【文档说明】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试卷含答案.docx，共(17)页，1.312 MB，由小赞的店铺上传

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三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()()430A

xxx=+−Z，()2log2Bxyx==−，则()RBA=ðA.2,2−B.1,0,1−C.2,1,0,1,2−−D.2.已知复数z的共轭复数z满足()2i1iz+=−，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知双曲线C：()222210,0yxabab−=的焦距为45，实轴长为4，则C的渐近线方程为A.2yx=B.5yx=C.12yx=D.55yx=4.已知数列na中，13a=，()1112nnana−=−…，则2023a等于A.12−B.13C.23D.35.已知()111

,Pxy，()222,Pxy是直线2023ykx=+（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组11221,1xxyyxxyy+=+=的解的情况，下列说法正确的是A.无论k，1P，2P如何，总是无解B.无论k，1P，2P如何，

总有唯一解C.存在k，1P，2P，使12xy==是方程组的一组解D.存在k，1P，2P，使之有无穷多解6.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，球O是正方体的内切球，点G是内切球O表面上的一个动点，则GBGC的取值范围为

A.0,4B.222,0−C.4,222+D.222,222−+7.已知定义域为R的函数()fx满足()()fxfx=−−，当(12,,0xx−且12xx时，()()12120fxfxxx−−成立.若存在0,1x使得()()212

faxxfa−−−成立，则实数a的取值范围是A.(),1−B.()22,+C.()222,222−−−+D.()1,+8.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=，M和N分别为实轴的右

端点和虚轴的上端点，过右焦点F的直线l交C的右支于A，B两点.若存在直线l使得点M为NAB△的重心，则C的离心率为A.43B.2C.2D.5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l：210kxyk−++=和圆O：228xy+=，则A.直线l恒过定点()2,1B.直线l与圆O相交C.存在k使得直线l与直线0l：240xy−+=平行D

.直线l被圆O截得的最短弦长为2310.设函数()()sin06fxx=−，则下列说法正确的是A.若()fx的最小正周期为，则2=B.若1=，则()fx的图象关于点2,03对称C.若()fx在区间0,2上单调递增，则

403D.若()fx在区间0,2上恰有2个零点，则7131212„11.已知F为抛物线E：()220ypxp=的焦点，A，B，C是E上三点，且()1,2A，则下列说法正确的是A.当B，C，F三

点共线时，BC的最小值为4B.若12BC=，设B，C中点为M，则点M到y轴距离的最小值为6C.若2BFFC=，O为坐标原点，则BOC△的面积为322D.当ABAC⊥时，点A到直线BC的距离的最大值为4212.已知正方体1111ABCDABCD

−的棱长为1，E为线段1BC的中点，点F和点P分别满足111DFDC=，11DPDB=，其中,0,1，则下列说法正确的是A.BP⊥平面AECB.AP与平面11BDDB所成角的取值范围为45,60C.PEPF+的最小值为526D.点P到直线1BC的距离的最小值为66P

E=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆C过点()0,0O，且与直线40xy++=相切，则满足要求的面积最小的圆C的标准方程为______.14.已知3sin45+=，则2sin22sin1tan++的值为______.15.已知三棱柱11

1ABCABC−的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB=，1AC=，60BAC=，则此球的体积为______.16.如图，椭圆1C：()2211221110xyabab+=和2C：

2222221xyab+=有相同的焦点1F，2F，离心率分别为1e，2e，B为椭圆1C的上顶点，21FPFP⊥，1F，B，P三点共线且垂足P在椭圆2C上，则12ee的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演

算步骤.17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，存在四点()0,1A，()7,0B，()4,9C，()1,3D.（1）求过A，B，C三点的圆M的方程，并判断D点与圆M的位置关系；（2）若过D点的直线l

被圆M截得的弦长为8，求直线l的方程.18.（本小题满分12分）长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组)4

