【文档说明】上海市晋元高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.950 MB，由小赞的店铺上传

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晋元高级中学2021学年第二学期期末考试高一年级数学学科试卷2022.6一､填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.函数cos34yx=+的最小正

周期为___________.【答案】23【解析】【分析】利用余弦型函数求解周期的公式进行求解.【详解】因为cos34yx=+，所以周期为23T=;故答案为：23T=.2.设()2,3a=，(),4bm=，若ab∥，则实数m的值为___

________.【答案】83【解析】【分析】利用坐标运算中向量共线的条件即可求解.【详解】ab∥，则使得ba=，即243m==，解得83m=.故答案为：83.3.设数列na为等差数列，其公差为d，若11a=−，2d=，则

9a=___________.【答案】15【解析】【分析】根据等差数列的首项和公差即可求解.【详解】由na为等差数列且11a=−，2d=，故91811615aad=+=−+=故答案为：154.若34i+是关于x

的方程()20,xbxcbc++=RR的一个虚数根，则c=___________.【答案】25【解析】【分析】把34i+代入方程，结合复数相等的条件进行求解.【详解】因为34i+是方程()20,xbxcbc++=RR的一个虚数根，所以()()234i34i0bc++++=，整理得()3

7244i0bcb+−++=，所以2440b+=且370bc+−=，解得6b=−，25c=；故答案为：25.5.设等比数列na满足1283aaa+++=，910166aaa+++=，则171824aaa++

+=___________.【答案】12【解析】【分析】根据等比数列的通项公式计算可得.【详解】等比数列na中，1283aaa+++=，所以()889101612836aaaaaaqq+++=+++==，所以82q=，()88171

82491016612aaaaaaqq+++=+++==.故答案：12.6.在复平面内，复数1i+､3i+对应的点分别是A､B，若ABC为正三角形，则点C对应的复数是___________.【答案】()213iz=+−或

()213iz=++【解析】【分析】根据向量的几何意义可知()()1,1,3,1AB，根据两点间距离公式即可求解点C坐标，进而可得复数.【详解】由题意可知()()1,1,3,1AB，设(),Cab，ABC为正三角形，()()()()2222211312CACBABxyxy==−

+−=−+−=，解得213xy==+为或213xy==−，故点C对应的复数为()213iz=+−或()213iz=++故答案为：()213iz=+−或()213iz=++7.设数列na满足11a=，且()1342nnaan−=+，则数列na的通项公式为na=____

_______.【答案】32n−##23n−+【解析】【分析】化简已知得1232nnaa−+=+，再构造数列求通项得解.【详解】解：因为()1342nnaan−=+，()1232nnaa−+=+，1232

nnaa−+=+，11a=，则123a+=，数列2na+是以3为首项，3为公比的等比数列.12333nnna−+==，所以32nna=−，故答案为：32n−8.已知i为虚数单位，则202211i1ikk=−=+___________.【

答案】1i−−##i-1−【解析】【分析】根据除法运算先化简1-ii1+i=−，然后根据周期性即可求解.【详解】()()()()1-i1-i1-ii1+i1+i1-i==−，且()()()()()()()()23441

42434-i+-i+-i+-i0,-i-i-i-i0nnnn+++=+++=，故()()()20222022211-11i=-i+-i=-i-1iikkkk==−=+故答案为：1i−−9.设数列na的前n项和为nS，22

3nSnn=−+，若na为严格增数列，则实数的取值范围为___________.【答案】4【解析】【分析】利用nS与na的关系可求得数列na的通项公式，根据数列的单调性可得出关于的不等式，由此可求得实数的取值范围.【详解】当1n=时，111aS==−，当2

n时，()()()22123213145nnnaSSnnnnn−=−=−+−−−−+=−，因为数列na为严格增数列，则()2112nnaaaan+，可得13−，解得4.故答案为：4.10.设()()3sin2fxx=−，)0,π，将函数()f

x的图象左移π3个单位得到()gx的图像，若对任意xR，都有()()gxgx−=，则=___________.【答案】π6【解析】【分析】根据图象平移可得()2π3sin23gxx=+−

