【文档说明】宁夏银川市唐徕中学2023-2024学年高二9月月考数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.797 MB，由小赞的店铺上传

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银川市唐徕中学2023~2024学年度第一学期9月月考高二年级数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.直线310xy+−=的倾斜角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解

析】【分析】由斜率直接求解倾斜角即可.【详解】设倾斜角为),0,，则tan3=−，则23=.故选：C.2.已知空间向量()2,1,3a=−，()1,2,3b=−，()7,6,cz=，若三向量a、b

、c共面，则实数z=（）A.1B.9−C.3−D.1−【答案】B【解析】【分析】设cmanb=+，其中m、nR，利用空间向量的坐标运算可得出关于m、n、z的方程组，即可解得z的值.【详解】因为三向量a、b、c共面，设cmanb=+，其中

m、nR，则272633mnmnnmz−=+=−=，解得419mnz===−.故选：B.3.已知直线1l：210axy+−=，和直线2l：()120axay+−+=垂直，则（）．

A.1a=B.0a=C.0a=或1a=D.1a=−【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直，得到方程，求出得0a=或1.【详解】因为直线1l和直线2l垂直，故()120aaa+−=，解得0a=或1，经检验，符合要求.故选：C4.如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平

面互相垂直，且2ADAE==，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（）A.23−B.26−C.23D.26【答案】D【解析】【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，写出BD和EF的坐标利用夹

角公式求出余弦值即可.【详解】因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE平面ABCD=AD，AE⊥AD，AE平面ADE，所以AE⊥平面ABCD，又AB平面ABCD，所以AE⊥AB，又AB⊥AD，所以AB，AD，AE两两垂直，分别以AB、AD、

AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0），∴()2,2,0BD=−，()1,2,2EF=−，设BD与EF所成角大小为α，则coscos,BDEFBDEFBDEF

==()2122022689−++−==，的即BD与EF所成的角的余弦值为26，故选：D.5.已知点()1,2,1A−−、()2,2,1B−−，点A关于z轴对称的点为M，则BM=（）A.22B.5C.3D.4【答案】B【解析】【分析

】根据对称性求出点M的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得BM的值.【详解】由于点A关于z轴对称的点为M，则点()1,2,1M−−，由空间中两点间的距离公式得()()()2222122115BM=++−−+−+=.故选：B.【点睛】本题考查空间中两点间距离的计算

，同时也考查了利用对称性求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.6.过点()2,0−与圆2240xyxm+−−=相切的两条直线垂直，则m=（）A.4−B.22−C.22D.4【答案】D【解析】【分析】由题意，

点()2,0−到圆心的距离是半径的2倍，列方程求解即可.【详解】圆2240xyxm+−−=化为标准方程为()2224xym−+=+，圆心坐标为()2,0，半径4rm=+，过点()2,0−与圆相切的两条直线垂直，则点()2,0−到圆心()2,0的距离为2r，即424m=+，解得4m=

.故选：D.7.已知直线50xy+−=与圆22:420Cxyxym+−++=相交于A，B两点，且||4AB=，则数m=()A.19−B.7−C.4−D.1−【答案】B【解析】【分析】根据圆的弦长公式即可计算.【详解】设圆C半径为r.由22420xyxym+−+

+=可得22(2)(1)5xym−++=−，∴圆心2(2,1),5−=−Crm，圆心C到直线50xy+−=的距离为|215|222d−−==，由22||2ABrd=−，得4258m=−−，∴32m−−=，解得7m=−．故选：B．8.若圆22210xyaxy+−++=与圆221x

y+=关于直线1yx=−对称，过点(),Caa−的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）A.24480yxy−++=B.22220yxy−−+=C.24480yxy+−+=D.2210yxy−−−=【答案】C【解析】【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知

识，求出a的值，然后设出圆心P的坐标为(),xy，圆心到点C的距离等于圆心到y轴的距离，列出方程求出圆心P的轨迹方程．【详解】圆22210xyaxy+−++=的圆心为,12aA−，圆221xy+=的圆心为()0,0B，因为圆22210xyaxy+−++=与圆

221xy+=关于直线1yx=−对称，所以AB的中点1,42a−满足直线1yx=−方程，解得2a=，过点()2,2C−的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为(),xy，所以()()2222xyx++−=解得：2

4480yxy+−+=，故选：C．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分．9.已知向量(1,1,0)a=−，(1,0,1)b=−，(2,3,1)c=−，则（）A.向量a，b的夹角为π3B.a∥()bc−C.(5)abc+⊥D.(2)

