【文档说明】《精准解析》黑龙江省大庆市2023届高三第一次教学质量检测数学试题（解析版）.docx，共(19)页，1.064 MB，由小赞的店铺上传

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大庆市2023届高三年级第一次教学质量检测数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合|Axxa=，集合1,2B=−，若AB=，则实数a的取值范围是（）A.(

,1−−B.(),1−−C.(),2−D.()2,+【答案】A【解析】【分析】利用交集的运算求解.【详解】因为|Axxa=，集合1,2B=−，且AB=，所以1a−，故选：A2.已知复数33ii2iz+=−−，

则z的虚部为（）A.1B.2iC.2D.0【答案】C【解析】【分析】化简复数z，可得z的虚部．【详解】因为()()()()33i2i3i55iiii=1+2i2i2i2i5z++++=−=+=+−−+，所以复数z的虚部为2．故选：C3.已知()1,3a=−，()

2,b=，若()aab⊥−，则=（）A.3−B.4C.3D.4−【答案】B【解析】【分析】由平面向量的坐标运算求解，【详解】因()aab⊥−，所以()()210230aabaab−=−=−−+=，所以4=.故选：B为4.我

国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据统计如下表所示．治理经费x/亿元34567治理面积y/万亩1012111220根据表中所给数据，得到y关于x的线性回归方程为ˆ2yxa=+，则=a（）A.1B.2C.3D.4【答案】C

【解析】【分析】利用线性回归直线方程过定点(),xy，可得答案.【详解】因为34567101211122051355xy++++++++====，，因回归方程过定点(),xy，将其代入ˆ2yxa=+，得1325a=+，解得3a=，故选：C5.已知52a=，5log3b=，则5log18=（

）A.3ab+B.2+abC.2ab+D.3ab+【答案】B【解析】【分析】由对数的运算性质求解，【详解】因为52a=，所以5log2a=.则55555log18log2log9log22log3=+=+，所以5log182ab=+.故选：B6.已知不重合的直线l，m，n和不重合的平面

，，下列说法中正确的是（）A.若m，n，mn⊥，则⊥B.若m，n，m∥，//n，则∥C.若⊥，l⊥，则l∥D.若l=，m，n，mn∥，则ml∥【答案】D

【解析】【分析】由线线垂直得不到面面垂直，可判断A错；无法判断,mn是否相交，故B错误；存在l特殊情况，故C错误；由线面平行的性质和判定定理可判断D正确.【详解】对选项A，如图所示，满足命题条件，但不一定满足⊥，故A错；对选项B，当/

///mnl，l=时，都满足m∥，//n，但推不出∥，故B错；对选项C，存在l特殊情况，故C错误；对选项D，因为m，n，mn∥，所以//m，又m，l=，所以//ml.故选：D7.设x，

Ry，则“2xy+”是“x，y中至少有一个大于1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用反证法可以得到2xy+时x，y中至少有一个大于1，充分性成立，再举出反例，证明必要性

不成立【详解】假设x，y均不大于1，即1x且1y，则2xy+，这与已知条件2xy+矛盾，故当2xy+时x，y中至少有一个大于1，故充分性成立；取2x=，1y=−，满足x，y中至少有一个大于1，但2xy+不成立，故必要性不成立，故“2x

y+”是“x，y中至少有一个大于1”的充分不必要条件.故选：A8.设抛物线C：212xy=−焦点为F，点P在C上，()0,9Q−，若PFQF=，则PQ=（）A.22B.42C.52D.62【答案】D【解析】【分析】根

据题意得出PF是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决.【详解】由题意可知()0,3F−，6QF=，所以6PF=.因为抛物线C的通径长212p=，所以PFy⊥轴，所以226662PQ=+=故选：D.9.函数()()sinfxAx=+（0A，0，2）的

部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移12个单位长度得到函数g（x）的图象，则（）A.()2sin23gxx=−B.()2cos2gxx=C.()()2cos23gxx=−D.()2sin24gxx=+【答案】C【解析】【分析】首先根据函数图象得到()2sin

23fxx=+，再根据平移变换求解即可..的【详解】由图知：()min2fxA=−=−，则2A=，1741234T=−=，所以T=，则2=，即()()2sin2fxx=+.因为22sin033f

=+=，所以23k+=，Zk，即23k=−+，Zk.因为2，得3=，所以()2sin23fxx=+.所以()2sin22sin21236gxxx=−+=+2sin22cos2323xx

