【文档说明】河北省张家口市宣化第一中学2021届高三下学期阶段模拟（二）数学试题 含解析【精准解析】.doc，共(24)页，2.043 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5e63048097b9e192f2f4f595cbf6490b.html

以下为本文档部分文字说明：

-1-2020-2021学年下学期宣化一中高三数学阶段模拟试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.已知集合22230Axxaxa=+−=，230Bxxx=−，若AB，则实数a的取值范

围为（）A.{0}B.{1,3}−C.(,0)(3,)−+D.(,1)(3,)−−+【答案】D【解析】【分析】先求得集合(,0)(3,)B=−+，根据方程22230xaxa+−=，求得xa=或3xa=−，分0a=，0a和0a三种情况，结合AB，列出不等式组，即可求解.

【详解】由不等式23(3)0xxxx−=−，解得0x或3x，即(,0)(3,)B=−+，又由22(3)()230xxaxaaax=+−+−=，解得xa=或3xa=−，当0a=时，可得集合0A=，此时不

满足AB；当0a时，可得集合,3Aaa=−，若0a，要使得AB，则满足303aa−，解得3a；若0a，要使得AB，则满足033aa−，解得1a−，综上可得，实数a的取值范围是(,1)(3,)−−+.故选：D.2.i是虚数单位，

在复平面内复数23i+3i−−对应的点的坐标为（）A.(332，12−)B.(332，32−)C.(32，12−)D.(32，-2-32−)【答案】A【解析】【分析】把复数化为代数形式，可得对应点坐标．【详解】22(3)33313+332323(3)(

3)iiiiiiiii++−=−+=−+=−−−+，对应点坐标为331,22−．故选：A．3.已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac2≥bc2”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.

必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件求解.【详解】因为a≥bac2≥bc2,而ac2≥bc2¿a≥b，例如0c=，所以“a≥b”是“ac2≥bc2”的充分不必要条件，故选：B4.设函数2()lnfxaxbx=

+，若函数()fx的图象在点(1，(1)f)处的切线方程为y=x，则函数()yfx=的增区间为（）A.(0，1)B.(0，22)C.(22，+)D.(22，1)【答案】C【解析】【分析】由()fx的图象在点(1，(1)f)处的切

线方程为y=x，，得到(1)=1(1)=1ff，，求出a、b，直接利用导数求出增区间.【详解】2()lnfxaxbx=+的定义域为()0+，，()2afxbxx=+-3-∵函数()fx的图象在点(1，(1)f)处的切线方程为y=x

，∴()()11121fbfab===+=解得：11ba==−∴1()2fxxx=−+欲求()yfx=的增区间只需()120fxxx+=−，解得：22x即函数()yfx=的增区间为(22，+)故选：C【点睛】函数的单调性与导

数的关系：已知函数()fx在某个区间内可导，（1）如果()fx>0，那么函数()yfx=在这个区间内单调递增；如果()fx<0，那么函数()yfx=在这个区间内单调递减；（2）函数()yfx=在这个区间内单调递增，则有(

)0fx；函数()yfx=在这个区间内单调递减，则有()0fx；5.用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（）A.3345B.434

5C.3445D.4445【答案】A【解析】【分析】求出所有涂色方法数为45，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可先从中间一个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形．-4-【详解】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为54，有公共

边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为354，所以所求概率为334354455P==．故选：A．6.如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(

2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的线性回归方程是（）A.0.154.05yx=+B.1.45yx=+C.1.051.15yx=+D.1.151.05yx=+【答案】D【解析】【分析】根据题中数据，求得,xy，再代入公式，可求得,ba，即可求得方程.【详解】根据

四组数据，可得12452.2+3.3+5.8+6.73,=4.544xy+++===，所以1=12.2+23.3+45.8+56.7=65.5niiixy=，221222=1+2+4+5=46niix=，所以12221·65.5434.511.