，然后根据偶函数的特征，即可求解.【详解】函数()fx的图象左移π3个单位得到的()2π3sin23gxx=+−，对任意xR，都有()()gxgx−=，可知()gx为偶函数，故()2ππ=2132k−+，Zk所以π=-π,Z6kk,由于)0,π，所以π6

=故答案为：π611.“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），

则APAC的取值范围为___________.【答案】[0,3]【解析】【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出()=3=34APAC+，结合图形特征以及数量积的运算即可求解.

【详解】过点C作CMAB⊥于,M所以,ACAMMC=+且33==,=22AMMCAPAQQPAMMC=++，,其中1123−，0,()()()()22=3=34=AAAMMCAMMCMAMMMPACCC++++++

当P点与C点重合时，AP在AC方向上的投影最大，此时1,1==,·APAC取得最大值为3；当P点与F点重合时，此时1,13=−=，即APAC⊥,故0APAC=,取得的最小值为·APAC的取值范围是[0,3]．故答案为：[0,3]．12.设数列na满足1

10a=，()1552nnnaan−=+，若不等式()()23233nnnna+−−对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】186,125−##186|125【解析】【分析】

先由数列na的递推关系解，代入恒成立的不等式中，分离参数，构造函数求不含参数那一边的最值即可求解【详解】155nnnaa−=+（2n）11155nnnnaa−−=+11155nnnnaa−−−=又125a=，所以数列na是以2为首项，1为公差的等差数列所以15nn

an=+，所以()15nnan=+()()23233nnnna+−−即()()()()3213315nnnnn−+−+即()33235nn−−设()()3325nfnn=−（*nN）则()()(

)()1331313255nnfnfnnn++−=+−−()()33133255nnn+=−−313655nn−=当2n时()()1fnfn

+；当3n时，()()1fnfn+所以当3n=时，()fn取得最大值189125()33235nn−−恒成立()max3fn−故1893125−，所以186125故答案为：186

,125−二､选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分.13.设12zzC、，则“12=zz”是“12zz=”的（）A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分也非必要条件.【答案】B【解

析】【分析】根据复数相等的定义以及充分必要条件的定义判断即可【详解】设1z=1，2iz=，符合12=zz，但12zz=不成立，若12zz=，则12=zz，所以“12=zz”是“12zz=”的必要非充分条件；故选：B.14.如果命题()Pn对nk=成立，那么它对2nk=+也成立.设()Pn

对2n=成立，则下列结论正确的是（）A.()Pn对所有的正整数n成立；B.()Pn对所有的正奇数n成立；C.()Pn对所有的正偶数n成立；D.()Pn对所有大于1的正整数n成立.【答案】C【解析】分析】根据题意可得

，当命题2P（）成立，可推出4612PPPPP（）、（）、（8）、（10）、（）均成立．【详解】由于若命题Pn（）对nk=成立，则它对2nk=+也成立．又已知命题2P（）成立，可推出4612PPPPP（）、（）、（8）、（10）、（）均成立，即Pn（）对所有正偶数n都成立故选：C

．15.如图，设()123,,iAin=,,是AOB所在平面内的点，且iOAOBOAOB=，给出下列说法：（1）123nOAOAOAOA====；【（2）iOA的最小值是OAOBOB；（3）点A和点iA共线；（4）向量OA及iOA在向量OB方向上的数量投影必定相

等；其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积公式，结合图形即可判断.【详解】由iOAOBOAOB=，可得||||cos||||cosiiOAOBAOBOAOBAOB=，故有||cos||cosi

iOAAOBOAAOB=，即OA和iOA在OB上的投影相等，即点A、iA在同一条垂直于直线OB的直线l上，如图所示，故（3）（4）正确，（1）不正确当iOA恰好为OM,模长最小，此时iOAOBOAOOMB==，（2）正确故选：C16.有一个三人报数游戏：首先A报数字1，然后B报两个