=−+=−.故选：C10.在三棱锥−PABC中，PB⊥平面ABC，且23ABPB==，2ACBC==，E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为（）A.38B.58C.35D.5

5【答案】B【解析】【分析】要求异面直线的夹角，利用线线平行进行转化，如图分别取AB，PB的中点M，G，连接FM，ME，GE，FG，则GEPC∥，所以FEG或其补角为异面直线EF与PC所成的角，解三角形即可得解.【详解】如图所示，分别取AB，PB的中点M，

G，连接FM，ME，GE，FG，则GEPC∥，所以FEG（或其补角）为异面直线EF与PC所成的角．因为23ABPB==，2ACBC==，所以3FM=，1ME=．因为PB⊥平面ABC，BC平面ABC，//FMPB，FM⊥平面ABC，PBBC⊥，MEQ平面ABC，所以FMME⊥，且224PCB

CPB=+=．在RtFME△中，222FEFMME=+=．在FEG中，122EGPCFE===，3FG=，由余弦定理得2224435cos22228EFEGFGFEGEFEG+−+−===，所以异面直线EF与PC所成角的余弦值为58．故

选：B11.已知函数()fx，()gx的定义域均为R，且()()22fxgx+−=，()()44gxfx−−=，若()gx的图象关于直线2x=对称，()21g=，则()2022f=（）A.3−B.1−C.0D.2【答案】A【解析】【分析】

依题意可得()()22gxgx−=+，再由()()22fxgx+−=可得()()fxfx−=，即可得到()fx为偶函数，再由()()44gxfx−−=得到()()4fxfx+=，即可得到()fx的周期为4，再根据所给条件计算可得.【详解】因为

()gx的图象关于直线2x=对称，所以()()22gxgx−=+，所以()()()()222fxgxfxgx+−=++=，因为()()22fxgx−++=，所以()()fxfx−=，所以()fx为偶函数．因为()()44gxfx−−=，所以()()224gxfx+−−=，所以

()()22fxfx+−=−，所以()()22fxfx++=−，所以()()422fxfx+++=−，所以()()4fxfx+=，所以()fx的周期为4，所以()()20222ff=．因为()()()()22224gfgf−−=−=，所以()23f=−，故()20223

f=−．故选：A12.设1F，2F分别是椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若12PFPF+=12PFPF−，且222PFFQ=，则椭圆C的离心率为（）A.53B.23C.

33D.23【答案】A【解析】【分析】利用数量积知识得12PFPF⊥，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率【详解】由1212PFPFPFPF+=−，得12PFPF⊥，则点P是以12FF为直径的圆与椭圆C的交

点，不妨设和点P在第一象限，如图连接1QF，令2QFx=，则22PFx=，12QFax=−，122PFax=−．因为1PFPQ⊥，所以22211PFPQQF+=，即()()222492axxax−+=−，得3ax=，又2221212PFPFFF+=，所以()222444axxc−+=，将

3ax=代入，得53e=．故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()24e1xfxx=−+的图象在点()()0,0f处的切线方程为______．【答案】430xy++=【解析】【分析】先求导，再由导数的几何意义和点斜式即可

求解【详解】因为()24e1xfxx=−+，所以()24exfxx=−．因为()03f=−，()04f=−，所以所求切线方程为()34yx−−=−，即430xy++=.故答案为：430xy++=14.已知

直线:3410lxy−+=与圆22:240Oxyxym++−+=相离，则整数m的一个取值可以是______．【答案】2或3或4（注意：只需从2,3,4中写一个作答即可）【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数m的范

围．【详解】因为圆O的圆心为()1,2-，所以圆心到直线l的距离22381234d−−+==+，因为圆O的方程可化简为()()22125xym++−=−，即半径为5m−，所以5250mm−−，所以15m，故整数m的取值可能是2,3,

4．故答案为：2或3或4（注意：只需从2,3,4中写一个作答即可）15.一个口袋里有大小相同的白球4个，黑球m个，现从中随机一次性取出2个球，若取出的两个球都是白球的概率为16，则黑球的个数为______．【答案

】5【解析】【分析】根据古典概型的概率公式及组合数公式得到方程，解得即可.【详解】由题意得2424C1C6m+=，所以()()121346mm=++，解得5m=或12=−m（舍去），即黑球的个数为5．故答案为：516.已知2nxx−

