【文档说明】江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期期中数学试题含解析.docx，共(24)页，2.872 MB，由envi的店铺上传

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2022~2023学年度第一学期期中学情检测高三数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含[选择题（1~12））填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题（第17~22题，共70分）]．本次考试时间120分钟，满分150分．请将答题卡交回．2．答题前

，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置．3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律无效．4．如有作

图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚．一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数()1i22iz+=−（i为虚数单位），则z=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数z，再

根据复数的模的公式即可得解.【详解】∵()1i22iz+=−，则()()()()22i1i22i2i1i1i1iz−−−===−++−，∴()22022z=+−=.故选：A．2.满足11,2,3,4A的集

合A的个数为（）个．A.16B.15C.8D.7【答案】C【解析】【分析】根据题意，列举即可得答案.【详解】解：因为11,2,3,4A，所以，A可以是1，1,2，1,3，1,4，1,2,3，1,2,4，1,3,4，

1,2,3,4，共8个结果.故选：C．3.下列选项正确的是（）A.sin103sin164B.4737cosπcosπ49−−C.sin508sin144D.27πtanπtan816【答案】C【解析】【分析】根据诱

导公式结合三角函数的单调性逐项分析判断.【详解】sinyx=在π,π2上单调递减，∴sin103sin164?，A错误；47πcosπcos12πcos44π4−=−+=，37cosπcos4πcoscπππo

s9999−=−−=−=，π94π，且cosyx=在π0,2上单调递减，∴coscos94ππ，即3747cosπcosπ94−−，B错误；()sin508sin360148sin1

48=+=，且sinyx=在π,π2上单调递减，∴sin148sin144，即sin508sin144，C正确；273π3πtanπtan3πtan888=+=，且tanyx=在π0,2上单调递增，∴πt

anπtan8631，即27πtanπtan816，D错误；故选：C.4.2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场．歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性

能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（）立方米A.3B.33C.2D.22【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为

3米，根据圆锥体积公式即可得到答案.【详解】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为3米，根据圆锥体积公式得2133133V==.故选:B5.过双曲线22221

xyab−=的右顶点作x轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（）A.2B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】首先表示出渐近线方程，令xa=求出y，即可得到两交点坐标，依题意由等边三角形的性质得到3acb+=，将两边平方，即可求出a

、c的关系，从而求出离心率.【详解】解：双曲线22221xyab−=的渐近线为byxa=，令xa=，解得yb=，不妨取(),Aab−，(),Bab，左焦点为()1,0Fc−，又1ABF为正三角形，∴3acb+=，即()2223a

cca+=−，即3acca+=−，所以42ac=，∴2e=；故选：B．6.已知()33fxxx=++−，则不等式()()21fxfx−的解集为（）A.(,1−−B.11,3−C.1,3−D.33,22−【

答案】D【解析】【分析】作出函数()33fxxx=++−的图象，结合对称性以及单调性即可得解.【详解】函数()2,333=6,332,3xxfxxxxxx=++−−−−其图如图所示当13x−，即24x−，

不等式等价于()()21fxfx=−，323x−，解得3322x−当13x−，即>4x或<2x−，因为()()21fxfx−，所以21xx−，解得113x−．综上，不等式()()21fxfx−的解集为33,22−

．故选：D.7.已知函数()fx的定义域为()0,+，且()0fx，对定义域内任意的1x，2x，当12xx时，()()2112xfxxfx，若1122af=，π11πbf=，4455cf=

，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.c<a<bC.b<c<aD.bac【答案】D【解析】【分析】变形得到()()1212fxfxxx确定()fxyx=为()0,+上的增函数，构造()()gxxfx=，确定函数为增函数计算函

数值得到答案.【详解】当120xx时，()()2112xfxxfx，即()()1212fxfxxx，所以()fxyx=为()0,+上的增函数．令()()gxxfx=，因为()0fx，所以()()2fxgxxx=为()0,+上的增函数．因为1π1425，故114

25πggg，所以bac．故选：D8.对于集合A，B，我们把集合(),,abaAbB记作AB．例如，1,2A=，3,4B=，1,3C=，则()()()()1,3,1,4,2,3,2,4AB=

，()()()()1,1,1,3,2,1,2,3AC=．现已知0,1,2,3,4,5,6,7,8,9M=，集合A，B是M的子集，若(),abAB，(),baAB，则AB内元素最多有（）个A.20个B.25个C.50个D.75个【答案】B【解析】【分析】根据新定义可得10

mn+，结合基本不等式即可得结果.【详解】设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，若(),abAB，(),baAB，即ab¹，则10mn+．所以2252mnmn+=．当且仅当5mn==时取等号即AB内元

