【文档说明】湖南省常德市临澧县第一中学2022-2023学年高二永通班下学期入学考试数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1.121 MB，由小赞的店铺上传

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寒假陪尖考试数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点P为抛物线2:2(0)Cypxp=的准线上一点，直线2xp=交抛物线C于M，N两点，若PMN的面积为20，

则p=（）A.1B.2C.2D.5【答案】C【解析】【分析】求得,MN两点的坐标，根据PMN的面积列方程，解方程求得p的值.【详解】由题意不妨设2222MppNpp−（，）,（，），则PMN的面积为1542022pp=，解得2p=.故选：C2.过点(

)1,2P−作圆()22:11Cxy−+=的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（）A.34y=−B.12y=−C.32y=−D.14y=−【答案】B【解析】【分析】先由圆C方程得到圆心和半

径，求出PC的长，以及PC的中点坐标，得到以PC为直径的圆的方程，由两圆方程作差整理，即可得出AB所在直线方程.【详解】因为圆()22:11Cxy−+=的圆心为()1,0C，半径为1r=，所以()()2

211202PC=−+−−=，PC的中点为()1,1-，则以PC为直径的圆的方程为()()22111xy−++=，所以AB为两圆的公共弦，因此两圆的方法作差得AB所在直线方程为210y+=，即12y=−.故选：B.【点睛】本题主要考查求两圆公共弦所在直线的

方法，属于常考题型.3.若点()1,0A和点()4,0B到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C【解析】【详解】试题分析：以点A为圆心，以1为半径长的圆的方程为()2211xy−+

=，以点B为圆心，且以2为半径的圆的方程为()2244xy−+=，则直线l为两圆的公切线，312AB==+，即圆A与圆B外切，因此两圆的公切线有3条，即直线l有三条，故选C.考点：1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线4.已知数列na是等比数列，数列nb是等差数列，若261033aa

a=，16117bbb++=，则21039tan1bbaa+−的值是A.1B.22C.22−D.3−【答案】D【解析】【分析】根据等比数列和等差数列的性质求得6a和6b，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于7tan3−，利用诱导公式可求得结果.【详解

】na是等比数列32610633aaaa==63a=nbQ是等差数列1611637bbbb++==673b=2106239614273tantantantantan3111333bbbaaa+===−=−=−−

−−本题正确选项：D【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题.5.已知双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左右焦点分别为1F，2F，实轴长为6，渐近线方程为13yx=，动点M在双曲线左支上，点N为圆()22:61Ex

y++=上一点，则2MNMF+的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】【分析】先根据题意得双曲线的方程为2219xy−=，再结合双曲线的定义得212MFaMF=+，故212MNMFaMNMF+=++，连接1EF，交双曲线于M，交圆于N，此时1M

NMF+取得最小值，再计算即可得答案.【详解】由题意可得26a=，即3a=，渐近线方程为13yx=，即有13ba=，即1b=，可得双曲线方程为2219xy−=，焦点为()110,0F−，()210,0

F，由双曲线的定义可得21126MFaMFMF=+=+，由圆()22:61Exy++=可得()0,6E−，半径1r=，216MNMFMNMF+=++，连接1EF，交双曲线于M，交圆于N，此时1MNMF+取得最小值，且为16104EF=+=，则2MNMF+的最小值为6419+

−=.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.6.已知数列{}na满足1212aa++…2*1()nannnNn+=+，设数列{}nb满足：121nnnnbaa++=,数列{}nb的前n项和为nT，若*()1nnTnNn

+恒成立，则的取值范围是A.1(,)4+B.1[,)4+C.3[,)8+D.3(,)8+【答案】D【解析】【分析】先求出{}na的通项，再求出{}nb的通项，从而可求nT，利用参变分离可求的取值范围.【

详解】因为1212aa++…2*1()nannnNn+=+，所以1212aa++…()()2*1111(,2)1nannnNnn−+=−+−−，故12nann=即22nan=，其中2n.而令1n=，则22111221a=+==，故22nan

