【文档说明】《人教版九年级数学上册教学案》24.1.3 弧、弦、圆心角练习 教师版.docx，共(28)页，261.194 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1课后巩固1．如图，AB是⊙O的直径，=，∠BOD=60°，则∠AOC=（）A．30°B．45°C．60°D．以上都不正确【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠COD=∠BOD=60°，即可得出∠AOC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=180°，∵=，∴∠COD=∠B

OD=60°，∴∠AOC=180°﹣60°﹣60°=60°；故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠COD=∠BOD=60°是解决问题的关键．2．在同圆中，圆心角∠AOB=3∠C

OD，则劣弧和的关系是（）A．=3B．＞3C．＜3D．不能确定【分析】作∠AOB三等分线OE、OF，根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等证明即可．【解答】解：作∠AOB三等分线OE、OF交圆于E、F，2则∠AOE=∠EOF=∠FOB=∠COD，∴===，∴=3．故选：A．【

点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论错误的是（）A．B．=C．AC=BDD．AD=BD【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出=，=，AC=BD，即可

得出选项．【解答】解：∵AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，即=，3∴AC=BD，∵和无法确定相等，∴无法判断AD=BD，故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．4．如图所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四

点，OC，OD交AB于点E，F，且AE=FB，下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④=，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】连接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根据全等三角形的

对应边相等，可得到OE=OF，判断①正确；由全等三角形的对应角相等，可得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，判断④正确；连结AD．由，根据圆周角定理得出∠BAD=∠ADC，则CD∥AB，③选项正确；由∠B

OD=∠AOC不一定等于∠COD，得出弧AC=弧BD不一定等于弧CD，那么AC=BD不一定等于CD，判断②不正确．【解答】解：连接OA，OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．在△OAE与△OBF中，，4∴△OAE≌△

OBF（SAS），∴OE=OF，故①正确；∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，∴，故④正确；连结AD．∵，∴∠BAD=∠ADC，∴CD∥AB，故③正确；∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，∴弧AC=弧BD不一定等于弧CD，∴AC=BD不一定等于CD，故②

不正确．正确的有3个，故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，5难度适中．准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键．5．在⊙O中，圆心角∠AOB和

∠COD相等，那么下列结论中错误的个数为（）①=；②AB=CD；③△AOB≌△COD．A．0B．1C．2D．3【分析】根据圆周角、弧、弦的关系得到=，AB=CD，根据全等三角形的判定定理即可得到△ABO≌△CDO

，【解答】解：如图，∵∠AOB=∠COD，∴=，故①正确，AB=CD，故②正确，在△ABO与△CDO中，，∴△ABO≌△CDO，故③正确，故选D．【点评】本题考查了圆周角，弧，弦的关系，全等三角形的判定，熟练掌握圆周角，弧，弦的关系是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB

为直径的圆分别交边AC，BC于点D，E，若=+30°，则∠DEC的度数是（）6A．30°B．40°C．45°D．50°【分析】作辅助线，设∠EOD=x°，根据弧的度数即为弧所对圆心角的度数，分别表示出∠AOD、∠BOE的度数，再根据直径所对的圆周角为直

角和等腰三角形的三线合一得：AE是角平分线，即圆周角相等，则所对的弧相等，圆心角相等；根据平角的定义列方程可求x的值，最后由四点共圆的性质和同圆的半径相等求出结论．【解答】解：连接OE、OD、AE，设∠EOD=x°，∵=+30°，∴∠AOD

=（x+30）°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，∴∠BAE=∠CAE，∴=，∴∠BOE=x°，则x+x+x+30=180，x=50°，∴∠AOD=30°+50°=80°，7∵OA=OD，∴∠BAC

=∠ADO==50°，∵A、B、E、D四点共圆，∴∠DEC=∠BAC=50°，故选D．【点评】本题考查了弦、弧及圆心角的关系，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，其中作出辅助线是解本题的关键，在圆中常作的辅助线是连接半径，同时注意

弧的度数即为弧所对圆心角的度数．7．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＞2∠AOMB．∠AOB=2∠AOMC．∠AOB＜2∠AOMD．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定【分析】根据题意先画出图形，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出正确的结论．【解

答】解：根据题意如图：∵在⊙O中，M为的中点，8∴=，∴∠AOM=∠MOB，∴∠AOB=2∠AOM；故选B．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是本题的关键．8．如图，已知AB是⊙O的直径，=，则下列结论中正确的是（）A

．AC=ODB．AC∥ODC．=D．=【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由=得到∠1=∠2，再利用三角形外角性质和等腰三角形的性质可得到∠1=∠A，然后根据平行线的判定可得到AC∥OD．【解答】解：∵=，∴∠1=∠2，∵