素最多有25个，故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若函数()sin23fxx=+，则下列命题正确的是（）

A.函数()yfx=的图象与cos26yx=−的图象重合B.33fxfx−=+C.062fxfx++−−=D.存在唯一的00,2x，使得()0910fx=【答案】AC【解析】【分析】逐项代入验证，化简即可得到结

果.【详解】cos2cos2sin26323yxxx=−=+−=+，A对；()2sin2sin2sin2333fxxxx−=−+=−=，()2sin

2sin2sin2333fxxxx+=++=+=−，33fxfx−+，B错；2sin2sin26333fxxx+=++=+，2sin

2sin22336fxxxfx−−=−−+=−+=−+，C对．02x，52336x+，当2332x+，即012x时，()312fx，10,12x，使得()119sin2310fxx

=+=；当52236x+，即122x时，()112fx，2,122x，使得()229sin2310fxx=+=.所以，()910fx=有两解.故选：AC.10.用一

个平面去截正方体，截面形状不可能下列哪个图形（）是A.五边形B.直角三角形C.直角梯形D.钝角三角形【答案】BCD【解析】【分析】根据正方体的几何性质，结合截面的性质、余弦定理进行逐一判断即可.【详解】如图

所示，截面ABC，设ADa=，BDb=，CDc=，∴222ACac=+，222BCbc=+，222ABab=+，2222222222222222222cos022()()2()()ABACBCabacbcaBACABACabacabac+−+++−−===++++，同理，cos0ABC

，cos0ACB，即,,BACBCAABC为锐角，∴ABC为锐角三角形，B，D都不可能，BD都要选；如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选如图截面MNPQ可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选．故选：BCD11.已知函数()32247fxxxx=−−−，其

导函数为()yfx=，下列说法正确的是（）A.函数()yfx=的单调减区间为2,23−B.函数()yfx=的极小值是15−C.当2a时，对于任意的xa，都有()()()()fxfafaxa+−D.函数()yfx=

的图像有条切线方程为31yx=−【答案】AB【解析】【分析】对函数()32247fxxxx=−−−进行求导，对A令()0fx即可解决问题；B选项把增减区间求出来后即可得极值；C选项做差法证明即可；D由切线斜率为3出发反向分析即可得答案.【

详解】因为()32247fxxxx=−−−所以()23440fxxx=−−，223x−，所以()fx的单调减区间为2,23−，故A正确．令()23440fxxx=−−，则23x−或2x所

以()fx在2,3−−，()2,+单调递增在2,23−单调递减所以函数的极小值为()215f=−，故选项B正确；由()2344faaa=−−，若()()()()fxfafaxa+

−即()()332224xaxaxa−−−−−()()2344aaxa−−−()22224344xaaxxaaa++−+−−−()()210xaxa−+−()210xa+−矛盾，故选项C错误．()23443fxxx=−−=

，解的=1x−或73，当=1x−时切点()1,6−−不在31yx=−上当73x=时切点7392,327−不在31yx=−上，故选项D错误，故选：AB．12.已知圆C：221xy+=直线l：20xy+−=，下

列说法正确的是（）A.直线l上存在点P，过P向圆引两切线，切点为A，B，使得0PAPB=B.直线l上存在点P，过点P向圆引割线与圆交于A，B，使得2PAPB=C.与圆C内切，与直线l相切的动圆圆心的轨

迹是一条抛物线D.与圆C外切，与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线【答案】ABCD【解析】【分析】AB选项考查直线与圆的位置关系，存在点P，故找到适合的一个点就可，CD选项因圆与圆内切，外切，则找到圆心距与两半径之

间的关系就可以得到点的轨迹.【详解】A选项，因为0PAPB=，则90APB=,又因为,PAPB为圆的两条切线，所以APPB=，且POPO=，则APOBPO，45APOAOP==，所以2OP=，因此存在点(

1,1)P在直线20xy+−=上，且满足0PAPB=，故A正确．B选项，过点P作圆O的割线，交圆O与,AB两点，过点P作圆O的切线，切点为C，因为PC为圆O的切线，所以PCAPBC=，又CPABPC

=，所以PCAPBC，,PCPAPBPC=则2PAPBPC=，222212PCPOrPO=−=−=，3PO=，所以存在点P22(1,1)22−+，使得2PAPB=有解，故B正确．C选项，设动圆圆心设为A，半径设为r，因为动圆与

