【文档说明】江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期期中数学试题 含解析.docx，共(14)页，1.006 MB，由envi的店铺上传

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2022~2023学年度第一学期期中学情检测高三数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含[选择题（1~12））填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题（第17~22题，共70分）]。本次考试时间

120分钟，满分150分。请将答题卡交回。2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3.答题时请用0

.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()1i

22iz+=−（i为虚数单位），则z=A.2B.3C.4D.52.满足11,2,3,4A的集合A的个数为（）个.A.16B.15C.8D.73.下列选项正确的是A.sin103sin164B.4737coscos49−

−C.sin508sin144D.27tantan$8164.2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场.歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼2

0机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（）立方米A.3B.33C.2D.225.过双曲线22221xyab−=的右顶点作x轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（）A.2B.2C.

3D.46.已知()33fxxx=++−，则不等式()()21fxfx−的解集为A.(,1−−B.11,3−C.1,3−D.33,22−7.已知函数()fx的定义域为()0

,+，且()0fx，对定义域内任意的1x，2x，当12xx时，()()2112xfxxfx.若1122af=，11bf=，4455cf=，则a，b，c的大小关系为A.abcB.cabC.bca

D.bac8.对于集合A，B，我们把集合(),,abaAbB记作AB.例如，1,2A=，3,4B=，1,3C=，则()()()()1,3,1,4,2,3,2,4AB=，()()()()1,1,1,3,2,1,2,3AC=.现已

知0,1,2,3,4,5,6,7,8,9M=，集合A，B是M的子集，若(),abAB，(),baAB，则AB内元素最多有（）个A.20个B.25个C.50个D.75个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数()sin23fxx=+，则下列命题正确的是A.函数()yfx=的图象与cos26yx=−的图象重合B.33fxfx−=+C.062fxfx

++−−=D.存在唯一的00,2x，使得()0910fx=10.用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形A.五边形B.直角三角形C.直角梯形D.钝角三角形11.已知函

数()32247fxxxx=−−−，其导函数为()yfx=，下列说法正确的是A.函数()yfx=的单调减区间为2,23−B.函数()yfx=的极小值是-15C.当2a时，对于任意的xa，都有()()()()fxfafaxa+−D.函数()yfx=的图象

有条切线方程为31yx=−12.已知圆C：221xy+=直线l：20xy+−=，下列说法正确的是A.直线l上存在点P，过P向圆引两切线，切点为A，B，使得0PAPB=B.直线l上存在点P，过点P向圆引割线与圆交于A，B，使得2PAPB=C.与圆

C内切，与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D.与圆C外切，与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

.13.如图，已知M，N是ABC△边BC上的两个三等分点，若6BC=，4AMAN=，则ABAC=_______________.14.若数列na第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列na为二阶等差数列，已知数列na是一个二阶等差数列，且13

a=，27a=，313a=，则na=_______________.15.已知直线4xmy=+与抛物线24yx=交于A，B两点，若20AOBS=△（O为坐标原点），则实数m的值为_______________.16.已知正实数x，y满足xym+=，函数()11,fxyxyyx

=+−的最小值为92，则实数m取值的集合为_______________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在ABC△中，a，b，c分别为内角

A，B，C的对边，其中2bc=，2a=，且cos13sinaAbB+=.（1）求A的大小；（2）求ABC△的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD−中，O是AD的中点ADBC∥，且4AD=，2ABBCCD===，22PAPDPBPC====.（1）求证：AC⊥平

面POB；（2）求点B到面PAC的距离.19.（本小题满分12分）已知正项数列na的前n项和为nS，且12a=，2211nnnnSSaa++−=+.（1）求nS；（2）求数列nna的前n项的和nT.