()7abbc++=【答案】BC【解析】【分析】对于A，求出cos,ab，再根据向量夹角的定义判断即可；对于B，只需判断()(0)abc=−是否成立，即可判断；对于C，只需判断(5)0abc+=是否成立，即可判断；对于D，根据向量数量积的坐标运算，计算出(2)()abb

c++的值，即可判断.【详解】解：对于A，因为11cos,2||||22ababab−===−，所以向量a，b的夹角为2π3，故错误；对于B，因为(3,3,0)bc−=−，(1,1,0)a=−，所以1()3abc=−−，所以a∥()bc−，故正确；对于C，因为5(4,

1,5)ab+=−−，(2,3,1)c=−，所以(5)8350abc+=−++=，所以(5)abc+⊥，故正确；对于D，因为2(1,1,2)ab+=−−，(1,3,2)bc+=−，所以(2)()1346abbc++=−++=，故错误.故选：BC.10.已知圆C：()()2

22435xy−+−=，直线l：()()211210mxmym+−+−−=，则（）A.直线l过定点，坐标为()1,0B.直线l与圆C的位置关系无法确定C.直线l被圆C截得的最短弦长是32D.直线l被圆C截得的弦长最大时32m=−【答案】AD【解析】【分析】A选项，

变形后得到方程组，求出定点坐标；B选项，确定直线所过定点在圆内，从而得到直线与圆的位置关系；C选项，当CA与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，由两点间距离公式和垂径定理得到最短弦长；D选项，当直线l经过圆心C时，被圆C截得的弦长最大，将圆心坐标代入直线，得到m的值.【详解】A选项

，()()211210mxmym+−+−−=变形()2210mxyxy−−+−−=，令22010xyxy−−=−−=，解得10xy==，故直线l过定点，坐标为()1,0A，A正确；B选项，因为()()22120435−+−，故()1,0A在圆内，则直线l与圆C相交，B错误；C选项，当

CA与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时()()22120417CA=−+−=，由垂径定理得，最短弦长为2351762−=，C错误；D选项，直线l经过圆心C时，被圆C截得的弦长最大，将()2,4C代入()()211210mxmym+−+−−=中，()()22141210mmm+−

+−−=，解得32m=−，D正确.故选：AD11.已知圆M：()()22114xy−+−=，直线l：20xy++=，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，则下列各选项正确的是（）A.四边形MA

PB面积最大值为8B.四边形MAPB面积的最小值为4C.当APB最大时，2PA=D.动直线AB一定经过坐标原点为的【答案】BCD【解析】【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、正方形的性质、直线方程以及点到直线的距离公

式、勾股定理计算求解.【详解】因为圆M：()()22114xy−+−=的圆心()1,1M，半径为2r=，由圆的几何性质可得,MAPAMBPB⊥⊥，如下图所示：对于选项A、B：由切线长定理可得PAPB=，且MAMB=，可知PAMPBM

，所以四边形MAPB的面积22PAMSSPAAMPA===△，因为222||||4PAMPMAMP=−=−，当MPl⊥时，MP取最小值，且min112||222MP++==，即22MP，因为MP无最大值，即PA无最大值，故

四边形MAPB面积无最大值，故A错误；当22MP=时，四边形MAPB的面积取到最小值为22(22)44S=−=，故B正确；对于选项C：因为APM为锐角，2APBAPM=，且2sinAMAPMMPMP==，当MP取到最小值22时，则APM最大，即APB最大，此时2PA=

，故C正确；对于选项D：因为P为直线l：20xy++=上的动点，设(),2Paa−−，则()()2221212410MPaaaa=−+−−−=++，可得22||4246PAMPaa=−=++，又因为PAPB=，可知点,AB在以P为圆心，PA为半径的圆上，圆P的方程为()()2222246x

ayaaa−+++=++，即()2222220xyaxay+−++−=，又因为圆M：()()22114xy−+−=，即222220xyxy+−−−=，两圆方程相减可得：()()130axay−−+=，即直线()():130ABaxay−−+=，所以动直线AB一定

经过坐标原点，故D正确.故选：BCD.12.长方体1111ABCDABCD−中，12AA=，1ADAB==，点M，N分别在棱AB和1BB上运动（不含端点），若1DMMN⊥，下列说法正确的是（）A.1AMMN⊥B.1MDMB的最大值为0C.BNC面积的最大值为14D.三棱锥11

1CADM−的体积不变【答案】AD【解析】【分析】建立直角坐标系，设,MN坐标，根据1DMMN⊥求出参数之间的关系，在依次判断选项正误.【详解】以点D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，1DD所在的直线为z轴，建立直角坐标系，如图所示.则1(0,0,2)D设(1,,0),