0,50，第2组)50,60，第3组)60,70，第4组)70,80，第5组)80,90，第6组90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表）；（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.19.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为ABC△三个内角A，B，C的对边，且

cos3sin0bCbCac+−−=.（1）求角B；（2）若点D满足2ADDC=，且1BD=，求ABC△的面积的最大值.20.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是平行四边形，90ABP=，2ABBP==，点

D在平面ABP内的投影F是AB的中点，E是PC的中点.（1）证明：EF∥平面ADP；（2）若3PD=，求二面角DEFP−−的正弦值.21.（本小题满分12分）已知函数()2eexxfxa=−，()lngxx=.（1）求函数()26gxx−−的单调递增区间；（2）若对任意21,eex

，存在()1,0x−，使得()()12fxgx，求实数a的取值范围；（3）若函数()()()Fxfxfx=+−，求函数()Fx的零点个数.22.（本小题满分12分）椭圆E：22143xy+=的左、右焦点分别为1F，2F.过1F作直线1l交E于A，

B两点.过2F作垂直于直线1l的直线2l交E于C，D两点.直线1l与2l相交于点P.（1）求点P的轨迹方程；（2）求四边形ACBD面积的取值范围.三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考・数学参

考答案、提示及评分细则1.【答案】C【解析】因为()()4303,2,1,0,1,2Axxx=+−=−−−Z，又()2log222Bxyxxxx==−=−或，22Bxx=−R剟ð，所以()2,1,0,1,2BA=−−Rð，故选C.2.【答案】A【解析】由(

)2i1iz+=−可得()()()()1i2i1i13i2i2i2i55z−−−===−++−，所以13i55z=+，对应点为13,55，在第一象限.故选A.3.【答案】C【解析】由已知得，双曲线的焦点在y轴上，双曲线的

焦距245c=，解得25c=，双曲线的实轴长为24a=，解得2a=，则222044bca=−=−=，即双曲线C的渐近线方程为12ayxxb==.故选C.4.【答案】D5.【答案】B【解析】由题意11222023,

2023,ykxykx=+=+则()()()12211221122023202320230xyxyxkxxkyxx−=+−+=−，（直线2023ykx=+的斜率存在，∴12xx），故1l：111xx

yy+=与2l：221xxyy+=相交，∴方程组总有唯一解.A，D错误，B正确；若1,2xy==是方程组的一组解，则112221,21,xyxy+=+=则点()111,Pxy，()222,Pxy在直线21xy+=，即1122yx=−+上，但已知这两个点在直线2023ykx=+上，

这两条直线不是同一条直线，∴1,2xy==不可能是方程组的一组解，C错误.故选B.6.【答案】D【解析】取BC中点为H，因为GBGHHB=+，GCGHHC=+，所以2221GBGCGHHCGH=−=−，又GHGO

OH=+，则2222GHGOOHGOOH=++，又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则1GO=，2OH=，所以2322cos,GHGOOH=+，所以21222cos,GBGCGHGOOH=−=+，所以当GO，OH反向时，cos,1GO

OH=−，GBGC有最小值为222−；当GO，OH同向时，cos,1GOOH=，GBGC有最大值为222+.故选D.7.【答案】D【解析】由条件可知函数()fx在R上单调递减.存在0,1x使得(

)()212faxxfa−−−成立等价于存在0,1x使得不等式212axxa−−−成立.由212axxa−−−得()211xax−+，∵0,1x，∴10x−…，∴①当1x=时，02不成立；②

当)0,1x时，211xax+−有解.求当)0,1x时，函数211xyx+=−的最小值.令(()10,1txt=−，则221(1)1221xtytxtt+−+===+−−，而函数22ytt=+

−是(0,1上的减函数，所以当且仅当1t=，即0x=时，min1y=.故1a，故选D.8.【答案】A【解析】依题意，(),0Ma，()0,Nb..点M为NAB△的重心时，AB中点3,22abP−.