20.（本小题满分12分）已知直三棱柱111ABCABC−，1ABACAA==，90BAC=，()11,01BMBCCNCA==.（1）证明：MN∥面ABC；（2）当MN最短时，求二面角11A

MNC−−的余弦值.21.（本小题满分12分）已知直线1l：2yx=，2l：2yx=−，线段AB的两个端点分别在直线1l与2l上滑动，且4AB=.（1）求线段AB中点P的轨迹C的方程；（2）直线3l：2yxb=+，4l：2yxb=−+与轨迹C有四个交点，

求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数()()2ln,0,3,0.xxfxxxx−=−（1）求函数()()()1gxxfx=+的单调区间；（2）若直线与函数()yfx=的图象相切于点(

)11,Axy，()22,Bxy，且120xx，求直线AB的方程.2022~2023学年度第一学期期中学情检测高三数学一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】()1i22iz+=

−，∴222z=，∴2z=，选A.2.【答案】C【解析】A可取1，1,2，1,3，1,4，1,2,3，1,2,4，1,3,4，1,2,3,4，共8个结果，选C.3.8【答案】C.【解析】sinyx=在()90,

180，∴sin103sin164?，A错.47coscos44−=，37coscos99−=，94，cosyx=在0,2∴coscos94，即3747coscos94−−

，B错.()sin508sin360148sin148sin144=+=，C对.4.【答案】B【解析】3h=，33V=.5.【答案】B【解析】(),Aab−，(),Bab，()1,0Fc−，

1ABF△为正三角形∴3acb+=，即()2223acca+=−，即3acca+=−，∴2e=，选B.6.【答案】D【解析】当13x−时，()()21fxfx=−，323x−，解得3322x−当13x−时，因为()()21fxfx−，所以21xx−，解得113x−.综

上，不等式()()21fxfx−的解集为33,22−.7.【答案】D【解析】当120xx时，()()()()12211212fxfxxfxxfxxx，所以()fxyx=为()0,+上的增函数.令()()gxxfx=，因为()0fx，

所以()()2fxgxxx=为()0,+上的增函数.因为11425，所以bac.8.【答案】B【解析】设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，若(),abAB，(),baA

B，则10mn+.所以2252mnmn+=.当且仅当5mn==时取等号二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AC.【解析】cos2cos2sin26323yxxx=−=+−=+，A对.()sin2sin23fxxx−=−=，()sin2sin23fxxx+=+=−∴33fxf

x+−，B错.2sin263fxx+=+，22sin2sin22336fxxxfx−−=−−=−+=+，C

对.02x，52336x+，39sin3210=则()910fx=有两解，D错.10.【答案】BCD【解析】如图所示，截面为如图ABC△设ADa=，BDb=，CDc=，∴222ACac=+，22

2BCbc=+，222ABab=+，cos0CAB，cos0ABC，cos0ACB，∴ABC△为锐角三角形，B，D都不可能，BD都要选如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选如图（红色）截面可以是

梯形，但不可以是直角梯形，C要选.11.【答案】AB【解析】方法一：()23440fxxx=−−，223x−，∴()fx的单调减区间为2,23−，A对.()fx在2,3−−，2,23−，()2,+，∴()()215fxf==−极小值，B对

.()2344faaa=−−，()()()()0fxfafxa+−可得到()()332224xaxaxa−−−−−，()()()222234424344aaxaxaaxxaaa−−−++−+−−−()()()210210xaxaxa−+−+−矛盾，C错.()2

3443fxxx=−−=，1x=−或73，1x=−时切点()1,6−−不在31yx=−上73x=时切点7392,327−不在31yx=−上，D错，选AB.12.【答案】ABCD【解析】()021,1PAPBOPP==，A对.22212PAP

BPOrPO=−=−=有解，B对.动圆圆心设为A，半径设为r，对于C，1AOr=−，作l的平行线与l的距离为1，这样的平行线有两条，与A同侧的设为1l，与A异侧的设为2l则A到O的距离等于A到1l的