的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是2:3，则n=______，展开式的常数项为______．（用数字作答）【答案】①.9②.672−【解析】【分析】空1：根据二项式系数的性质得34C2C3nn=，解出n即可；空2：由题化简得其展开式的通项为()93219C2rrrrTx−+=

−，令9302r−=，解出r值，代回即可得到其常数项.【详解】由题意得34C2C3nn=，即()()!3!3!2!34!4!nnnn−=−，解得9n=．92xx−展开式的通项为()()93921992CC2rrrrrrrTxxx−−+=−=

−．令9302r−=，解得3r=，故展开式中的常数项为()339C2672−=−．故答案为：9；672−.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设na是公差不

为0的等差数列，12a=，3a是1a，11a的等比中项.（1）求na的通项公式；（2）设13nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）31nan=−（2）364nnSn=+【解析】【分析】（1）设na的公差为d，由题意可

得()()2222210dd+=+，求出3d=，即可求出na的通项公式；（2）由裂项相消法求和即可得出答案【小问1详解】.设na的公差为d，因为12a=，3a是1a，11a的等比中项，所以()()2222210dd+=+，所以230dd−=.

因为0d，所以3d=，故()23131nann=+−=−.【小问2详解】因为()()1331131323132nnnbaannnn+===−−+−+，所以1111111132557313223264nnSnnnn

=−+−++−=−=−+++.18.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1sinsincossin2BACC−=.（1）求角A；（2）若2c=，D为BC边的中点，72AD=，求a的值.【答案

】（1）3A=（2）3a=【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式化简求解，（2）由平面向量数量积的运算律与余弦定理求解，【小问1详解】由题意得sinsin()BAC=+，所以1sincoscossinsincossin2ACACACC+−=，所以1cossinsin2A

CC=.因为sin0C，所以1cos2A=.因为0A，所以3A=.【小问2详解】由2ADABAC=+，可得22242cosADABACABACA=++.因为2c=，72AD=，3A=，所以22

30bb+−=，解得1b=.因为2222cos3abcbcA=+−=，所以3a=.19.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，13AA=，M，N分别是AD，1BD的中点.（1）证明：MN∥平面11CC

DD；（2）求平面1BDD与平面CMN夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3214【解析】【分析】（1）取1CD的中点T，连接DT，TN，由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形DMNT是平行四边形

，则MN∥DT，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）以D为坐标原点，DA，DC，1DD的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：取1CD的中点T，连接DT，TN，∵N，T分别是1BD，1

CD的中点，∴NT∥BC，12NTBC=∵底面ABCD是矩形，M是AD的中点，∴DM∥BC∥NT，1122DMADBCNT===∴四边形DMNT是平行四边形，∴MN∥DT，∵MN平面11CCDD，DT平面11CCDD，∴MN∥

平面11CCDD.【小问2详解】解：以D为坐标原点，DA，DC，1DD的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0M，31,1,2N，()2,0,0A，()0,2,0C，()10,0,3D，()2,2,0B，30,1,2MN=，()

1,2,0CM=−，设平面CMN的法向量为(),,nxyz=，则30220nMNyznCMxy=+==−=，令2z=−，得()6,3,2n=−.取平面1BDD的一个法向量()2,2,0mAC==−.设平面1BDD与平面CMN的夹角为，由图可知

为锐角，则632coscos,14227mnmnmn====故平面1BDD与平面CMN夹角的余弦值为3214.20.盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：3g/cm）进行测定，认为

密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.（1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）

在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；（3）若该品种种子的密度()1.3,0.01N，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量(

)2,XN，则()()0.6827,22PXPX−+−+剟剟0.9545.【答案】（1）1.243g/cm（2）分布列见解析，期望1.44；（3）16827粒.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算平均值即可；（2）求出一粒种子发芽的概率，问题转化为二项

分布求解分布列与期望；（3）根据正态分布的对称性，利用参考数据直接求指定区间的概率即可得解.【小问1详解】种子密度的平均值为：(0.70.50.90.61.10.91.31.41.51.11.70.5)0.21.24++

+++=（3g/cm）【小问2详解】由频率分布直方图知优种占比为()31.41.10.50.25++=，任选一粒种子萌发的概率3433181555525p=+−=，因为为这批种子总数远大于2，所以()2,XBp，00227749(0)C(1)2525625PXpp==−

==，12187252(1)C(1)22525625PXpp==−==，22021818324(2)C(1)2525625PXpp==−==，所以X布列为：X012P49625252625324625期望()3621.