5=1.15464310ˆniiiniixynxybxnx==−−===−−，所以ˆ4.51.1531.05aybx=−=−=，所以回归直线方程为：1.151.05yx=+.故选：D7.令202020202019201812320202021(1)x

axaxaxaxa+=+++++(xR)，则23202022019aaa+++20212020a+=（）A.201920192B.202020192C.201920202D.202020202-5-【答案】C【解析】【分析】运用二项式性质，然后两边求导

即可.【详解】由题知，12021aa=，22020aa=，即2022kkaa−=其中12021,kkZ所以202020202019201820212020201921(1)xaxaxaxaxa+=+++++对上式左右两边求导得2019201920182017202120

202019322020(1)2020201920182xaxaxaxaxa+=++++再令1x=得23202022019aaa+++20192021202020202a+=故选：C8.函数()Asin(2)fxxkxb=++

+，A>0，>0，k，bR，则函数()fx在区间(﹣，)上的零点最多有（）A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】B【解析】【分析】根据函数零点可转化为两个函数图象交点，画出函数大致图象即可求

解.【详解】由()sin(2)0fxAxkxb=+++=，可得sin(2)Axkxb+=−−，sin(2)yAx=+的周期22T==，故sin(2)yAx=+在区间(﹣，)上恰好2个周期，作出sin(

2)yAx=+与ykxb=−−函数的大致图象如图，由图象可知，最多有5个交点，故函数()fx在区间(﹣，)上的零点最多有5个.-6-故选：B【点睛】关键点点睛：函数的零点问题可转化为方程的根的问题，也可转化为两个

函数图象交点的问题，本题转化为函数图象交点问题，作出大致图象可判断交点个数.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9.已知a，b是平面上夹角为3的两个单位向量，c在该平面上，且(a﹣c)·(b﹣c)=0，则下列结论中正确的有（）A

.1ab+=B.1ab−=rrC.3cD.ab+，c的夹角是钝角【答案】BC【解析】【分析】在平面上作出OAa=，OBb=，1OAOB==，3AOB=，作OCc=，则可得出C点在以AB为直径的圆上，这样可判断各选项，特别是CD．由向量加法和减法法则判断AB．【详解】如图，OAa=，OBb=，

1OAOB==，3AOB=，则1ABOA==，即1ab−=rr，B正确；OCc=，由(a﹣c)·(b﹣c)=0得BCAC⊥，点C在以AB直径的圆上（可以与,AB重合）．AB中点是M，则23abOM+==，A错；cOC=的最大值为3

1322OMMC+=+，C正确；ab+与OM同向，由图，OM与c的夹角不可能为钝角．D错误．故选：BC．-7-【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OAa=，OBb=，OCc=，确定C点轨迹，然后由向量的概念判断．本

题也可以放到平面直角坐标系中用坐标解决．10.已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布()110,81N，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布()2,N，则()220.9545P−+=）（）A.该校学生成绩

的期望为110B.该校学生成绩的标准差为9C.该校学生成绩的标准差为81D.该校学生成绩及格率超过95%【答案】ABD【解析】【分析】根据正态分布的数字特征可判断ABC选项的正误，计算出()900.97725P，可判断D选项

的正误.【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布()110,81N，则110=，方差为281=，标准差为9=，21102992−=−=，()()()()11909222222PPPP=−=+−+110.95450.977250

.9522=+=.所以，该校学生成绩的期望为110，该校学生成绩的标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%.所以，ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD.11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时

，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，-8-其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列na称为“斐波那契数列”，记nS为数列na的前n项和，则下列结论中正确的有（）A.821a=

B.732S=C.135212nnaaaaa−++++=D.22212202120222021aaaaa+++=【答案】ACD【解析】【分析】根据斐波那契数列的递推关系21nnnaaa++=+进行判断．【详

解】由题意斐波那契数列前面8项依次为1,1,2,3,5,8,13,21，8721,1123581333aS==++++++=，A正确，B错误；22122212324212332212331nnnnnnnnnnaaaaaa

aaaaaaaa−−−−−−−−−=+=++==++++=++++，C正确；22222212121222121222122222321222223()()nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa−−−−−−−−−−−−−−−=+=+=++=++2222222