圆C内切，且与直线l相切则如图所示1AOr=−，ABr=，作l的平行线2l与l的距离为1，则A到直线2l的距离为1r−，故A到定直线2l与到定点Ｏ的距离相等，故Ａ点的轨迹为抛物线．对于选项D，设动圆圆心设为A，半径设为r，因为动圆与圆C外

切，且与直线l相切，如图所示：1AOr=+，ABr=，作l平行线1l与l的距离为1，则A到直线1l的距离为1r+，则A到定点O的距离等于到定直线1l的距离．∴A点的轨迹为抛物线，D对，ABCD全对．故选：ABCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答

过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.如图，已知M，N是ABC边BC上的两个三等分点，若6BC=，4AMAN=，则ABACuuuruuur=_______________．的【答案】-4【解析】【分析】利用向量数量积的极化恒等式求解【详解】取MN

中点E，由向量数量积的极化恒等式，∴22221141444AMANAEMNAEAE=−=−=−=，∴25AE=，∴2211536444ABACAEBC=−=−=−．故答案为：-4.14.若数列na第

二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列na为二阶等差数列，已知数列na是一个二阶等差数列，且13a=，27a=，313a=，则na=_______________．【答案】21nn++【解析】【分析】利用已知条件求出二阶等差数列

的首项和公差，再求出二阶等差数列的通项公式，最后利用累加法即可得到数列na的通项公式.【详解】214aa−=，326aa−=，且数列na是一个二阶等差数列，()141222nnaann+−=+−=+21321462nnaaaaaan

−−=−=−=由累加法得()()2114246222nnnaannn−+−=+++==+−22321nannnn=++−=++．而a1=3也符合，故答案为：21nn++15.已知直线4xmy

=+与抛物线24yx=交于A，B两点，若20AOBS=（O为坐标原点），则实数m的值为_______________．【答案】32【解析】【分析】联立方程后，用韦达定理表示出弦长，表示出O点到直线距离，即可得到关系式.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，联立直线

与抛物线的方程244xmyyx=+=消x可得24160ymy−−=，则124yym+=，1216yy=−，()()()22221212121214ABxxyymyyyy=−+−=++−()()()()222214416414mmmm=+−−=++，O点到直线的

距离241dm=+，则()()()()22221144148420221SABdmmmm==++=+=+解得，32m=故答案：32.16.已知正实数x，y满足xym+=，函数()11,fxyxy

yx=++的最小值为92，则实数m取值的集合为_______________．【答案】2【解析】【分析】根据基本不等式求得xy的最大值，结合对勾函数单调性，即可求得结果.【详解】2mxyxy=+，∴24mxy，()11,1

12fxyxyxyxyxy=+++=++，令xyt=，20,4mt，()12gttt=++当214m时，()min4gt=，与已知矛盾；当214m时，()gt在20,4m单调递减，∴

()222min492442mmgtgm==++=，为解得2m=或2−（舍去），∴m的取值集合2．故答案为：2.四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤．17.在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，其中2bc=，2a=，且cos13sinaAbB+=．（1）求A的大小；（2）求ABC的面积．【答案】（1）π3（2）233【解析】【分析】（1）根据已

知条件及正弦定理边角化，再利用辅助角公式及角的范围，结合三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；（2）根据（1）的结论及余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】因为cos13sinaAbB+=，根据正弦定理sinsinab

AB=得sincos1sin3sinAABB+=，即π3sincos2sin16AAA−=−=，所以π1sin62A−=．因为0πA，所以ππ5π666A−−，所以ππ66A−=，所以π3A=．【

小问2详解】在ABC中，2bc=，2a=，π3A=，根据余弦定理，22222222cos4234abcbcAcccc=+−=+−==，解得243c=，所以214323sinsin2323ABCSbcAcA====．18.如图，四棱锥PA

BCD−中，O是AD的中点,ADBC∥，且4=AD，2ABBCCD===，22PAPDPBPC====．（1）求证：AC⊥平面POB；（2）求点B到面PAC的距离．【答案】（1）证明见解析（2）255【

解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明直线AC垂直于平面POB内两条相交直线即可.（2）利用等体积法求点到平面的距离.【小问1详解】设BO与AC交于M，连接,PMOC．因为ADBC∥，2ADBC=，所以AOBC∥，且AOBC=，所以四边形ABCO为平行四边形，因为ABB