=，1n.()()2222211114411nnbnnnn+==−++，故()2222221111111412231nTnn=−+−++−+()()22211214141nnnn

+=−=++，故*()1nnTnNn+恒成立等价于()222141nnnnn+++即()241nn++恒成立，化简得到()11441n++，因为()11113441488n++=+，故38.故选D.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等

差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新数列，通过讨

论新数列的最值来求参数的取值范围.7.已知双曲线()2222:10,0yxCabab−=的上、下焦点分别是1F，2F，若双曲线C上存在点P使得2124PFPFa=−，22221243PFPFab+=+，则其离心率的值是（）A.2B.2C.3D.3【答

案】D【解析】【分析】设()00,Pxy，结合()212PFPF+以及12PFPF列方程，化简求得离心率.【详解】设()00,Pxy，则2200221yxab−=①，利用向量加法法则知122PFPFPO

+=，则()()22122PFPFPO+=即2222211222344PFPFPFPFbaPO++=−=，故()222200434xyba+=−②，设()()120,,0,FcFc−，则()()222212000000,,4PFPFxcyxcyxyca=−−−

−−=+−=−，2222004xyca+=−③，由②③得()22224434caba−=−，即2224312cba=+，又222bca=−，所以()22224312ccaa=−+，即229ca=，即3ca=所以

双曲线离心率值是3故选：D8.已知函数()yfx=的定义域为R，对任意的实数,Rxy，()()()fxyfxfy+=，当0x时()1fx，且数列na满足()()*111N1nnfafna+=+，且()10af=，则下列结论成立的是（）A.

()()20162019fafaB.()()20162018fafaC.()()20172020fafaD.()()20182019fafa【答案】B【解析】的【分析】由()()()fxyfxfy+=利用特值法可得()01f=，所以()()11111

011nnnnfaffafaa++=+==++可得111nnaa+=−+，由递推关系可知数列na为以3为周期的数列，根据周期化简即可求解.【详解】依题意，对任意的实数,Rxy，等式(

)()()fxfyfxy=+成立，令0xy==得()()200ff=，所以()00f=或()01f=，又当0x时()1fx，所以()()()()110010ffff−=−+=−，所以()01f=，令yx=−，则(0)()()1ffxfx=−=，因为

当0x时()1fx，不妨令0x，则1()0()fxfx=−，所以对任意xR有()0fx，任取12Rxx，则1212221222212()()()()()()()()[()1]fxfxfxxxfxfxxfxfxfxfxx−=−+−=−−=−−，因为120xx−，所以

12()1fxx−，所以212()[()1]0fxfxx−−，即12()()fxfx，()fx单调递减，所以()1fx=有唯一解0x=，又数列na满足()()11111011nnnnfaffafaa++=+==++，所以111nnaa+=

−+，又因为()101af==，所以211112a=−=−+，312112a=−=−−，()411112aa=−==+−，由数列na的递推关系知数列na为以3为周期的数列，所以2019201362aaa==

=−，2022001711aaa===，2018212aa==−，()()()201720201fafaf==，()()()()()2201620192111fafafff==−=−−=−，()21111222fff−=−+−=−

，当0x时()1fx，所以()11f−，112f−，所以()()()12017111fff==−，()()()()22016201911fafaff==−−，又()()2201811122ffffa−

=−−=，所以()()()()()20162019201820172020fafafafafa==故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知过点A（a，0）作曲线:xxCye=的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（）A.－2B.4C.0D.6【答案】AD【解析】【分析】设出切点，写出

切线方程，将A点代入，化简后方程有两根，即可得到a的取值范围.【详解】设切点为000,exxx，则0001exxxxy=−=，所以切线方程为：()000001eexxxxyxx−−=−，切线过点A（a，0），代入得：()000001

eexxxxax−−=−，即方程2000xaxa−+=有两个解，则有2404aaa=−或a<0．故选：AD.10.已知抛物线22yx=焦点为F，()11,Mxy，()22,Nxy是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A.点F的坐标为1,08B

.若直线MN过点F，则12116xx=−C.若MFNF=，则MN的最小值为12D.若32MFNF+=，则线段MN的中点P到x轴的距离为58【答案】BCD的【解析】【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A错误；直线MN