(1,1,)MmNn，其中(0,1),(0,2)mn1(1,,2),(0,1,)DMmMNmn=−=−，又11(1)20DMMNDMMNmmn⊥=−−=，即(1)2mmn−=对于选项A，111(1,0,2),(0,,2),(1)20AmAMAMMNmmn=−

=−−=uuuuruuuuruuur，因此1AMMN⊥，故选项A正确；对于选项B，1(0,0,0),(1,1,2)DB，11(1,,0)(0,1,2),(1)2(4,0),mMDmmmnDMBMMB=−−=−=−−=−−，因此1MDMB无最大值，故选项B错

误；对于选项C，11(0,1)22BNCSBCBNn==，因此BNC面积无最大值，故选项C错误；对于选项D，1111111111133CADMMADCADCVVSDD−−===,因此三棱锥111CADM−的体

积不变，故选项D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.圆2240xyx++=与圆2240xyy++=的公共弦长为______．【答案】22【解析】【分析】先求两圆公共弦方程，再利用弦心

距，弦长，半径之间的关系求解【详解】设圆1C：2240xyx++=与圆2C：2240xyy++=交于A，B两点把两圆方程相减，化简得0xy−=即ABl：0xy−=圆心()12,0C−到直线AB的距离222d−==，又12r=而22212ABdr+=，所以2

21222ABrd=−=故答案为：2214.已知圆C：224210xyxy+−−+=，圆C的弦AB被点()2,0P平分，则弦AB所在的直线方程是________．【答案】0y=【解析】【分析】先将圆的方程化为标准方程，得到

圆心()2,1C，由于圆C的弦AB被点()2,0P平分，故ABPC⊥，得到0ABk=，由点斜式求解即可.【详解】因为圆C：224210xyxy+−−+=，所以化为标准方程为：()()22214xy−+−=，所以圆心()2,1C.又圆C的弦AB被点(

)2,0P平分，故ABPC⊥，而直线PC斜率不存在，所以0ABk=，由于AB过点()2,0P，故直线AB的方程为：0y=.故答案为：0y=.15.已知圆C：22440xyxy+−−=，圆C上恰有3个点到直线

l：0xa+=的距离为2，则=a________．【答案】22−【解析】【分析】求出圆C的圆心和半径，根据条件可知圆心到直线l的距离为2，进一步计算即可.【详解】圆C：22440xyxy+−−=，化为22(2)(2)8,xy−+−=所以圆心为(2,2)，半径为22，因

为圆C上恰有3个点到直线l：0xa+=的距离为2，所以圆心到直线l的距离为2，则2()2a−−=，解得22,a=−故答案为：22.−16.在直角坐标系内，已知()A3,5是以点C为圆心的圆C上的一点，折叠

该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为10xy−+=和70xy+−=，若圆C上存在点P，使得()0MPCPCN−=，其中点(),0Mm−、(),0Nm，且0m，则m的取值范围是________．【答案】4,6【解析】【分析】由圆上的点A两次折叠

与圆上的点重合，得圆心坐标，半径，由()0MPCPCN−=，推得两圆有公共点，求得m的取值范围.【详解】因为圆上的点A两次折叠与圆上的点重合，所以两次的折痕过圆心，1070xyxy−+=+−=，得3x=，4y=，所以圆心为(3,4)，该圆半径1r=，由()0MPCPCNMPNP−

==，所以P在以MN为直径的圆上，即两圆有公共点，所以151mm−+，m的取值范围为4,6.故答案为：4,6.【点睛】将向量数量积为零转化为垂直关系，进而得到点P的轨迹是圆，将问题转化为圆与圆的位置关

系.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，3PAAD==，点F是棱PD的中点，点E是棱DC上一点．

（1）证明：AFEF⊥；（2）若E是棱DC上靠近点D的三等分点，求点B到平面AEF的距离．【答案】（1）证明见解析（2）91111【解析】【分析】（1）先证明CD⊥平面PAD，则有AFCD⊥，再证明AF⊥平面PCD，根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点

A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，所以PACD⊥，又,,,ADCDPAADAPAAD⊥=平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又AF平面PAD，所以AFCD⊥，因为PAAD=，点F是棱PD的中点，所以AFPD⊥，又,,P

DCDDPDCD=平面PCD，所以AF⊥平面PCD，又EF平面PCD，所以AFEF⊥；【小问2详解】如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则()()()330,0,0,3,0,0,1,3,0,0,,22ABEF

，故()()333,0,0,1,3,0,0,,22ABAEAF===，设平面AEF的法向量为(),,nxyz=，则3033022nAExynAFyz=+==+=，令3x=，则1,1yz=−=，所以()3,1,1n=−，所以点B到平面AE