C=，所以平行四边形ABCO为菱形，所以ACBO⊥，且AMMC=在PAC△中，PAPC=，AMMC=，所以ACPM⊥因为ACBO⊥，ACPM⊥，BOPMM=，BO面POB，PM面POB，所以AC⊥面POB．【小问2详解】因为平行四边形A

BCO为菱形，2COBCBO===，所以120ABC=，23AC=．在PAD中，22PAPD==，O为AD的中点，所以POAD⊥，所以22842POPAAO=−=−=．同理，22583PAAMPM−=−==．因为AC⊥面POB，PO面POB，所以ACPO⊥．

因为POAD⊥，ACPO⊥，ADACA=，AD面ABCD，AC面ABCD，所以PO⊥面ABCD，所以11123sin1203323PABCABCBPACVSPOABBCPOV−−====．所以点B到面PAC的距离

2333253152352PABCPACVdS−===．故：点B到面PAC的距离为255.19.已知正项数列na的前n项和为nS，且12a=，2211nnnnSSaa++=+−．（1）求nS；（2）求数列nna的前n项的和nT．【答

案】（1）121nnS−=+（2）()2131222nnTn−=−+【解析】【分析】（1）根据已知条件及na与nS的关系，再利用构造法及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；（2）根据（1）的结论及na与nS的关系，求出na，再利用错位相减法即可求出

数列nna的前n项的和nT.【小问1详解】因为2211nnnnSSaa++=+−，所以()2211nnnnnnSSSSSS++−=−+−，整理得，211120nnnnSSSS+++−+=，因为数列na为正项数列，所以10nS+，所以1210nnSS+−+=，即()1121

nnSS+−=−．因为11111Sa−=−=，10nS−，所以数列{}1nS-是以1为首项，2为公比等比数列．所以112nnS−−=，即121nnS−=+．【小问2详解】由（1）得212,12,2nnnnnaSSn−−==−=,

当1n=时，1112nTa==．当2n时，212nnna−=．0121111232222nnTn−=++++，①121111112324222nnTn−

=++++，②①-②，得01211111112242222nnnTn−−=++++−21211122911321142422

12nnnnn−−−−+=+−=−−，即()2131222nnTn−=−+．当1n=时，112T=，适合上式的综上所述，数列nna的前n项的和为()2131222nn

Tn−=−+．20.已知直三棱柱111ABCABC-，1ABACAA==，90BAC=，11,(01)BMBCCNCA==．（1）证明：MN∥平面ABC；（2）当MN最短时，求二面角11AMNC−

−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1442−【解析】【分析】（1）根据题意，以1,,ABACAA为正交基底如图建立空间直角坐标系，求出MN和平面ABC的法向量，求两向量的数量积可得结论；（

2）先求出MN的最小值，从而可得,MN，然后求出两半平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】直三棱柱111ABCABC-中，90BAC=，以1,,ABACAA为正交基底如图建立空间直角坐标系设11ABACAA===，则()1,0,0B，

()0,1,0C，()10,0,1A，()10,1,1C所以11(1,1,1),(0,1,1)BCCA=−=−．因为11,(01)BMBCCNCA==，所以(1,,),(0,1,)MN−−+，所以(1,12,0)MN=−−．因为1AA⊥平面ABC，所以平面ABC的一个法向量

为1(0,0,1)AA=．因为10AAMN=，MN平面ABC，所以MN∥平面ABC．【小问2详解】由（1）得，222(1)(12)562(01)MN=−+−=−+．当35=时，MN最短，所以233,,555M，230,,55N

．所以123221,,,,,055555AMMN=−=−−，1320,,55CN=−−，设平面1AMN的一个法向量为()1,,nxyz=，则111232055521055nAMxyznMNxy=+−==−−=，令=2y

−，则1x=，2z=−，所以平面1AMN的一个法向量为1(1,2,2)n=−−．设平面1CMN的一个法向量为()2,,bcna=，则2123205521055nCNbcnMNab=−−==

−−=，令1a=，则()21,2,3n=−，设二面角11AMNC−−的平面角为()0，则12121214614coscos,42144149nnnnnn+−====++++，由图可知二面角1

1AMNC−−为钝角，所以二面角11AMNC−−的余弦值为1442−．21.已知直线1l：2yx=，2l：2yx=−，线段AB的两个端点分别在直线1l与2l上滑动，且AB4=．（1）求线段AB中点P的轨迹C的方程；（2）直线3l：2yxb=+，4

l：2yxb=−+与轨迹C有四个交点，求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值．【答案】（1）22116yx+=；（2）325【解析】【分析】（1）利用相关点法即可得到轨迹方程;（2）分(0,)Tb在椭圆内部和椭圆外部进行讨论，直线3l与轨迹C进行联立，可得到二次方程，并写出对应韦达定理