∠BOC=∠A+∠C，9∵OA=OC，∴∠A=∠C，∴∠1=∠A，∴AC∥OD．故选B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．9．在⊙O

上有顺次三点A，B，C，且==，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】利用在同圆或等圆中等弧对等弦直接判定三角形的形状即可．【解答】解：∵==，∴AB=BC=CA，∴△ABC是等边三角形．故选C．【点评

】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是了解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中有一组量对应相等则其余两组量也对应相等，难度不大．1010．下列结论正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧C．相等的

圆心角所对的弧相等D．长度相等的两条弧是等弧【分析】利用圆的有关性质、定义及定理进行判断后即可得到正确的选项．【解答】解：A、在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；B、同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，有可能是一优弧和一劣弧，故本选

项错误；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D、长度相等的两条弧不一定是等弧，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦三者的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心

角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．二．填空题（共8小题）11．如图所示，点A是半圆上一个三等

分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是．11【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点A是半圆上一个

三等分点、点B是的中点，即可得出∠AOB′=90°，再利用勾股定理即可求出AB′的值，此题得解．【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，如图所示．∵点B和点B′关于MN对称，∴PB=PB′．∵点A是半圆上一个三等分点，点

B是的中点，∴∠AON=180°÷3=60°，∠B′ON=∠AON÷2=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°．∵OA=OB′=1，∴AB′=．故答案为：．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、轴对称中最短路线问题

、三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定AP+BP取最小值时点P的位置是解题的关键．1212．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是140°．【分析】设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，得出方程2x+4x+5x+7x=360，

求出方程的解，即可得出答案．【解答】解：设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，得出方程2x+4x+5x+7x=360，解得：x=20，故7×20°=140°．故答案为：140【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此题的关键是能根据题

意得出方程．13．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是51°．【分析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解

答】解：如图，∵==，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，13∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意

掌握数形结合思想的应用．14．如图，在⊙O中，=，AB=2，则AC=2．【分析】由于在⊙O中，=，AB=2，根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论可得AC=AB=2．【解答】解：∵在⊙O中，=，AB=2，∴AC=AB=2．故答案为2．【点评】本题考查了圆心角、

弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．15．如图，在⊙O中，=，若∠AOB=40°，则∠COD=40°．14【分析】先

根据在⊙O中，=，可得出=，再由∠AOB=40°即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴=，∵∠AOB=40°，∴∠COD=∠AOB=40°．故答案为：40．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆

中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．16．如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为60°，30°，已知直径AB=，连接PB交OQ于M，则QM的长为2﹣3．【分析】先由条件可得到△OPB为等边三角形，并且OM为等边三角形OPB的高，再根据等边

三角形的高为边长的倍计算出OM，即可得到QM．【解答】解：∵∠BOP=60°，OP=OB，∴△OPB为等边三角形，15而∠BOQ=30°，∴OM为等边三角形OPB的高，∴OM=OB，而AB=，∴OM=×2=3，∴QM=2﹣3．故答案为2﹣3．【点评】本题考查了相等的弧所对的圆心角相等；

也考查了等边三角形的性质．17．如图，已知矩形ABCD的四个顶点都在圆O上，且：=1：2，则∠AOB=120°．【分析】连接AC，得出AC为直径，求出弧DC的度数，得出弧AB的度数，即可得出答案．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，16∴AC是直径，

∴弧ADC的度数是180°，∵：=1：2，∴弧DC的度数是120°，∵矩形ABCD，∴AB=DC，即弧AB的度数也是120°，∴∠AOB=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，主要考查学生运用定理

进行推理的能力．18．如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB，CD相交于点E，的度数为130°，则∠COD=100°．【分析】根据垂径定理和圆心角定理即可得到结果．【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴，∴∠AOC=∠AOD，17∵的度数为130°，∴∠AOC=∠AO=130°，∴∠COD=360°﹣130°﹣130°=100°，故答案为；100°【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．如图在⊙O中，AC=BC

，OD=OE，求证：∠ACD=∠BCE．【分析】先连接OC，根据SAS证出△AOC≌△BOC，得出∠A=∠B，再根据OD=OE，得出AD=BE，然后根据SAS证出△ACD≌△BCE，从而得出∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接OC，∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC，∵在△AOC和△BOC中

，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴∠A=∠B，18∵OD=OE，∴AD=BE，∵在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ACD=∠BCE．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，用到的知识点是全等三角形的判定与性质，关键是做出辅助线，构造全