221223322122321nnnnaaaaaaaaaa−−−−=++++=+++++，1011n=时，得20212221220212022aaaaa+++=，D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是正确理解新数列，根据

新定义，斐波那契数列满足递推关系21nnnaaa++=+，对于数列前面有限的项或前项的和可以直接求出项，计算，对于一般的结论只能利用这个递推关系判断．12.设函数()yfx=的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a]D，且对任意的

1x[﹣a，a]，总存在2x[﹣a，a]，使得12()()1fxfx−=，称函数()fx为P(a)函数，则下列结论中正确的有（）A.函数()3xfx=是(1)P函数B.函数3()fxx=是(2)P函数-9-C.若函数12()log()fxxt=+是(2)P函数，则t=4D.若函数(

)tanfxxb=+是P(4)函数，则b=2【答案】AD【解析】【分析】根据题中所给定义，结合条件，逐一检验各个选项，分析整理，即可得答案.【详解】对于A：()3xfx=，定义域为R，当1a=时，有[1,1]R−，对任意1[1,1]x

−，11()3xfx=，因为1[1,1]x−，存在21[1,1]xx=−，使1101211()()()()3331xxfxfxfxfx−−=−===，所以函数()3xfx=是(1)P函数，故A正确；对于B：3()fxx=，定义域

为R，当2a=时，有[2,2]R−，当10x=时，1()0fx=，所以不存在2[2,2]x−，使得12()()1fxfx−=，此时12()()0fxfx−=，故B错误；对于C：当t=4时，12()log(4)fxx=+，定义域为(4,)−+，2a=，因为12[2,2],[2

,2]xx−−，则2[2,2]x−−，所以4[2,6]x+，又12()log(4)fxx=+为增函数，所以1212()[log2,log6]fx，又因为121212log6log121,log20=，所以

()(0,1)fx，所以12()(0,1),()(0,1)fxfx−，所以12()()(0,1)fxfx−，即12()()1fxfx−，故C错误；对于D：当44x−时，1tan1x−，所以()[1,1]f

xbb−+，-10-因为函数()tanfxxb=+是P(4)函数，所以对任意1[,]44x，总存在2[,]44x使12()()1fxfx−=，又2[,]44x−，当21xx=时，11()()1fxfx−=，当14x=时，有(1)(1)1bb−

+=，解得b=2，故D正确.故选：AD【点睛】解题的关键是掌握P(a)函数的定义，并根据选项所给条件，结合各个函数的性质，进行分析和判断，综合性较强，属中档题.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.圆柱上､下底面的圆周都在一

个体积为5003的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为___________.【答案】80π【解析】【分析】作出圆柱的轴截面，求出圆柱的高，即可得表面积．【详解】如图ABCD是圆柱的轴截面，其外接圆O是球的大圆，由3450033R=得5R=，10BD=，又8A

B=，∴6AD=，∴圆柱表面积为22424680S=+=．故答案为：80．14.函数()sincossincosfxxxxx=++−的最小正周期T=___________.【答案】2【解析】-11-【分析】由题可得()2fxfx+=，可判断()fx是以2为周

期的函数，再讨论()fx在0,4x和,42x的单调性可得出结论.【详解】()sincossincos22222fxxxxx+=+++++−+

cossincossinxxxx=−++sincossincos()xxxxfx=++−=，()fx是以2为周期的函数，当0,4x时，()sincoscossin2cosfxxxxxx=++−=，函

数单调递减，当,42x，()sincossincos2sinfxxxxxx=++−=，函数单调递增，在0,2内不存在小于2的周期，2是()fx的最小正周期.故答案为：2.【点睛】本题考查三角函数周期的求解，解题

的关键是先判断出2是函数的周期，再根据其性质探讨其为最小正周期.15.已知椭圆C1：2211xymm+=+的右焦点F也是抛物线C2：y2=nx的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为53，则实数n=___