和根的判别式，利用四边形的面积公式即可求解【小问1详解】设()11,2Axx，()22,2Bxx−，(),Pxy，则12122xxxyxx+==−，因为221212()4()4ABxxxx=−++=，所以221212

()()1164xxxx−++=，所以P的轨迹C的方程为22116yx+=；【小问2详解】设直线2yxb=−+与直线2yxb=+相交于点(0,)Tb，①当点(0,)Tb在椭圆内部时，设直线2yxb=+与椭圆相交于()33,Mxy，()44,Pxy由图象的对称性可知，直线2yxb=−+与椭

圆相交于44(,)Nxy−，33(,)Qxy−，所以四边形MNPQ为一个梯形，联立222116yxbyx=++=，消y可得22204160xbxb++−=，因为直线3l：2yxb=+与轨迹C有交点

，且点(0,)Tb在椭圆内部，所以()2222Δ164201664(20)016bbbb=−−=−，解得2016b，所以345bxx+=−，2341620bxx−=，所以()23434343434341

|22|||2||||242MNPQSxxyyxxxxxxxx=−−=−−=+−222168(20)225525bbb−−−==，当0b=时，MNPQS取最大值为325；②当点(0,)T

b在椭圆外部时，设直线2yxb=+与椭圆相交于()55,Dxy，()66,Exy由图象的对称性可知，直线2yxb=−+与椭圆相交于66(,)Fxy−，55(,)Gxy−，所以四边形DEFG为一个梯形，联立222116yxbyx=++=，消y可得22204160xbxb++−=，因为直

线3l：2yxb=+与轨迹C有交点，且点(0,)Tb在椭圆外部，所以()2222Δ164201664(20)016bbbb=−−=−，解得21620b，所以565bxx+=−，2561620bxx−=，所以()2565656565656561|22

|||2||||2||42DEFGSxxyyxxxxxxxxxx=+−=+−=−++()2224204202525bbbb−−==，令2tb=(1620)t，则4(20)25DEFGttS−=在区间()16,20上单调递减，

于是4(20)4(2016)1632322525255DEFGttS−−==，综上所述，当0b=时，以这四个点为顶点的四边形面积的最大值为325．22.已知函数()()2ln,0,3,0.xxfxxxx−=−（1）求函数()()(

)1gxxfx=+的单调区间；（2）若直线l与函数()yfx=的图象相切于点()11,Axy，()22,Bxy，且120xx，求直线AB的方程．【答案】（1）增区间为(),1−−，213,3++；减区间为()1,0−，2130,

3+（2）10xy++=【解析】【分析】（1）分0x和0x两种情况讨论，分别求出导数，再根据导数的符号求出单调区间即可；（2）根据导数的集合意义分别求出在()11,Axy和()22,Bxy处的切线方程，再根

据切线为同一条，可得12,xx的关系，从而可求得切点，即可得解.【小问1详解】解：因为()()2ln,03,0xxfxxxx−=−，所以()()()321ln,023,0xxxgxxxxx+−=−−，当0

x时，()()1ln1gxxx=−++，因为函数()1ln,yxyx=−=在(),0−上单调递减，所以函数()gx在(),0−上单调递减，且()10g−=，令()0gx，则1x−，令()0gx，

则10x−，所以函数在(),1−−上递增，在()1,0−上递减，当0x时，()2343gxxx=−−，令()0gx，则2133x+，令()0gx，则21303x+，所以函数在213,3++上递增，在2130,3

+上递减，综上，()gx增区间为(),1−−，213,3++，减区间为()1,0−，2130,3+；【小问2详解】解：直线l与函数()yfx=图像的两个切点坐标分别为1122(,),(,)xyxy，120xx，则当0x时，()1fxx

=，当0x时，()23fxx=−，所以l的方程为()()()()211222211ln233yxxxxxxxxx=−+−=−−+−，所以21123xx=−①，()212ln1xx−−=−②，将①代入②得()22221ln1ln32132xxx−=−−−=−−，即()222ln3210xx

−−+=，令()()2ln321xxx=−−+，302x，则()10=，()23200232xxxx=−−，所以()x在30,2上单调递减，所以21x=，则直线A

B的方程为()12yx=−−−，即10xy++=．的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com