.设()11,Bxy，()22,Axy，则2211221xyab−=，2222221xyab−=.两式作差得：22BAOPbkka=.其中，3OPbka=−.又因为B，A，F，P四点共线，所以232BAFPbkkac==−.故2223

32bbbaaac−=−，解得34ca=，故43e=.故选A.9.【答案】BD【解析】对于A，由210kxyk−++=可得，()210kxy+−+=，令20x+=，即2x=−，此时1y=，所以直线l恒过定点()2,1−，A错误；对于B，因为定点(

)2,1−到圆心的距离为41522+=，所以定点()2,1−在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确；对于C，因为直线0l：240xy−+=的斜率为12，所以直线l的斜率为12，此时直线l的方程为240xy−+=，直线l与直线0l重合，故C错误；对于D，设直线

l恒过定点()2,1A−，圆心到直线l的最大距离为5OA=，此时直线l被圆O截得的弦长最短为28523−=，D正确；故选BD.10.【答案】AD【解析】对于A，若()fx的最小正周期为，则2=，解得2=，故A正确；对于B，若1=，则()sin6fxx=−

，23x=时，()2sin136fx=−=，故B错误；对于C，0,2x时，,6626x−−−，因为()fx在0,2上单调递增，则6262−−„，解得403„，故C错误；对于D，0

,2x时，,2666x−−−，若()fx在0,2上恰有2个零点，则226−„，解得7131212„，故D正确.故选AD.11.【答案】ACD【解析】依题意，2p=.对于A选项，当B，C，F三点共线时，BC为焦点弦.通径（垂直于对称轴的焦点

弦）最短，最短为2p，故A正确；对于B选项，12BFCFBC+=…（当且仅当B，C，F三点共线时等号成立），即212BCxx++…，故5Mx…，所以点M到y轴距离的最小值为5，B错误；对于C选项，依题意，BC为焦点弦且2BFCF=.不妨设直线BC的倾斜

角为锐角，则1cospBF=+，1cospCF=−，解得1cos3=，故2322sin2pS==，故C正确；对于D选项，设直线BC：xmyn=+，()11,Bxy，()22,Cxy，与抛物线方程联立，得：2440ymyn−−=.由韦达定理有：124yym+=，124yyn=−..

依题意121222111yyxx−−=−−−..即()()()()121222110yymynmyn−−++−+−=，整理得：()()()22121212(1)40myymnmyyn++−−++−+=..代入韦达定理可得：()()22341nm−=+，解得()213nm=++，其

中()213nm=++时，直线过定点()5,2−，()213nm=−++时，直线过点A，不符合题意，故直线BC过定点()5,2P−，点A到直线BC的距离最大值为42AP=.D正确.故选ACD.12.【答案】ACD【解析】对于A选项，平面AE

C即为平面1ABC，易知A正确；对于选项B：如图，连接AC交BD于点O，连接OP，知AO⊥平面11BDDB，所以APO即为AP与面11BDDB所成角，所以22sinAOAPOAPAP==，由P在1DB上知6,23AP，所以13sin,22APO，因为()0

,90APO，所以APO的范围是30,60，即直线AP与平面11BDDB所成角的范围是30,60，故B错误；对于C项，把问题转化为在平面11ABCD内求点P使得PEPF+最小，如图，作点E关于线段1DB的对称点1E，过点1E作11DC，AB的垂线，垂足分别为F和

H，则1PEPFEF+…，设1EBA=，则()1111sinsin3ABDCBD=−=，故112sin6EHBE==，故1252266EF=−=.对于D项，当23=时，P平面1ABC且A，P，E三点共线.此时1PEBC⊥，1PEBD⊥，即此时P到直线1BC的距离最小，

最小值为1636AE=.故选ACD.13.【答案】()()22112xy+++=【解析】过O作直线40xy++=的垂线，垂足为A.当OA为直径时，圆C的面积最小.O到直线40xy++=的距离4222d==，可知半径2r=，圆心(),ab在直线0xy−=