4425EXp===.【小问3详解】因为该品种种子的密度()1.3,0.01N，所以1.3=，20.01=，即0.1=，所以20000粒种子中约有优种70.6827200000.5200.8106010243582+=

=（粒）即估计其中优种的数目为16827粒.21.已知双曲线C与椭圆22194xy+=有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.（1）求双曲线C的标准方程；（2）设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D

的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D且DGEF⊥于G，证明：存在定点H，使得GH为定值.【答案】（1）2214yx−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可设，双曲线C的标准方程为()222210,0xyabab−=，

根据条件列出a，c关系式，解出代入方程即可；（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设l的方程为ykxm=+，联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m，k的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.【小问1详解】设双曲线C的标准方程

为()222210,0xyabab−=，焦点为()1,0Fc−，()2,0Fc，因为双曲线C与椭圆22194xy+=有相同的焦点，所以5c=.因为焦点到渐近线的距离为2，所以222bcbab==+，从而221acb=−=，故双曲线C的标准方程为2214yx−=【小

问2详解】证明：设()11,Exy，()22,Fxy.①当直线l的斜率存在时，设l的方程为ykxm=+，联立方程组22,1,4ykxmyx=+−=化简得()()2224240kxkmxm−−−+=，则()()()

222Δ24440kmmk=++−，即2240mk−+，且12221222444kmxxkmxxk+=−−−=−因为()()1212110DEDFxxyy=−−+=，所以，()()()221212111kxxk

mxxm++−+++()()2222242111044mkmkkmmkk−−=++−++=−−化简得()()22325350mkmkmkmk−−=+−=所以mk=−或53mk=，且均满足2240mk−+.当mk=−时

，直线l的方程为()1ykx=−，直线l过定点()1,0，与已知矛盾；当53mk=时，直线l的方程为53ykx=+，过定点5,03M−②当直线l的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE方程为：y=x-1，联立方程组221

41yxyx−==−，得()22414xx−−=得11x=，253x=−，此时直线l过定点5,03M−因为DGEF⊥，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆的圆心,GH为该圆的半径，故存在定点1,03H

−，使得GH为定值43【点睛】圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取“特殊值”来确定定值是多少.因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.22.已知函数21()ln2fxxxaxxa=

−−+的两个不同极值点分别为1x，2x（12xx）.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：212exx（e为自然对数的底数）.【答案】（1）10,e（2）证明见解析【解析】【分析】（1）把函数21()ln2fxxxaxx=−−有两个不同极值点1x，2x转化为()0fx=

有两个不同的实数根，令()lnxgxx=，结合其导数分析()gx值域情况，从而得到实数a的取值范围；（2）由题意可知1x，2x是方程ln0xax−=的两个根，从而有1122ln0ln0xaxxax−=−=，变形可得

：121121221lnlnln1xxxxxxxx++=−，令12(0,1)xtx=，则()12(1)lnln1ttxxt+=−，再利用分析法即可证明212exx.【小问1详解】解：因()fx有两个不同极值点1x，2x，所以()ln0fxxax=−

=有两个不同的根1x，2x，令()lnxgxx=，则21ln()xgxx−=.令()0gx，得0ex；令()0gx得ex.所以()gx在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，所以max1()(e)egxg==.因为当()1,x+时，(

)0gx，所以10,ea.【小问2详解】证明：由（1）可知121xex，且1x，2x是方程ln0xax−=的两个根，即1122ln0ln0xaxxax−=−=，所以12121212

lnlnlnlnxxxxxxxx+−=+−，所以()12121212lnlnlnlnxxxxxxxx−+=+−，所以()12112122lnln11xxxxxxxx=+−.令12(0,1)xtx=，

则()12(1)lnln1ttxxt+=−，要证212exx，即证()12(1)lnln21ttxxt+=−，即证2(1)ln1ttt−+，即证2(1)ln01ttt−−+.为令2(1)()ln1thttt−=−+，则22(1)()0(1)thttt−=+，所以()ht在()0,1

上单调递增.因为()10h=，所以()()10hth=，所以2(1)ln01ttt−−+成立，故212exx成立.