与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B正确；根据MN过焦点可知最小值为通径长，知C错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得P点纵坐标，知D正确.【详解】解：抛物线22yx=，即212xy=，对于A，由抛物线方程知其焦点在y轴上，焦点为10,8F

，故A错误；对于B，依题意，直线MN斜率存在，设其方程为18ykx=+，由21218xyykx==+，消去y整理得2110216xkx−−=，12116xx=−，1212xxk+=，故B正确；对于C，若MFNF=，则直线MN过焦点，所以2121

211111118888422MNMFNFyykxkxk=+=+++=++++=+，所以当0k=时min12MN=，MN的最小值为抛物线的通径长12，故C正确；对于D，12113882MFNFyy+=+++=，1254yy+=，即P点纵坐标为12528yy+=，P到x轴的

距离为58，故D正确.故选：BCD.11.无穷数列na的前n项和2nSanbnc=++，其中a，b，c为实数，则（）A.na可能为等差数列B.na可能为等比数列C.na中一定存在连续三项构成等差数列D.na中一定存在连续三项构成等比数列【答案】A

BC【解析】【分析】由2nSanbnc=++可求得na的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n=时，11aSabc==++．当2n时，()()221112nnnaSSanbncanbncanab−=−=

++−−−−−=−+．当1n=时，上式＝ab+．所以若na是等差数列，则0.ababcc+=++=所以当0c=时，na是等差数列，00acb==时是等比数列；当0c时，na从第二

项开始是等差数列．故选：ABC【点睛】本题只要考查等差数列前n项和nS与通项公式na的关系，利用nS求通项公式，属于基础题．12.已知双曲线22*:(2019nnExynN−=且2019)n，设直线2x=与双曲线nE在第一象限内的交点为nA，点nA

在nE的两条渐近线上的射影分别为,nnBC，记nnnABC的面积为na，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为yx=B.2019nna=C.数列{}na为等差数列D.122019505+2aaa++=【答案】ACD【

解析】【分析】根据双曲线的方程求出渐近线方程，设点(2,)nnAy，求出(2,)nnAy到两渐近线的距离12,dd，从而得到1212nnnABCSdd=△，即可得到{}na的通项公式，再根据等差数列的前n项和公式计算可得；【详解】解：

因为双曲线的方程为22*:(N2019nnExyn−=且2019)n，所以渐近线方程为yx=，设点(2,)nnAy，则2*4(N2019nnyn−=且2019)n，记(2,)nnAy到两条渐近线的距离分别为12,dd，则122ndy=+、2

22ndy-=，则21242211210922444201922nnnnnnABCnyyynSdd−+−=====△，故42019nna=因此{}na为等差数列，故12201911201920185052019420194201922aaa++=

+=，故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若函数f（x）＝12x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【答案】)2,+【解析】【详解】试题分析：函数定义域为()0,+，导函数为()1'fx

xax=−+，使得存在垂直于y轴的切线，即()'0fx=有解，可得1axx=+有解，因为0x，所以12axx=+，当且仅当“1xx=“时等号成立，所以实数a的取值范围是)2,+考点：导数的应用14.已知正项等比数列

na满足65432149aaaaaa++−−−=，则987aaa++的最小值为__________．【答案】196【解析】【分析】根据整理代换法，结合等比数列的性质、换元法、基本不等式进行求解即可.【详解】设该等比数列的公比为q，333654321

32132149)49(aaaaaaaqaqaqaaa++−−−=+++=+−2331)(1)49(qaaa−=++，因为数列na是正项等比数列，所以3213491qaaa++=−，且1q，所以6

6666321327193849()1aqaqaqqaaaqaaqa=++=++=−++，令331(0)1qttqt−==+，于是有63987491149(2)49221961qttqttaaa==+++=+−+，当且仅当1tt=取等号，即1t=时取等号，