等三角形．20．如图，⊙O中，C为的中点，CD⊥OA，CE⊥OB，求证：AD=BE．【分析】此题需先证出∠AOC=∠BOC，再根据CD⊥OA，CE⊥OB，得出∠ODC=∠OEC，从而证出△COD≌△COE，得出OD=OE，再根据OA=OB，即可得出AD=BE．【解答

】证明：∵点C是的中点，∴∠AOC=∠BOC；19∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC=∠OEC，又∵OC=OC，∴△COD≌△COE（AAS）．∴OD=OE，∵OA=OB，∴AD=BE．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，需要通过全等三角形来证明．要判定两个三角形全等，先根据已知

条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．21．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C

、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．【分析】（1）根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，可得：∠CPD=∠COB；（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠

CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．20【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴．∴∠COB=∠DOB=∠COD．又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB．（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．理

由如下：连接OD，∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP′D+∠COB=180°．【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．22．如图，AB为⊙O的固定直径，过⊙O上一点作C

D⊥AB，交⊙O于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，到C点在半圆上（不包括A、B两点）移动时，点P的位置是否发生改变？请说明理由．21【分析】连接OP，由∠1=∠3，∠1=∠2得到∠2=∠3，根据平行线的判定得到CD∥OP，由于CD

⊥AB，则OP⊥AB，根据垂径定理得到=，于是判断点P的位置不发生改变．【解答】解：点P的位置不发生改变．理由如下：连接OP，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠3，而OC=OP，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP

⊥AB，∴=，即点P为半圆AB的中点．22【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．23．如图所

示，∠AOB=90°，C、D是三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F．求证：AE=BF．【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC=∠DOB，由OA=OB，得出∠OAB=∠OBA，于是根据ASA证明△AOE≌△BOF，根据全等三角形的对应边相等即可得到A

E=BF．【解答】证明：∵C，D是的三等分点，∴∠AOC=∠COD=∠DOB．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．在△AOE与△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE=BF．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识的综合应用能力．

2324．如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，P、Q分别是和的中点，求的度数．【分析】先根据垂径定理的推论得到OP⊥AB，OQ⊥AC，再根据四边形内角和得到∠EOF=130°，然后利用圆心角所对弧的度数等于圆心角的度数求解．【解答】解：∵P、Q分别是和

的中点，∴OP⊥AB，OQ⊥AC，∴∠OEA=∠OFA=90°，而∠CAB=50°，∴∠EOF=180°﹣50°=130°，∴的度数为130°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，圆心角所对弧的度数等于圆心角的度数．也

考查来了垂径定理的推论．25．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：=．24【分析】过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG=∠FOG，利用圆心角、弧、

弦间的关系可以推知=；然后根据垂径定理可知=；最后根据图形易证得结论．【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．∵OE=OF，OG⊥EF于点G，∴∠EOG=∠FOG，∴=．又∵OG⊥AB于点G，

∴=，∴﹣=﹣，即=．【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质．解答本题时，通过作辅助线OH构建等弧（=；=）来证明结论．25课堂测试1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，下列判断中错误的是（）A．OD=DCB．=C．AD=BDD．【

分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系判断即可．【解答】解：∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，∴=，AD=BD，∠AOC=∠BOC=∠AOB，B、C、D正确，不符合题意，OD与DC不一定相等，A错误，符合题意，故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、

弦的关系，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及垂径定理是解题的关键．2．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°26【分析

】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC=∠AOB，代入求出即可【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=50°，∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°

=80°，∵点C是弧AB的中点，∴∠BOC=∠AOB=40°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对

相等，那么其余两对也相等．3．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为60°．【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两

部分，∴弦AB所对的圆心角的度数=×360°=60°．故答案为60°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一27组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．在⊙O中，弦AB=2cm

，圆心角∠AOB=60°，则⊙O的直径为4cm．【分析】根据题意画出图形，再由等边三角形的性质即可得出结论．【解答】解：如图所示，∵在⊙O中AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2cm，∴⊙O的直径=2OA=4cm．故答案为：4

．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．三．解答题（共1小题）5．如图，已知直径BA与弦DC的延长线交于点P，且PC=CO，=+，求∠DOB的度数．【分析】根据=+，得到∠COD=∠AOC+

∠BOD=×180°=90°，根据等腰三角形的性质得到28∠OCD=∠D=45°，根据外角的性质得到∠P=∠COP=∠DCO=22.5°，即可得到结论．【解答】解：∵=+，∴∠COD=∠AOC+∠BOD=×180°=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠D=45°，∵PC=CO，∴∠P=∠COP=∠

DCO=22.5°，∴∠DOB=∠P+∠D=67.5°．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，正确理解同圆的半径相等是解题的关键．