数字2､3，接下来C报三个数字4､5､6，然后轮到A报四个数字7､8､9､10，依次循环，直到报出10000，则A报出的第2022个数字为（）A.5979B.5980C.5981D.5982【答案】D【解析】【分析】由题意可知，A第n次报数的个数为32n−，则A第n次

报完数后共报的个数为[1(32)](31)22nnnnnT+−−==，可知n的最小值为37，得372035T=，而A第37次报时，3人总共报了3631109+=次，A报出的第2035个数字为1231095995nS=++++=，进而求出A

报出的第2021个数字．【详解】由题意可知，A第n次报数的个数为32n−，则A第n次报完数后共报的个数为[1(32)](31)22nnnnnT+−−==，再代入正整数n，使得2022nT…，解得n的最小值为37，得372035T=，而A第37次报时，3人总共报了3631109+

=次，当A第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952nS+=++++==，即A报出的第2035个数字为5995，故A报出的第2022个数字为()5995203520225982−−=

，故选：D三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.设复数z满足2z=，且()13iz+为纯虚数，求复数z的共轭复数z.【答案】3i=−+z或3iz=−【解析】【分析】设i,(,)zababR=+，

由2z=得224ab+=,由()()()13i(i)33i++=−++ababab是纯虚数求得ab、，再求z即可.【详解】设i,(,)zababR=+，由2z=得224ab+=,又()()()13i(i)33i++=−++ababab是纯虚数，则3030+−=abab，由224a

b+=得31ab==或31=−=−ab，当31=−=−ab时，3iz=−−，3i=−+z；当31ab==时，3iz=+，3iz=−；综上所述，3i=−+z，或3iz=−.18.三角测量在三角学与几何学上是一种借由测量目标点与固定基准线的已

知端点的角度，测量目标距离的方法.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图ABC，其中90ACB=，由于实际情况，其它的边和角无法测量，以下为可测量数据：①4BD=；②6BDC=；③4BCD=.请根据以上数据求出ABC的面积.【答案】843+【解析】【分析】根据正弦定理可得

BC，再根据两角和的正切公式求解tanABC，进而得到AC求出ABC的面积即可．【详解】解：在BCD△中，由正弦定理sinsinBCBDBDCBCD=，可得41222BC=所以22BC=，因为3tantan1643tantan236431tantan11643AB

C++=+===+−−，2ACB=，所以()tan22234226ACBCABC==+=+，故()1122422684322ABCSACBC==+=+．19.如图，直角三角形ABC中，

90C=，6AC=，8BC=，D是AB的中点，M是CD上的动点.（1）计算ABBCBCCACAAB++的值；（2）求()MAMBMC+最小值.【答案】（1）100−（2）252−【解析】【分析】（1）根据向量的加法运算以及数量积的运算即可求解.（2）根据向量加法，将2MAMBMD+

=，然后根据向量共线，转化为二次函数求最值即可.【小问1详解】由直角三角形ABC中，90C=，6AC=，8BC=,可知10AB=,则()ABBCBCCACAABABBCCABCCA++=++210

0ABBABCCAAB=+=−=−；【小问2详解】D是AB的中点,所以2MAMBMD+=,故()2MAMBMCMDMC+=,且152CDAB==由于,,CMD三点共线,设()=,01CMCD,则()=1,MDCD−故()()()221251501250222MAMBMC

MDMCCD+=−=−−−=−−=,当12=时,取最小值252−.20.设数列na的前n项和为nS.（1）若na是等比数列，232a=，292S=，求limnnS→；（2）若na是等差

数列，11a=，4d=，若kS是数列na中的项，求所有满足条件的正整数k组成的集合；（3）若数列na满足11a=且2112nnnaaS++−=，是否存在无穷数列na，使得20222021a=−？若存的在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满

足条件）；若不存在，说明理由.【答案】（1）lim6nnS→=（2）()|43Nkktt+=−（3）()()()(),12021,N202112022nnnnann+=−−（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根据