距离，A点轨迹为抛物线，C对.对于D，1AOr=+，则A到O的距离等于A到2l的距离∴A点的轨迹为抛物线，D对，ABCD全对.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.【答案】-4【解析】取MN中点E，∴22221141444

AMANAEMNAEAE=−=−=−=，∴25AE=，∴2211536444ABACAEBC=−=−=−.14.【答案】21nn++【解析】214aa−=，326aa−=，∴()141222nnaann+−=+−=+∴21321462nnaaaaaan−−=−=−=∴()

()211424622nnaan−+−=+++=∴()()223121annnn=+−+=++.15.【答案】32【解析】令()11,Axy，()22,Bxy，244xmyyx=+=消x可得24160ymy

−−=124yym+=，1216yy=−，()22121214ABmyyyy=++−()()222211664414mmmm=++=++，241dm=+，()()222214441842021Smmmm=++=+=+，∴32m=.

16.【答案】2【解析】2mxyxy=+，∴24mxy，()11,112fxyxyxyxyxy=+++=++，令xyt=，20,4mt，()12gttt=++当214m时，()min4gt=，矛盾当214m时，()gt在20,4m∴()222min492

442mmgtgm==++=，∴2m=∴m的取值集合2.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）因为cos13sinaAbB+=，根据正弦定理si

nsinabAB=得sincos1sin3sinAABB+=，即3sincos2sin16AAA−=−=，所以1sin62A−=.因为0A，所以5666A−−，所以66A−=，所以3A=.（

2）在ABC△中，2bc=，2a=，3A=，根据余弦定理，22222222cos4234abcbcAcccc=+−=+−==，解得243c=，所以214323sinsin2323ABCSbcAcA====△.18.

【解析】（1）设BO与AC交于M，连接PM，OC.因为ADBC∥，2ADBC=，所以AOBC∥，AOBC=，所以四边形ABCO为平行四边形，因为ABBC=，所以平行四边形ABCO为菱形，所以ACBO⊥，且

AMMC=在PAC△中，PAPC=，AMMC=，所以ACPM⊥因为ACBO⊥，ACPM⊥，BOPMM=，BO面POB，PM面POB，所以AC⊥面POB.（2）因为平行四边形ABCO为菱形，2COBCBO===，所以120ABC=，2

3AC=.在PAD△中，22PAPD==，O为AD的中点，所以POAD⊥，所以22842POPAAO=−=−=.同理，5PM=.在PAD△中，PAPD=，O为AD的中点，所以POAD⊥.因为AC⊥面POB，PO面POB，所以ACPO⊥.因为POAD⊥

，ACPO⊥，ADACA=，AD面ABCD，AC面ABCD，所以PO⊥面ABCD，所以1111323sin120222332623PABCABCVSPOABBCPO−====△.所以点B到面PAC的距

离2333253152352PABCPACVdS−===△.19.【解析】（1）因为2211nnnnSSaa++−=+，所以()2211nnnnnnSSSSSS++−=−+−，整理得，211120nnnnSSSS+++−+=，因为数列na为正项数列，所以10nS+，所以1210nnS

S+−+=，即()1121nnSS+−=−.因为11111Sa−=−=，10$nS−，所以数列1nS−是以1为首项，2为公比的等比数列.所以112nnS−−=，即121nnS−=+.（2）由（1）得212,12,2nnnnnaSSn−−=

=−=当1n=时，1112nTa==.当2n时，212nnna−=.0121111232222nnTn−=++++，①121111112324222

nnTn−=++++，②①-②，得01211111112242222nnnTn−−=++++−

2121112291132114242212nnnnn−−−−+=+−=−−，即2131(2)22nnTn−=−+.当1n=时，11

2T=，适合上式综上，()2131222nnTn−=−+.20.【解析】（1）直三棱柱111ABCABC−中，90BAC=，以1,,ABACAA为正交基底如图建立空间直角坐标系设11ABACAA===，则

