【文档说明】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期冲刺模拟考试数学（理）试题（一）含答案.docx，共(12)页，437.435 KB，由小赞的店铺上传

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xyOP(x,y)大庆铁人中学高三冲刺模拟试题（一）理科数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合，集合，则等于（）A．B．C

．D．2．若复数z与其共轭复数z满足izz312+=−，则=||zA．2B．3C．2D．53．已知两个非零向量a,b满足2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),则a·b的值为A.1B.-1C.0D.-24.双曲线的渐近线方程是：=2,则双曲线的

焦距为A．3B．6C．D．5．已知nm,是两条不重合的直线，,是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是A．若⊥⊥mnm,，则//nB．若nmnm,//,//，则//nC．若⊥⊥⊥nmnm,,，则

⊥D．若//,//m，则//m或m6.已知三个月球探测器，，共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片．甲说：照片A是发回的；乙说：发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B的探测器是A.B.C.D.以上都有

可能7.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示得坐标系，设秒针针尖的位置P(x,y),若初始位置为,,当秒针从（此时t=0）正常开始转动时。那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为A.+B.+C.-D.-8.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互

相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落2|20Bxxx=−()RCAB()0,2

)1,2()0,1()2,+过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入号球槽的概率为A.332B.1564C.532D.5169.已知是偶函数且在上是单调递增，且满足，则不等式的解集是（）A.B.C.D.10.在四面体ABCD中，23ABAC==，6BC=，A

D⊥底面ABC，G为DBC的重心，且直线DG与平面ABC所成的角是30°，若该四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A.24πB.32πC.46πD.49π11.函数()sincossincos1fxxx

xx=+++；则下列说法正确的是A．()fx关于(0,1)对称；B()fx的极小值为122−；C()fx关于4x=对称；D()fx的最小正周期为；12.抛物线()220ypxp=的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A、B两点，M为AB的中点，分别过A、B两点作抛物线的切线1l、2l相交于点P.

PAB△又常被称作阿基米德三角形.下面关于PAB△的描述：①P点必在抛物线的准线上；②APPB⊥；③设()11,Axy、()22,Bxy，则PAB△的面积S的最小值为22p；④PFAB⊥；⑤PM平行于x轴.其中正确的个数是（）A.2B.3C.4D.5第II卷（非选择题、共90分）

()1fx+)0,+()20f=()210fx−(),01,−+13,,22−+3,2+33,,22−−+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x,y满足2

4020xyyxy−−+，则3zxy=−的最大值为_____________.15.中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》

，则4名同学所有可能的选择有种15.已知锐角三角形△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinsin,2ACabA+=2c=，则△ABC面积的取值范围为___________.16.已知与的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是___________.三、解答题：(共70分，解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)（一）必考题：满分60分17.（本小题满分12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝35，且a4是a1与a13的等比中项。(1)求{an}的通项公式；(2)若a1<4，

求证：，其中n∈N*。18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，190ACBCCB==°，160AAC=°，D，E分别为1AA和11BC的中点，且1AAACBC==．（Ⅰ）求证：1AE//平面1BCD；（Ⅱ）求平面1BCD与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19

.（本小题满分12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某校为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小()()()ln1ln1

fxaxxxx=++++()2gxx=121111324nnSSSa++++−时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下2×2列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时

419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足1

20分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的

期望和方差.（下面的临界值表供参考）20()PKk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式22()()()()()nadbcKabcd

acbd−=++++其中nabcd=+++）20.（本小题满分12分）如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(2，0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为12的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1

.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且斜率大于12的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|＞|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围．21.(本小题满分12分)已知函数()ln(1)sin.xfxexax=+++(1)当a=0时,求f(x)在(0f

(0))处的切线方程;(2)若f(x)≥1对任意x∈[0,π]恒成立,求实数a的取值范围.（二）选考题10分。请考生在第22、23题任选一个做答，如果多做，则按第一题记分，做答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程

为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求C和l的直角坐标方程；设l与C相交于A，B两点，定点，求的值．23.已知函数()1fxxx=+−.(1)若()1fxm−恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中的m最大值为M，正实数a，b满足22abM+=，证

明:2abab+.大庆铁人中学2017级高三学年考前模拟训练理科数学试题答案一．选择题：CABBAABDBDCC二．填空题：22；10；3,232;三．解答题：17．解。（1）设数列

{}na的公差为d，则1211151035(3)(12dadadaa+=+=+）得.17;0ad==或13;2ad==故{}na的通项公式为：7na=或21nan=+（2）因为14,21,(2)nnaanSnn

=+=+11111()(2)22nSnnnn==−++111111[(1)()()]23242nTnn=−+−+••+−+312342(1)(2)nnn+=−++2123(1)(2)()22344(1)(2)23nnnnn

nnna+++++=+++1131432424nnnTaa++−=−18.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）如图1，取线段1BC的中点F，连接EF、DF.1,12−因为E为11BC

