【文档说明】《人教版九年级数学上册教学案》24.1.3 弧、弦、圆心角讲义 教师版.docx，共(27)页，266.804 KB，由管理员店铺上传

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124.1圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角教学目标：1、理解圆心角的概念．2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．教学重难点：圆的性质的综合应用．知识点一：圆的旋转不变性圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例

题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？【考点】B4：旋转．【专题】463：图形与变换．【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心

，旋转的角度叫做旋转角．【解答】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成9个完全相同的部分，每个部分对应的圆心角是=45度，因而最少旋转的度数是45度．答：如图所示的图形绕圆心旋转45度后能与自身重合．2【点评】考查图形的旋转与重

合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．变式．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，若，则∠B的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．

60°【分析】先根据得出==，，最后根据∠A=∠B=∠C即可得出∠B的度数．【解答】解：∵，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，∴==，∴，∴∠A=∠B=∠C=60°．故选D．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系和旋

转的性质，解题的关键是根据等弧所对的圆周角相等进行解答．知识点二：圆心角定义：角的顶点在圆心的角例题．如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于（）3A．50°B．55°C．65°D．80°【分析】先运用了等腰三角形的性质求出∠N，再根据三角形的内角和是180°

即可得．【解答】解：∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°．再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON=180°﹣50°×2=80°．故选D．【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．变式1．如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上

的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【解答】解：∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=120°，∴的度数是120°，4∵C、D是

上的三等分点，∴弧CD与弧ED的度数都是40度，∴∠COE=80°．故选C．【点评】本题利用了邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧所对圆心角的度数是（）

A．72°B．72°或144°C．144°D．144°或216°【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．【解答】解：∵弦AB把圆周分成2：3的两部分，∴弦AB所对

的圆心角的度数=×360°=144°．故选D【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弧、弦之

间的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一

条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣5弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一

项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题1．如图，在⊙O中=，∠AOB=40°，则∠COD的度数（）A．20°B．40°C．50°D．60°【分析】首先得到=，进而得到∠AOB=∠COD，即可选择正确选项．【解答】解：∵=，∴=，∴∠

AOB=∠COD，∵∠AOB=40°，∴∠COD=40°，故选B．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例题2．如图，在⊙O中，已知=，则AC与BD的关系是（）6A．AC=BDB．AC＜

BDC．AC＞BDD．不确定【分析】由=，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．【解答】解：∵=，∴，∴，∴AC=BD．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．例题3．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°

，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得∠ABC的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，7∵AB是半圆的直径

，∴∠C=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，∵D是的中点，∴∠DAC=∠ABC=35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．变式1．如图所示，在⊙O中，，∠

A=30°，则∠B=（）A．150°B．75°C．60°D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出∠B=∠C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．【解答】解：∵在

⊙O中，，8∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C；又∠A=30°，∴∠B==75°（三角形内角和定理）．故选B．【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推

知△ABC是等腰三角形．变式2．如图，==，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】由==，∠BOC=40°，根据等弧所对的圆周角相等，可求得∠EOD与∠COD的度数，继而求得答案

．【解答】解：∵==，∠BOC=40°，∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=60°．9故选B．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应

用．变式3．如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（）A．8cmB．10cmC．12cmD．16cm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形

，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．∵（已知），∴∠AOD=∠DOC=∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；∵AB是直径，∴∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；∵O

A=OD（⊙O的半径），∴△AOD是等边三角形，∴AD=OD=OA；同理，得10OC=OD=CD，OC=OB=BC，∴AD=CD=BC=OA，∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB=5OA=5×2cm=10cm；故选B．【点评】本题考查了心角、弧、弦间

的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．拓展点一：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明例题1．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°．则∠D+∠E=（）

A．220°B．230°C．240°D．250°°【分析】连接OA、OB、OC，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠BOC=100°，得出∠AOB+∠AOC=260°，由圆周角定理得出∠D=（∠BOC+∠AOC），∠E=（∠BOC+∠AOB），即可得出结果．【解答】解：连接