即32q=时取等号，所以987aaa++的最小值为196，故答案为：19615.在平面直角坐标系xOy中，若圆1C：()()22210xyrr+−=上存在点P，且点P关于直线0xy−=的对称点Q在圆2C：()()22211xy−+−=上，则r的取值范围是______.【答案】21,21−

+【解析】【分析】求出圆2C关于直线0xy−=的对称圆的方程，由对称圆与圆1C有公共点即得．【详解】圆2C：()()22211xy−+−=的圆为2(2,1)C，半径为1，它关于直线0xy−=的对称圆的圆心为3(1,2)C，半径仍然为1，圆1C的圆心为(,

)1C01，半径为r2213(10)(21)2CC=−+−=，由题意121rr−+，解得2121r−+．故答案为：[21,21]−+．【点睛】方法点睛：本题考查圆与圆的位置关系，解题关键是把问题转化为两圆相交．圆与圆的位置关系：两圆圆心距离为d，半径分别为,rR，则相离dRr+

，外切dRr=+，相交RrdRr−+，内切dRr=−，内含dRr−．16.已知O为坐标原点，F为抛物线22ypx=的焦点，过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）．若直线AO与抛物线的准

线l交于点D，设AOF，ADB的面积分别为1S，2S，则12SS=______．【答案】916##0.5625【解析】【分析】直线AB方程为32pyx=−.联立直线AB方程与抛物线的方程，求出,AB点的坐标，进而得到D的坐标，表示出1S，2S

，即可得出结果.【详解】由题意知，,02pF，直线AB方程为32pyx=−.设(),AAAxy，(),BBBxy.联立直线AB方程与抛物线的方程2232ypxpyx==−，解得323xpyp==

或633pxyp==−.因为点A在第一象限，所以3,32App，3,63pBp−，直线AO方程为30233302pyxxp−==−，D点坐标为3,23pp−−.因为33BDyyp==−，所以//BDx

轴.所以2111332224ASppOFyp===，212ABBDSyy=−21343326239ppppp=−−−−=，所以212263449139SSpp==.故答案为：916.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解

答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列{}na的前n项的和为nS，且满足*21()nnSanN=−.（1）求数列{}na的通项公式na及nS；（2）若数列{}nb满足|15|nnbS=−，求数列{}nb的前n项的和nT.【答案

】（1）12nna−=，21nnS=−；（2）111622(14)21666(4)nnnnnTnn++−+=−+.【解析】【分析】（1）根据21nnSa=−，得到1122nnnaaa++=−，证明数列是等

比数列，由等比数列的通项公式与求和公式，即可求出结果；（2）由（1）求得162(14)216(4)nnnnbn−=−，分14n和4n两种情况，结合等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）由21nnSa=

−得：1121Sa=−，即11a=，由21nnSa=−得：1121nnSa++=−，两式相减得:1122nnnaaa++=−，即12nnaa+=，即数列{}na是以1为首项，2为公比等比数列，则12nna−=，

则122112nnnS−==−−；（2）由（1）知：|216|nnb=−，则162(14)216(4)nnnnbn−=−，则当14n时，12(162)(162)(162)nnT=−+−++−122(12)16(222)1612nnnn−=−+++=−−

11622nn+=−+，当4n时，124567(162)(162)(162)(216)(216)(216)(216)nnT=−+−++−+−+−+−++−1242(222)16nTn=++++−12(12)234162166612nnnn+

−=+−=−+−，则111622(14)21666(4)nnnnnTnn++−+=−+.的【点睛】本题主要考查求等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的求和问题，属于常考题型.18.已知函数21()2xfxaexx=−−(

aR)．（1）若函数()fx有两个极值点，求a的取值范围；（2）证明：当1x时，1lnxexxx−．【答案】（1）01a；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意转化为()0fx=有两个变号零点，再参变

分离后得1xxae+=，利用图象求a的取值范围；（2）首先构造函数1()lnxgxexxx=−+(1x)，求函数的二次导数，分析函数的单调性，并求函数的最值，并证明不等式.【详解】（1）()fx的定义域为R，()1xfxaex=−−，若函数()fx有两个极值点，则(