的中点，所以EF//1BB，且112EFBB=.又D为1AA的中点，所以1AD//1BB，且1112ADBB=，所以EF//1AD，且EF=1AD，所以四边形1ADFE是平行四边形，所以1AE//DF.又DF平面1BCD，1AE平面1BCD，所以1AE//平面1BCD.…………6分

（Ⅱ）作1AOAC⊥于点O，因为160AAC=°，所以130AAO=°，所以11122AOAAAC==，即O为AC的中点.因为190ACBCCB==°，所以BC⊥平面11AACC，所以1BCAO⊥，所以1AO⊥平面ABC.故可以点O为原点，射线OA、1OA分别为x

轴和z轴的正半轴，以平行于BC的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图2.令12AAACBCa===，则(00)Aa，，，(20)Baa−，，，1(003)Aa，，，1(203)Caa−，，，13022Daa，，，所以

−=aaaBD23,2,23，−=aaDC23,0,251.设平面1BCD一个法向量为),,(zyxm=，则33()202253()0022xyzaaaxyzaa−=

−=，，，，，，，，，得33202253022xyzxz−+=−=，.取3x=，23y=，5z=，所以)5,32,3(=m.又平面ABC的一个法向量为)3,0,0(1aOA=，设平面1BCD与

平面ABC所成锐二面角为，则.41034035cos11===aaOAmOAm所以平面1BCD与平面ABC所成锐二面角的余弦值为104．…………12分19.【解析】（1）分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时1

01626合计2520452245(1516104)7.2876.63525201926K−=有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取209445=人，X的可能取值为

0，1，2，3，4，44420(0)CPXC==，31416420(1)CCPXC==，22416420(2)CCPXC==13416420(3)CCPXC==，416420(4)CPXC==，所以，X的分布列：X01234P44420CC31416420CC

C22416420CCC13416420CCC416420CC②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.625=，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中

每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则(20,0.6)YB，故()200.612EY==，()200.6(10.6)4.8DY=−=.20.解：(1)因为BF1⊥x轴，所以点B－c，－b2a，所以a＝2，b2a（a＋c）＝12，a2＝b2＋c2⇒a＝

2，b＝3，c＝1所以椭圆C的标准方程是x24＋y23＝1.(2)因为S△PAMS△PBN＝12|PA|·|PM|·sin∠APM12|PB|·|PN|·sin∠BPN＝2·|PM|1·|PN|＝λ⇒|PM||PN|＝λ2(λ＞2)，所以PM→＝－λ2PN→.由(1)可知

P(0，－1)，设直线MN：y＝kx－1k＞12，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得y＝kx－1，x24＋y23＝1，化简得，(4k2＋3)x2－8kx－8＝0.得x1＋x2＝8k4k2＋3，x1·x2

＝－84k2＋3.(*)又PM→＝(x1，y1＋1)，PN→＝(x2，y2＋1)，有x1＝－λ2x2，将x1＝－λ2x2代入(*)可得，（2－λ）2λ＝16k24k2＋3.因为k＞12，所以16k24k2＋3＝163k2＋4∈(1，4)，则1＜（2－λ）2λ＜4且λ＞2⇒4＜λ＜4＋2

3.综上所述，实数λ的取值范围为(4，4＋23)．21.解：（1）当0a=时，()ln(1)xfxex=++，(0)1f=……………………2分1'()1xfxex=++，0'(0)12kfe==+=()fx在(0(0))f，处的切线方程为21yx=+…

…………………4分（2）当[0,]x时，()ln(1)sin1xfxexax=+++成立当0a时，0,sin0()ln(1)sinln(1)1xxxxfxexaxex=+++++()1fx…………………6分当0a时，1'()cos1xfxeaxx=+++，

令1()cos1xgxeaxx=+++，则21'()sin(1)xgxeaxx=−−+，211,1,sin0(1)xeaxx−+'()0()gxgx在[0,]上单调递增，即()fx在[0,]上单调递增，又'(0)2fa=+………8分①当2a−时，'(0)20fa=+，(

)0fx'()fx在[0,]x上单调递增，则'()fx'(0)20fa=+，∴()fx在[0,]x上单调递增；又(0)1f=()fx(0)1f=恒成立……………10分②当2a−时，(0

)20ga=+，()0g(0)()0gg(0)()0ff'()fx在[0,]上单调递增，存在唯一的零点0(0,)x，使得'()0fx=，当0(0,)xx时，'()0fx∴()fx在0[0,]xx

上单调递减，0()fx(0)1f=∴2a−时，()fx1不恒成立∴当[0,]x时，()fx1恒成立，则2a−……………12分22.解：，，或．，的直角坐标方程为．，，，直线l的直角坐标方程为．由可设l的参数方程为

为参数，代入C的方程得：，其两根，满足，．．23．【解】(1)由()210101211xxfxxxx−+=−得()1minfx=，要使()1fxm−恒成立，只要11m−，即02x，实数m的最

大值为2；(2)由(1)知222ab+=，又222abab+故1ab，()2222222424ababababab+−=++−()()222242121abababab=+−=−−+，01ab，()()()222421210ababab

ab+−=−−+2abab+.