OA、OB、OC，如图所示：∵∠BAC=50°，∴∠BOC=2∠BAC=100°，11∴∠AOB+∠AOC=360°﹣100°=260°，∵∠D=（∠BOC+∠AOC），∠E=（∠BOC+∠AOB），∴∠D+∠E=（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠A

OB）=（260°+100°+100°）=230°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由圆周角定理得出角之间的关系是解决问题的关键．例题2．如图，AB是半圆O的直径，点C、D、

E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则∠COF=（）A．90°B．100°C．108°D．120°【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出=，得出∠COF=×180°=108°即可．【解答】解：∵AC=CD=DE=EF=FB，∴=，∴∠C

OF=×180°=108°；故选：C．12【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由弦相等得出弧相等是解决问题的关键．例题3．如图，AB是⊙O的直径，若∠COA=∠DOB=60°，等于线段AO长的线段有（）A．3条B．4条C．5条D．6条【分析】易

知：∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则△AOC、△COD、△BOD均为等边三角形，可据此判断出与OA相等的线段有几条．【解答】解：∵∠COA=∠DOB=60°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°；又

∵OA=OC=OD=OB，∴△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形；∴OA=AC=OC=CD=OD=BD=OB；因此与OA相等的线段由6条，故选D．【点评】能够发现△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形是解答此题的关键．

变式1．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是51°．13【分析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三

角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵==，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180

°﹣78°）=51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．变式2．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+P

D的最小值是2．【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角14三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接O

C，OE，则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，∵C是半圆上的一个三等分点，∴∠AOC=×180°=60°，∵D是的中点，∴∠AOE=∠AOC=30°，∴∠COE=90°，∴CE=OC=2，即DP+CP=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形

，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．变式3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=125°．15【分析】连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠

BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．【解答】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=70°，∵D是BC弧的中点，∴∠COD=70°，∴∠

OCD=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．变式4．如图，已知AB是⊙O的直径，PA=PB，∠P=6

0°，则弧CD所对的圆心角等于60度．16【分析】先利用PA=PB，∠P=60°得出△PAB是等边三角形再求出△COA，△DOB也是等边三角形得出∠COA=∠DOB=60°可求∠COD．【解答】解：连接OC，OD，∵PA=

PB，∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，有∠A=∠B=60°，∵OA=OC=OD=OB，∴△COA，△DOB也是等边三角形，∴∠COA=∠DOB=60°，∴∠COD=180°﹣∠COA﹣∠DOB=60度．【点评】本题利用了：有一角等于

60度的等腰三角形是等边三角形的判定方法和等边三角形的性质求解．例题4．如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．【分析】连接OC，先根据=得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≌△COE，

由此可得出结论．【解答】证明：连接OC，17∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆

中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．例题5．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．18【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=O

N，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．【解答】证明：∵弧AC和弧BC相等，∴∠AOC=∠BOC，又∵OA=OBM、N分别是OA、OB的中点∴OM=ON，在△MOC和△NOC中，，∴△MOC≌△NOC（SAS），∴MC=NC．【点评】此题考查

了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．变式1．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．【分析】连接OE，可得∠A=∠OEA，再由AE∥CD得∠BOD=∠A

，∠DOE=∠OEA，从而得出∠BOD=∠DOE，则BD=DE．【解答】证明：连接OE，如图，19∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵AE∥CD，∴∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，∴∠BOD=∠DOE，∴BD=DE．【点评】此题主要考查了平行

线的性质，在同圆中，等弦所对的圆心角相等．变式2．如图，AB是⊙O的直径，C，E是⊙O上的两点，CD⊥AB于D，交BE于F，=．求证：BF=CF．【分析】延长CD交⊙O于点G，连接BC，根据垂径定理证明即可．【解答】证明：延长CD交⊙O于点G，连接BC，∵AB是⊙O的直径

，CD⊥AB于D∴=，∵=∴=∴∠BCF=∠CBF，20∴BF=CF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，解此题的关键是作辅助线后根据定理求出∠CBE=∠BCE，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好．拓展点二：垂径定理与圆心角、弧、弦之间关系的