)10xfxaex=−−=有两个变号零点，等同于1xxae+=，即水平直线ya=与曲线1xxye+=有两个交点(ya=不是1xxye+=的切线)，令1()+=xxhxe，()hx的定义域为R，则()

xxhxe=−，令()0hx=，解得0x=，当0x时，()0hx，()hx在(0)+，上单调递减，当0x时，()0hx，()hx在()0−，上单调递减，则(0)1h=为()hx的极大值，也为最大值，当()0hx=时，=1x−

，当x→−时，()hx→−，当x→+时，()0hx→且为正数，则()hx的图像如图所示，则此时01a；（2）证明：令1()lnxgxexxx=−+(1x)，则只需证明当1x时()0gx恒成立即可，则21()ln1xxegxexxx+−=−，令21()()ln1x

xetxgxexxx==+−−，则()232lnxxxxeexetxexxxx−=+++，当1x时ln0xex，0xex，20xxexex−，320x，则()0tx，则21()()l

n1xxetxgxexxx==+−−在1x时单调递增，又(1)20ge=−，∴1x时，()0gx，则1()lnxgxexxx=−+在1x时单调递增，∴当1x时()(1)0gxg=，即当1x时，1lnxexxx−．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方

法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxgxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根

据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.其中一种重要的技巧就是找到函数()hx在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的突破口.19.在等差数列na中，已知公差2d=，2a是1a与4a的等比中项（1

）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足3122331313131nnnbbbba=++++++++，求数列nb的通项公式；（3）令()*4nnnabcnN=，数列nc的前n项和为nT.【答案】（1）2nan=；（2）2(31)

nnb=+；（3）()()12133142nnnnnT+−++=+【解析】【分析】（1）先根据条件求出首项，再根据等差数列通项公式得结果，（2）根据条件作差得结果，（3）根据错位相减法得结果.【详解】（1）因为2a是1a与4a的等比中项，所以21111(2)(6)2aaaa+

=+=，∴数列na的通项公式为2nan=.（2）∵()31223131313131nnnbbbban=+++++++++①∴311212313131313131nnnnnbbbbba+++=+++++++++++②②－①得：1

11231nnnnbaa+++=−=+，()11231nnb++=+，故()()*231nnbnN=+．（3）()3134==+=+nnnnnabcnnn，∴()()23123132333312nnnTccccnn=++++=+

+++++++，令231323333nnHn=++++，①则234131323333nnHn+=++++②①－②得：()2311313233333313nnnnnHnn++−−=++++−=−−，∴()121334nn

nH+−+=∴()()23123132333312nnnTccccnn=++++=++++++++．∴数列nc的前n项和()()12133142nnnnnT+−++=+【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别

题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“nS”与“nqS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“nnSqS−”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.20.已知双曲线

C：()222210,0xyabab−=一条渐近线方程为20xy−=，焦点到渐近线的距离为1．.的（1）求双曲线C的标准方程与离心率；（2）已知斜率为12−的直线l与双曲线C交于x轴上方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为18−，求OAB的面积

．【答案】（1）2212xy−=，离心率为62（2）23【解析】【分析】（1）依题意用点到直线的距离公式列方程可得c，然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解；（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理表示出

直线OA，OB的斜率可得直线l的方程，数形结合可解.【小问1详解】由题意知焦点(),0c到渐近线20xy−=的距离为13c=，则3c=因为一条渐近线方程为20xy−=，所以22ba=，又223ab+=，解得2a=，1b=，所以双曲线C的标准方

程为2212xy−=，离心率为3622cea===．【小问2详解】设直线l：()102yxtt=−+，()11,Axy，()22,Bxy，联立()22221,2441012yxtxtxtxy=−++−+=−=则()22Δ161610t

t=++，所以124xxt+=−，()21241xxt=−+由121212121122OAOBxtxtyykkxxxx−+−+==()()()221221241112244841ttxxtttxxt−++−−+=+=+=−−+解得1t=或1