________，椭圆C1的离心率e=___________.【答案】(1).4(2).12【解析】【分析】依题意可得椭圆与抛物线的焦点为()1,0F，根据抛物线的定义即可求出n，再设椭圆与抛物线在第一象限的交

点为(),Axy，由抛物线的定义求出A的坐标，最后代入椭圆方程，求出参数m，即可求出椭圆离心率；【详解】解：椭圆C1：2211xymm+=+，所以右焦点()1,0F，又()1,0F也为22:Cynx=的焦-12-点，所以14n=，所以4n=，即抛物线22:4Cyx=，则抛物线的准线为1x=−

，设椭圆与抛物线在第一象限的交点为(),Axy，则513x+=，所以23x=，又点A在22:4Cyx=上，所以2243y=，解得263y=，所以226,33A，所以222623311mm+=+，解得3m=或89m=−（舍去）所以椭圆方程为22

143xy+=，所以24a=，23b=，2221cab=−=，所以离心率12cea==故答案为：4；1216.已知函数21()ln245fxxxx=−−−+，则使不等式(21)(2)ftft++成立的实数t的取值范围是___________.【答案】111,,1322

【解析】【分析】利用()fx的图象关于直线2x=对称，且在2x时为减函数，可解不等式．【详解】21()ln2(2)1fxxx=−−−+，21(2)ln1fttt−=−+，21(2)ln(2)fttftt

+=−=−，所以()fx的图象关于直线2x=对称，2x时，21()ln(2)(2)1fxxx=−−−+设122xx，则22120(2)1(2)1xx−+−+，221211(2)1(2)1xx−+−+，12022xx−−，12ln(2)ln(2)xx−−，所以1222

1211ln(1)ln(1)(2)1(2)1xxxx−−−−−+−+，即12()()fxfx即()fx是减函数，所以2x时函数为增函数，-13-因此由(21)(2)ftft++得2122221222tttt+−+−++，

解得113t且12t．．故答案为：111,,1322【点睛】思路点睛：本题考查函数的对称性与单调性，利用对称性、单调性不等式，求解方法类似于二次函数：对开口向上的抛物线，离对称轴越近，函数值越小，开口向下的抛物线，离对称轴

越近，函数值越大．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.设等比数列na的公比为q(q≠1)，前n项和为nS.（1）若11a=，6398SS=，求3a的值；（2）若q>1，2152mmmaaa+++=，且29mmSS=

，mN，求m的值.【答案】（1）14；（2）3m=.【解析】【分析】（1）由已知根据等比数列的求和公式得()3631SqS=+，可求得公比12q=，由此可求得3a的值；.（2）由已知和等比数列的通项公式得2510,2qq−+=可求得公比2.q=代入可求得m的值.【详解】解：（1）()333

3612345612312331SaaaaaaaaaaqaqaqSq=+++++=+++++=+，()()6333339.811SSSqSq=+=+解得12q=，所以23114aaq==.（2）22155

++,22mmmmmmaaaaaqaq++==得2510,2qq−+=因为1q，所以2.q=-14-由()()211212129,9,1212mmmmaaSS−−==−−又10,a所以()212912mm−=−，即()()()1212912,mm

m−+=−因为*,mN则120,m−所以129m+=，解得3m=.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，关键在于准确地运用相应的公式，建立方程或方程组，求解得答案.18.已知ABC中，它的内角,,ABC的对

边分别为,,abc，且2223332bcabc+=+.（1）求sinA的值；（2）若sin2sinBC=，求tanC的值.【答案】（1）223；（2）225.【解析】【分析】（1）根据题设条件，利用余弦定理

，求得1cos3A=，进而求得sinA的值；（2）由()2212sinsinsincossin33CBACCC==+=+，得到22sincos5CC=，进而求得tanC的值.【详解】（1）在ABC中，因为2223332bcabc+=+，即22223bcabc+−=由余弦定理可

得2221cos23bcaAbc+−==，因为()0,A，所以2122sin1cos193AA=−=−=.（2）在ABC中，可得()BAC=−+，可得sinsin[()]sin()BACAC=−+=+，由()22

12sinsinsinsincoscossincossin33CBACACACCC==+=+=+，可得22sincos5CC=，-15-又由sin2sinBC=，则sin1C，则cos0C，所以sin22tancos5

