之间的转化：22xy=+，,xcosysi

n==.直线的参数方程中注意参数t的几何意义.23.已知0a，0b，0c，函数()fxcaxxb=+−++.（1）当1abc===时，求不等式()3fx的解集；（2）当()fx的最小值为3时，求abc++的值，并求111

abc++的最小值.【答案】(1){|1xx−或1}x(2)3；3【解析】试题分析：（1）当a=b=c=1时，不等式()3fx即|x+1|+|x﹣1|+1＞3，化为：|x+1|+|x﹣1|＞2．对x与±1的大小关系分类讨论即可得出．（2）()3fxcaxxbaxxbcabcabc

=+−++−+++=++=++=．可得()11111113abcabcabc++=++++，再利用均值不等式的性质即可得出．试题解析：（1）()111fxxx=−+++1123xx−−或

1133x−或1213xx+，解得{|1xx−或1}x.（2）()3fxcaxxbaxxbcabcabc=+−++−+++=++=++=()11111111333bacacbabcabcabcabacbc++=++++=++++++

，()1322233+++=．当且仅当1abc===时取得最小值3．