F的距离为99111111nABn==．18.已知ABC的顶点()4,2,CAC边上的高BE所在直线方程为210xy−+=，角A的平分线所在直线方程为10xy−+=.（1）求顶点A坐标；的（2）求直线AB的方程.【答案】（

1）(3,4)A（2）2110xy+−=【解析】【分析】（1）设00(,)Axy，根据垂直关系和点在直线上得到方程组，解得答案.（2）计算点C关于10xy−+=的对称点()11,5C，计算斜率得到直线方程.【小问1详解】设00(,)Axy，则有0010xy−+=，00224ACyk

x−==−−，即001yx=+，解得0034xy==，即(3,4)A；【小问2详解】点C关于10xy−+=的对称点()1,Cab，则214ba−=−−，421022ab++−+=，解得1,5ab==，即()11,5C，15

41132ABACkk−===−−，直线AB的方程：()1512yx−=−−，整理：2110xy+−=.19.如图所示，三棱柱111ABCABC-的所有棱长均为1，162BC=，11ABC为直角．（1）证

明：平面ABC⊥平面11ABBA；（2）求直线BC与平面11ABC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）取AB的中点D，连接1,CDBD，先证明1ABBD⊥，1CDBD⊥，进而由线面垂直以及面面垂直的判定证明即可；（2）以

D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量法求解.【小问1详解】如图，取AB的中点D，连接1,CDBD，由于三棱柱111ABCABC-的所有棱长均为1，故底面ABC是正三角形,因此13,,22ABCDBDCD⊥==，由于11ABC为直角，故111ABBC⊥，所以1

ABBC⊥，因为1CDBDD=，1,CDBD平面1BCD，所以AB⊥平面1BCD.由此得1ABBD⊥.在直角1BBD△中,22113122BD=−=.在1CBD中,由2221132BCBDCD=+

=,故1CDBD⊥.又,ABCD平面,ABCABCDD=，所以1BD⊥平面ABC,1BD平面11ABBA，故平面ABC⊥平面11ABBA.【小问2详解】以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，于是111330,,0,0,,0,,0,0,0,0,2222ABCB

−，由11ABAB=，所以()110,1,0AB=−，13331,1,,,,02222CABC=−=，设(,,)nxyz=是平面11ABC的法向量.11133002200CAnxyz

ABny=−++===，取1x=，则(1,0,1)n=.即直线BC与平面11ABC所成角的正弦值为3300262sin4||||212nBCnBC++====.20.①圆心C在直线l：230xy−−=上，圆C过点()2,3B；②

圆C过直线l：4230xy+−=和圆222xy+=的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C经过点()4,1A，且________．（1）求圆C的标准方程；（2）已知点()0,2M，求过点M的圆C的切线方程．【答案】（1）选①：()()22214xy−+−=；选

②：()()22214xy−+−=（2）0x=和3480xy−+=【解析】【分析】（1）利用圆的定义、直线方程、直线与圆的关系、圆与圆的关系运算即可得解.（2）利用直线与圆的关系、直线方程、点到直线的距离公式运算即可得解.【小问1详解】解：选①：设圆心()00,Cxy，则由题意：∵圆心C在直线l：

230xy−−=上，∴00230xy−−=………………………（ⅰ）∵圆C过点()4,1A和()2,3B，∴ACBC=，即()()()()222200004123xyxy−+−=−+−，化简得：0010xy−−=…

………………（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）解得：002,1xy==，∴圆心()2,1C，半径为2rAC==，∴圆C标准方程为()()22214xy−+−=.选②：如下图：设直线l：4230xy+−=和圆222xy+=的交点为,EF，连接OC，则由直线和圆的位

置关系、圆和圆的位置关系知直线OCl⊥，垂足为D，连接OF、CF.由题意，圆222xy+=的圆心为()0,0O，半径2OF=.∵直线l方程为4230xy+−=，OCl⊥，∴直线OC方程为20xy−=，故设圆心()2,Ctt，由图知0t，则2245OCttt=+=

，由423020xyxy+−=−=解得直线OC和直线l交点()0.6,0.3D，则()()22350.60.310OD=+=，的圆C半径()()22241rFCACtt===−+−，22215520DFOFOD=−=，CDOCOD=−，由22

2FCDFCD=+得：()()222313524152010ttt−+−=+−，解得：1t=.∴圆心()2,1C，半径2rFC==.∴圆C的标准方程为()()22214xy−+−=.【小问2详解】解：由（1）知，选①或选②，圆C的标准方程均为()()22214xy−+−