()1,0,0B，()0,1,0C，()10,0,1A，()10,1,1C所以()11,1,1BC=−，()10,1,1CA=−.因为1BMBC=，1CNCA=，所以()1,,M−，()0,1,N−+，所以()1,12,0MN

=−−.因为1AA⊥面ABC，所以面ABC的一个法向量为()10,0,1AA=.因为10AAMN=，MN面ABC，所以MN∥面ABC.（2）由（1）得，()()()22211256201MN=−+−=−+.当35=时，MN最短，所以233,,555M，2

30,,55N.所以1232,,555AM=−，21,,055MN=−−.设平面1AMN的一个法向量为()1,,nxyz=，则111232055521055nAMxyznMNxy=+−==−−=，令2y=−，则1x

=，2z=−，所以平面1AMN的一个法向量为()11,2,2n=−−.同理，平面1CMN的一个法向量为()21,2,3n=−设二面角11AMNC−−的平面角为()0，则121212114coscos,

42314nnnnnn−====−.所以二面角11AMNC−−的余弦值为1442−.21.【解析】（1）设()11,2Axx，()22,2Bxx−，则1212,2xxPxx+−，所以()()22121244ABxxxx=−++=，所以()()

2212121164xxxx−++=，所以P的轨迹C的方程为22116yx+=（2）设直线2yxb=−+与直线2yxb=+相交于点()0,Tb，①当点()0,Tb在椭圆内部时设直线2yxb=+与椭圆相交于()33,Mxy，()44,Pxy由图象的对

称性可知，直线2yxb=−+与椭圆相交于()44,Nxy−，()33,Qxy−所以()22162160xxb++−=，即22204160xbxb++−=，因为直线3l：2yxb=+与轨迹C有交点，且点()0,Tb在椭圆内部，所以()264200b=−△，且216b所以2

016b所以345bxx+=−，2341620bxx−=()222343434348201820222222025MNPQbbSxxyyxxxx−−=−−=−−==‖当0b=时，MNPQS取最大值为325.②当点()0,Tb

在椭圆外部时设直线2yxb=+与椭圆相交于()33,Mxy，()44,Nxy由图象的对称性可知，直线2yxb=−+与椭圆相交于()44,Pxy−，()33,Qxy−所以()22162160xxb−++=，即22204160xb

xb++−=，因为直线3l：2yxb=+与轨迹C有交点，且点()0,Tb在椭圆外部，所以()264200b=−△，且216b所以21620b所以345bxx+=−，2341620bxx−=.()222343434344204201222

22525MNPQbbbbSxxyyxxxx−−=+−=+−==令2tb=，()1620t，则()42025MNPQttS−=在区间()16,20上单调递减于是()420323225255MNPQttS

−=综上得：当0b=时，以这四个点为顶点的四边形面积的最大值为325.22.【解析】（1）因为()()2ln,0,3,0.xxfxxxx−=−所以()()()321ln,0,23,0.xxxgxxxxx+−=−−当0x时，()()1ln1gxxx=−+

+，因为()gx在(),0−上单调递减，且()10g−=，令()10g−，解得1x−，当0x时，()2343gxxx=−−，令()0gx，解得2133x+.综上，()gx的增区间为(),1−−，213,3++

；减区间为()1,0−，2130,3+.（2）直线l与函数()yfx=图像的两个切点坐标分别为()11,xy，()22,xy，120xx，则当0x时，()1fxx=；当0x时，()23fxx

=−.所以l的方程为()()()()211222211ln233yxxxxxxxxx=−+−=−−+−.所以21123xx=−①()212ln1xx−−=−②将①代入②得()22221ln1ln32132xxx−=−−

−=−−，即()222ln3210xx−−+=.令()()2ln321xxx=−−+，302x，则()10=，()22023xxx=−−，所以()x在30,2上单调递减，所以21x=，则直线AB的方程为()12yx=−−−，即10xy++=.获得更多资

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