上，且222ab+=，解得1a=−，1b=−，所求圆的方程为()()22112xy+++=.14.【答案】725−【解析】由3sin45+=，得()23cossin25+=，两边平方得72sin

cos25=−.所以()222sincoscossinsin22sin2sincos2sin72sincossin1tancossin251cos+++====−+++.15.【答案】8

23【解析】由已知该三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，90ACB=，设D，1D分别是AB，11AB的中点，O是1DD中点，则O就是三棱柱外接球球心，1321sin6022ABCS==△，1332VShDD===，即12DD=，2222112OAAD

DO=+=+=..所以()3344822333VOA===.16.【答案】212+【解析】由图知1111OFceaBF==，122212222OFcceaaPFPF===+则121212PFPFeeBF+=，设12PFF=，则()122sincosPFPFc

+=+，1coscBF=则()122112sincoscossin22422ee+=+=++„.17.【解析】（1）设圆M方程为220xyDxEyF++++=，把A，B，C三点坐标代入可得：10

,4970,1681490,EFDFDEF++=++=++++=解得8D=−，8E=−，7F=，所以圆M方程是228870xyxy+−−+=把D点坐标代入可得：1982470+−−+，故D在圆M内；（2）由（1）可知圆M：()()2

24425xy−+−=，则圆心()4,4M，半径5r=，由题意可知圆心到直线l的距离是3，当直线l斜率存在时，设直线l方程为：()1330ykxkxyk=−+−+−=，所以23131kk−=+，解得43k=−，故直

线l的方程为43130xy+−=；当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：1x=，此时圆心到直线l的距离是3，符合题意.综上所述，直线l的方程为43130xy+−=或1x=.18.【解析】（1）450.1550.26650.2750.3850.08950.0666

.8x=+++++=，所以本次考试成绩的平均分约为66.8；因为成绩在)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++=，成绩在)40,80的频率为0.560.03100

.86+=，所以第71百分位数位于)70,80，设其为x，则()0.56700.030.71x+−=，解得75x=，所以第71百分位数为75；（2）第5组的人数为：500.008104=人，可记为A，B，C，D；第6组的人数为：500.00

6103=人，可记为a，b，c；则从中任取2人，有(),AB，(),AC，(),AD，(),Aa，(),Ab，(),Ac，(),BC，(),BD，(),Ba，(),Bb，(),Bc，(),CD，(),Ca，(),Cb，

(),Cc，(),Da，(),Db，(),Dc，(),ab，(),ac，(),bc，共21种情况，其中至少有1人成绩优秀的情况有(),Aa，(),Ab，(),Ac，(),Ba，(),Bb，(),Bc，(),Ca，()

,Cb，(),Cc(),Da，(),Db，(),Dc，(),ab，(),ac，(),bc，共15种情况.所以至少有1人成绩优秀的概率155217P==.19.【解析】（1）由正弦定理可得：sincos3sinsi

nsinsin0BCBCAC+−−=又在三角形ABC中，()sinsinABC=+，∴()sincos3sinsinsinsin0BCBCBCC+−+−=，∴3sinsincossinsin0BCBCC−−=，又在三角形ABC中，sin0C，∴3sincos1BB−

=，∴1sin62B−=∵()0,B，∴3B=；（2）由2ADDC=，可得()11123333BDBAADBAACBABCBABCBA=+=+=+−=+，两边平方可得222144999B

DBCBABCBA=++，即221441cos999acacB=++，所以229426acacac=++…，当且仅当2ac=时取“=”，所以32ac„，所以133sin28ABCSacB=„△.所以AB

C△的面积的最大值为338.20.【解析】（1）证明：取DP的中点G，连接EG，GA∵四边形ABCD为平行四边形，∴ABCD∥，∵F为AB中点，∴AFCD∥，且12AFCD=，∵G为DP中点，E为CP中点，∴EG为CDP△的中位线，∴EGCD∥，且12EG