等比数列的基本量法求解可得,nnaS，进而求得limnnS→即可；（2）根据等差数列的通项公式计算可得43nan=−，()21nSnn=−再根据()43Nnn+−表示所有被4除余1的正整数，进而分()43Nktt+=−或()41Nktt+=−两种情况讨论即可；（

3）根据递推公式及首项可得11nnaa+=+()nN+或1nnaa+=−()nN+，再根据题意写出满足条件的数列即可【小问1详解】设na的公比为q，则1113292aqaaq=+=，解得1312aq==，故131

12611212nnnS−==−−，故lim6nnS→=【小问2详解】由题意，()14143nann=+−=−，故()()143212nnnSnn+−==−，即求正整数k使得()()2143NkSkknn+=−=−成立，易得()43Nn

n+−表示所有被4除余1的正整数，若k为偶数则()21kSkk=−为偶数，不满足，故k为奇数.可将所有正奇数设为两类：()43Nktt+=−或()41Nktt+=−.当()43Nktt+=−时，()()243243132522

1kStttt=−−−=−+，满足被4除余1；当()41Nktt+=−时，()()241241112203kStttt=−−−=−+，不满足被4除余1.综上所述，当且仅当()43Nktt+=−时，

正整数k使得()()2143NkSkknn+=−=−成立，即所有满足条件的正整数k组成的集合为()|43Nkktt+=−，【小问3详解】因为当1n=时，222122aaa−==，解得22a=或21a=−.又21

12nnnaaS++−=，当2n时，212nnnaaS−−=，两式相减有22112nnnnnaaaaa++−−+=，即2211nnnnaaaa++−=+，故()22111222nnaan+−=+

，故11122nnaa+−=+或11122nnaa+−=−−，即11nnaa+=+()2n或1nnaa+=−()2n.当1n=时，22a=或21a=−也满足，故11nnaa+=+()nN+或1nnaa+=−()nN+.故满足题意的一个无穷数列可为1,2,3..

.2020,2021,2021,2021,2021,2021...−−，即()()()(),12021,N202112022nnnnann+=−−（答案不唯一）21.对闭区间I，用IN表示函数()yfx=在I上的最小值

.（1）设()sincosyfxxx==−，求,22N−的值；（2）设()sincos62fxaxx=+++，且()yfx=偶函数，,12mnN=，求nm−的最大值；（3）设()cos2fxx=+，若有且仅有一个正数a使得

()0,,20aaaNkNk=成立，求正实数k的取值范围.【答案】（1）2−（2）3（3）1,12【解析】【分析】（1）先化简()fx，再结合所给区间求解,22N−；（

2）先利用偶函数求出a，再利用,12mnN=，求出nm−的最大值；（3）根据题意分段讨论，求出,ka的关系式，结合简图可得答案.小问1详解】()sincos2sin4fxxxx=−=−，因为,22

x−，所以,444x−−，所以()2,1fx−，所以,222N−=−.小问2详解】【【因为()sincos62fxaxx=+++为偶函数，所以()()fxfx−=，sinsinsinsin66

axxaxx−++=+−，整理得()sin023ax−=，所以233a=，此时3(s)co3xfx=.因为,12mnN=，所以31cos32x，即3cos2x，解得22,66kxkkZ−+，所以nm−的最大值为3

.【小问3详解】()cossin2fxxx=+=−，当04a时，0,sinaaN=−，,2sin22sincosaaaaaN=−=−，由sin2sincosakaa−=−，得12coska=；当42a时，0,sinaaN=−，,21aaN=−，所以si

nka=；当2a时，0,1aN=−，,2sinaaNa=−，所以1sinka=；当54a时，5222a，0,1aN=−，,2sin2aaNa=−，所以1sin2ka=；当54a时，522a

，0,1aN=−，,21aaN=−，所以1k=；所以1,02cos4sin,421,sin215,sin2451,4aaaakaaaaa=作出简图，由图可知，k的范围是1,12.获得更多资源请

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