CCC==.19.已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分

X的分布列和数学期望.【答案】（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112.【解析】【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，得到DABCBCA=+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互

斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，则()34PA=，()()23PBPC==，DABCBCA=+，其中ABCC

AB+互斥，,,,,ABCBC相互独立，从而()()()()322114336PABCPAPBPC==−=，则()()()()13PDPABCABCPABCPABC=+=+=，所以该射手射中固定靶且恰好

射中移动靶1次的概率为13.（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，5，则()()()()()3221011143336PXPABCPAPBPC====−−−=，-16-()()()()(

)3111143312PXPABCPAPBPC=====，1211121(2)()()()()()()()4334339PXPABCABCPAPBPCPAPBPC==+=+=+=，()()()()()()()()321312134334333PXPABCABCPAPBPCPAPB

PC==+=+=+=()()()()()122144339PXPABCPAPBPC=====,3221(5)()()()()4333PXPABCPAPBPC=====,该射手的总得分X的分布列为X012345P13611219131

913随机变量X的数学期望()11111141012345.3612939312EX=+++++=【点睛】求随机变量X的期望与方差的方法及步骤：1、理解随机变量X的意义，写出X可能的全部值；2、求X取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列

；3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),EXDX；4、若随机变量X的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面四边形ABCD是矩形，2ABAPBC==，平面

PAB⊥平面ABCD，二面角PBCA−−的大小为45.-17-（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出BC⊥平面PAB，可得出BCPA⊥，推导出PA

C△为等腰直角三角形，可得出PAAC⊥，利用线面垂直的判定定理可证得PA⊥平面ABCD；（2）在底面ABCD内，过点B作BHAC⊥，垂足为H，连接PH，设BCa=，推导出BPH为直线PB与平面PAC所成角，计算出BH、PB，进而可计算得出sinBPH.【详解】（1）四

棱锥PABCD−中，四边形ABCD是矩形，所以BCAB⊥，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，BC平面.ABCD所以BC⊥平面PAB，又因为AB、PA、PB平面PAB，所以BCAB⊥，BCPA⊥，BCPB⊥，从而PBA是二面角P

BCA−−的平面角，因为二面角PBCA−−的大小为45，所以45PBA=o，在PAB△中，ABPA=，所以45BPAPBA==，所以90PBA=o，-18-即ABAP⊥，又因为BCPA⊥，ABBCB=，所以PA⊥平面ABCD；（2）在底面ABCD内，过点B作BHAC⊥，垂足

为H，连接PH，由（1）知PA⊥平面ABCD，又BH平面ABCD，所以PABH⊥，又因为BHAC⊥，PAACA=，所以BH⊥平面PAC，从而BPH为直线PB与平面PAC所成角，设BCa=，则2ABAPa==，225ACABBCa=+=，所以，25BABCaBHA

C==，2222PBPAABa=+=，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为2105sin1022aBHBPHPBa===.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所

成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；-19-（2）向量法，sincos,ABnABnABn==（其中AB为平面的斜线，n为平面的法向量，为斜线AB与平面所成的角）.21.已知函数()lnbfxxaxx=−+，a，bR.（1）若

a>0，b>0，且1是函数()fx的极值点，求12ab+的最小值；（2）若b=a+1，且存在0x[1e，1]，使0()0fx成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）最小值322+；（2）()211eaee+−+.【解析】【分析】（1）由1

是函数()fx的极值点得1ab+=，对12ab+用基本不等式中“1的代换”求最值；（2）把“存在0x[1e，1]，使0()0fx成立”转化为函数()fx在1,1e上的最小值小于0，利用导数讨论单

调性，找到最小值，解出a的范围即可.【详解】解：（1）()21,abfxxx=−−因为1是函数()fx的极值点，所以()110,fab=−−=即1.ab+=此时()()()()222222111xbxbxxbab

xaxbfxxxxxx−−−−+−−=−−===当()01,0;xfx当()1,0,xfx所以函数()fx在1x=处取极小值.所以()121223baabababab+=++=++因