CD=，即AFEG∥，且AFEG=，故四边形AFEG是平行四边形，∴EFAG∥，又AG平面ADP，EF平面ADP，∴EF∥平面ADP；（2）取CD中点N，连接BN，∵点D在平面ABP内的投影为F，∴DF⊥平面ABP.∵2222125PFFBBP=+=

+=，3DP=∴22952DFDPPF=−=−=，∵BNCD⊥，则2BNDF==，由于BA，BN，BP两两垂直，则可以点B为坐标原点建系，以BA为x轴，BP为y轴，BN为z轴，则有()0,0,0B，()2

,0,0A，()0,2,0P，()1,0,0F，1,1,12E−，()1,0,2D，则3,1,12DE=−−，3,1,12EF=−−，()1,2,0FP=−，设平面DEF的法向量为()1111,,nxyz=，则1

10,0,DEnEFn==即11111130,230,2xyzxyz−+−=−−=令13y=，则12x=，10z=，故()12,3,0n=，设平面PEF的法向量为()2222,,nxyz=，则220,0,EFnFPn==即2222230,220

,xyzxy−−=−+=令21y=，则22x=，22z=，故()22,1,2n=，12121243713cos,39133nnnnnn+===，设二面角DEFP−−的平面角为，则272221sin139313=−=.故二面角DEFP−−的正弦值为22213

9.21.【解析】（1）由260xx−−得：2x−或3x，即()26gxx−−的定义域为23xxx−或，令26mxx=−−，lnym=在()0,m+内单调递增，而(),2x−−时，26mxx=−−为减函数，()3,x+时，26mxx=−−为增函数，故函数

()26gxx−−的单调递增区间是()3,+.（2）由21,eex与()1,0x−可知()21,1gx−，()1e0,1x所以112ee1xxa−或112ee1xxa−−，分离参数得11211eexxa+，或112

11eexxa−有解，令11exn=，则1n，2ann+或2ann−有解，得2a或0a；（3）依题意()()()222eeeeeeee2xxxxxxxxFxaaaa−−−−=−+−=+−+−，令eexxt−=+，则函数()Fx转化为()()222htattat=−−…，此时

只需讨论方程220atta−−=大于等于2的解的个数，①当0a=时，()0htt=−=没有大于等于2的解，此时()Fx没有零点；②当0a时，()020ha=−，当()20h时，1a，方程没有大于等于2的解，此时()Fx没有

零点；当()20h=时，1a=，方程有一个等于2的解，函数()Fx有一个零点；当()20h时，01a，方程有一个大于2的解，函数()Fx有两个零点.③当0a时，()020ha=−，()2220ha=−恒成立，即方程不存在大于等于2的解，此时函数()Fx没有

零点.综上所述，当1a=时，()Fx有一个零点；当01a时，()Fx有两个零点；当0a„或1a时，()Fx没有零点.22.【解析】（1）设(),Pxy，依题意()11,0F−，()21,0F，且120PFPF=.所以()()2110xxy+−+=，整理得221xy

+=.故点P的轨迹方程为221xy+=；（注：也可以用斜率之积为1−来求轨迹方程，但需讨论斜率不存在的特殊情况.否则扣1分）（2）依题意，12SABCD=.过1F作平行于2l的直线交E于M，N两点，由对称性知CDMN

=.①当1l的斜率为0或斜率不存在时，14362S==；②当1l的斜率存在且不为0时，设1l：1xmy=−，()11,Axy，()22,Bxy.联立方程221,34120,xmyxy=−+−=消元得：()2234690mymy+−

−=.()2Δ1441m=+故()2222121Δ13434mABmmm+=+=++，同理，()2222112112143134mmCDMNmm−++===+−+.故()()()2222721123443mS

ABCDmm+==++.令21tm=+，()1,t+，则()()22727211314112tStttt==+−−++，其中211491212,4tt−++，故288,649S.综上，288,649S.获得更多资源请扫

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