综合应用例题1．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出∠BO

C=∠AOB，代入求出即可．【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=50°，∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，∵点C是的中点，∴∠BOC=∠AOB=40°，故选A．21【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用

，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．例题2．如图，AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，给出下列结论：①AB=AC；②=；③AD⊥BC；④AB⊥AC．其中正确结论的

个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，可得=，即可得AD⊥BC，继而求得：①AB=AC；②=．【解答】解：∵AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，∴=，∴AD⊥BC，故③正确；∴=，故②正确；∴AB=AC，故①正确．无法判

定AB⊥AC，故错误．故选C．22【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及弧与弦的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式1．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AD=ABB．∠D+∠BOC=90°C．∠BOC=2∠DD．∠D=∠B【分析】根据垂径定

理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可．【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故A选项错误；B、∵直径CD⊥弦AB，∴，∵对的圆周角是∠ADC，对的圆心角是∠BOC，∴∠BOC=2∠D，不能推出∠D+∠BOC=90°，故B选项错误；C、∵，∴∠B

OC=2∠D，∵C选项正确；D、根据已知不能推出∠DAB=∠BOC，不能推出∠D=∠B，故D选项错误；故选：B．【点评】本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．23变式2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC

的度数为（）A．65°B．55°C．60°D．75°【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠CAB=25°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠A

DC的度数．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=25°，∴∠ABC=90°﹣∠CAB=65°，∴∠ADC=∠ABC=65°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图是小明完成的．作法是：

取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB．当C点在半圆上移动时（C点不与A、B重合），∠OCD的平分线与⊙O的交点必（）24A．平分弧ABB．三等分弧ABC．到点D和直径AB的距离相等D．到点B和点C的距离相等【分析】先求出∠DCE=∠ECO，再利用内错角相等，两直线平行

的OE∥CD，再利用角的平分线的性质可解．【解答】解：设∠OCD的平分线与⊙O的交点为E，连接OE，∵OE=OC，∴∠E=∠ECO，∵∠DCE=∠ECO，∴OE∥CD，∵CD⊥AB，∴OE⊥AB，∴有弧AE=弧BE，所以点E是弧

AB的中点．故选A．【点评】本题利用了：1、等边对等角，2、内错角相等，两直线平行，3、角的平分线的性质求解．易错点：误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同的倍数关系例题．如图，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（）A．AB=DCB．AB＜DCC．AB＜2DC

D．AB＞2DC【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE=∠BOE=∠AOB，根据∠COD=∠AOB，知∠AOE=∠BOE=∠COD，即CD=AE=BE，在△ABE中，由AE+BE＞AB可得2CD＞AB．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，

25∴∠AOE=∠BOE=∠AOB，又∵∠COD=∠AOB，∴∠AOE=∠BOE=∠COD，∴CD=AE=BE，∵在△ABE中，AE+BE＞AB，∴2CD＞AB，故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB=2∠CO

D利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键．变式1．在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（）A．AB＞2CDB．AB＜2CDC．AB=2CDD．不能确定【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根

据三角形的三边关系得到CE与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．【解答】解：如图所示，CD=DE，AB=2CD，在△CDE中，∵CD=DE，∴CE＜CD+DE，即CE＜2C

D=AB，∴CE＜AB，∴＜．26故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．变式2．如图，已知点A，B，C均在⊙O上，并且四边形OABC是菱形，那么∠

AOC与2∠OAB之间的关系是（）A．∠AOC＞2∠OABB．∠AOC=2∠OABC．∠AOC＜2∠OABD．不能确定【分析】连接OB易证△OAB和△OBC是等边三角形，据此即可判断．【解答】解：连接OB．∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB，又∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形．同理△OBC是

等边三角形．∴∠A=∠AOB=∠BOC=60°，∴∠AOC=2∠OAB．27故选B．【点评】本题考查了菱形性质以及等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．