−（舍去），所以124xx+=−，128xx=−l：112yx=−+，令0x=，得1y=，()21212124163243xxxxxx−=+−=+=所以OAB的面积为1212111()14323222SODxxODxx=+=−==21.已知函数2()e2e4xxfxx=−−.（1）求()f

x的单调区间；（2）当0x时，()e(41)xafxax−+恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）()fx在(,ln2)−上单调递减，在(ln2,)+上单调递增；（2）[1,0]−【解析】【分析】（1）求导得()2(e

1)(e2)xxfx=+−，分别令()0fx和()0fx，进而可求出函数的单调区间；（2）令()()e(41)xgxafxax=−++，可知(0,)x+时，()0gx恒成立，进而分102a、

12a和0a三种情况，分别讨论函数()gx的单调性，进而可求出a的取值范围.【详解】（1）()fx的定义域为R，2()2e2e42(e1)(e2)xxxxfx=−−=+−，显然2(e1)0x+，令()0fx=，则e20x−=，解得ln2x=，当(,ln2)

x−时，()0fx，即函数()fx在(,ln2)−上单调递减，当x(ln2,)+时，()0fx，即函数()fx在(ln2,)+上单调递增.（2）令2()()e(41)e(21)exxxgxafxaxaax=−++=−++，则当(

0,)x+时，()0gx恒成立，求导得2()2e(21)e1(2e1)(e1)xxxxgxaaa=−++=−−，且e10x−，①当102a时，令()(2e1)(e1)0xxgxa=−−=，即ln2xa=−，则(ln2,)xa−+时，()0gx恒成立，∴()gx

在(ln2,)a−+上是增函数，且()((ln2),)gxga−+，∴不符合题意；②当12a时，2e10xa−，则(0,)x+时，()0gx恒成立，∴()gx在(0,)+上是增函数，且()((0),)gxg+，∴不符合题意；③当0a时，2e10xa−，则(0,

)x+时，恒有()0gx，即()gx在(0,)+上是减函数，所以(0,)x+时，()()()021gxgaa=−+，所以(21)0aa−+，解得1a−，故10a−.综上，a的取值范围是[10]−，.【点睛】本题考查函数的单调

性，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想在解题中的运用，属于难题.22.如图，椭圆()2222:10yxMabab=+的两顶点()2,0A−，()2,0B，离心率32e=，过y轴上的点()()40,,0tFtt

的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.（1）当23t=且4CD=时，求直线l的方程；（2）当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为Px，Qx，是否存在常数使PQxx=成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2230xy−+

=或2230xy+−=（2）存在，4=【解析】【分析】（1）先求得椭圆M的方程，再以设而不求的方法即可求得直线l的方程；（2）先以设而不求的方法得到PQxx、的解析式，再去计算PQxx是否为定值即可解决.【小问1详解】椭圆的方程()222210yxabab+=，由题可得2b=

；由32cea==，结合222abc=+，得4a=，椭圆的标准方程：221164yx+=；当直线l的斜率不存在时，8CD=，与题意不符，故设直线l的方程为23ykx=+，代入椭圆方程22416yx+=整理得()2244340kxkx++−=，设(

)11,Cxy，()22,Dxy，122434kxxk−+=+，12244xxk−=+；()()2222212122228143414144444kkCDkxxxxkkkk+−−=++−=+−==

+++，解得2k=.则直线l的方程为2230xy−+=或2230xy+−=.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，直线l与y轴重合，由椭圆的对称性可知直线AC与直线BD平行，不符合题意；由题意可设直

线的方程：xmyn=+()0,0mn代入椭圆方程，得()2221484160mymnyn+++−=；设()11,Cxy，()22,Dxy，122814mnyym−+=+，212241614nyym−=+；()212

1242nmyyyyn−=+①直线AC的方程为()1122yyxx=++②则直线BD的方程为()2222yyxx=−−③由②③得()()()()()()1212121212112222222222yxymynmyyy

nxxyxymynmyyyn−+−+−−===++++++由①代入，得()()()()()()()()21212222222222nnynynxxnnnyny−++−−−==+++++−，解得4xn=，即4Qxn=；且知Pxn=；44PQxxnn

==（常数）即点P与点Q横坐标之积为定值4.故存在常数4=获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com