=，如下图，点()0,2M在圆外，则因为圆C的圆心()2,1C到y轴距离2dr==，所以，0x=是圆C过点M的一条切线.设圆C过点M的另一条切线斜率为k，则其方程为：()20ykx−=−，即20kxy−+=.由直线与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有221221

kk−+=+，解得：34k=，∴切线方程为3204xy−+=，即3480xy−+=.综上知，过点M的圆C的切线方程为0x=和3480xy−+=.21.如图，正三棱柱111ABCABC-的底面边长是2，侧棱

长是3，D是AC的中点．（1）求证：1BC∥平面1ABD；（2）在线段1CC上是否存在一点E，使得平面1AAB与平面1ABE夹角的余弦值是18，若存在，求出CE的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明过程见详解（2）存在；233CE=或33CE=.【解析】【分析】（1）连接1AB交1AB于M，

连接1BC，DM，由已知条件得四边形11AABB是矩形，由三角形中位线能证明1BC∥平面1ABD；（2）作COAB⊥于O，建立空间直角坐标系Oxyz−，假设存在，设(0,,3)(03)Ett，求出平面1AAB与平面1A

BE的法向量，利用平面1AAB与平面1ABE夹角的余弦值是18求出t值，进而求出CE的长.【小问1详解】连接1AB交1AB于M，连接DM，因为三棱柱111ABCABC-是正三棱柱，所以四边形11AABB是矩形，所以M为1AB的中点，又因为D是AC的中点

，所以DM是三角形1ABC的中位线，所以1//MDBC，因为DM平面1ABD，1BC平面1ABD，所以1BC∥平面1ABD.【小问2详解】作COAB⊥于O，由正三棱柱的性质及面面垂直的性质可知CO⊥平面11ABBA，所以在正三棱柱

111ABCABC-中如图建立空间直角坐标系Oxyz−.因为12,3ABAA==，D是AC的中点.所以(1,0,0),(1,0,0)AB−，1(1,3,0)A,假设在线段1CC上是否存在一点E，使得平面1AAB与平面1ABE夹角的余弦值是18，设(0,

,3)(03)Ett，则有1(2,3,0)AB=−−，(1,,3)BEt=，设平面1ABE的法向量为(,,)nxyz=，则有1·0·0nABnBE==，即23030xyxtyz−−=++=，令3x=，则=2y−，2313zt=−，所以23(3,2,1)3nt=−−，易知平

面1AAB的一个法向量(0,0,1)m=，又因为平面1AAB与平面1ABE夹角的余弦值是18，所以223131cos,82334(1)3tmnmnmnt−===++−，解得2231(1)=39t−，解得233t=或33t=，所以线段1CC上是否存在一点E，使得平面1AAB与平面1A

BE夹角的余弦值是18，且233CE=或33CE=.22.最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，,,OAB是三个军事基地，C为一个军事要塞，在线段AB上．已知tan3AOB=−，10kmOA=，C到OA，OB的距离分别为5km，210

km.以点O为坐标原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系如图所示，C位于第一象限．（1）求两个军事基地AB的长；（2）若要塞C正北方向距离要塞10km处有一E处正在进行爆破试验，爆炸波生成ht时的半径为5r

at=（参数a为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以302km/h的速度自基地A开往基地B，问参数a控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．【答案】（1）102km（2）当024548a−时，爆炸波不会波

及飞行器的飞行【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切求出C点坐标，联立直线方程求出B点坐标，利用两点的距离公式即可求解；（2）由题意得EFr对10,2t恒成立，即22(305)(3015)25ttat−+−对10,2t恒成立，然后对t进行分类

讨论，利用基本不等式即可求解．【小问1详解】则由题设得：()10,0A，直线OB的方程为30xy+=，()00(,50)Cxx，由0223521103x+=+，且00x，解得05x=，所以()5,5C．所以直线AC的方程为(

)10yx=−−，即100xy+−=，联立方程3100yxxy=−+−=，解得515xy=−=，即()5,15B−，所以()()22510150152AB=−−+−=，即基地AB的长为152km．【小问2详解】设爆炸产生的爆炸波圆E，由

题意可得()5,15E，爆炸波生成t小时后，飞行在线段AB上的点F处，则302AFt=，102t，所以()1030,30Ftt−，爆炸波不会波及飞行器的通行，即EFr对10,2t恒成立．所以2222(305

)(3015)25EFttrat=−+−=，即22(305)(3015)25ttat−+−，当0=t时，上式恒成立；当10,2t时，整理得107248att+−，因为101072482724824548tt

tt+−−=−，当且仅当1072tt=，即56t=时，等号成立，所以在024548a−时，rEF恒成立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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