为0,0ab，所以22222babaabab+=(当且仅当22,21ab=−=−时等号成立)此时12ab+有最小值322+.-20-（2）当1ba=+时，()1lnafxxaxx+=−+，存在01,1xe使()00fx成立，即函数()fx在1,

1e上的最小值小于0.()()()221111(0)xxaaafxxxxx+−++=−==①当11,a+即0a时，()fx在1,1e上单调递减，所以()fx在1,1e上的最小值为()11120faa=++=+，所以2a−，不符，舍去；

②当11,ae+即11ae?时，()fx在1,1e上单调递增，所以()fx在1,1e上的最小值为()()111110,faeaeaeeee=+++=+++所以()211eaee+−+，又11,ae−所以()211eaee+−

+；（3）当111ae+时，即110ae−时，()fx在1,1ae+上单调递增，在1,1a+上单调递减，所以()fx在1,1e上的最小值为()()()111ln11ln12faaa

aaa+=++−+=−++-21-因为111,ae+所以()1ln10,a−+所以()11ln12a−+所以()1ln12aaaa−+，所以()()11ln12220,faaaa+=−+++

不符，舍去，综上可得，a的取值范围是()211eaee+−+.【点睛】（1）导数为零，并且两侧导数一正一负的点为极值点；导数为零，但是两侧导数符号相同的点不是极值点.（2）研究含参数的函数的单调性要注意：①讨论函数的单

调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；②利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；③在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；④在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程

的判别式进行分类讨22.已知等轴双曲线C：22221xyab−=(a>0，b>0)经过点(52，12).（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知点B(0，1).①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；②点A是C上一定点，过

点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，APAQkk+为定值，求点A的坐标及实数的值.【答案】（1）221xy−=；（2）①0k=；②()2,1,2A=或者()2,1,2A−=−.【解析】【分析】（1）由题意ab=，代入已知点建立方程

，解之可得双曲线C的标准方程.（2）①由对称性可设()(),,,ExyFxy−−，且1x，运用向量数量积的坐标运算表示221BEBFxy=−−+，又由221yx=−可得()2210BEBFx=−，由此可得EBF最小时，k的值.-

22-②设(),,Amn过点B的动直线为：1.ytx=+设()()1122,,,,PxyQxy与双曲线的方程联立得()221220txtx−−−=，根据根的判别式和根与系数的关系可求得22t且21t，

由直线的斜率公式得121211txntxnxmxm+−+−+=−−，再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数的值.【详解】解：（1）由题意ab=，且2251441ab−=解得1ab==，所以双曲线C

的标准方程为221.xy−=（2）①由对称性可设()(),,,ExyFxy−−，且1x，则()()22,1,11BEBFxyxyxy=−−−−=−−+，因为E点在双曲线C上，所以221xy−=，所以221yx=−，所以()2210BEBFx=−

，当1x=时，0,BEBFEBF=为直角，当1x吋，0,BEBFEBF为钝角.因此，EBF最小时，1,0xk==.②设(),,Amn过点B的动直线为：1.ytx=+设()()1122,,,,PxyQxy联立2211xyytx−==+得()221220txt

x−−−=，-23-所以()22212212210Δ48102121ttttxxtxxt−=+−−+=−−=−−，由210t−且Δ0，解得22t且21t，APAQkk+=，即1212,ynynxmxm−−+=−−

即121211txntxnxmxm+−+−+=−−，化简得()()()2121221220txxmtnmxxmmnm−+−+−++−+−=，所以()()222222122011ttmtnmmm

nmtt−−+−+−+−+−=−−，化简得()()2222212220mmntmntmmnm−+−−+−+−=，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以2220102220mmnmnmmnm

−=−−=−+−=如果0,m=那么1,n=−此时()0,1A−不在双曲线C上，舍去.因此0,m从而22,mn=代入21mn=+解得1,2nm==.此时()2,1A在双曲线C上.综上，()2,1,2,A=或者()2,1,2A−=−.【点睛】关键

点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去.-24-